TRANSMISIÓN DE CALOR POR RADIACIÓN

1

TRANSMISIÓN DE CALOR

POR RADIACIÓN

1

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

Índice

• Radiación Térmica

• Dependencias funcionales

• Definiciones básicas

• Balance energético

• Comportamiento de los materiales

• Cavidad ideal isoterma

• Ley de Stephan-Boltzman

• Cuerpos grises

• Calor intercambiado por radiación de una superficie opaca

• Ley de Kirchoff

Denominamos radiación térmica a la radiación electromagnética emitida por un cuerpo asociada a su temperatura absoluta en el rango de longitudes de onda entre 0,1 y 100 μm

33

Espectro electromagnético

Espectro Radiación Electromagnética

Longitud de onda

Frecuencia

Ondas de radio Infrarrojo

Radiación térmica

Radiación solar

Visible Ultravioleta Rayos X Rayos cósmicos

3 0,7 0,4 c = Velocidad de la luz en el vacío (299800 km/s) 4 10 ₁₀3 ₁₀2 ₁₀1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 10 10 ₁₀11 ₁₀12 ₁₀13 ₁₀14 ₁₀15 ₁₀16 ₁₀17 ₁₀18 1

)

(

seg











c



h

E



• No precisa de medio material (también puede transmitirse a través del vacío) • Medio no participante (normalmente el aire).

– Fenómeno superficial.

– Intercambio entre superficies. El aire se considera transparente a la radiación. • Medio participante (fundamentalmente gases de combustión).

– El medio absorbe, emite y dispersa radiación.

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

 

1 , _/ 5 1 2   _{C T} b e C T E _



_



2 16 1 3.74 10 W /m C   K m C₂ 1.439 102 Ley de Planck: Potencia emisiva espectral

de un cuerpo negro

Leyes. Cantidad

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

Cuerpo Negro (b): Se define cuerpo negro aquel en el que

su emisión coincide con el ideal

• Absorbe toda la radicación incidente

• Ninguna otra superficie puede emitir más energía que él.

• Su emisión no depende de la dirección; es una emisor difuso

0,E+00 5,E+04 1,E+05 2,E+05 2,E+05 3,E+05 3,E+05 4,E+05 4,E+05 5,E+05 0 2 4 6 8 10 12

Longitud de onda (micras)

En ( W/ m 2 m ic ra ) 2000 K 1500 K 1000 K 750 K 500 K T=2897,6 mK

Ley de Wien: Localiza el máximo dela

potencia espectral de un cuerpo negro K m T 2898 · · max







Naturaleza Radiación: Depende de la temperatura absoluta, de la longitud de onda

y de la dirección

• Angulo solidow [sr]

• Intensidad espectralI [W/(m2_{∙sr∙μm)]}

• Potencia emisiva espectral E_λ[W/(m2_∙μm)]

55

Leyes. Cantidad

Ley de Stefan-Boltzmann (1879)

Usando e integrando la ley de Planck











 _





 _







0 / 5 1 0

e

2

1

d

C

d

E

E

_{b b C T} 4 2 8 _/ 10 67 . 5  W m K 



Temperatura de la superficie K 300 800 1600 5800

Potencia emisiva total, W/m2 _{459.2 23,220 3.71x10}5 _64.16x106

Longitud de onda de la emisión máxima, m 9.66 3.62 1.81 0.500

Fracción de la emisión en la banda Ultravioleta (5x10-3_-3.9x10-1_m) Luz visible (3.9x10-1_-7.8x10-1_m) Infrarrojo (7.8x10-1_-1x103₎ 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.003 0.997 0.112 0.456 0.432 Fracción de emisión Por debajo =4m Por encima =4m 0.002 0.998 0.318 0.682 0.769 0.231 0.990 0.010 0.0E+0 2.0E+7 4.0E+7 6.0E+7 8.0E+7 0 2000 4000 6000

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

_E

_T

4

b





Leyes. Dirección

Intensidad: Energía emitida en una longitud de onda en una dirección por unidad de superficie emisora en dicha dirección

   _   _cos ) ( lim ' ) ( lim 0 0 dwdS dQ dS dw dQ I da da b  _  _



  b

cos

b

I

E



       C T _w b b      b b _e E dw I sen d d I C E 





 

    2 0 2 / 0 / 5 1 _cos 1 2

1

/ 5 1





_{C T} b

C

I

_{ }





TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

r  d   2 0  dS dw da  d 2 / 0  _rd   d r sen 



 sen r Emisión hemiesférica

En un cuerpo negro, la radiación se emite de forma difusa Igual intensidad en cualquier dirección

 n I   n E  n I 2 2 _r d sen r d r r da dw    

77

Definiciones y propiedades

IRRADIACIÓN (G):

Energía por unidad de tiempo en forma radiante que alcanza una superficie

RADIOSIDAD (J):

Energía por unidad de tiempo en forma radiante saliente de una superficie

A: radiación absorbida

R : radiación reflejada

T: radiación transmitida

G : Irradiación

 

_

Reflectividad



Absortividad



_



Transmisividad



_

G = A+ R+ T

CONSERVACIÓN DE LA

ENERGÍA:

[W/m

2

_]

G =



G +



G +



G



_

+



_

+



_

= 1



+



+



= 1

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

Propiedades

* Sólidos: la mayoría opacos a la radiación térmica:

* Algunos selectivos con la longitud de onda.

• Gases:

• Se consideran transparentes a longitud de onda corta, (<3m)

• A longitud de onda larga(>3m) varían sus propiedades en

bandas de absorción. Comportamiento no uniforme.

Recordar espectrografía de gases. Ejemplo:el aire.

* Por lo tanto en presencia de cuerpos que emiten a esas longitudes de onda (en general superior a 500ºC ó 600ºC) se debe considerar

el gas como

medio

participante:

gases de combustión en hornos, energía solar,etc..

Ejemplos: CO₂ , vapor de agua, ozono

1

0















)

(

)

(

















)

(

)

(

















El vidrio de ventana es:

• Transparente a la radiación visible • Opaco a la radiación infrarroja

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

9

Emisividad

Emisividad monocromática hemiesférica

)

,

(

)

,

(

)

,

(

T

E

T

E

T

b









  



Emisividad hemiesférica total:

)

(

)

(

)

(

T

E

T

E

T

b





 

_T

_T

4

E

)

T

(

E





_b







E=



E

_b

(T)

Relación entre la energía emitida realmente por un cuerpo con respecto a la que emite idealmente

0 0.05 0.10 0.15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Metales muy pulidos, chapas, películas Metales pulidos

Metales, de suministro

Metales, de suministro y sin pulir

Metales, oxidados Óxidos, cerámicas

Carbón, grafito Minerales, vidrio

Vegetación, agua, piel Pinturas especiales, acabados anodizados

Emisividad total 

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

Ley de Kirchoff

CONCLUSION: El campo de irradiación G en una cavidad isoterma a

temperatura T, es igual a la emisión de una superficie negra a esa temperatura. Introduciendo un pequeño trozo de superficie negra en un

recinto isotermo a temperatura T, el trozo acabará a la misma temperatura que el recinto T.

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

El equilibrio térmico implica que lo que _{absorbe es igual a lo que emite:}

G

E_b(T)

G= E

_b

(T)

G

εE_b(T)

Suponemos una cavidad isoterma a temperatura T en cuyo interior se coloca una pequeña superficie no negra.

El equilibrio térmico implica que lo que

absorbe es igual a lo que emite:



G=



E

b

(T)

Y teniendo en cuenta la anterior relación:



=



En general, para la radiación monocromática





=





CONCLUSION: El coeficiente de emisión y el coeficiente de absorción a una longitud de onda coinciden para un cuerpo.

11

Propiedades

Se define superficie gris como aquella en que la emisividad sólo depende de la temperatura y no de la longitud de onda ni la dirección de emisión.



_

(, T)= (T) 

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 0 2 4 6 8 10 12 14 Superficie real a 800K

Superficie gris a 800K con =0.8 Superficie negra a 800K

Se define cuerpo negro aquel que su emisión coincide con el ideal (también será el que más absorba)

0









_ 0  







_ 



1

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

E(T)

(W/m

2

_μm)

Factor de visión

Fracción de radiosidad que sale de la superficie

A

_i

e incide en

A

_j

(F

_AiAj

)

r 2  1  1 dA 1 A 2 dA 2 A 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dA dA dA dA dA dA dA dA r cos cos dA dA I r cos dA cos dA I d cos dA I dJ             2 r dA dw_ n n dA r

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

13

Factor de visión

Fracción de radiosidad que sale de la superficie

A

_i

e incide en

A

_j

(F

_AiAj

)

r 2  1  1 dA 1 A 2 dA 2 A 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 dA dA dA dA dA dA

r

cos

cos

dA

dA

I

d

cos

dA

I

dJ



















1 1 1 1 1 1 1 1 1

A

I

dA

I

dA

E

J

A A















1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos cos cos cos dA dA r A A I dA dA r I J dJ F A A dA dA A A dA dA A A dAdA

 

 

 

_{ } 













(factor geométrico)

De la definición

i A A j dA dA j i j i i dA dA r cos cos F A i j j i

 

 ₂    j A A i dA dA i j i j j dA dA r cos cos F A j i i j

 

 ₂    Relación de reciprocidad de F ji j j i i

F

A

F

A



Generalizando

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

Factor de visión

Recinto cerrado con N superficies Cada superficie es isoterma

Superficies emisoras y reflectoras difusas

Métodos de cálculo :

Tablas, gráficas o expresiones analíticas Analíticos

Adición

Reciprocidad especial

Eliminación superficies cóncavas Método de Hottel

Métodos geométricos Métodos numéricos Nº total de factores de forma

Nº de relaciones de reciprocidad 2

N

2

)

1

(

N



N

ij i ji j

F

A

F

A



Nº de relaciones de complementariedad _N 1 1 



 N i ij F

Nº de superficies convexas o planas P

Nº de factores de forma a estimar :

P N N P N N N N        2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2

A

_i

_A

_j

A

_n

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

15

Factor de visión

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

i

Factor de visión

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

i

j

17

Factor de visión

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

(2h)

i

j

Factor de visión. Reciprocidad especial

r r' y x z a c b d 3

A

A

₄ 1

A

A

₂ 3  1  2  4  1 4 2 2 3 1 1 2 , 1 4 , 3 4 3 4 1 2 ) ( A F A F A F A A F_        Por tanto: Por definición

   

   d a b a c a _r dx dy dx dz F A 0 0 0 2 4 1 4 1 1 ´ cos cos   

   

   d a c a b a dz dx dy dx r F A 0 0 0 2 3 2 3 2 2 cos cos    1 4 4 4 1 1 2 3 3 3 2 2F   A F   AF  A F  A Luego: a x z d 3

A

A

₄ 3



4



d 1

A

A

2 1  2  b c

Podemos obtener una expresión análoga para planos paralelos

4 2 2 4 1 1 3 1 1 4 2 2 3 2 2 4 1 1 3 1 1 4 , 3 2 2 4 , 3 1 1 2 4 , 3 4 3 1 4 , 3 4 3 2 , 1 4 , 3 4 3 2 ) ( ) ( ) (                             F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A A F A A F A A

Por adición y reciprocidad

1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 dA dA r cos cos A F A A

 

  _   Y por construcción

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

19

Factor de visión.

Por definición de factor de visión F123  F12  F13

y x z a c b d 3

A

4

A

1

A

2

A

Evaluar el factor de visión F_1-4 en el ejemplo de la figura: 4 2 2 3 2 2 34 2 2 4 2 2 4 1 1 2 4 4 1 , 4 4 12 4 4 4 2 , 1 2 , 1 4 2 , 1 2 , 1 3 2 , 1 2 , 1 4 , 3 2 , 1 2 , 1                     F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A 3 2 2 34 2 2 4 , 1 1 3 2 , 1 2 , 1 4 , 3 2 , 1 2 , 1 F   A F   A F  A F   A F  A

Por adición y reciprocidad podemos expresar las siguientes relaciones:

Sustituyendo: 1 3 2 2 4 , 3 2 2 3 2 , 1 2 1 4 . 3 2 , 1 2 1 4 1 ) ( ) ( A F A F A F A A F A A F_           Despejando:

Donde todos los valores a evaluar son Factores de rectángulos perpendiculares con un lado común

TEMA

5.

RADIACION

1. Fundamentos. Leyes y factor de

visión

Intercambio radiante medio no participante

Radiosidad Irradiación i

q

i A i J i G 4 ) ( _{i i} b i i E T T E    i

j

i i

g



i

g

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

Hipótesis:

•Superficies grises opacas

•Propiedades radiantes difusas e uniformes •Temperatura y Flujo de calor uniforme

A_i, T_i, _i, _i, _i J_i, G_i Sup. i • Balance en la superficie i i i i i T g j 





4 



4 1 ( ) i i i i i j g T      ₍₁₎ i i i i i i j g T q j q ''   4  (1) ''





i i i T j q    4 1 ''   

• Aplicando que α=ε y usando (1) en la definición de calor neto:

21

Intercambio radiante medio no participante

Radiosidad Irradiación i

q

i A i J i G 4 ) ( _{i i} b i i E T T E    i

j

i i

g



i

g

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

Hipótesis:

•Superficies grises opacas

•Propiedades radiantes difusas e uniformes •Temperatura y Flujo de calor uniforme

A_i, T_i, _i, _i, _i J_i, G_i Sup. i









          N k k k i ik N k k i k i i i i j g j j F F j q 1 1 " 





           N k k i k i i ik N k k i k i i i i i i i i j F F j j g j T 1 1 4 1 _{( )} 1 _{( )} (1 )         De (1) y (3): k i Si k i Si donde ik ik     0 1  







         N k k i i k N k i k k k N k i k k i J F j A F j AF G 1 1 1



    N k k i k i i i _{g j F} A G 1

• Por otra parte, la irradiancia se puede calcular como :

(3)

• El calor neto intercambiado lo podemos evaluar como:

(5) (4)

Intercambio radiante. Método matricial

Radiosidad Irradiación i

q

i A i J i G

Una vez calculadas las radiosidades, para aquellas superficies en que

no se

conoce el calor

se pueden utilizar cualquiera de las siguientes expresiones:

En las que

no se conoce la temperatura:

ó

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

=

 N

q

4 1 T  4 2 T  1 j 2 j i j N j 1  F_i 1  F_N i i F_  1 i N F _  N i F_  N N F _  1 1 1 1 1) 1 ( 1   _   F 1 2 1 1) 1 (   _   F 1 1 1) 1 (   F_N   2 1 2 2) 1 (   _   F 2 2 2 2) 1 ( 1   _   F 2 2 2) 1 (   F _N    i

q







    N k k k i ik i F j q 1 "





i i



i i i T j q    4 1 "







       j i j i donde _ij 0 1  " 1 4 i i i i j q T







  

...

(1) y (5) (5) (2)

23

Intercambio radiante. Método eléctrico

Radiosidad Irradiación i q i A i J i G

•

q

_i

análogo a la intensidad eléctrica.

•

(



.T

_i4

_-j

i

)

análogo a una diferencia de potencial

• Así, se correspondería con una resistencia

•

q

_i

suma de intensidades de las demás superficies radiantes

•

j

_i

-j

_j

diferencia de potencial

•

: resistencia eléctrica

i i i

A









1

j

i



ij i

F

A



1

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)







              _    N k k i i k i N k k i k N k k i i i i i i F A j j F j F j A G J q 1 1 1 1





i i i i i i i i i i i i i A j T j T A q A q













      1 1 " 4 4 i

j

4 i T



i

j

N

j

k

j

1

j

Intercambio radiante. Método eléctrico

2 Superficies

1 j 4 1 T



j

2 4 2 T  12 1 12 1 F A R  1 1 1 1 1 A R     2 2 2 2 1 A R    

3 Superficies

1

j

2 j 3 j T34 4 1 T  4 2 T  1 1 1 1 1 A R     12 1 12 1 F A R  2 2 2 2 1 A R     23 2 23 1 F A R  13 1 13 1 F A R  3 3 3 3 1 A R    

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

13 12 1 R R R  _{R  R R } 1 _ 1 _ 1 _ 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 w 2 R 1 R R3 12 R 13 R 23 R

Recordatorio equivalencia circuitos -

4 Superficies

1

j

2

j

3

j



T34 4 1 T



4 2 T



4 4 T



1 1 1 1 1 A R     1 12 12 1 F A R  2 2 2 2 1 A R     13 1 13 1 F A R  14 1 14 1 F A R  23 2 23 1 F A R  3 3 3 3 1 A R     34 3 34 1 F A R  23 2 23 1 F A R  4 4 4 4 1 A R     4

j

25

Intercambio radiante. Ejemplos. Superficie pequeña que no se

ve así misma en un recinto de grandes dimensiones

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

T₁ ₁ T₂ ₂ 2 2 2 -1 12 1 1 1 1 1 -1 ) T (T q 1 q 4 2 4 1 2                A F A A

A

₁

<<A

₂ ) T (T 4 2 4 1 2 24 4 1 1 1

1

1

1

1

1

-1

)

T

(T

q

1

q



 















 







A

A

A

J₁ 12 1 1 F A  1 1 1 1     A 2 2 2 1     A

q

₂

q

₁ 4 1 T   4 2 T   J₂ F₁₁=0 F₁₂=1 Como se supone ₁ 1₁ -1 2 2 2 -1        A A

₁ 1 T

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

Intercambio radiante. Ej. Eliminación superficies cóncavas

1 A

Esquema

eléctrico

equivalente

1 j 2

j

4 1 T



4 2 T



4 n T



1 1 1 1 1 A R     21 2 12 1 F A R  2 2 2 2 1 A R     1 1 1 k k k F A R  1 1 1 n n n F A R  n n n n A R    1 eq A _eq

Los factores de forma no varían si la superficie equivalente es plana “no entra” dentro del recinto

Por lo tanto para mantener idéntico el esquema eléctrico sólo se tendrá que cumplir que la resistencia de dicha superficie sea la misma, es decir

eq eq eq A A R        1 1 1 1 1 1



1



1 1 1 1 1 _   A A_eq eq   

CIERRE DE UN RECINTO ABIERTO: SUPERFICIE VIRTUAL:

A

₁

>>A

_eq

1



eq



Cuerpo negro a T₁ n j k j

27

Intercambio radiante. Ejemplos. Planos paralelos infinitos.

J_j J_i ij i F A  1 i i i A     1 j j j A     1

Q

_j

Q

_i 4 i T   4 j T   J₁ J₂ T₁ ₁ T2₂ F₁₁=F₂₂=0 F₁₂=F₂₁=1

A

₁

=A

₂ j j -1 ij 1 i i -1 ) T (T q q 4 j 4 i j i                j A F i A i A

Resultando

1

1

1

)

T

(T

q

q

2 1 4 2 4 1 2 1

_

_

















A

TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

Intercambio radiante. Ejemplos. Pantallas de radiación.

J₁ T₁ ₁ J₂ T₂ ₂

T

_s



_s s F A_{1 1} 1  1 1 1 1     A _{s s} s A     1 Q₁ 4 1 T   4 s T   s F A_{2 2} 1  ₂ 2₂ 1     A -Q₂ s s s A     1 4 2 T   A₁=A_s=A₂ F₁₁=F_ss=F₂₂=0 F_1s=F_s1=1 F_2s=F_s2=1

2

1

2

1

1

1

1

s sin













   











pantalla pantalla con

q

q

2

1

2

1

T

T

q

q

q

2 s 1 4 2 4 1 pantalla con 2 1

_

_

_





















TEMA

5.

RADIACION

2.

Intercambio en

medio no

participante (2h)

1

n

1

q"

q"

_CON





Para n pantallas, con



=



=…=



1

1

1

T

T

q

q

q

2 1 4 2 4 1 pantalla sin 2 1

_

_



















29

Ejemplo: dos recintos con aire separados por una pared

TEMA

6.

SUPERPOSION MODOS

TRANSMISION CALOR

Superposición de diferentes modos de transmisión de calor.

Balance de energía para la superficie 1

0

1 2 1



conv aireA



rad

q

q

Balance de energía para la superficie 4

0

4 4 3



convaireB



rad

q

q

Balance de energía para el aire del recinto B:

0

4

3aireB



conv aireB



conv

q

q

Balance de energía para el aire del recinto A:

0

2

1aireA



conv aireA



conv

q

q

Balances de energía para la pantalla intermedia:

0

1 2 2

2

3



conv aireA



rad 



cond

q

q

q

0

3 4 3 3

2



convaireB



rad 



cond

q

q

El planteamiento es el mismo para mas superficies 1

j

2

j

3

j

12 R 13 R 23 R 4 3 T  4 1 T  4 2 T  14 R 34 R 23 R 4 R 1 R 3 R 2 R 4 4 T 

Objetivo:

4 Superficies

i i i i i i A j T q       1 ) ( 4















   _        N j ij j i i i i N j j i ij i i i N j j ij i i D T T A T T B A T B T q 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 1 ) (           i D  1 Luego los valores buscados se pueden calcular por :

13 D ₄ 3 T  4 1 T  4 2 T  4 4 T  12 D D23 34 D 14 D 24 RT

Siempre se puede expresar el problema en forma matricial :

 

 

 

4 i ij i

B

T

j





 



T

_i4



 

C

_ij

 

j

_i Cumpliéndose _{siempre :}



  N j ij B 1 1

   

_

1 ij ij

C

B

4

j

Superposición de diferentes modos de transmisión de calor.

TEMA

6.

SUPERPOSION MODOS

31 Aire Ta Radiosidad Irradiación i

q

i

A

i

J

i

G

Balance de energía para la superficie 1

0

...

...

_{1 1 1}

2

1





rad k





rad n



conv aireA



cond



rad

q

q

q

q

q





_...





_...





_

_

₀ 1 1 1 4 4 1 1 4 4 1 12 4 2 4 1  _{ }  _{ }  _{   } cond a n n k k _{Ah T T q} D T T D T T D T T      

Que se expresa como



₁



0 1heq T Teq qcond  A Y por tanto donde h h h h

h_eq  _rad12 .. _rad1k .. _rad1n 

h h h h hT T h T h T h T n rad k rad rad a n n rad k k rad rad eq _{    }       1 1 12 1 1 2 12 .. .. .. ..

Pudiendo reescribirse como



_{1 2}



... _{1 1}



₁



... _{1 1}



₁



₁



₁



0

12

1hrad T T   Ahrad k T Tk   Ahrad n T Tn  Ah T Ta qcond 

A









k k k k k k rad D A T D A T T T T h 1 1 3 1 1 1 2 2 1 1 4    

Superposición de diferentes modos de transmisión de calor.

TEMA

6.

SUPERPOSION MODOS