entonces A.B es: A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 a b. a b a b 4... Calcula: A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) 2 2 x x A) 1 B) x C) A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. TEORIA DE EXPONENTES 1. Efectúa: E = 2 1 4 1 3 1 2

81

1

125

1

4

1

2

1

   





































































A) 0,25 B) 1 C) 0,5 D) 4 E) 16 2. Simplifica: 2 9 4 3 3 6

30

.

14

.

5

80

.

35

.

21

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Halla el valor de:

4 3 2 1 4 3 2 1

2

2

2

2

2

2

2

2

       















_xx _xx _xx _xx

M

A) 2 B) 1 C) 16 D) 1/5 E) 32 4. Simplifica: x x x x x x x x x x x x

x

x

x

x

1 2  





















  ; si: x > 0 A)

x

2 B)

x

C) x D)

x

3 E) 1 5. Calcula:     7 5 3 ₇ 7 5 5 3 3 2

7

5

3

2

:







S

A) 8 B) 18 C) 15 D) 12 E) 17 6. Calcula: ) 5 , 0 )( 125 , 0 ( 4_2(0,0625)

)

16

)(

25

,

0

(

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E)

2

7. Si: 4 11 5 4 _{4 2 3} 3

16

,

9

,

3

,

2









b

c

a



Calcula: 3 44 3 3 5 2

.

b

a

c



A) 8 B) 27 C) 3/4 D) 81/8 E) 81 8. El valor aproximado de:

...

16

8

4

2



A

es: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1/2

9. Si: "n" es número impar.

3 3 3 3 3 3 3 3

16

....

16

16

16

4

....

4

4

4











B

A

entonces A.B es:

A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 10.Si se cumple que:









...

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

_{, ab > 0} Calcula:

ab

1



1

A) 1 B) 2 C)

2

D) 3 E)

2

2

11.Simplifica: 41 24 2 3 4 5 5                        x x x x G A) 1 B) x C)

x

2 D)

x

1 E)

x

2 12.Halla: “n” en: 1 2 4 8

4

2

n



x A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6 13.Reducir: c c c b b b a a a

M

_{  }



















4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

A) 9 B) 3 C) 4 D) 5 E) 12

14.Expresar en un solo radical.

3 ₂4 5 _{4 6} 8 ₅ 5 _{7 3}

.

a

b

a

b

b

a

a

A) 12

_ab

B) 6

a

8

b

C)

_b

5

_a

D)

_a

6

_b

E) 60

a

5

b

15.Si: a, b, c son números naturales simplifique:

c b a c b a c b a c a c b b a         2 2 3 2

7

.

5

.

3

175

.

147

.

135

A) 21 B) 75 C) 105 D) 14 E) 1

16.Halla el equivalente de:

1 2 4 81 1 328 4 4 4 100 5 5 5 5

...

.

.

.

...

.

  



















































_



 



 





















veces veces

x

x

x

x

x

x

x

E

A) 3

x

17 B)

x

9 C)

x

81 D) 81

x

E) 9

x

17.Encontrar el valor de "x"

2

4

1

3

2

















x

x

x

x A) 1/4 B) 1/16 C) 1/32 D) 0,75 E) 1/2 18.Si:

81

81 81 



 x

x

, Calcula: 4x

x

A) 1 B) 1/3 C) 1/9 D) 1/27 E) 1/81 19.Si:

x

x



4

Halla: x x x x

x

E



















 2 1 . 256 1 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 20 20.Si:

_x

(x1)2



₂

_x



₁

. Calcula:

x

x



1

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 10

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 00. Luego de reducir la ex presión:

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 z y x z y y x z x P _{  }      se le clasifica como: a) E. A. I. b) E. A. R. c) E. A. R. E. d) E. A. R. F. e) E. Trascedental 01. Después de reducir: x x x x x

_x



1

_x

2



_x

2 

La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental 03. Después de reducir: ₁

1



1







x

x

x

x x

La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental

03. Si el grado de P5_Q2 _{es 44 y el grado de} 5_Q3_{P es} 3. Calcular el grado de (P2 _{+ a}3₎2_{, sabiendo que P y Q} son 2 polinomios de grado desconocido.

a) 33 b) 42 c) 24 d) 12 e) 1089 04. Si el Polinomio: n m 4 n 1 m 3 n 5 m _{y 2x y y x} x 3 ) y , x ( P        tiene: GR(x) = 9 y G.A. = 11 Calcular el grado relativo de “y”

a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4 05. Si el grado de P(x) . Q2 _{(x) es 13 y el grado de P}2_{(x) .}

Q3_{(x) es 22. Calcular el grado de:} P3_{(x) + Q}2_(x)

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 06. Hallar “n” para que la expresión sea de 2º grado

4 _{2 n} 3 _{2 n} x zx cx cx bx ax ) x ( M  x  0 a) 40 b) 80 c) 20 d) 10 e) 160 07. Si el grado del polinomio “P” es 6 y el grado del

polinomio Q es 3, entonces el grado del polinomio. E = 3 2 Q P Q P 2  es a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 08. La expresión nx.x2.x3...xn es de 5to grado,

el valor de “n” es:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) N.a. 09. El grado absoluto de:

7 20 7 4 7 3 7 2_{) (x y ) (x y ) ...(x y )} y x ( ) y , x ( P      es: a) 1436 b) 1463 c) 1346 d) 1634 e) N.a. 10. Si: 7 n 3 n 2 m 1 m _{2x y 3y} x P       9 n z n 7 m m _{3x y 8y} x 2 Q      GR(4) P + GR(y) Q = 12 GR(x) P = 5. ¿Cuál es el grado de Q? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 11. Si: a b b a a b b a w z y x     es de grado 16.

Calcule el grado de:

a b b a z w y x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Indicar el grado de:

M = 3 3 2 / 1 ₇ 3 3 9 3 x ) x ( ) x ( x      a) 10 b) 14 c) 17 d) 13 e) 12 13. Señale el grado de:





3 3 2 4 6 5 4 2 2 ) y , x ( ) y xy x )( 1 x ( xy ) 1 x ( ) y x ( M        a) 21 b) 23 c) 22 d) 25 e) 24 BLOQUE I 1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 _y3 _{+ x}n–1 _ym _{+ x}n+3 _{y es homogéneo, el} valor de 2m – n es: A) 0 B) 4 C) 7 D) –1 E) –7

2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es ordenado y completo: P(x) = xa+c _{+ 3x}6 _{– 2x}5 _{– (a + b + c) x}a+b+1 _{– (b + c)} xb+c+1 _{+ 7x}2 _{– 11x + 2} A) –6 B) 4 C) 6 D) –4 E) –2 3. Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 _{– x}n+2 _{+ x}n+1 _{+ ... + 3 es completo,} ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:

A) 33 B) 34 C) 39

D) 37 E) 40

4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P(x) = x2a+1 _{+ 2x}b+3 _{– 3x}c+2 _{+ …. posee 2c términos.} Halla a + b + c

A) 14 B) 13 C) 12

D) 15 E) 16

5. El polinomio:

R(x) = (a – b)x4 _{+ (b – a)x}3 _{+ (c – a)x}2

es idénticamente nulo, halla:

a

3

)

c

b

(

2



A) 2/3 B) 4/3 C) 4 D) 1/3 E) 1 6. Si los polinomios: A(x) = ax2 _{+ (b – 1)x + c + 1} B(x) = 3x2 _{+ 6x + 12} son idénticos. Halla: c – (a + b) A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) –1

7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

A) 10 B) 13 C) 1

D) 12 E) 8

8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x,y) = (3m2 _{– n) x}4–m _ym _{+ (n – 9m)x}m+1 _ym–2 ₊ m(xy)m

A) 4 B) 6 C) 5

D) 3 E) 2

9. P(x) = ax4m+3 _{+ ax}2n _{+ ….. + ax}a–4 _{+ ax}a–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5) términos. Halla la suma de coeficientes de P(x)

A) 40 B) 80 C) 140

D) 180 E) N.A. 10. El polinomio:

P(x,y) = (b – c – m2_)x2 _{+ (c – a – 2mn)xy + (a – b –} n2_)y2 _{es idénticamente nulo.}

Halla la relación entre a, b y c. A) a + b = 2c D) a + b + c = 0 B) a + c = 2b E) a + b = c C) b + c = 2ª F) 1

BLOQUE II

11. Determina el valor de “m” en el polinomio: xm+p _{+ x}p+q _{+ x}q+r _{+ x}r–3_{, suponiendo que es ordenado} descendentemente y completo en “x”.

A) –1 B) 3 C) –2

D) 4 E) –3

12. Halla la suma de los coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo:

R(x) = axm+1 _{+ 2mx}a–1 _{– (3p – 1) x}p–2 _{+ (b – 2) x}b–2 _{+ 1} A) 11 B) 1 C) –11 D) 14 E) 0 13. Si: P(x+1) = x2 _{+ x + 1} Q(x+2) = ax2 _{+ bx + c} P(x – 1) = Q(x) halla: A = a + b + c A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?

P(x,y)=xm_+xm–1_{y + x}m–2 _y2 _{+... + xy}m–1 _{+ y}m I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m.

III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1) A) Sólo I es verdadera

B) Sólo II es verdadera C) Sólo III es verdadera D) Todas son verdaderas E) Ninguna de las anteriores

15. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?

P(x,y) = xm _{+ x}m–2 _y2 _{+ x}m–4 _y4 _{+ ...} Para que sea de grado 40, respecto a “y”.

A) 22 B) 20 C) 19

D) 23 E) 21

16. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n _yn+p _zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son tres números consecutivos (en ese orden). Calcula: E = mnp

A) 9 B) 12 C) 24

D) 28 E) 29

17. P(x) = 2xa–1 _{+ (d + 5)x}b–1 _{+ 5x}c+2

Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus términos son consecutivos en forma creciente. Halla “a + b + c + d”

A) 17 B) 14 C) 24

D) 35 E) 41 18. El polinomio:

Q(x)=(ab – 1)x3a _{+ (a}2_c2 _–4)x2b_+(b3_c3_{– 8)x}5c es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0. Halla: 3a + b + 4c A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 19. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 _{+ ax + 7n} Q(x) = (x + a)2 _{+ nx + 2} Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.

A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16 20. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105 Además: F(5) =

mn

Calcula: E =

_mn

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 21. Calcula E = A + B sabiendo que:

x3 _{+ 2x}2 _{– 1 = (x + 1) [Ax}2 _{+ B(x – 1 )]} A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 22. Si el trinomio: c a c b b c a a b

x

x

x











Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el monomio: a

x

b b

x

bc c

x

ac ?

A) 7 B) 13 C) 29

D) 33 E) 30

23. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a+c–3abc) x2 _{+ (a+c–6abc) x + (b+c–7abc);} abc  0 Calcula: M = 2

c

b

a

abc



















A) 1 B) 16 C) 25 D) 49 E) 64

24. Se tiene un polinomio P(x,y,z,w) ordenado decrecientemente y consecutivamente con respecto a todas las letras, cuyos grados relativos con respecto a x, y, z, w, de uno de sus términos son 7, 6, 5, 4, respectivamente: Si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 240; el número de términos en P, es:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 25. Si el polinomio: P(x) = 1 2 2 ) 1 ( 16 2 2

5

3

   

_

a

_

a

_

_

b a

_x

_x

_nx

x

a a



(n  0 ; b > 0), es completo y ordenado en forma ascendente y tiene 4a2 _términos.

Calcula: M = b

ab

a

b

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5 26. Dado el polinomio homogéneo:

P(x,y) = 5x4 _{– 3x}2 _y2 _{+ 2xy}3_{. Determinar el polinomio} P(x,y) que debe agregarse a P(x,y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo tal que la suma de los coeficientes sea 7 y su valor numérico para x = 2, y = –1 dé como resultado 4.

A) 7x3 _{y – 4y}4 _{D) 7xy}3 _{+ 4y}4 B) 7x3 _{y + 4y}4 _{E) N.A.} C) 7xy3 _{– 4y}4

27. Si se cumple la siguiente identidad: m(x – 2) + n(x + 1)  4x – 17. Halla m – n.

A) 4 B) 10 C) 5

D) 6 E) 4/3

28. Halla el grado de homogeneidad del polinomio: P(x,y) = 8xm+n _yn _{– 5x}m+6 _yn+4

si se sabe que el grado respecto a “x” es menor en 2 unidades que el grado respecto a “y”.

A) 24 B) 23 C) 22

D) 21 E) 20

29. Calcula el valor de k + m + n, si P es homogéneo y de grado 17.

P(x,y,z) = 5x2m+3 _(3yn+1 _{- x}m–1 _{+ z}k-2₎

A) 15 B) 14 C) 13

D) 12 E) 11

30. Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: P(x,y) = b a n n

y

x

b

a

y

ax

7 2 3

5

(

)

2

3

5 2





17 2 25 2

)

7

11

(







n

y

x

b

A) 408 B) 405 C) 40 D) 402 E) 407 31. Siendo: P(x,y,z) = c b c c a b b a

z

x

z

y

y

ax

2 2

2

1 3

5

4

3

 



 





Un polinomio homogéneo de grado “m + 2”. Calcula: n n n n n

c

b

a

c

b

a











1

)

(

A) 4 B) 5 C) 2 D) 3 E) 1

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 _y3 _{+ x}n–1 _ym _{+ x}n+3 _{y es homogéneo, el} valor de 2m – n es: A) 0 B) 4 C) 7 D) –1 E) –7

2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es ordenado y completo: P(x) = xa+c _{+ 3x}6 _{– 2x}5 _{– (a + b + c) x}a+b+1 _{– (b + c)} xb+c+1 _{+ 7x}2 _{– 11x + 2} A) –6 B) 4 C) 6 D) –4 E) –2 3. Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 _{– x}n+2 _{+ x}n+1 _{+ ... + 3 es completo,} ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:

A) 33 B) 34 C) 39

D) 37 E) 40

4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P(x) = x2a+1 _{+ 2x}b+3 _{– 3x}c+2 _{+ …. posee 2c términos.} Halla a + b + c

A) 14 B) 13 C) 12

D) 15 E) 16

5. El polinomio:

R(x) = (a – b)x4 _{+ (b – a)x}3 _{+ (c – a)x}2

es idénticamente nulo, halla:

a

3

)

c

b

(

2



A) 2/3 B) 4/3 C) 4 D) 1/3 E) 1 6. Si los polinomios: A(x) = ax2 _{+ (b – 1)x + c + 1} B(x) = 3x2 _{+ 6x + 12} son idénticos. Halla: c – (a + b) A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) –1

7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

A) 10 B) 13 C) 11

D) 12 E) 8

8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x,y) = (3m2 _{– n) x}4–m _ym _{+ (n – 9m)x}m+1 _ym–2 ₊ m(xy)m

A) 4 B) 6 C) 5

D) 3 E) 2

9. P(x) = ax4m+3 _{+ ax}2n _{+ ….. + ax}a–4 _{+ ax}a–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5) términos. Halla la suma de coeficientes de P(x)

A) 40 B) 80 C) 140

D) 180 E) N.A.

10. El polinomio:

P(x,y) = (b – c – m2_)x2 _{+ (c – a – 2mn)xy + (a – b –} n2_)y2 _{es idénticamente nulo.}

Halla la relación entre a, b y c. A) a + b = 2c D) a + b + c = 0 B) a + c = 2b E) a + b = c C) b + c = 2a

11. Si el polinomio:

P(x,y,z) = Ax2a+2b–c _{+ By}2b+2c–a _{+ Cz}2c+2a–b es homogéneo. Halle: F = n n n

)

a

c

(

)

c

b

(

)

b

a

(









A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente.

P(x) = x12–2a _{+ x}2a–4 _{+ x}4–2a

A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7

13. Señale el grado del binomio homogéneo: P(x,y) = m n 2 n 2 3 m

y

y

nx

y

y

nx

_

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 1

14. Determina el valor de “m” en el polinomio: xm+p _{+ x}p+q _{+ x}q+r _{+ x}r–3_{, suponiendo que es ordenado} descendentemente y completo en “x”.

A) –1 B) 3 C) –2

D) 4 E) –3

15. Halla la suma de los coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo:

R(x) = axm+1 _{+ 2mx}a–1 _{– (3p – 1) x}p–2 _{+ (b – 2) x}b–2 ₊ 1 A) 11 B) 1 C) – D) 14 E) 0 16. Si: P(x+1) = x2 _{+ x + 1} Q(x+2) = ax2 _{+ bx + c} P(x – 1) = Q(x) halla: A = a + b + c A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

17. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?

P(x,y)=xm_+xm–1_{y + x}m–2 _y2 _{+... + xy}m–1 _{+ y}m I. Posee m + 1 términos.

II. Es homogéneo de grado m.

III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1) F) Sólo I es verdadera

G) Sólo II es verdadera H) Sólo III es verdadera I) Todas son verdaderas J) Ninguna de las anteriores

18. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?

P(x,y) = xm _{+ x}m–2 _y2 _{+ x}m–4 _y4 _{+ ...} Para que sea de grado 40, respecto a “y”.

A) 22 B) 20 C) 19

D) 23 E) 21

19. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n _yn+p _zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son tres números consecutivos (en ese orden). Calcula: E = mnp

A) 9 B) 12 C) 24

D) 28 E) 29

20. P(x) = 2xa–1 _{+ (d + 5)x}b–1 _{+ 5x}c+2

Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus términos son consecutivos en forma creciente. Halla “a + b + c + d”

A) 17 B) 14 C) 24

D) 35 E) 41 21. El polinomio:

Q(x)=(ab – 1)x3a _{+ (a}2_c2 _–4)x2b_+(b3_c3_{– 8)x}5c es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0. Halla: 3a + b + 4c A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 22. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 _{+ ax + 7n} Q(x) = (x + a)2 _{+ nx + 2} Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.

A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16 23. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105 Además: F(5) =

mn

Calcula: E =

mn

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 24. Calcula E = A + B sabiendo que:

x3 _{+ 2x}2 _{– 1 = (x + 1) [Ax}2 _{+ B(x – 1 )]} A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 25. Si el trinomio: c a c b b c a a b

x

x

x











Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el monomio: a

x

b b

x

bc c

x

ac ?

A) 7 B) 13 C) 29

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. PRODUCTOS NOTABLES I PRINCIPALES IDENTIDADES: Trinomio cuadrado perfecto: (a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2 (a – b)2 _{= a}2 _{– 2ab + b}2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 _{+ (a – b)}2 _{= 2(a}2 _{+ b}2₎ (a + b)2 _{– (a – b)}2 _{= 4ab} Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 _{– b}2 Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 _{= a}3 _{+ b}3 _{+ 3ab(a + b)} (a – b)3 _{= a}3 _{– b}3 _{– 3ab(a – b)} Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 _{– ab + b}2_{) = a}3 _{+ b}3 (a – b) (a2 _{+ ab + b}2_{) = a}3 _{– b}3 Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x2 _{+ (a+b)x + ab} PRACTICA BLOQUE I 21. Reduce: 2 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(







































r

q

p

n

m

r

q

p

n

m

r

q

p

n

m

22. Reduce:

)

3

(

)

(

)

(

2 2 3 3

b

a

a

b

a

b

a









23. Si: x =

₃



₁



₃



₁

y =

3



1



3



1

halla: x2 _{– y}2 24. Reduce:

M = (a+2) (a+3) (a+4) (a+5) – (a2_{+7a) (a}2_+7a+22)

25. Si:



1



5

x

x

halle: x3 _{+ x}–3

26. Si: x2 _{+ 12y = (y + 6)}2_{, halla:}



 



10 2 23 4 2 2 4

2

.

x

x

y

y

y

x







27. Si: a + b = 3 y ab = 1 Halle: a4 _{+ a}2 _{+ a + b}2 _{+ b + b}4 28. Si: a4 _{+ b}6 _{= 2} halle: 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2

)

(

)

(

)

(

)

(

 

_

_









a

a

a

a

b

a

b

a

29. De la ecuación:

b

a

b

a







4

1

1

Reduce: n n n n

b

a

b

a

1 1 1

)

(

  





30. Si: x +

x

2

_{= 1} halle: (x – 3) (x + 2) (x – 4) (x + 3) 31. Si se cumple:

x

y

y

x

2

2



= 2 calcula: 8













y

x

32. Si: x +

x

1

_{= 3, halle: x2 –} 2

1

x

; x > 1 33. Reduce: 16

₍

₅

₎

₍

₁₃

₎

₍

₉₇

₎

₍

₃

8



₂

8

₎



₂

16 34. Sabiendo que x2 _{– 3x + 1 = 0}

Calcula el valor de: A = 3 2 2 3

1

1

x

x

x

x







35. Si a +

a

1

= 3, halla el valor de R =





























































a a a a

a

a

a

a

1

1/

1

/ 1 36. Si: x2 _{+ 1 = –x} halle: x19 ₊ 25

1

x

BLOQUE II 37. Reduce: C = [ (m + n)2 _{– (m – n)}2 _]2 _{– 16 m}2_n2 A) mn B) m+n C) 0 D) 1 E) –1 38. Reduce: M =



a



b



a



b

 

a



b



a



b



A) 2a C) 0 E) 2a – 2b B) 2b D) 2a + 2b 39. Reduce: (x – 1)3 _{– x}3 _{+ 1} A) x C) 2x E) N.A. B) x + 1 D) 3x (1 – x) 40. Reduce: W= 2 2 2 2

.

b

b

a

a

b

b









; a>0 A) b B) a C)

a

D)

b

E) 0 41. Simplifica: Z = (x2 _{+ x + 4) (x}2 _{+ x + 2) – (x}2 _{+ x + 8) (x}2 _{+ x –} 2) A) 8 B) 16 C) 24 D) 18 E) 43 42. Efectúa: E = (x2 _{+ 5x + 5)}2 _{– (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)} A) 7 B) 1 C) –2 D) 0 E) 3 43. Sea:

























2 2 3 3 2 2

1

1

3

1

1

2

1

1

yx

xy

y

x

xy

y

x

A

; xy 0 si se cumple: 9(x + y) =xy, calcule:

A

A) 1/9 B) 1/3 C) 3 D) 9 E) 1 44. Si: x +

x

1

_{= 4} halle: x2 _{+ x +} 2

1

x

+

x

1

A) 16 B) 18 C) 14 D) 10 E) 4 45. Si a + b = 5 y 2













b

a

b

a

= 11, halla ab. A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A. 46. Reduce (x2 _{–4x –1)}2 _–(x2_{– 4x–2)}2 _– 2 2 2 3

)

4

2

(

)

8

(

2







x

x

x

A) – 9 B) – 3 C) – 11 D) 0 E) 10 47. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d) N = (a + b + c – d) (b – a + c + d) A) ad + bc B) ad – bc C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 _{– b}2₎ 48. Si: a–1 _{+ b}–1 _{= 4(a + b)} –1 calcula: E =

b

a

b

a

a

b

b

a

2

2









A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. PRODUCTOS NOTABLES PRINCIPALES IDENTIDADES Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2 (a – b)2 _{= a}2 _{– 2ab + b}2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 _{+ (a – b)}2 _{= 2(a}2 _{+ b}2₎ (a + b)2 _{– (a – b)}2 _{= 4ab} Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 _{– b}2 Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 _{= a}3 _{+ b}3 _{+ 3ab(a + b)} (a – b)3 _{= a}3 _{– b}3 _{– 3ab(a – b)} Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 _{– ab + b}2_{) = a}3 _{+ b}3 (a – b) (a2 _{+ ab + b}2_{) = a}3 _{– b}3 Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x2 _{+ (a+b)x + ab} Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 _{= a}2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ 2(ab + bc + ac)} Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)3 _{= a}3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{+ 3(a+b) (b+c) (a+c)} (a+b+c)3_{= a}3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{+ 3(a+b+c)} (ab+bc+ac) – 3abc

(a+b+c)3_{= 3(a+b+c) (a}2_+b2_+c2_)–2(a3_{+ b}3 _+c3_{) + 6abc} Identidad trinómica (argand):

(x2 _{+ x + 1) (x}2 _{– x + 1) = x}4 _{+ x}2 _{+ 1} (x2 _{+ xy + y}2_{) (x}2 _{– xy + y}2_{) = x}4 _{+ x}2 _y2 _{+ y}4 Igualdades condicionales:´ Si: a + b + c = 0 , se cumple: i. a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 3abc} ii. a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= –2(ab + ac + bc)} iii. (ab + bc + ac)2 _{= (ab)}2 _{+ (bc)}2 _{+ (ac)}2 NOTA: Sean: a; b; c  y m; n  N Equivalencia de Gauss: PRACTICA BLOQUE I 1. Efectúa: E = (x2 _{+ 5x + 5)}2 _{– (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)} A) 7 B) 1 C) –2 D) 0 E) 3 2. Si: x +

x

1

_{= 4} halle: x2 _{+ x +} 2

1

x

+

x

1

A) 16 B) 18 C) 14 D) 10 E) 4 3. Si a + b = 5 y 2













b

a

b

a

= 11, halla ab. A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A. 4. Si: x2 _{+ 1 = –x halle: x}37 ₊ 49

1

x

A) 1 B) 0 C) –1 D) 2 E) 1/2 5. Reduce (x2 _{–4x –1)}2 _–(x2_{– 4x–2)}2 _– 2 2 2 3

)

4

2

(

)

8

(

2







x

x

x

A) – 9 B) – 3 C) – 11 D) 0 E) 10 6. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d) N = (a + b + c – d) (b – a + c + d) A) ad + bc B) ad – bc C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 _{– b}2₎ 7. Si: a–1 _{+ b}–1 _{= 4(a + b)} –1 calcula: E =

b

a

b

a

a

b

b

a

2

2









A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

8. Si a + b =

5

y ab = 3, halla el valor numérico de P =

b

a

b

a





5 5 A) – 5 B) 1 C) – 1 D) 5 E) 12 9. Si: a4x _{+ a}–4x _{= 34, calcula R = a}x _{– a}–x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A. 10. Si: A + B =

8

; A.B = 2 Halla A6 _{+ B}6 A) 8 B) –8 C) –16 D) 16 E) N.A. 11. Si: (a + b + c + d)2 _{= 4 (a + b) (c + d)} calcula: M =

c

b

a

d

b

d

c

a

d

c

b

a

















A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) –3 12. Si: x + x–1 ₌

₅

_{, calcula: x}6 _{+ x}–6 A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 13. Si: 2 2

1

x

x



= 3. halla: C = 3

x

10



x

10



2

A) 3 B) –3 C) 5 D) –2 E) 4 14. Si: xy = 1, halla: K = x

1

1

2 2





x

y

+ y

1

1

2 2





y

x

Además x ; y   x ; y > 0 A) 1 B) –2 C) 2 D) 0 E) ½ 15. Si: x2 _{+ 1 =}

₃

_x halle:

3

(2 +

3

)

_















1

2

1

₁₀ 5

x

x

A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) –2 BLOQUE II 16. Si: m + n + p = 0 Halla: 2 2 2 2 3 3 3

)

(

p

n

m

p

n

m





17. Calcula el valor de: E =













_

_























ab

c

ac

b

bc

a

ac

bc

ab

c

b

a

2 2 2 2 2 2 Para a =

5



3

b =

2



5

c =

3



2

18. Si se cumple: (x + y + z)2 _{= xy + xz + yz} calcula:

)

(

)

(

)

(

x

z

z

z

y

y

y

x

x

P











19. Calcula abc, sabiendo que: a + b + c = 15, a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 93,} a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 645} a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= ab + bc + ac  a = b = c}

a

3

_+b

3

_{+ c}

3

_{–3abc=(a+b+c)[a}

2

_+b

2

_+c

2

_{– (ab+bc+ac)]}

a2n _{+ b}2m _{= 0  a = b = 0}

20. Sabiendo que:



4

a



4

b

 

4

a



4

b



a



b



= – c Halle:

)

(

)

(

)

(

2 2 2 3 3 3

bc

ac

ab

abc

c

b

a

c

b

a













21. Si x; y , cumple la igualdad: 2x2 _{– 4x + 4 + y}2 _{– 2xy = 0} Dar el valor de:x

_y

3



₄

22. Dado: a + b + c = 1 ab + bc + ac = 0 Halle:

abc

ac

bc

ab

2 2 2

)

(

)

(

)

(





23. Si: x, y  z son números reales: x3 _{+ y}3 _{+ z}3 _{= 3xyz ; x + y + z  0} halla el valor de:

3 3 3 3

)

(

x

y

z

z

y

x









24. Si xy + yz + xz = 0 halla: E = 2 2 2 3 3 3 3 3 3

z

y

x

z

x

z

y

y

x





25. Reduce 2 3 3 3

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2

(









































a

b

c

b

c

a

c

b

a

a

b

c

b

c

a

c

b

a

26. Si: a + b = c b + c = a c + a = b reduce:

abc

a

c

c

c

b

b

b

a

a

3

)

2

(

)

2

(

)

2

(

3 3 3 3 3 3 3 3 3

_

_

_

_

_

27. Si: abc  0 y

a

bc

b

ac

c

ab

_

_

_{= a + b + c} Entonces halle: 21 7 7 7 7 7 7 77 77 77

)

(

.

)

(

a

b

a

c

b

c

abc

c

b

a









28. Si: a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 4abc} a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= (ab + ac + bc) + 1} Calcula: E = ac bc ab c a b b c a a b c

x

x

x

x

x

x









  

29. Dadas las condiciones:

a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 2 (a + b) (b + c) (a + c)} a + b + c = 1,

calcula el valor de:

bc

ac

ab

abc

M









1

5

BLOQUE III 30. Si: a = 3

2

+ 5; b = 2 – 5

2

; c = 2

2

– 7 Halla: M =

 

ab

c

ac

b

bc

a

2 2 4

2

)

2

(

4

_

_

A) 4 B) 3 C) 7 D) 12 E) 1 31. Sabiendo que: (x – y)2 _{+ (x – z)}2 _{+ (y – z)}2 _{= 0} calcula: 5 5 5 5

)

(

x

y

z

z

y

x









A) 9 B) 3 C) 1 D) 1/3 E) 1/9 32. Reduce:

)

(

)

(

)

(

9

)

(

)

(

)

(

3 3 3

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

















A) 1 B) 2 C) ½ D) 1/4 E) 1/3 33. Si: a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 2} ab + bc + ac = 3 halle: (a – b + c)2 _{+ (a + b – c)}2 _{+ (a – b – c)}2 A) 0 B) 1 C) 6 D) 2 E) 5 34. Efectuar abreviadamente: K = (x +

x

+ 1) (x –

x

+ 1) – (x – 1)2 A) x B) 2x C) 3x D) 4x E) 5x 35. Simplificar: (a, b, +₎

b

ab

a

b

ab

a

b

ab

a

_

_

_









2 2 A) a B) 0 C) b D)

ab

E)–2

ab

36. De las condiciones: a + b + c = 2 a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 8} Hallar el valor de:

N =

abc

bc

ac

ab





A) 1/3 B) 1 C) –1 D) 2 E) 1/2 37. Si: a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{= 0, además:} (a – b)2 _{+ (a – c)}2 _{+ (b – c)}2 _{= 36} halle:

ac

bc

ab

1

1

1





A) 1/3 B) –1/3 C) –1/6 D) 1/6 E) 1

38. Teniendo en cuenta que: a + b + c = 12, y a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{= 100,} halla ab + ac + bc A) 44 B) 20 C) 28 D) 22 E) N.A. 39. Si: (a + 2

ab

+ b)( a – 2

ab

+ b) = 0, calcula: E = 2 2 3 4 3

b

a

5b

a

b

a

ab

b

b

a











A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 40. Si a + b + c = 0 halla:

ab

c

ac

b

bc

a

2

_

2

_

2 A) 8 B) 6 C) 3 D) 0 E) N.A. 41. Si:

yz

x

xz

y

xy

z

_

_

= 1; x, y, z 

halla el valor de: E =

)

z

y

x

(

xyz

3

z

y

x

4 4 4









A) 1/2 B) 1/3 C) 1 D) –1 E) –1/3

42. Calcula el valor de: S =

)

xy

z

(

z

)

xz

y

(

y

)

yz

x

(

x

)

xy

z

(

z

)

xz

y

(

y

)

yz

x

(

x





















Para:

xy

z

xz

y

yz

x

_

_

= 1 A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) –2

43. ¿A qué equivale: a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{– 6abc?} Si se cumple:

a(a – b) + b(b – c) + c (c – a) = 0 A) –3abc B) a3 _{+ b}3 _{+ c}3 _{C) 0} D) (a+b+c)3 _{E) abc}

44. Halla el valor numérico de: x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{– 2xy – 2yz + 2xz}

Para: x =

2



3

; y =

2



5

;

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

FACTORIZACIÓN

(x+a)(x+b) = x

2

_+(a+b)x+ab

Multiplicación

FACTOR PRIMO

Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico sino admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo.

Ejemplo: 1 4 x ) x ( P   ) 1 x )( 1 x ( ) x ( P  2 2 fp ) 1 x ( fp ) 1 x ( fp ) 1 2 x ( ) x ( P    

Tiene 3 factores primos en R

# DIVISORES O FACTORES ... z . y . x P a b c #D=(a+1)(b+1)(c+1) … PRÁCTICA

01. Señalar la suma de los coeficientes de un factor de: 3 3 3 ) c 2 b a ( ) b 2 c a ( ) a 2 c b (         a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

02. Marcar el número de factores de: ) m p )( m p ( ) p n )( p n ( ) n m )( n m ( 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4         a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

03. 3. Marcar un factor de:

) y x ( z ) x z ( y ) z y ( x4   4   4  a)_x2_z2_y2_{xyxzyz} b) 2 2 2 z y x   c) xy + xz + yz d) x + y e) x + z

04. Señalar el coeficiente numérico que se obtiene al factorizar 5 5 5 5 ) z y x ( ) y z x ( ) x z y ( ) z y x (            a) 20 b) 80 c)5 d) 10 e) 15 05. Marcar un factor de:

2

x

3

x

2

x

2

x

3

x

2

5



4



3



2





a) x + 1 b) x + 2 c) 2x + 1 d) 2x – 1 e) x2x1

06. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor:

4

x

12

x

8

x

2

x

6



4



2





a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 07. Factoriza

2

3n



6



2

6n1

proporcionando como respuesta el valor numérico de un factor, para n = 2/3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08. ¿Cuánto vale A + B si el trinomio 4 2 2 4

By

y

x

42

Ax

3





es un trinomio cuadrado perfecto? a) 52 b) 35 c) 46 d) 63 e) 73

09. Señale el coeficiente de

"

x

2

"

que se obtiene en un factor de: 1 x 5 x 6 x x6 5 4 2 a) 3 b) -2 c) -3 d) 5 e) 1

10. Factorizar 10x39x24x1, dar como respuesta el producto de los coeficientes de un factor.

a) 2 b) 1 c) -1

d) -10 e) 10

11. Encontrar el coeficiente que aparece al factorizar: 2 2 2

)

a

c

(

)

c

b

(

)

b

a

(











a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 4

12. Cuántos factores posee:

4 x 8 x 5 x x 4 x 4 x7 6 5 3 2  a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

13. Calcular la suma de coeficientes de un factor de: 1 x x x x 2 5 4 3  a) 1 b) -2 c) -3 d) 3 e) -1

14. Marcar el coeficiente de “x” en un factor de: 1 x x 2 x5  2   a) 3 b) 0 c) -2 d) 2 e) -1

15. Marcar un factor de: 1 2 x 25 x   a) x2x1 b) x2x1 c) x2x1 d)x2x1 e) x3x21 16. Determinar m si: 15 x 23 mx 3 x y 6 x 11 mx 2 x 2 3 2 3      

Tienen 2 factores comunes

a) 5 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

17. Marcar la suma de coeficientes de un factor: 3 2 2 3 _{3a 5ab 2b b} a     a) 5 b) -2 c) -4 d) 4 e) 2

18. Señalar un factor de:

x(2x + 1) + y(2y + 1) + 4xy

a) 2x + 2y + 3 b) 2x + y c) x + 2y d) x + y + 1 e) 2x + 2y + 1

19. Marcar el valor de “a” para que el polinomio se pueda descomponer en 2 factores lineales.

) a 1 ( y ) 4 a ( y ) 1 a ( x 3 2  2    a) 2 b) 4 c ) -2 d) -4 e) 3

20. Señalar uno de los factores

                     3 3 3 3 3 3 3 3 b a ) b a 2 ( b b a ) b 2 a ( a a) a – b b) a – 2b c) 2a – 3b d) 2a + b e) a + b

21. Señale uno de los factores de:

2 2 2 2 ) 2 x 9 x 2 ( ) 3 x 9 x 6 (      a) 2x + 1 b) 3x + 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 4x – 2 22. Reducir: ) 4 x 3 )( 2 x 3 ( 9 x 27 ) 1 x 3 ( M 3       a) 3x b) 2x – 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 3x – 1 23. Simplifica: 2 2 4 2 2 4 b ab a b b a 3 a E      a) a2abb2 b) a2ab c) a(a + b) d)a2abb2 e)a2abb2

24. Indicar cuántos factores primos tiene: 5 2 2 4 3 2 2 ) y x ( ) 1 y ( ) 2 x ( y x 4 ) y ; x ( P     a) 6 b) -10 c) 5 d) 0 e) 4 25. Si el polinomio: 0 abc ; c bx acx ax ) x ( P  3 2  

Tiene como factor a f(x) = x – c. Calcular el valor de b.

a) -1 b) 3 c) 18

d) -2 e) 0,5

26. Indicar la suma de los coeficientes de los factores primos de: ) b a ( c ) a c ( b ) c b ( a ) c ; b ; a ( P  2   2   2 

a) -8 b) 0 c) 12

d) 8 e) -1

27. Indicar un factor primo de:

y 12 x 9 ) y 8 x 6 ( ) y 4 x 3 ( ) y ; x ( F   3  2  a) 3x – y b) 4y – 3 c) -1xy d) 3x + 4y e) 3x – 4y

28. Hallar la suma de los factores primos del polinomio: 2 2 2 2 2 2 4 ) v u ( z ) v u ( 2 z ) z ( P      a) 2u b) 2z c) 4z d) 3uv e) 2 v

29. Cuántos factores primos admite el polinomio Q(x)= (x+2)(x+3)(x+4)+(x+3)(x+4)–x–4

a) 2 b) x + 2 c) 6x

d) 0 e) 6

x

30. Indicar el número de factores primos de:

) 2 y 5 y 3 ( ) 5 y 7 ( x x 2 ) y ; x ( P  2   2  a) 6 b) 2 c) 1 d) 0 e) 12 31. Factorizar: ) 2 x ( 3 ) 1 x ( x 4 x ) x ( P  4 2    , e

indicar la menor suma de coeficientes de un factor primo. a) -3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 0,5 32. Factorizar: 20 x 9 2 x 21 3 x 9 4 x ) x ( P     

Si F(x) representa la suma de los factores primos de P(x). Indicar un factor de F(x). a) x22x8 b) x22x6 c) x + 12 d) 9x – 14 e) -2x + 5 33. Factorizar: 2 a 3 2 a 8 3 a 12 ) a ( F     ; luego indicar el

número de factores lineales

a) 18 b) 6 c) 3 d) 0 e) 7 34. Al factorizar el polinomio: 9 2 x 3 4 x 3 6 x ) x ( P     Se obtiene: ) 3 b 2 x 2 b 4 x 1 b )( 3 a x 2 a 2 x 1 a ( ) x ( P      Calcula: 3 b 2 b 1 b 3 a 2 a 1 a     a) -3 b) -5 c) 8 d) -2 e) 0

35. Halla la suma de factores primos lineales de:

6 b 27 3 b 3 a 215 6 a 8 ) b ; a ( P    a) 3b – a b) 3a – 2b c) 3ab d) -8b e) _105ab3

36. Factorizar los polinomios:

2 a 2 x ) 1 a 3 ( 2 x ) 1 a ( ) x ( P       2 x ) 1 a 2 ( 2 x ) 1 a ( ) x ( P     

y calcular el valor de “a” si la suma de los factores no comunes es: 6x + a. a) 1 b) 0 c) 12 d) 3 e) 5 37. Los trinomios: 3 bx x ) x ( g 6 ax x ) x ( f 2 2      

admiten un factor común de la forma (x+c). Hallar el valor de ac – bc. a) 3 b) 2 c) 11 d) 4 e) -5 38. Luego de factorizar:

)

4

x

(

6

1

x

)

x

(

P



4





2



indique el término lineal de un factor primo a)



4

x

2 b) 4x ó –4x c)

9

x

4

d)

6



x

4 e) 12x

39. Señale el factor primo de menor suma de coeficientes del polinomio:

16 x 12 x ) x ( P  8 4 a) x42x24 b) x2x2 c) x36 d) x22x4 e) 3 x 6 

40. Sabiendo que el polinomio:

1 x 2 x ) x ( F    es un factor de: c bx 2 ax 7 x ) x ( P     Calcula: 1 bc 1 2 b 2 a    a) 8ab b) 4b c) 2 d) 1 e) 5 41. Si: a + b + c + d =33; {a, b, c, d} 

Z

 y el polinomio:

7

dx

x

6

)

x

(

P



2





es factorizable por aspa simple, tal que:

6x

2

_{+ dx + 7}

3x a

bx c

indicar la suma de los factores primos.

a) 5x – 8 b) 5x + 8 c) x – 8 d) 2x – 8 e) 6x + 8

42. Señale la suma de coeficientes de uno de los factores primos en:

81

x

9

x

)

x

(

P



4



2



a) 12 b) 16 c) 13 d) 4 e) 27

43. Indique un factor de:

6

a

a

7

a

a

)

a

(

R



4



3



2





a) a – 14 b) -1 c) 2 a 7 d) 6 – a e) a + 1 44. Factorizar: ax – a + bx – b a) (x + 1)(a – b) b) (x – 1)(a – b) c) (x – 1)(a + b) d) (x + a)(x – b) e) (ax – 1)(bx + 1) 45. Factorizar: ax + x – a – 1 a) (x + 1)(a – 1) b) (x – 1)(a + 1) c) (x – 1)(a – 1) d) (x – a)(x + 1) e) (x + 1)(1 – a) 46. Indicar un factor primo de:

ax

x

ab

bx





2



a) a +x b) x2b c) b –x d) x – a e)x2a

47. Señale un factor primo de: x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1

a) a + 1 b) x + y c) x + y + 1 d) x – y –1 e) x + y – 1

48. Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de:

P(x)  (x+2) + (x+2)(x+3) + (x-1)(x+2) a) 8 b) 5 c) 2 d) 4 e) 7 49. Luego de factorizar:

b

a

bc

ac

ab

2



2



2



2 Señale un factor a) b + c b) 2 c a c)bc2 d) a + b + c e) 2 c ab

50. Señale la suma de los términos independientes de los factores primos de:

2am – 2an + 2a – m + n – 1

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) 3

51. Indicar un factor primo de:

(3x+2)(x+y-1) + (3x+2)(1-x+y)-2-3x a) 3x – 2 b) 2y + 1 c) 2x – 1 d) 2y – 1 e) 2x + 1 52. Factorizar:

x

2



4

xy



4

y

2 a) (x + 2y)(x – 2y) b) 2 ) y 2 x (  c) 2 ) y x 2 (  d) (x2y)2 e) (x + 2)(y – 2)

53. Hallar la suma de los factores primos de: 2 2 c ) b a (   a) 2(a + b + c) b) 2(a + b – c) c) 2(a + b) d) 2a + b e) 2a +2b – c

 ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. FACTORIALES COEFICIENTE BINOMIAL BINOMIO DE

NEWTON BLOQUE I 01. Al efectuar )! 3 n ( )! 1 n ( )! 1 n ( )! 2 n (     se obtiene: a)

2

1





n

n

_b)

)

1

(

2





n

n

n

c) 1 2   n n _d)

2



n

n

e) 1 ) 1 (   n n n 02. Sabiendo que: )! 5 x ( )! 6 x ( )! 5 x ( )! 7 x (      = 15! El valor de “x” es: a) 7 b) 11 c) 13 d) 9 e) 15

03. El valor natural de “n” que verifica )! 2 n ( 99 ! n )! 1 n ( ! n . )! 1 n (      , es: a) 10 b) 3 c) 5 d) 8 e) 13 04. Al simplificar 80 ... . 33 . 32 . 31 80 ... . 22 . 21 . 20 se obtiene: a) 80! – 19! b) 80! – 30! c) 19!/30! d) 19! e) 30!/19! 05. Al simplificar E = ! n n ! n )! 1 n ( 1 ! n

)

!

n

(

]

)!

1

n

[(

]

)!

1

n

[(

n





  se obtiene: a) 1/n b) n+1 c) n-1 d) n e) 1

06. El valor de “n” que satisface la ecuación )! ! ( )! ! ( ! 5 ! 119

!

6

!

719

)

!

720

(

n n

x



es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 07. Si se cumple la igualdad b ] )! ! a [( )! 1 ! 120 ( )! )! ! 5 (( )! 1 ! 120 ( _    , entonces el valor de “a + b” es:

a) 5 b) 3 c) 8 d) 4 e) 7 08. El equivalente de )! )! )! ! 3 ((( )! )! ! 4 (( )! 1 ! 5 ( )! ! 24 ( )! ! 5 ( )! )! ! 6 ((  es: a) 2! b) 3! c) 4! d) 5! e) 6! 09. Si: 70 )! 2 ( ! )! 2 2 ( )! 2 ( _    n n n n entonces el valor de “n” es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10. El valor de “x” que verifica la igualdad:

x+2

+

x+1

+

x

x+2

-

x+1

-

x

= 1,1

_es:

a) 20 b) 18 c) 15 d) 22 e) 14 BLOQUE II

11. Si: Cn₂ =10, entonces el valor de “2n – 1”, es: a) 5 b) 15 c) 13 d) 9 e) 7 12. Si “n” verifica

4

.

1 3 2 4 2

n

C

C

C

n n n



  ; entonces el valor de

n

2



1

, es:

a) 20 b) 28 c) 32 d) 24 e) 35

13. Si:

C

18_x



C

18_x2 . El valor de “x” es: a) 4 b) 6 c) 2 d) 10 e) 8 14. Simplificando 21 14 21 7 21 14

3

12

6

C

C

C



se obtiene: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15. Calcula “x” en: 21 x 2 21 21 x 2 22 x 21 2 x 21 1 x 22 2 x 20 C C C C C C           a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 21 16. Al reducir _                                 r 1 n 1 r n 1 r 1 n 1 r 1 n se obtiene: a) _       r 2 n b) _        2 r 3 n c) _        1 r 2 n d) _        2 r 2 n e) 1 r 1 n C   17. El valor de “n” en la igualdad: 1331 C C C 4 n₃1 n₃ n₃2 es: a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 13 18. El valor de “x” en la igualdad:        _        _     2 54 x 61 54 x 59 2 54 7 x 54 5 x C C C C 7 x 54 C . x 59 54 C 4   es: a) 28 b) 33 c) 22 d) 35 e) 25

19. El valor de “n” en la siguiente igualdad: 1 n 3 n 4 5C C 2   , es: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5 20. Al reducir n 1 n n n n 3 n 4 n 2 n 3 n 1 n 2 n 1 C C n ... C C 4 C C 3 C C 2 1 C       se obtiene: a) 2n(n-1) b) 2 ) 1 n ( n  c) 2 ) 1 n ( n  d) 6 ) 1 n 2 )( 1 n ( n   e)

n

3



1

21. El valor de “m+n” en la igualdad: 3 m 3 n 2 m 8 m 7 m 6 m 5 2C C C C C      _ es: a) 24 b) 20 c) 28 d) 32 e) 16 BLOQUE III

22. Si la suma de los coeficientes del desarrollo de 10 n 4 3 2 _{3y )} x 7

(   es igual a la suma de los coeficientes de la expansión de (3z2w3)8n. Calcula el número de términos de la potencia de

n 3 5 _{2y )} x (  . a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

23. Encontrar el coeficiente del término que admite a 20

x

como parte literal en la expansión de: 12 3 x 1 x _       a) 375 b) 415 c) 495 d) 525 e) 604

24. Encuentra el valor de “n” para que el

t

₄ del desarrollo de (x2y)n contenga a:

x

10 .

a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14

25. Halla el valor de “n”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos 6to y 16mo del desarrollo de (x4yn)2m es 10.

a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8 26. En la expansión de n 3 / 1 3

x

x

_













 , la

suma de todos los coeficientes es igual a 128. Halla el coeficiente que contiene a

x

5.

a) 40 b) 28 c) 46 d) 35 e) 22

27. Encontrar al término que no contiene a “x” en la expansión de: 9 4_x 1 x          a) 6 b) 7 c) 11 d) 8 e) 4