Identidades trigonométricas
Por Sandra Elvia Pérez Márquez
Cuando se habla de una identidad se dice que dos expresiones son iguales, por lo tanto, si se refiere a una
identidad trigonométrica entonces se dice que dos
expresiones que están formadas por expresiones trigonométricas son iguales.
Existen varias identidades que ya están definidas y que se utilizan para poder hacer comprobaciones o simplificaciones de identidades más complejas. Estas simplificaciones además de utilizar las
identidades básicas necesitan de las habilidades algebraicas que permiten hacer manipulaciones de las mismas para lograr una expresión que se pueda manejar más fácilmente.
Identidades trigonométricas básicas o fundamentales
Las identidades trigonométricas básicas son fundamentales para la comprobación de otras identidades. Se usarán continuamente en este curso porque aparecen con frecuencia en áreas como la mecánica, la electrónica y la óptica, entre otras.
Las identidades trigonométricas básicas o fundamentales se pueden clasificar en:
Figura 1. División de las identidades básicas o fundamentales.
Identidades trigonométricas
básicas o fundamentales
Identidades trigonométricas recíprocas
¿Recuerdas que ya conoces las funciones trigonométricas reciprocas?
Las utilizaste para poder calcular los valores de las funciones cotangente, secante y cosecante por medio de la calculadora en el módulo 1.
Ahora recuerda ¿en qué se parecen la función tangente y la función cotangente?
Tangente Cotangente
=
=
ca
co
F)
tan(
=
=
co
ca
F)
cot(
Al observar estas funciones trigonométricas, puedes apreciar que son recíprocas entre sí porque dos números son recíprocos si al multiplicarse son iguales a la unidad.
Multiplica la tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad.
( )( )
( )( )
=
1
=
co
ca
ca
co
co
ca
ca
co
Tabla1. Definición de función recíproca.
En la tabla 2 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛 𝐴 =𝑐𝑜 ℎ 𝑐𝑠𝑐 𝐴 = ℎ 𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝐴 =𝑐𝑎 ℎ 𝑠𝑒𝑐 𝐴 = ℎ 𝑐𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐴 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝐴 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 Esto implica que:
𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∗ csc 𝐴 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ∗ sec (A) = 1 𝑡𝑎𝑛 𝐴 ∗ cot 𝐴 = 1 es recíproca de es recíproca de es recíproca de
A estas tres expresiones se les llama identidades reciprocas y, dependiendo de qué función se requiera, se pueden derivar varias expresiones al realizar los despejes.
Identidades trigonométricas de razón
Estas identidades surgen a partir de la función trigonométrica tangente y su definición.
Si en la función trigonométrica ca co A =) tan(
, divides tanto el numerador como el denominador entre la hipotenusa, obtendrás las relaciones seno y coseno, de tal forma que:
h cah co A =) tan( y como h co A sen( )= y
h
ca
A =
)
cos(
Por lo tanto: ) cos( ) ( ) tan( A A sen A = De la misma forma: ) ( ) cos( ) cot( A sen A h coh ca A = =A estas dos identidades se les denomina identidades de razón.
Identidades trigonométricas pitagóricas
Como su nombre lo indica, estas identidades están basadas en el teorema de Pitágoras. ¿Lo recuerdas?
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
Una igualdad no se altera siempre y cuando los dos lados de la igualdad se dividan entre la misma cantidad (propiedades de la igualdad).
Las identidades pitagóricas surgen de las relaciones que resultan al dividir el teorema de Pitágoras entre cada uno de los elementos.
La tabla 3 muestra cómo se obtienen estas identidades.
Teorema de Pitágoras 2 2
2
co
ca
h
=
+
Esto implica que Se obtiene la identidad
trigonométrica pitagórica Si se divide entre la hipotenusa
al cuadrado
h
2 2 2 2 2 2 2h
ca
h
co
h
h
+
=
2 2 1 + = h ca h coSustituyendo las funciones trigonométricas: h co A sen( )= y h ca A =) cos(
)
(
cos
)
(
1
sen
2A
2A
+
=
Si se divide entre el cateto opuesto al cuadrado 2 2 1 + = co ca co h
Sustituyendo las funciones trigonométricas: co h A =) csc( y co ca A =) cot(
)
(
cot
1
)
(
csc
2A
2A
+
=
Si se divide entre el cateto adyacente al cuadrado 1 2 2 + = ca co ca h
Sustituyendo las funciones trigonométricas:
ca
h
A =
)
sec(
yTabla 3. Identidades pitagóricas.
Con estas identidades trigonométricas básicas puedes realizar simplificaciones y demostraciones. Es muy común que después de haber realizado operaciones con expresiones trigonométricas se presenten expresiones muy extensas o complicadas por lo que se recurre a las identidades
trigonométricas para hacer una simplificación y de esta forma realizar los cálculos más fácilmente, pero,
¿cómo puedes hacer una simplificación o una demostración?
Te sugiero que tomes en consideración los pasos que aparecen en la figura 2; sin embargo, dependiendo de tu habilidad para manejar las identidades puedes ir creando tu propia estrategia.
2
co
2 2 2 2 2 2co
ca
co
co
co
h
+
=
2ca
2 2 2 2 2 2ca
ca
ca
co
ca
h
+
=
ca
co
A =
)
tan(
1
)
(
tan
)
(
sec
2 2+
=
A
A
Figura 2. Pasos para demostrar o simplificar una identidad trigonométrica.
A continuación se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
)
tan(
)
sec(
)
(
A
A
A
sen
=
SoluciónComienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación y demuestra que el producto de las dos funciones es igual a la tangente.
)
tan(
)
sec(
)
(
A
A
A
sen
=
De la identidad reciproca:
cos(
A
)
sec(
A
)
=
1
Despeja la secante:
cos(
)
1
)
sec(
A
A =
1) Elige el lado de laidentidad que te parezca más fácil manejar.
2) Realiza las operaciones
que se indican (sumas, restas, multiplicaciones,
divisiones, productos notables, etcétera).
3) Recuerda que puedes
aplicar las leyes del álgebra, pero debes respetar las identidades
trigonométricas. 4) En algunos casos es más sencillo si conviertes las funciones trigonométricas a senos y cosenos.
=
)
cos(
1
)
(
)
sec(
)
(
A
A
sen
A
A
sen
Efectuando la multiplicación:cos(
)
)
(
)
sec(
)
(
A
A
sen
A
A
sen
=
Si observas la identidad de razón
cos(
)
)
(
)
tan(
A
A
sen
A =
Puedes comprobar que:
)
tan(
)
cos(
)
(
)
sec(
)
(
A
A
A
sen
A
A
sen
=
=
Ejemplo 2Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
)
(
cot
))
(
1
)(
(
csc
2A
sen
2A
2A
=
−
SoluciónToma el lado izquierdo de la identidad y efectúa las operaciones. Luego observa que es la multiplicación de un monomio por un polinomio.
)
(
)
(
csc
)
(
csc
))
(
1
)(
(
csc
2A
sen
2A
2A
2A
sen
2A
−
=
−
De las identidades reciprocas, tienes que
csc(
A
)
sen
(
A
)
=
1
Si despejas la cosecante
(
)
1
)
csc(
A
sen
A =
y sustituyes en el segundo término.
)
(
)
(
1
)
(
csc
)
(
)
(
csc
)
(
csc
2 2 2 2 2 2sen
A
A
sen
A
A
sen
A
A
−
=
−
(
)
)
(
)
(
csc
)
(
)
(
1
)
(
csc
2 2 2 2 2 2A
sen
A
sen
A
A
sen
A
sen
A
=
−
−
1
)
(
csc
)
(
)
(
)
(
csc
2 2 2 2−
=
−
A
A
sen
A
sen
A
De la identidad pitagórica.
csc
2(
A
)
=
1
+
cot
2(
A
)
Despeja la cotangente
csc
(
)
1
cot
(
)
2
2
A
A
=
−
Puedes demostrar que:
csc
(
)(
1
(
))
csc
(
)
1
cot
(
)
2 2 2 2A
sen
A
A
A
=
−
=
−
Ejemplo 3Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
)
(
2
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2A
sen
A
A
sen
A
=
−
−
SoluciónTomando el lado izquierdo de la ecuación y desarrollando el binomio al cuadrado, obtienes la siguiente expresión.
(
)
)
cos(
)
(
)
(
)
cos(
2
)
(
cos
1
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2 2 2A
A
sen
A
sen
A
A
A
A
sen
A
−
−
+
=
−
−
Observa que dentro del paréntesis se tienen tres términos, los cuales se puedes reacomodar para obtener la identidad pitagórica:
1
(
)
cos
(
)
2
2
A
A
sen
+
(
)
)
cos(
)
(
)
cos(
2
)
(
cos
)
(
1
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2 2 2A
A
sen
A
A
A
sen
A
A
sen
A
−
+
−
=
−
−
Sustituyendo la identidad pitagórica:
1
(
)
cos
(
)
2 2
A
A
sen
+
=
(
)
)
cos(
)
(
)
cos(
2
1
1
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2A
A
sen
A
A
A
sen
A
−
−
=
−
−
Quita el paréntesis tomando en cuenta que los signos de los términos que se encuentran dentro de él cambiarán.
)
cos(
)
(
)
cos(
2
1
1
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2A
A
sen
A
A
A
sen
A
−
+
=
−
−
Realizando las operaciones del numerador:
)
cos(
)
(
)
cos(
2
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2A
A
sen
A
A
A
sen
A
=
−
−
Simplificando el coseno del numerador con el coseno del denominador:
Con ello puedes demostrar que la identidad es verdadera.
)
(
2
)
cos(
))
(
)
(cos(
1
2A
sen
A
A
sen
A
=
−
−
Además de las identidades trigonométricas básicas, existen otras identidades trigonométricas que permiten relacionar los ángulos (como sumas, restas, multiplicaciones o productos), ángulos dobles o semiángulos, entre otras; las cuales permiten resolver algunos problemas como el que vimos al inicio de la clase.
Bibilografía
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C. Trad.). México: McGraw-Hill.
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.). México: McGraw-Hill.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica (10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Thomson.
