1
Representació gràfica de funcions
Concepte de funció ... 2
El llenguatge de les funcions ... 4
Domini i recorregut d’una funció ... 4
Característiques generals de la gràfica d’una funció ... 8
Punts d’intersecció amb els eixos ... 8
Continuïtat ... 10 Signe ... 10 Creixement i decreixement ... 11 Variació mitjana ... 11 Màxims i mínims... 12 Periodicitat... 12 Simetries ... 13
Estudi d’algunes famílies de funcions... 15
Funcions linials o de proporcionalitat directa. ... 15
Funcions de proporcionalitat inversa ... 16
Funcions quadràtiques ... 18
Funcions exponencials ... 20
Funció traslladada d’una funció... 21
Coneixement Curs d’ESO Unitat
2
Concepte de funció
Les funcions s’utilitzen com a models que permeten interpretar fenòmens en els quals intervenen dues magnituds que es relacionen entre elles, de manera que a cada valor d’una d’aquestes magnituds li correspon un únic valor de l’altra.
En general, cadascuna de les magnituds que relaciona una funció pot prendre diferents valors. Per aquest motiu, anomenem variables aquestes magnituds. Cal diferenciar entre variable independent i variable dependent: la variable independent pot prendre, en principi, qualsevol valor, mentre que cada valor de la variable dependent és condicionat pel valor corresponent a la variable independent.
Per determinar una funció cal tenir informació relativa a la llei o la regla que permet establir el valor de la variable dependent que correspon a cada valor de la variable independent. Aquesta informació es pot expressar a partir de:
Un text: Descriu la funció mitjançant paraules.
Una expressió algèbrica: Descriu la relació mitjançant una fórmula
matemàtica. Hi ha, però, funcions que no es poden expressar algèbricament.
Una taula de valors: Proporciona alguns parells de valors que es
corresponen mitjançant la funció.
Una gràfica: Dóna una visió qualitativa, ràpida i global del comportament de
les dues variables.
Vegem-ne un exemple concret. • Text
Analitzem la relació que assigna a la longitud del costat d’un quadrat la mesura de la seva superfície.
• Expressió algèbrica
La relació de dependència entre dues variables s’anomena funció si per a cada valor que pot prendre la variable independent existeix un únic valor de la variable dependent.
3
Considerem un quadrat qualsevol. Si representem per c la longitud del costat d’aquest quadrat i per S la mesura de la seva superfície, sabem que es verifica S(c) = c2. És a dir, el valor de S depèn del valor de c: c és la variable independent i S, la variable dependent.
En el llenguatge de les funcions, escrivim S(c) = c2, igualtat que constitueix l’expressió algèbrica d’aquesta funció.
• Taula de valors
Donem a la variable independent c uns quants valors arbitraris i calculem els valors corresponents de S(c) utilitzant l’expressió algèbrica de la funció. Els resultats obtinguts s’expressen en forma de taula: la taula de valors de la funció. c (cm) S(c) = c2 (cm2) 0,5 0,25 1 1 1,5 2,25 2 4 2,5 6,25 3 9
Com que c i S representen dues magnituds concretes, cal especificar-ne les unitats. Per exemple, si c s’expressa en centímetres, S s’expressarà en centímetres quadrats.
• Gràfica
Representem els parells de valors que hem obtingut en la taula anterior en un sistema de referència cartesià, de manera que cada parell ens proporciona un punt de la gràfica de la funció.
En l’eix d’abscisses es col·loca la variable independent, i en el d’ordenades, la variable dependent.
Fixa’t que podem unir mitjançant un traç curvilini continu els punts que hem assenyalat en la gràfica, ja que tant la variable independent com la dependent poden prendre qualsevol valor numèric real positiu.
4
El llenguatge de les funcions
La funció que hem analitzat en l’apartat anterior relaciona els valors de dues magnituds concretes: la longitud del costat d’un quadrat i la mesura de la superfície d’aquest quadrat.
Ara bé, en general, es poden considerar funcions que estableixin relacions entre nombres reals. En aquest cas, es representa per y la variable dependent i per x la variable independent. Es diu que y depèn de x, o, amb més rigor, que y és funció real de variable real x, si a cada valor real de x li correspon un únic valor també real de y. S’expressa y =f x( ).
( )
f
x→ =y f x
La igualtat y =f x( ) constitueix l’expressió algèbrica de la funció i indica que la variable y depèn de la variable x. Quan es coneix un parell de valors (x, y) que es corresponen en una funció f (x), es diu que y és la imatge de x, o que
x és l’antiimatge de y. És important tenir en compte que cada valor de x té una sola imatge, però és possible que hi hagi valors de y que tinguin més d’una antiimatge.
Domini i recorregut d’una funció
L’àrea d’un rectangle depèn de les seves dimensions. Si representem per A l’àrea del rectangle i per b i a les dimensions, podem escriure la igualtat: A = b a.
5
2b+2a=12→ + =b a 6
Aquesta última igualtat ens permet expressar l’àrea del rectangle en funció d’una sola de les seves dimensions, per exemple, la dimensió b:
6
a= −b
2
(6 ) 6
A= ⋅ =b a b −b = b−b
Podem, doncs, afirmar que l’expressió algèbrica de la funció que relaciona l’àrea A de qualsevol rectangle de 12 cm de perímetre amb una de les seves
dimensions b és:
2
( ) 6
f b = b−b
La variable independent b s’expressa en centímetres, i la variable dependent A = f (b), en centímetres quadrats.
Elaborem una taula de valors de la funció i la representem gràficament.
b (cm) A (cm2) 0,1 0,59 0,5 2,75 1 5 2 8 3 9 4 8 5 5 5,5 2,75 5,9 0,59
Quins valors numèrics pot prendre la variable independent b?
N’hi ha prou que observem la gràfica de la funció per adonar-nos que s’ha de verificar 0 < b < 6. És lògic que sigui així, ja que:
– Per a b = 0 i per a b = 6, A = 0, és a dir, no hi ha rectangle.
– No tenen sentit els valors de b negatius, ja que b representa una longitud.
– Si b > 6, A < 0, la qual cosa tampoc no té sentit, perquè A representa la
6
Quins valors numèrics pot prendre la variable dependent A?
També a partir de la gràfica, pots observar que es compleix que 0 < A ≤ 9. Fixa’t que, de tots els rectangles de 12 cm de perímetre, l’àrea del més gran és 9 cm2, i correspon al rectangle en què b = a = 3 cm, és a dir, un quadrat.
En definitiva, el domini de la funció f b( )=6b−b2que estem analitzant és constituït per tots els nombres reals b que verifiquen 0 < b < 6, mentre que el recorregut el formen els nombres reals A que compleixen 0 < A ≤ 9.
La funció f b( )=6b−b2 relaciona dues magnituds concretes, l’àrea i una
dimensió d’un rectangle del qual coneixem el perímetre. El fet que aquestes dues magnituds no puguin prendre valors numèrics negatius, juntament amb el valor numèric assignat al perímetre, fa que el domini i el recorregut d’aquesta funció siguin els que hem deduït anteriorment.
Ara bé, com hem comentat abans, podem considerar una funció ( )f x que relacioni nombres reals en general i que, a més a més, tingui una expressió algèbrica idèntica a la de la funció que hem analitzat. La podem definir d’aquesta manera: ( )f x és la funció que assigna a cada nombre real x el resultat de fer-hi les operacions següents: 6x−x2.
Ho expressem: f x( )=6x−x2.
Elaborem una taula de valors de la funció i la representem gràficament. Atès que x representa un nombre real i que les operacions que s’indiquen en l’expressió algèbrica de la funció donen sempre com a resultat un altre nombre real, no tenim cap limitació a l’hora de donar valors a la variable independent.
Els valors numèrics que pot prendre la variable dependent d’una funció en formen el recorregut.
Els valors numèrics que pot prendre la variable independent d’una funció constitueixen el domini d’aquesta funció.
7 x y –2 –16 –1 –7 0 0 1 5 2 8 3 9 4 8 5 5 6 0 7 –7 8 –16
En aquest cas, el domini de la funció ( )f x és format per tots els nombres reals, mentre que el recorregut el constitueixen els nombres reals que són més petits o iguals que 9.
Les dues funcions que acabem d’estudiar tenen la mateixa expressió algèbrica i, en canvi, no tenen ni el mateix domini ni el mateix recorregut. Per què passa això?
En general, quan una funció és determinada per una llei o una regla que no estableix cap restricció per a la variable independent, hem d’entendre que el seu domini és el conjunt numèric més ampli en què es pot aplicar aquesta regla. Ara bé, quan la funció és el model que representa algun fenomen, el domini és condicionat pel significat de la variable independent. Aleshores, cal tenir en compte el context en què està definida la funció a l’hora de determinar-ne el domini.
Vegem un altre exemple: ( )f x =3x−2
Les operacions indicades en l’expressió algèbrica de la funció ens permeten afirmar que la imatge corresponent a qualsevol nombre real és sempre un altre nombre real. Per tant, el domini d’aquesta funció el formen tots els nombres reals.
8
En la figura pots observar la recta que s’obté en representar gràficament la funció. Com pots comprovar, qualsevol nombre real té antiimatge; en conseqüència, el recorregut de la funció és format per tots els nombres reals.
Característiques generals de la gràfica
d’una funció
El coneixement de la gràfica d’una funció permet interpretar de manera ràpida i senzilla el comportament d’aquesta funció, tot i no tenir-ne l’expressió algèbrica.
La gràfica sol ser suficient per disposar de la informació descriptiva del fenomen que s’analitza.
Tot seguit, esmentarem i comentarem breument algunes de les característiques més rellevants que pot presentar la gràfica d’una funció.
Punts d’intersecció amb els eixos
Com el seu nom indica, són els punts en què la gràfica de la funció talla els eixos de coordenades.
La gràfica de la funció ( )f x de la figura talla l’eix de les abscisses en els punts (–2, 0) i (2, 0), i talla l’eix de les ordenades en el punt (0, –4). En canvi, la gràfica de la funció ( )g x de la mateixa figura no té cap punt d’intersecció amb els eixos de coordenades.
9
En cas que es conegui l’expressió algèbrica y =f x( ) d’una funció, resulta molt senzill determinar-ne els punts d’intersecció amb els eixos. N’hi ha prou que tinguem en compte que:
– Tots els punts de l’eix de les abscisses tenen l’ordenada nul·la, y = 0. – Tots els punts de l’eix de les ordenades tenen l’abscissa nul·la, x = 0.
Per tant, es procedeix de la manera següent:
– Eix de les abscisses: els valors de x dels punts de tall es determinen fent y = 0 en l’expressió y =f x( ) , és a dir, resolent l’equació ( )f x =0 . Si aquesta equació no té solució, la gràfica de la funció ( )f x no talla l’eix de
les abscisses.
– Eix de les ordenades: el valor de y es determina calculant (0)f . Si x = 0 no
pertany al domini de la funció, la seva gràfica no talla l’eix de les
ordenades.
Ho apliquem al cas particular de la funció
( ) 6 3 f x = − x. – Eix OX: 0 ( ) 0 6 3 0 6 3 2 (2,0) y= →f x = → − = → = → = →x x x – Eix OY: 0 (0) 6 (0, 6) x = →f = →
Com que es tracta d’una funció linial, els dos punts que hem determinat ens permeten representar gràficament la recta corresponent.
10
Continuïtat
Des d’un punt de vista intuïtiu, podem afirmar que una funció és contínua si en podem dibuixar la gràfica amb un sol traç, és a dir, sense aixecar el llapis del paper en què representem la funció.
En la figura pots observar la gràfica de tres funcions: la funció ( )f x és contínua i les funcions ( )g x i ( )h x no són contínues. En el cas de la funció
( )
g x , el trencament de la continuïtat es produeix en x = 0, ja que aquest valor de x no té imatge, és a dir, no pertany al domini de la funció. Per a la funció
( )
h x , la continuïtat es trenca en x = –2 i en x = 3, perquè, malgrat que
( 2) 2
h − = i (3)h =4, és a dir, x = –2 i x = 3 pertanyen al domini de la funció,
observem que la gràfica de ( )h x fa un salt en el punt (–2, 2) i en fa un altre en
el punt (3, 4).
Observa la simbologia que hem utilitzat en el cas de la gràfica de la funció ( )
h x : un punt “ple” significa que pertany a la gràfica de ( )h x , mentre que un
punt “buit” vol dir que no hi pertany.
Signe
Sempre que els valors d’una funció tenen signe positiu, ( )f x >0, la gràfica d’aquesta funció es troba representada per damunt de l’eix de les abscisses. En cas que els valors de la funció tinguin signe negatiu, ( )f x <0, la seva gràfica se situa per sota de l’eix de les abscisses.
Fixa’t en la gràfica de la funció f x ( ) representada en la figura. Es tracta d’una funció que:
– És positiva per als valors reals de x que
11
– És negativa per als valors reals de x que compleixen que x < –4, o bé, x > 2.
Fixa’t que ( 4)f − =f(2)=0. Si la funció ( )f x és contínua, pot canviar de signe en
els valors de x en què ( ) 0f x = , com succeeix en aquest cas.
Creixement i decreixement
Una funció és creixent si les variables x i y presenten el mateix tipus de variació, és a dir, si un augment de x implica sempre un augment de y, o, a l’inrevés, una disminució de x provoca sempre una disminució de y.
Una funció és decreixent si succeeix el contrari: quan x augmenta, y disminueix, o, a l’inrevés, quan x disminueix, y augmenta.
La funció ( )f x representada en la figura és una funció creixent, mentre que la
funció ( )g x és decreixent. En canvi, la funció ( )h x no es comporta de la
mateixa manera en tot el seu domini: és decreixent per a x < 3 i és creixent per a x > 3.
Variació mitjana
En el llenguatge de les funcions expressem el concepte de velocitat mitjana, de la manera següent:
Si per a un moviment determinat coneixem els valors d = f (t) corresponents a l’interval de temps [t1, t2], la velocitat mitjana del mòbil s’expressa:
2 1 2 1 ( ) ( ) m f t f t v t t − = −
De manera semblant, podem calcular la variació mitjana d’una funció en un interval.
12
Es tracta de trobar el quocient entre el que varia la funció i el que varia la variable en aquest interval.
Considerem la funció f(x) = –x2 + 6x – 8. Quina és la variació mitjana d’aquesta funció en l’interval [0, 2]?
(2) (0) 0 ( 8) 4 2 0 2 m f f v = − = − − = −
El valor 4 que hem obtingut indica que la funció augmenta 4 vegades el que augmenta la variable independent i la funció és creixent en aquest interval. En general, atesa una funció y = f (x), s’anomena variació mitjana de la funció en l’interval [x1, x2] el resultat del quocient:
2 1 2 1 ( ) ( ) f x f x x x − −
En aquest quocient, el denominador és sempre positiu, per tant, el signe del quocient depèn del numerador, que si la funció és decreixent, f (x1) < f (x2),
donarà una variació mitjana negativa.
Màxims i mínims
Fixa’t en la gràfica de la funció f(x) que hem representat en la figura. Es tracta d’una funció que:
– És decreixent per a x < –1. – És creixent per a –1 < x < 3. – És decreixent per a x > 3.
Observa que, en x = –1, la funció passa de ser decreixent a ser creixent de manera contínua. Ho expressem dient que ( )f x presenta un mínim en el punt de coordenades (–1, –3). D’altra banda, en x = 3, la funció passa, també de manera contínua, de ser creixent a ser decreixent: ( )f x presenta un màxim
en el punt de coordenades (3, 4).
Periodicitat
Observa la gràfica de la funció y = f (x) de la figura: resulta de la successiva repetició d’una de les seves parts. Això succeeix
13
perquè els valors que pren la funció també es van repetint, i ho fan sempre de manera regular.
La funció f (x) compleix que:
(0) (3) (6) (9) 0
f =f =f =f =K=
I per a un valor x qualsevol del seu domini:
( ) ( 3) ( 6)
f x =f x+ =f x+ =K
És a dir, els diferents valors que pren la funció es repeteixen cada 3 unitats de la variable independent.
Les funcions que tenen aquest tipus de comportament s’anomenen funcions periòdiques, i el nombre real que determina cada quantes unitats de la variable independent es repeteixen els valors de la funció és el període. El període d’una funció periòdica se sol representar per T. Per a aquesta funció T = 3.
Simetries
En el cas de la gràfica d’una funció, analitzarem dos tipus de simetria: la simetria respecte de l’eix de les ordenades i la simetria respecte de l’origen de coordenades.
La primera és una simetria axial, mentre que la segona és una simetria central.
Observa amb atenció la figura de l’esquerra.
Els punts A i A’ són simètrics respecte de l’eix de les ordenades perquè aquesta recta és la mediatriu del segment AA’. Fixa’t que si les coordenades del punt A són (a, b), les del punt A’ són (–a, b).
Els punts B i B’ són simètrics respecte de l’origen de coordenades perquè aquest punt és el punt mitjà del segment BB’. Si les coordenades del punt B són (c, d), les del punt B’ són (–c, –d).
14
La gràfica d’una funció és simètrica respecte de l’eix de les ordenades si, per a cadascun dels punts que la componen, conté també el seu simètric respecte d’aquest eix.
És el cas de la gràfica de la funció
2
( ) 2
f x =x + que hem representat en la figura. Fixa’t que: 2 ( ) 2 f x =x + 2 2 ( ) ( ) 2 2 f − = −x x + = x + Per tant, ( )f x = −f( x)
Aquesta igualtat es compleix per a qualsevol valor de x, ja que el domini de la funció ( )f x és format per tots els nombres reals.
La gràfica d’una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades si, per a cadascun dels punts que la componen, conté també el seu simètric respecte del punt O.
En la figura hem representat la gràfica de la funció
3
( )
f x =x , el domini de la qual és constituït per tots els nombres reals. Qualsevol valor x real verifica que:
3
( )
f x =x i f(− = −x) ( x)3 = −x3
15
Estudi d’algunes famílies de funcions
En aquest apartat revisarem les característiques més importants d’algunes famílies de funcions.
Funcions linials o de proporcionalitat directa.
L’expressió algèbrica general de les funcions linials, també conegudes amb el nom de funcions de proporcionalitat directa , és del tipus f(x) = mx, en què m representa un nombre real.
Les funcions lineals estan definides per a qualsevol valor de la variable x. En conseqüència, el domini de qualsevol d’aquestes funcions el formen tots els nombres reals.
Les funcions del tipus f(x) = mx serveixen com a model per expressar la relació que hi ha entre dues magnituds que són directament proporcionals.
El nombre real m f x( ) x
= , x≠0, és la constant de proporcionalitat.
En representar gràficament una funció lineal f(x) = mx, s’obté sempre una recta que passa per l’origen de coordenades i que té per equació y = mx. La inclinació d’aquesta recta respecte de l’eix de les abscisses és determinada pel valor de m, que s’anomena pendent de la recta.
Si P(x1, y1) és un punt de la recta que resulta de representar la funció
f(x) = mx, es verifica la igualtat y1 = mx1, i, a
més a més, si P no és l’origen de
coordenades, podem escriure que 1
1 y m
x
= .
D’altra banda, si et fixes en el triangle rectangle assenyalat en la figura, es
compleix que 1
1
tg y
x
α = , en què α és l’angle que forma la recta amb l’eix d’abscisses considerat en sentit positiu.
En definitiva, si 1 1 y m x = i 1 1 tg y x
α = , és evident que m = tgα. En el cas d’aquesta figura, m > 0.
16
Si l’angle α verifica 90° < α < 180°, es defineix tg α = –tg β, en què β és l’angle suplementari de l’angle α, és a dir, es compleix que α + β = 180°. En aquest cas, si P(x1, y1) és un punt de la recta,
tenim que: 1 1 tg tg y m x = α = − β = , m < 0
Si m = 0, f(x) = 0. Es tracta d’una funció lineal molt particular: la que té per representació gràfica la
recta que coincideix amb l’eix de les abscisses, l’equació de la qual és y = 0. En aquest cas, α = 0°. Per tant, m = tg α = tg 0° = 0.
Funcions de proporcionalitat inversa
Són les funcions l’expressió algèbrica de les quals és del tipus ( )f x k x
= , en què k representa un nombre real no nul.
Com que no és possible la divisió entre zero, el número real x = 0 no té imatge i, per tant, el domini de les funcions de proporcionalitat inversa és format per tots els nombres reals excepte zero.
Les funcions ( )f x k x
= serveixen de model per establir la relació que hi ha entre dues magnituds que són inversament proporcionals.
En representar gràficament una d’aquestes funcions, s’obté sempre una corba que s’anomena hipèrbola equilàtera.
En les figures següents, hem representat gràficament les funcions f x( ) 4
x = i 6 ( ) g x x
= − . Prèviament, n’hem elaborat les taules de valors corresponents, hem representat els punts obtinguts en un sistema de referència cartesià i, finalment, els hem unit mitjançant un traç curvilini continu.
El pendent d’una recta coincideix amb la tangent de l’angle que forma aquesta recta amb l’eix d’abscisses considerat en sentit positiu.
17 x f(x) –8 1 2 − –4 –1 –2 –2 –1 –4 1 2 − –8 1 2 8 1 4 2 2 x g(x) –6 1 –3 2 –2 3 –1 6 1 –6 2 –3 3 -2 6 -1 Fixa’t que:
– Cap de les dues funcions no és contínua en x = 0, ja que no existeix ni f(0) ni g(0).
Per tant, ni el gràfic de la funció f(x) ni el de la funció g(x) tallen l’eix de les ordenades.
18 – Les equacions 4 0 x = i 6 0 x
− = no tenen solució, és a dir, el número real zero no té en cap dels dos casos antiimatge. Les gràfiques d’aquestes funcions tampoc no tallen l’eix de les abscisses.
– La funció f(x) és decreixent en la part del domini de x < 0 i en la part del
domini de x > 0, mentre que la funció g(x) és creixent en cadascuna de les
dues zones del seu domini.
El fet que una funció del tipus ( )f x k x
= sigui creixent o decreixent només depèn del signe de la constant k. El que succeeix en l’exemple que acabem
de veure es pot generalitzar: si k > 0, la funció és decreixent, i si k < 0, la
funció és creixent.
Funcions quadràtiques
Les funcions quadràtiques o de segon grau, s’anomenen així perquè l’exponent més gran de la variable independent és 2. A continuació explicarem les seves principals característiques.
La funció quadràtica més completa té una expressió general del tipus
f(x) = ax2 + bx + c, en què a, b i c són els valors numèrics dels coeficients, i
en què a no pot ser zero.
El domini de les funcions quadràtiques és constituït per tots els nombres reals, ja que sempre és possible calcular el valor numèric de l’expressió polinòmica de la funció.
La representació gràfica de la funció f(x) = ax2 + bx + c és una paràbola.
Considerem les funcions que tenen una expressió més senzilla, però que serveixen de model per a totes les altres i en les quals podem observar les seves principals característiques. Són les funcions f(x) = ax2. La gràfica d’aquesta funció és una paràbola d’equació y = ax2. Té com a vèrtex el punt V
(0, 0) i com a eix de simetria la recta x = 0, l’eix de les ordenades. Les funcions quadràtiques són contínues.
19 x f(x) = x2 f(x) = –x2 f(x) = 2x2 f(x) = –2x2 ( ) 1 2 2 f x ==== x ( ) 1 2 2 f x = −= −= −= − x –3 9 –9 18 –18 4,5 –4,5 –2 4 –4 8 –8 2 –2 –1 1 –1 2 –2 0,5 –0,5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 –1 2 –2 0,5 –0,5 2 4 –4 8 –8 2 –2 3 9 –9 18 –18 4,5 –4,5
En observar les diferents gràfiques podem veure que el signe del coeficient a determina l’orientació de la paràbola i, per tant, els intervals de creixement o decreixement de la funció.
– Si a > 0, la funció té un mínim en el seu vèrtex. La paràbola s’obre cap amunt.
– Si a < 0, la funció té un màxim en el seu vèrtex. La paràbola s’obre cap avall.
– Com més petit és el valor absolut de a, més oberta és la paràbola, i com més gran, més tancada.
– Per a valors oposats de a, s’obtenen gràfiques simètriques respecte de l’eix de les abscisses.
– Si a > 0, el recorregut és el conjunt de valors que verifiquen y ≥0.
– Si a < 0, el recorregut és el conjunt de valors que verifiquen y ≤0.
20
Funcions exponencials
S’anomenen funcions exponencials les funcions que tenen una expressió algèbrica del tipus ( )f x =ax , en què a representa un nombre real positiu diferent d’1.
El domini de les funcions exponencials és constituït per tots els nombres reals, ja que sempre és possible calcular el resultat d’una potència que té de base un nombre real positiu i d’exponent un nombre real qualsevol.
Considerem, per exemple, les funcions exponencials ( )f x =2x i ( ) 1 2
x
g x = . Elaborem una taula de valors per a cada funció i en representem gràficament els parells de valors obtinguts en un sistema de referència cartesià. En aquest tipus de funcions, és bo donar a la variable independent x, a més del valor
x = 0, uns quants valors negatius i uns altres de positius, a fi i efecte
d’observar el comportament de la funció per a x < 0 i per a x > 0.
x –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 x –3 –2 –1 0 1 2 3 g(x) 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8
En unir els punts mitjançant un traç curvilini continu, s’obtenen les dues gràfiques que pots observar en les figures anteriors. Com pots comprovar, es compleix que:
21
– La funció f(x) és creixent en tot el seu domini, mentre que la funció g(x) és decreixent.
– Les gràfiques d’ambdues funcions tenen un punt en comú: el punt de coordenades (0, 1).
El fet que una funció exponencial ( )f x =ax sigui creixent o decreixent depèn solament del valor de la base a, de manera que: si a > 1, la funció és creixent, i si 0 < a < 1, la funció és decreixent.
Funció traslladada d’una funció
Suposem una funció y =f x( ) de la qual coneixem la gràfica.
Si apliquem a tots i cadascun dels punts de la gràfica d’aquesta funció una translació de vector vr =( , )a b , obtenim la gràfica d’una nova funció y =g x( ), que té exactament la mateixa forma que la gràfica de la funció original.
Es diu que la funció g(x) és la funció traslladada de la funció f(x) segons el vector vr =( , )a b .
Dues funcions que són traslladades l’una de l’altra, com, per exemple, les funcions f(x) i g(x), tenen diferent expressió algèbrica, però, si la seva forma és la mateixa, sembla lògic pensar que ha d’existir alguna relació entre les expressions algèbriques d’ambdues funcions. Vegem com es pot establir aquesta relació.
22
Dibuixem un sistema de referència cartesià i el vector vr =( , )a b que té l’origen en el punt O. Si anomenem O’ l’extrem d’aquest vector, es compleix que O’(a, b).
Observa la figura: si traslladem tots i cadascun dels punts d’aquest sistema de referència, que podem anomenar OXY, segons el vector vr =( , )a b , obtenim un altre sistema de referència, l’origen de coordenades del qual se situa en el punt
O’, i els eixos de coordenades conserven
les direccions i els sentits dels eixos del sistema original. Anomenarem O’X’Y’ aquest segon sistema de referència. D’aquesta manera, les coordenades d’un mateix punt P del pla són diferents segons el sistema de referència que es consideri. Si representem per (x, y) les coordenades de P respecte del sistema OXY, i per (x’, y’) les coordenades de P respecte del sistema O’X’Y’, pots comprovar en la figura que es verifiquen les igualtats:
x = x’ + a → x’ = x – a
y = y’ + b → y’ = y – b
Si considerem una funció, la representem gràficament en el sistema de referència OXY i apliquem a tot el conjunt, és a dir, a la gràfica de la funció i al sistema de referència, una translació de vector vr =OO′=( , )a b , obtenim la gràfica d’una nova funció que, a més de tenir la mateixa forma que la de la funció traslladada, se situa, respecte del sistema de referència O’X’Y’, de la mateixa manera que ho fa la gràfica de la funció original respecte del sistema
OXY.
Podem plantejar-nos que, si l’expressió algèbrica de la primera funció en el sistema de referència OXY és y f x= ( ) , l’expressió algèbrica de la funció traslladada en el sistema de referència O’X’Y’ és la mateixa, és a dir, adopta la forma:
( )
23
Això significa, per exemple, que la funció y = x2 en el sistema de
referència OXY es correspon amb la funció y′=x′2 en el
sistema de referència O’X’Y’. Substituint en aquest cas, tenim:
y – b = (x – a)2
En definitiva, en traslladar segons el vector vr =( , )a b una funció y =f x( ) , s’obté sempre una altra funció l’expressió algèbrica de la qual és:
( )
