CAPÍTULO 2
ELEMENTOS PARA ARGUMENTAR Y DEMOSTRAR
2.1 INTRODUCCIÓN
La lógica aristotélica no podía escapar a las leyes del continuo devenir del tiempo, a las cuales el filósofo Heráclito se refirió metafóricamente: “Tú no puedes meterte dos veces en el mismo río, porque nuevas aguas están constantemente fluyendo a ti”, o como dice el escritor Jorge Luis Borges en su poema titulado Heráclito:
(...)
“Se mira en el espejo fugitivo y descubre y trabaja la sentencia que las generaciones de los hombres no dejarán caer. Su voz declara: Nadie baja dos veces a las aguas del mismo río. Se detiene. Siente con el asombro de un horror sagrado que él también es un río y una fuga.”
(...)
Sin embargo, esta lógica reinó hasta el siglo XIX, cuando se dieron las bases para la lógica simbólica o lógica matemática. Este desarrollo comenzó a partir de la publicación de la obra de George Boole Las Leyes del Pensamiento, en 1854. Las pretensiones de esta obra están dadas en la introducción: “Se pretende en primer lugar investigar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente mediante las cuales se lleva a cabo el razonamiento (...). Nos proponemos después expresar en este tratado las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simbólico del cálculo.”
objetivo de eliminar, así, las imprecisiones y ambigüedades que se encontraban en el lenguaje corriente.
Leibniz (1646-1716) hubiese sido el inventor de la Lógica Simbólica actual, a no ser por su extremado respeto a Aristóteles. Éste sostuvo que toda proposición es reducible a otra proposición donde hay un sujeto y un predicado. Al aceptar esto, Leibniz llegó a serias contradicciones que atribuyó a errores suyos, y no a la falsedad de la afirmación de Aristóteles.1
Finalmente, para concluir este preámbulo, quisiéramos resaltar que la Lógica Simbólica es una rama erizada de dificultades. Los términos Verdad y Falsedad, que parecen ser familiares, llevan a disquisiciones filosóficas interminables. Lo mismo puede decirse del concepto de implicación, uno de los pilares de la Lógica Simbólica. Un enfoque estrictamente riguroso, de esta disciplina, requiere escoger como términos no definidos expresiones como “implica”, “no P”, “siempre”, “algunas veces”, “tales que”, “por tanto”, “variable”, etc. A partir de esos términos, y algunos postulados de la deducción, podríamos definir proposición diciendo que: “P es una proposición” significa que “P implica P”. De ahí se podrían definir expresiones como “P o Q”, “P y Q” en función de la implicación, y deducir, luego, todas las propiedades del cálculo proposicional. Definir los llamados conectivos lógicos, en términos de verdad y falsedad, tiene el inconveniente de que en dichas definiciones va implícito el concepto de implicación.2 Nuestro propósito en este capítulo es, más bien, explicar qué queremos decir en Matemática y, en particular, en Geometría, cuando usamos ciertos términos o expresiones.
2.2 PROPOSICIONES.
Llamaremos proposición a cualquier enunciado del cual pueda decirse, sin ambigüedad, que es verdadero o falso, pero no ambos.
Ejemplo:
i. ) 5 es un número primo.
ii. ) Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos. iii. ) La capital de Chile es Lima.
iv. ) El teorema de Pitágoras es falso.
Las dos primeras son proposiciones verdaderas; en cambio, las dos últimas son falsas. No son proposiciones, por ejemplo, ojalá que llueva; que me lleve el diablo; ¡Ay, pobre de mí!
Para abreviar el cálculo proposicional, simbolizaremos las proposiciones por letras como P, Q, R,... Si dichas proposiciones están referidas a constantes a, b, c,..., escribiremos
1 Cf., Russell, B., Exposición crítica de la filosofía de Leibniz (obras completas), Aguilar, Madrid, 1973,
vol.2.
2
P(a, b, c,...), Q(a, b, c,...) y R(a, b, c,...), respectivamente. Así, por ejemplo, podemos simbolizar la proposición: “5 es un número par” por P(5); 3 es menor que 4 por Q(3, 4); R(1, 3, 5,...) a: la sucesión 1, 3, 5,... es creciente.
2.3 CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS
En las siguientes definiciones P, Q y R simbolizan proposiciones:
La negación de P es no P; la cual es una proposición verdadera si P es falsa, y viceversa. La negación de P se denota por P. De este modo, si P(5) es la proposición 5 es un número par, P(5) es la proposición: no 5 es un número par; significando, 5 no es un número par.
El enunciado P o Q se llama disyunción, el cual es verdadero, salvo que P, Q sean ambas falsas a la vez. Por ejemplo, “2 es un número par o 4 es un número primo” es la disyunción de las proposiciones P: “2 es un número par”, Q: “4 es un número primo”. La primera es verdadera y la segunda falsa; por tanto, P o Q es verdadera. La disyunción P o Q se simboliza por P Q.
El enunciado P y Q se llama conjunción, el cual es verdadero sólo cuando P, Q son ambas verdaderas. Así, por ejemplo, “2 es un número par y 4 es un número primo” es una conjunción falsa. En cambio, “2 es un número par y 1+1=2” es una conjunción verdadera. La conjunción P y Q se simboliza por P Q.
El enunciado P implica Q se llama implicación, el cual es verdadero cuando P es falsa, sin importar el valor de verdad de Q, o cuando P, Q son ambas verdaderas. Luego, la implicación es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa. De acuerdo con lo anterior, el lector podrá justificar las siguientes afirmaciones:
2 es un número par implica 5 es un número primo es una implicación verdadera; 2 es un número impar implica 5 es un número primo es una implicación verdadera; 2 es un número par implica 5 es un número par es una implicación falsa;
2 es un número impar implica 5 es número par es una implicación verdadera.
El enunciado P implica Q puede tener los siguientes significados: Q se deduce de P; si P es verdadera, entonces Q es verdadera; si P, entonces Q. P implica Q se simboliza por P Q. Así, por ejemplo, el enunciado “3 = 3 3 + 2 = 3 + 2” puede interpretarse de las siguientes maneras:
3 + 2 = 3 + 2, se deduce de 3 = 3,
En el enunciado P Q se dice que la proposición Q P es su recíproca, y que Q
P es su contra recíproca. Se recomienda al lector escribir la recíproca y la contra recíproca de las implicaciones anteriores.
La importancia de la implicación, en Matemática, está condensada en la siguiente definición, debida a Bertrand Russell:3 “Matemática pura es la clase de todas las proposiciones de la forma P implica Q, donde P y Q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en las dos proposiciones, y ni P ni Q contienen ninguna constante, excepto las constantes lógicas.” Son constantes lógicas expresiones como: y, si, no, pertenecer a, si...entonces, etc.
El enunciado (P Q) (Q P) se llama doble implicación, el cual abreviamos por P Q y se lee P si, y sólo si, Q. Por tanto, la doble implicación es verdadera sólo cuando P, Q tienen ambas el mismo valor de verdad, ¿por qué?
Por ejemplo,
3 = 3 si, y sólo si, 3 + 2 = 3 + 2, es una proposición verdadera 2 > 5 si, y sólo si, 0 > 3, es una proposición verdadera; 2 > 5 si, y sólo si, 3 = 3, es una proposición falsa.
En consecuencia, para probar un teorema de la forma P Q se demuestra que P Q, Q P son ambas verdaderas. Muchos teoremas, de la matemática, vienen dados de esta forma.
Una proposición que tiene uno o más conectivos se llama proposición compuesta, en caso contrario se llama proposición simple. Si P Q es una proposición verdadera, decimos que las proposiciones P, Q son equivalentes o que P es equivalente a Q. Por lo tanto, dos proposiciones equivalentes tienen el mismo valor de verdad.
Un rápido cálculo, en cada caso, muestra que:
1. P es equivalente a P.
2. Si P es equivalente a Q, entonces Q es equivalente a P.
3. Si P es equivalente a Q y Q es equivalente a R, entonces P es equivalente a R. 4. P Q es equivalente a Q P,
5. P es equivalente a (P),
6. (P Q) es equivalente a P Q, 7. (P Q) es equivalente a P Q, 8. (P Q) es equivalente a P Q, 9. (P Q) es equivalente a P Q.
3
El numeral 4 nos dice que la prueba de un teorema de la forma P Q puede hacerse demostrando que Q P es verdadera. Es decir, se hace una prueba indirecta de P Q. Por otra parte, 5, 6,… y 9, nos dan una manera de negar las proposiciones P, P Q, P Q, P Q, y P Q, respectivamente. Así, por ejemplo, la negación de P Q es P Q, según 8. En consecuencia, la negación de “5 es un número primo 25 es primo” es “5 es primo y 25 no es primo”. Así mismo procedemos en los otros casos.
2.4 FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Una función proposicional o proposición abierta, referida a la variable x, es un enunciado que se convierte en una proposición cada vez que la variable x se sustituye por un valor apropiado a. Un conjunto de valores apropiados para x se llama el dominio de x. Por ejemplo, x es un hombre, x es un cuadrado, x es un número impar, son funciones proposicionales referidas a la variable x. Una función proposicional referida a la variable x la simbolizamos por P(x), Q(x),..., etc. Así podemos convenir en que P(x) represente, por ejemplo, “x es un cuadrado”.
Extendiendo la definición de función proposicional a varias variables, introduciremos símbolos del tipo P(x, y,...) para éstas. De este modo, x + y = 4 es una función proposicional referida a las dos variables x, y, que representamos, por ejemplo, como P(x, y). Análogamente, la función proposicional “x1, x2,... es una sucesión creciente” puede simbolizarse por P(x1, x2,...).
Usando los conectivos lógicos, entre funciones proposicionales referidas al mismo número de variables, generamos nuevas funciones proposicionales en las variables. Así, por ejemplo, si P, Q son funciones proposicionales en las variables x1, x2, x3 y y1, y2, y3, respectivamente, será una nueva función proposicional P(x1, x2, x3) Q (y1, y2, y3), la cual se convertirá en una proposición cuando sustituyamos las variables anotadas por constantes apropiadas. A seguir, ilustramos el uso de los conectivos en las funciones proposicionales:
x no es un triángulo;
x es un triángulo equilátero y z es un cuadrado; x es un círculo o x es un polígono;
si x es un paralelogramo, entonces x es un cuadrilátero; x = y si, y sólo si, x - y = 0;
Los círculos C1, C2,..., Cnson círculos concéntricos si, y sólo si, los círculos C1, C2,..., Cn tienen el mismo centro.
2.5 CUANTIFICADORES
Para todo x, P(x); o, con el mismo significado, Para cualquier x, P(x). Existe x talque P(x); o, con el mismo significado, Para algún x, P(x).
Existe un único x talque P(x); o, con el mismo significado, Existe sólo un x talque P(x).
Algunos ejemplos, se dan en seguida:
Para todo número real x, x2 > 0, Existe un número real x talque x2 = x, Existe un número real x tal que x2 + 1 = 0, Existe sólo un número real x talque x2 = x.
Es claro que la primera, la tercera y la cuarta son proposiciones falsas, mientras la segunda es una proposición verdadera. ¿Por qué? Más precisamente, fijado un dominio para la variable x, diremos que una proposición del tipo “para todo x, P(x)”, o “cualquier x, P(x)” es verdadera si P(x) es “siempre” verdadera en el dominio de x; de lo contrario será falsa. Y diremos que una proposición del tipo “existe x tal que P(x)”, o “para algún x, P(x)” es verdadera si P(x) es “a veces” verdadera en el dominio de x,4
en otro caso será falsa.
La negación de “para todo x P(x)” es “existe x tal que P(x)”; y, a su vez, la negación de “existe x tal que P(x)” es “para todo x, P(x)”. Por lo tanto, la negación de “para todo número real x, x2 0” es “existe un número real x tal que x2 < 0”; la negación de “existe un número real x tal que x2 + 1 = 0” es “para todo número real x, x2 + 1 0”. La negación de “existe un único x talque P(x)” es “ningún x P(x) o existen varios x tales que P(x)”. ¿Cuál es la negación del enunciado “por dos puntos sólo pasa una recta”?
Los cuantificadores “para todo x, P(x)” o “para cualquier x, P(x)” se simbolizan por
x P(x); los cuantificadores “existe x tal que P(x)” o “para algún x P(x)” se denotan por
x P(x), y los cuantificadores “existe un único x talque P(x)” o “existe sólo un x talque P(x)” se representan por !x P(x). Se deja al lector interpretar la siguiente combinación de cuantificadores: (x )(y ) (y > x), siendo el conjunto de los números reales. ¿Cuál es su valor de verdad? Ver ejercicio 2.1.
2.6 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN.
Resaltamos que, en un sistema axiomático, los teoremas son proposiciones que se deducen de los términos no definidos, de las definiciones, de los axiomas o de teoremas ya conocidos, usando una lógica. El proceso para derivar los teoremas, de esta manera, se llama demostración. Clasificamos los métodos de demostración en dos grandes grupos: métodos de demostración directa y métodos de demostración indirecta. En un teorema de
4 Para evitar ambigüedades, los términos “siempre” y “a veces” deberían tomarse como términos
la forma P Q, se dice que P es la hipótesis y Q la tesis o conclusión. Se dice también que P es una condición suficiente para Q, o que Q es una condición necesaria para P. Así, de:
x es un rombo x es un paralelogramo,
puede decirse que x es un rombo es la hipótesis y que x es un paralelogramo es la tesis y, además, x es un rombo es una condición suficiente para x es un paralelogramo; x es un paralelogramo es una condición necesaria para x es un rombo. Ver ejercicios 2.2, 2.3 y 2.4.
Demostración directa. Una demostración directa, de un teorema T, consiste en una lista finita de proposiciones P1, P2,…, Pn, donde Pn es la tesis de T y P1 P2 ... Pn-1
Pn, y cada implicación es verdadera. El siguiente ejemplo ilustra esta situación:
TEOREMA. Si a, b son números enteros y ab es número par y a es un número impar, entonces b es un número par.
Demostración:
P1: ab es par (x )(ab = 2x), P2: a es impar (y )(a = 2y - 1), P3: ab = (2y - 1)b = 2x,
P4: 2by - b = 2x; P5: b = 2by - 2x, P6: b = 2(by - x), P7: b es un número par,
Es claro, ahora, que P1 P2 ... P6 P7 es una cadena finita de implicaciones verdaderas, y P7 es la tesis del teorema. Debe observarse que, el teorema anterior, es de la forma P Q, o si P, entonces Q; y que en el método de demostración directa, usamos P para llegar a Q, mediante una cadena finita de implicaciones verdaderas. Ver ejercicios 2.5, 2.6.
Hemos de anotar aquí, que para refutar o demostrar que una proposición con cuantificador universal es falsa, basta con mostrar un caso en el cual ella no se cumpla. Este método se conoce con el nombre de demostración por el contraejemplo. Así, la proposición (x )(x2 x) es falsa, ya que para x = 0, 02 0 es una proposición falsa.
Demostración indirecta. Una de las formas de demostración indirecta, consiste en probar una proposición equivalente a la dada. Salvo ella misma, por supuesto. Por ejemplo, para demostrar una proposición de la forma P Q por método indirecto, podríamos probar que
Q P es verdadera, o que P Q es verdadera; lo mismo para otras equivalentes a P Q. Apliquemos esto para la siguiente proposición:
En este caso,
P(x): x2 es un entero par, Q(x): x es un entero par,
En consecuencia, Q P es la proposición: x es un entero impar x2 es un entero impar
Demostración.
x es impar (p )(x = 2p-1), x2 = 4p2 - 4p + 1 = 2(2p2 - 2p) + 1,
luego, x2 es impar. Hemos, así, probado indirectamente que x2 es un entero par x es una entero par.
EJERCICIOS 5
2.1 Negar las siguientes funciones proposicionales o proposiciones. Diga cuáles son proposiciones, y cuáles funciones proposicionales. (No use símbolos lógicos).
x es un cuadrilátero. x es un número entero par. x no es un triángulo isósceles. c es un círculo y z es un cuadrado.
x es un paralelogramo o y es un cuadrilátero. Todos los triángulos rectángulos son isósceles. Algunos triángulos son escalenos.
Si z es un cuadrado, entonces z es un paralelogramo. i) La recta p corta el plano α sólo en un punto.
j) Existe sólo un punto de corte entre una recta p y un plano α .
2.2 Los siguientes enunciados son formas diferentes de presentar una implicación. Se pide escribir la recíproca y la contra recíproca de c/u de ellas. (No utilice símbolos lógicos.) a) x es un punto, si x es la intersección de dos rectas.
b) Para que x sea un paralelogramo, es suficiente que x sea un rombo.
c) Para que las diagonales del cuadrilátero ABCD se bisequen, es necesario que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
2.3 En c/u de las implicaciones siguientes señalar la hipótesis y la conclusión: a) Si x es un número par, entonces, x es múltiplo de 3.
b) Para que x sea un cuadrado, es necesario que x sea un cuadrilátero equilátero. c) x es un triángulo isósceles es una consecuencia de x es un triángulo equilátero. 2.4 Construya proposiciones P, Q, de modo que se cumpla:
a) Si P, entonces, Q, pero no recíprocamente.
b) Para que P es necesario, pero no suficiente que Q. c) Para que P es suficiente, pero no necesario que Q.
2.5 Tomando como dominio de las variables x, y, el conjunto de los números enteros, =
0, 1, 2,..., decidir el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Si x > 3, entonces x 4.
b) Si x > y, entonces 4x > 4y. c) Si x > y, entonces x2 > y2. d) Si x = y, entonces x + y es par. e) Si x + y es par, entonces x = y.
f) Si x, y, son números pares, entonces x + 3y es par. g) x2 + xy 0.
h) (x + y)2 - (x - y)2 = 4xy. i) x + y es par o x y. j) x + y es impar o x = y.
5 Los siguientes ejercicios, de la lógica proposicional vista, son inspirados en el Manual de lógica para
2.6 Considere las funciones proposicionales P(x, y): x = y, y Q(x, y): xy(x - y) = 0. Usando como dominio para las variables x, y, el conjunto de los números reales, diga cuáles de estas proposiciones son verdaderas, y cuáles falsas:
a) P implica Q.
b) P es consecuencia de Q. c) De P se sigue Q.
d) P es condición necesaria para Q. e) P se sigue necesariamente de Q. f) P es condición suficiente para Q.
2.7 Decidir la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) x y ; x < y.
b) y x ; x < y.
¿Qué se puede decir de la conmutatividad de los cuantificadores universal y existencial? 2.8 Para x, y números reales, demostrar por reducción al absurdo las siguientes proposiciones:
a) x2 + y2 2xy.
b) xy (x + y)/2, si x, y 0.
RETRATO DE MUJER6
Siempre estará la noche, mujer, para mirarte cara a cara, sola en tu espejo, libre de marido, desnuda
con la exacta y terrible realidad del gran vértigo
que te destruye. Siempre vas a tener tu noche y tu cuchillo, y el frívolo teléfono para escuchar mi adiós de un solo tajo.
Te juré no escribirte; por eso estoy llamándote en el aire para decirte nada, como dice el vacío: nada, nada,
sino lo mismo y siempre lo mismo de lo mismo
que nunca me oyes, eso que nunca me entiendes nunca, aunque las venas te arden de eso que estoy diciendo.
Ponte el vestido rojo que le viene a tu boca y a tu sangre, y quémame en el último cigarrillo del miedo
al gran amor, y vete descalza por el aire que viniste con la herida visible de tu belleza. Lástima
de la que llora y llora en la tormenta.
No te me mueras. Voy a pintarte tu rostro en un relámpago tal como eres: dos ojos para ver lo visible y lo invisible, una nariz de arcángel y una boca de animal, y una sonrisa
que me perdona, y algo sagrado y sin edad que vuela en tu frente, mujer, y me estremece, porque tu rostro es rostro del Espíritu.
Vienes y vas, y adoras al mar que te arrebata con su espuma, y te quedas como inmóvil, oyendo que te llamo en el abismo de la noche, y me besas lo mismo que una ola.
Enigma fuiste. Enigma serás. No volarás conmigo. Aquí mujer, te dejo tu figura.
Gonzalo Rojas Poeta chileno
París, Noviembre 2003
6A la memoria del poeta chileno Gonzalo Rojas, fallecido en la mañana del 25 de abril de 2011, a los 93
SENTADO SOBRE LOS MUERTOS Sentado sobre los muertos
que se han callado en dos meses, beso zapatos vacíos
y empuño rabiosamente la mano del corazón y el alma que lo mantiene.
Que mi voz suba a los montes y baje a la tierra y truene, eso pide mi garganta
desde ahora y desde siempre.
Acércate a mi clamor, pueblo de mi misma leche, árbol que con tus raíces encarcelado me tienes,
que aquí estoy yo para amarte y estoy para defenderte
con la sangre y con la boca como dos fusiles fieles.
Si yo salí de la tierra,
si yo he nacido de un vientre desdichado y con pobreza, no fue sino para hacerme ruiseñor de las desdichas, eco de la mala suerte, y cantar y repetir
a quien escucharme debe
cuanto a penas, cuanto a pobres, cuanto a tierra se refiere.
Ayer amaneció el pueblo desnudo y sin qué ponerse, hambriento y sin qué comer, el día de hoy amanece
Aunque le falten las armas, pueblo de cien mil poderes, no desfallezcan tus huesos, castiga a quien te malhiere mientras que te queden puños, uñas, saliva, y te queden
corazón, entrañas, tripas, cosas de varón y dientes.
Bravo como el viento bravo, leve como el aire leve, asesina al que asesina, aborrece al que aborrece la paz de tu corazón
y el vientre de tus mujeres. No te hieran por la espalda, vive cara a cara y muere con el pecho ante las balas, ancho como las paredes.
Canto con la voz de luto, pueblo de mí, por tus héroes: tus ansias como las mías, tus desventuras que tienen del mismo metal el llanto, las penas del mismo temple, y de la misma madera
tu pensamiento y mi frente, tu corazón y mi sangre, tu dolor y mis laureles. Antemuro de la nada esta vida me parece.
Aquí estoy para vivir
mientras el alma me suene, y aquí estoy para morir, cuando la hora me llegue, en los veneros del pueblo desde ahora y desde siempre. Varios tragos es la vida y un solo trago es la muerte.
¿QUÉ LES QUEDA A LOS JÓVENES?
¿Qué les queda por probar a los jóvenes en este mundo de paciencia y asco? ¿Solo grafitti? ¿rock? ¿escepticismo? también les queda no decir amén no dejar que les maten el amor recuperar el habla y la utopía
ser jóvenes sin prisa y con memoria situarse en una historia que es la suya no convertirse en viejos prematuros.
¿Qué les queda por probar a los jóvenes en este mundo de rutina y ruina?
¿cocaína? ¿cerveza? ¿barras bravas? les queda respirar abrir los ojos descubrir las raíces del horror inventar paz así sea a ponchazos entenderse con la naturaleza y con la lluvia y los relámpagos y con el sentimiento y con la muerte esa loca de atar y desatar.
¿Qué les queda por probar a los jóvenes en este mundo de consumo y humo? ¿vértigo? ¿asaltos? ¿discotecas? también les queda discutir con dios tanto si existe como si no existe
tender manos que ayudan abrir puertas entre el corazón propio y el ajeno
sobre todo les queda hacer futuro a pesar de los ruines del pasado y los sabios granujas del presente.
Mario Benedetti
