Diseño y análisis de un robot paralelo 6 PUS y su implementación como una fresadora CNC

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(1)Tecnológico de Monterrey Campus Ciudad de ~l!éxico. Escuela de Graduados. efl. tngenierla y Arqurtecrvm. Maestría en Oencias de la Ingeniería Especialidad en Manufactura Cor'1putarizado. Disefio y análisis de un robot pa rale1o 6-PUS )' su implementación como una fresadora CNC. Auror: lng. Javier Alfonso Ruiz García. Asesor:. Dr. Ricardo Zov(Jla Yoé. Julio de 2008.

(2) Tecnológico de Monterrey Campus Ciudad de Mé~dco. Escuela de Graduados en Ingeniería y Arquitectura Maestría en Ciencias de la Ingeniería Especialidad en Manufactura Computarizada. Diseño y análisis de un robot paralelo 6-PUS y su implementación como una fresadora CNC. Autor: lng. Javier Alfonso Ruiz García 970711. Asesor: Dr. Ricardo Zavala Y oé. ~ TECNOLÓGICO •. DE fJIONTERREY •. BIBLIOTECA ,dct.id dlilliil. tli• IV,exico. julio de 2008.

(3) JMT JAVIER RUJZGARCÍA. CONTENIDO. Contenido 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. Motivación ...................................................................................................................... 3 1.1 Aportaciones ............................................................................................................ 5 Antecedentes: ................................................................................................................. 6 Introducción .................................................................................................................. 11 3. 1 Manipuladores mecánicos y robots ....................................................................... 11 3 .2 Mecanismos, uniones y grados de libertad ............................................................ 11 3 .3 Cinemática directa e inversa. Matriz de transfomtación ....................................... 14 3 .4 Espacio de trabajo .................................................................................................. 15 3.5 Precisión ................................................................................................................ 16 3 .6 Rigidez ................................................................................................................... 16 3.7 Clasificaciones de robots manipuladores ............................................................... 17 3. 7 .1 Según sus grados de libertad .......................................................................... 17 3.7.2 Según su estructura cinemática ...................................................................... 17 3. 7 .3 Según la tecnología de los actuadores ............................................................ 17 3.7.4 Según la geometría del espacio de trabajo ..................................................... 18 3 .8 Arquitectura y configuración ................................................................................. 18 Estudios actuales ......................................................................................................... 19 4.1 Cinemática ............................................................................................................. 19 4.2 Dinámica y control ................................................................................................ 23 Diseños preliminares en CAD-CAE ............................................................................. 25 5.1 Modelo tradicional 6-UPS ..................................................................................... 25 5.1.1 Descripción ..................................................................................................... 25 5 .1.2 Pruebas ........................................................................................................... 26 5.2 Diseño triangular simple ........................................................................................ 27 5.2.1 Descripción ..................................................................................................... 27 5.2.2 Pruebas ........................................................................................................... 31 5.2.3 Análisis ........................................................................................................... 33 5.3 Diseño triangular cruzado ...................................................................................... 35 5.3.1 Descripción ..................................................................................................... 35 5.3.2 Pruebas ........................................................................................................... 37 5 .4 Conclusiones sobre los modelos CAD .................................................................. 3 8 Análisis para el diseño del manipulador. ...................................................................... 40 6.1 Grados de liberad y conectividad .......................................................................... 40 6.2 Diseño tradicional .................................................................................................. 41 6.3 Diseño propuesto ................................................................................................... 42 6.4 Geometría del manipulador ................................................................................... 46 Cinemática inversa ........................................................................................................ 48 7.1 Obtención de la forma cerrada .............................................................................. 48 7.2 Implementación ..................................................................................................... 50 Análisis Jacobiano ........................................................................................................ 52 8.1 Singularidades ........................................................................................................ 52 a) Singularidades de Cinemática inversa ............................................................... 52 b) Singularidades de cinemática directa ................................................................. 53 8.2 Matriz Jacobiana .................................................................................................... 53 a) Singularidades de Cinemática Inversa ( det(Jq)=O) .......................................... 55 -1 -.

(4) IMT.It /"ILR RUII GARCi,t. C'OSTL.VIDO. b) Singularidades de Cinemática Directa ( det(Jx)=O ) .......................................... 55 8.3 Jacobiano basado en Tomillos (Screws) ................................................................ 57 8.4 hnplementación ..................................................................................................... 61 a) Singularidades de Cinemática Inversa .............................................................. 61 b) Singularidades de Cinemática Directa ............................................................... 63 9 Cinemática directa ........................................................................................................ 64 9. l Algoritmo iterativo ................................................................................................ 64 9.2 Método Geo1nétrico ............................................................................................... 67 10 Aplicación como una fresadora .................................................................................... 71 10.1 Programación de la interfaz y generación de trayectorias ................................. 72 10.2 Parámetros de corte en el fresado ...................................................................... 79 10.3 Fuerzas requeridas .............................................................................................. 82 10.4 Análisis de rigidez .............................................................................................. 82 11 Dinámica ...................................................................................................................... 84 11.1 Dinámica inversa ................................................................................................ 84 11.2 Dinámica directa ................................................................................................. 90 11.3 Implementación .................................................................................................. 92 12 Control .......................................................................................................................... 98 13 Conclusiones .............................................................................................................. 103 14 Índice alfabético ......................................................................................................... 105 15 Referencias ................................................................................................................. 106 16 Software de ingeniería utilizado ................................................................................. 109 17 Anexos ....................................................................................................................... : 110. -2 -.

(5) JMT JAVIER RUIZ GARCÍA. MOTIVACIÓN. 1 Motivación La palabra "robot", es de origen checo y significa. siervo, esclavo o trabajo; se atribuye al escritor checo Karel Capek (1890-193 8), quien la dio a conocer con su obra R. UR. (Rossum 's Universal Robots), estrenada en Europa en 1920, pero algunos autores afirman que el creador del término fue realmente su hermano, Joseph Capek, un pintor [3 8]. Actualmente en la industria se define robot como un manipulador programable multifuncional diseñado para mover y manipular material, herramientas, o mecanismos especializados a través de movimientos programados variables para la realización de una variedad especifica de tareas. La robótica es una rama de la ingeniería relativamente nueva, que integra matemáticas, mecánica, computación y electrónica. Los robots manipuladores en serie han sido ampliamente estudiados, y su cinemática y dinámica son ampliamente conocidas. Los robots paralelos apenas se empezaron a estudiar a mediados del siglo XX, y desde entonces la mayoría de los investigadores se han concentrado en la típica "plataforma de StewartGough", o robot paralelo 6-UPS1, reconociendo sus ventajas pero también la dificultad que representa su análisis. La plataforma de Stewart-Gough original planteada en los años setenta ya está muy estudiada, y hay numerosos artículos [10][17][35][15] que presentan formas diferentes de estudiar su cinemática directa, que ~s diferente y más complicada que la de un robot en serie. Este mecanismo ya tiene numerosas aplicaciones prácticas, pero principalmente para posicionamiento de antenas de radio y lentes, y simuladon!s de vuelo (desde el que se usa profesionalmente en Aeroméxico para entrenar a los pilotos hasta los de entretenimiento que pueden encontrarse en algunos centros comerciales). Sin embargo muy poco se ha estudiado sobre las diferentes variantes de la cadena cinemática, en este caso el robot 6-PUS. De los pocos que se han aventurado a estudiar este robot~ la mayoría lo ha hecho de manera muy general. Sin embargo este robot, por poderse construir de manera que los actuadores queden fijos en una base, merece nuestro interés por las potenciales ventajas que posee en cuanto a facilidad de construcción y rigidez. Durante 25 años, la propuesta original de Stewart del modelo UPS se mantuvo intacta hasta que en 1991 J. P. Merlet y C. Gosselin plantearon la variante PUS [13]. En esta variante, se reemplazan los pistones por barras rígldas y el movimiento se genera variando la posición del punto de apoyo de dichas barras sobre la base, como se muestra en la Fig. l.. I. Las letras U, P, S se refieren a las articulaciones universal, prismática, esférica de cada una de las 6 cadenas cinemáticas. La letra en negritas o subrayada indica la articulación actuada. -3 -.

(6) JMT J4VIERRUIZGARCÍA. MOTIVACIÓN. ,---·-·-·-·-·-·---·-·-·-·-·-·-; ·, ,·. p Fig. l. Ejemplos de posibles variantes fUS a estudiar.. Arumugam [3] demuestra que este tipo de plataformas tiene una mayor rigidez que las convencionales, sin embargo no se ocupa de buscar una configuración óptima de las barras ni estudia el espacio de trabajo del robot. Por otro lado, Huang y Gosselin [14] estudian cómo variar el espacio de trabajo del robot desde el punto de vista del mecanismo de cuatro barras formado por las bases y dos patas, pero no ahondan en su cinemática. Muchos artículos [13], [35], [11], [9] estudian diferentes maneras de obtener la cinemática directa del robot paralelo, pero muy pocos aplican sus métodos a la variante PUS. Incluso algunos como Cruz y Ferreira [9] buscan todas las posibles configuraciones de la plataforma pero sin tomar en consideración esta variante. En general, los artículos que hablan sobre esta variante son escasos y ninguno busca un resultado integral, lo que me impulsa a desarrollar este proyecto. Por otro lado, la manufactura computarizada se ha convertido en la principal manera de crear componentes para todo tipo de artículos de nuestra vida cotidiana y en la industria:, desde piezas de muebles hasta partes de automóviles, aviones, o grandes máquinas. Una de las máquinas de corte de metal más importantes por su versatilidad es la fresadora CNC. Sin embargo, típicamente se construye como una máquina cartesiana en serie, por lo que requiere de motores de alta potencia puesto que no sólo tiene que maquinar el metal, sino que también tiene que cargar partes de la máquina misma, aparte de minimizar las imprecisiones. Si consideramos las ventajas que tienen los robots paralelos sobre los robots seriales, los paralelos podrían ser una interesante propuesta para una máquina CNC que podría ser más versátil y estable. (3][10][22](23][33] · Es por esto que la presente tesis se dedica a estudiar la variante 6-PUS del robot manipulador paralelo, y sus implicaciones al implementarla como una fresa CNC. Las medidas utilizadas y los cálculos realizados son con magnitudes que podría tener un robot pequeño que pudiera ser construido en un laboratorio, sin embargo los algoritmos presentados pueden aplicar para un robot de cualquier tamaño e incluso con diferentes configuraciones que otros investigadores se pudieran interesar en estudiar.. -4 -.

(7) JMT JAVIER RUIZGARCÍA. MOTIVACIÓN. 1. 1 Aportaciones La presente tesis presenta la forma cerrada de la cim:mática inversa del robot 6-PUS, la cual no es muy complicada de obtener. También presenta un algoritmo numérico para la obtención de la cinemática directa. Se muestran dos diferentes maneras de obtener las matrices jacobianas, y un método numérico para calcular el espacio de trabajo del robot. Posteriormente se presenta la solución al modelo dinámico, basada en una propuesta de Merlet [26] pero con algunas consideraciones extras. En apoyo a los cálculos, se diseñaron algunas piezas en ProlENGINEER, que es una herramienta de modelado 3D muy usada en la industria; dichas piezas se integraron en mecanismos virtuales de visualNastran para hacer algunas pruebas cinemáticas. Este software tiene la ventaja de que sin necesidad de construir un modelo físico ni escribir las ecuaciones dinámicas, nos da una buena simulación cinemática y dinámica del mecanismo que queramos. También se usó Lab VIEW para generar una interfaz que interpreta los programas de CNC, que se puede implementar posteriormente en un sistema en línea, que es el principal uso de este software. Finalmente todos los modelos algebraicos y algoritmos numéricos se implementaron en MA TLAB, por la facilidad que tiene para manejo de matrices y vectores, y sus facilidades para graficación de datos y animación.. -5 -.

(8) A i\"TECEDENTES. IMTJll'IER Rl!ll G.,111cf.1. 2 Antecedentes: Historia de la plataforma de Stewart-Gough Aunque el nombre común de este robot es "platafonna de Stewart-Gough" o a veces simplemente "plataforma de Stewart", a continuación veremos que éste no es el nombre más apropiado, Otro nombre aceptado es simplemente el de "robot hexápodo" el cual es adecuado pero fácilmente confundible con los robots móviles tipo insecto de seis patas, los cuales estrictamente también son "hexápodos", e incluso con más razón puesto que el término "pata" (podas) suele referirse a una extremidad móvil. Así que el analizar la historia y el estado del arte de este mecanismo nos ayudará a encontrar el término más preciso para referirse a él. Los mecanismos paralelos no son cosa nueva. De hecho desde hace siglos había geómetras ingleses y franceses obsesionados con los poliedros que empezaron a estudiar plataformas de seis patas. Los primeros en encontrar un método directo para calcular las 40 soluciones para el problema de la cinemática directa del hexápodo fueron el profesor Manfred Husty y el Dr. Jean-Pierre Merlet, autor del primer libro sobre robots paralelos. Mucho antes que Stewart y Gough, en 1928, James E. Gwinnett solicitó una patente para un sistema de entretenimiento que consistía en una plataforma móvil basada en un mecanismo paralelo esférico. No se sabe a ciencia cierta si éste fue el primer diseño para un sistema cinemática paralelo de varios grados de libertad, o si se llegó a construir. Pero Gwinnett estaba muy adelantado a su tiempo. Esto fue poco tiempo después de las primeras películas a color y con sonido.. Fig. 2. Probablemente el primer mecanismo espacial paralelo, patentado por .James Gwinett en 1931. 16]. Algunos años después, apenas 17 años después de que se inventara el término "robot", William L. V. Pollard inventó un robot paralelo para automatizar un proceso de pintura en spray. Este invento era un robot de 5 grados de libertad, conformado por tres barras que están unidas a la base con motores rotatorios; en el otro extremo tienen juntas universales que soportan otras tres barras. Una de éstas tiene en su extremo el efector final -6 -.

(9) IMT JAVIER R UJZ GARCÍA. ANTECEDENTES. y está soportada por juntas esféricas por las otras dos. De esta manera tenemos tres grados de libertad (posición) en el efector final, y su orientación se controlaba por medio de otros dos motores que accionaban cables. A pesar de la originalidad del invento, este robot nunca se construyó.. Fig. 3. Primer robot industrial paralelo, patentado en 1942 por Willard Pollard. (2), (6). El primer robot industrial que se construyó fue obra de el hijo de Pollard, Willard L. G. Pollard Jr. Su patente consistía de dos partes: un manipulador mecánico paralelo basado en un pantógrafo actuado por dos motores rotacionales en la base, y un sistema de control para los motores que usaba películas perforadas para regular la velocidad de los motores. Aunque su patente fue aceptada hasta 1942, antes se cedió una licencia a DeVilbiss, compaflía constructora de robots industriales, en 1937 para que usara el sistema de control en un robot serial. En 1947, un ingeniero automotriz que trabajaba para la Dunlop Rubber Co. En Birmingham, Inglaterra, estaba diseñando una máquina para hacer pruebas a neumáticos de avión. Necesitaba probar los efectos de las llantas bajo cargas combinadas. Fue entonces que el Dr. Eric Gough inventó su "aparejo universal" (universal rig) que fue muy conocido después como máquina universal para probar llantas. Este diseño es el que más se ha replicado y se le atribuye a Gough, aunque él reconoce en sus escritos que ya antes había otro tipo de hexápodos con tres actuadores verticales y tres horizontales.. -7 -.

(10) L\1'J Jt V/fR Ruz GARCÍA. ANTECEDENTES. Fig. 4. El primer hexápodo octaédrico, la plataforma de Gough original en 1954 y renovada, poco antes de quedar fuera de servicio, en 2000. [2], 15), 16). El aparejo universal de Gough originalmente usaba actuadores manuales con tomillo, y estaba basado en una geometría de octaedro simétrico para maximizar el espacio de trabajo. La máquina se diseñó a principios de los 50s y para 1954 ya estaba operando en la fábrica, presionando los neumáticos de distintas maneras y con otro hexápodo abajo con los medidores de carga. Desde entonces siguió operando en la fábrica de Dunlop hasta que la compañía se fusionó con Goodyear en 1999 y la fábrica fue cerrada. La máquina original de Gough se conserva en el Museo de Ciencias de Wroughton, en Inglaterra. En 1965, los proceedings de la IMechE en Ingl_aterra publicaron un documento del Dr. D. Stewart en el que describe una plataforma móvil con 6 grados de libertad para usarse como un simulador de vuelo. Este mecanismo, sin embargo, era diferente al hexápodo octaédrico de Gough, al que erróneamente se le suele llamar "Plataforma de Stewart''. De hecho una de las réplicas que recibió Stewart en los mismos proceedings fue de Gough, quien le recordaba su ya existente máquina. A pesar de que la propuesta de Stewai1 no fue tan innovadora, esta publicación fue la que invitó a muchos investigadores a profundizar sobre el tema de la cinemática en paralelo y a proponer aplicaciones que vendrían mucho después.. -8 -.

(11) JMT ]AVJERRUIZGARCÍA. Á,\'TECEDlc'!VTFS. Fig. 5. Esquema de la verdadera plataforma de Stewart. (1965) [2], [6). Pero antes de esto, en 1962, el ingeniero norteamt:ricano Klaus Cappel trabajaba para los Franklin lnstitute Research Laboratories mejoranco un mecanismo de vibraciones de 6 grados de libertad que ya existía, pero tenía un problema. El mecanismo tenía 3 actuadores verticales pero 4 horizontales para reducir las cargas. Esto lo hacía un sistema sobreactuado y difícil de controlar, y que ejercía tensiones extra en la plataforma y la dañaba. Sin conocer las propuestas de Gough o Stewart, Cappel estudió el modelo y diseñó el mismo arreglo octaédrico antes mencionado.. - ~--.:td '\/52Y3. _l.. Fig. 6. Esquema del primer hexápodo octaédrico en ser patentado, presentado por Klaus Cappcl en 1967. [51, [6). Este mecanismo fue patentado como un simulador de movimiento, el cual fue aprovechado por la Sikorsky Aircraft Division of United Technologies para hacer un simulador de helicóptero a finales de los 60s.. -9 -.

(12) /1 sru Lm·:.,TES. /\ ff ./11 /U? Rl 11 Ci·l il('Í.I. --'.'. -. -· ---'-. ·- .~. Fig. 7. El primer simulador de vuelo basado en el hexápodo octaédrico presentado por Klaus Cappel a finales de los 60s. [21, [6 J. Esta plataforma se ha replicado cientos de veces, normalmente para simuladores de vuelo; incluso algunas veces se ha construido sin que los que la hacen tengan noción alguna de singularidades, espacio de trabajo o cinemática directa, lo que ha ocasionado a veces que se estrelle contra las paredes del hangar. [5], [6] Vemos entonces que la ''plataforma de Stewart-Gough" realmente es el resultado de di terentes estudios independientes, tanto del área académica como del área industrial, que fue impulsado principalmente no sólo por Eric Gough y Stewait, sino también de una manera importante por Klaus Cappel. Cada uno hizo sus diseños desde cero y seguramente cada uno se hubiera beneficiado de tener contacto con los demás, lo que nos recuerda que hay que estar siempre enterados del estado del arte y buscar comunicación con los autores.. -1 o-.

(13) !MI JAVIERRUJZGARCÍA. INTRODUCCIÓN. 3 Introducción En este capítulo se revisarán brevemente algunos conceptos básicos de mecanismos que se requieren para el estudio de la robótica, así como los conceptos necesarios de esta área que se estarán manejando durante el resto del presente 1rabajo.. 3. 1 Manipuladores mecánicos y robots Un manipulador mecánico se conforma de varios eslabones conectados por articulaciones. Existe un eslabón fijo en la tierra, y un eslabón "final" o de salida. Algunas de las articulaciones son actuadores y algunas son pasivas (es decir, no tienen acoplado ningún tipo de motor o actuador; su movimiento es libre, sólo restringido por las condiciones mecánicas propias de la articulación). Un robot manipulador consiste típicamente en un manipulador mecánico, un efector final, un controlador o computadora y quizás un sistema de visión o algún otro sistema de sensores. Se programa para cumplir con una tarea específica repetitiva y en algunos casos con algún tipo de inteligencia para reaccionar ante eventos externos. También existen los llamados robots móviles, que son aquéllos con ruedas o patas diseñados para desplazarse de un lugar a otro, y que no son objeto de estudio de esta tesis. Sin embargo, es interesante mencionar que las patas de los robots móviles articulados se basan en diseños de robots fijos (robots manipuladores), normalmente en serie pero a veces robots paralelos. (Ver clasificaciones de la sección 3. 7). 3.2 Mecanismos, uniones y grados de libertad. Un mecanismo es un ensamble de partes rígidas que interactúan entre sí de manera cinemática y dinámica, a través de enlaces que llamamos uniones o juntas [28],[35]. Existen diferentes tipos de uniones, cada una restringe ciertos desplazamientos o giros y permite otros. Las que más se manejarán en este trabajo son: Unión esférica. (S)- No permite traslación en ninguno de los tres ejes, pero permite rotación en dos ejes (los que no corren a lo largo del eje transversal de la barra que se mueve). Unión universal.(U)- No permite traslación en ninguno de los tres ejes pero permite rotación en los tres ejes. Vulgarmente se le conoce como "junta loca". Unión prismática.(P)- No permite rotación en ninguno de los tres ejes, pero permite traslación a lo largo de un eje transversal. Otro concepto importante a definir es el número de grados de libertad. Este término está muy relacionado a los conceptos de conectividad y movilidad; en cada uno se refiere a un concepto ligeramente diferente pero todos relacionados entre sí. En general, el número de grados de libertad de un sistema se refiere a la cantidad de variables que necesitan estar definidas para conocer completamente la posición del mecanismo con respecto a un marco de referencia. De aquí se deriva el término de conectividad; la conectividad de una unión cinemática se refiere al número de grados de libertad que tiene cualquiera de los miembros que conecta con respecto al otro. Finalmente, la movilidad de un mecanismo es el mmirno número de coordenadas que se necesitan para -11 -.

(14) !MT' Jff!ER RULGARCÍA. INTRODUCCIÓN. especificar las posiciones de todos los miembros del mecanismo en relación a un miembro particular definido como marco de referencia. Por ejemplo, si observamos una puerta, veremos que sólo necesitamos saber el ángulo con el cual está abierta para saber su posición. Esto significa que tiene un grado de libertad; su movilidad es 1. Esto debido a que las bisagras sólo permiten movimiento en un eje, por lo que su conectividad es 1. En el caso de las uniones previamente definidas, la conectividad de la unión esférica es 2, la de la unión prismática es 1, y la de la unión universal es 3. El número de grados de libertad de un robot manipulador está relacionado con el número de ejes con respecto a los cuales el efector final se puede trasladar u orientar. Un robot de 2 grados de libertad típico sólo se puede mover a lo largo de un plano y la orientación de su efector final no puede definirse, sino que depende de la posición en la que se coloque (ver Fig. 8). Un robot de 6 grados de libertad puede moverse a lo largo de los tres ejes y orientarse en cualquier posición (ver Fig. 9).. .r,. Fig. 8. Esquema de un robot manipulador de dos grados de libertad. [33]. ]4'.. J3. Jl. (a). (b). Fig. 9. Robot de 6 grados de libertad con el que cuenta el Campus a) Estructura del robot. b) Controlador manual del robot. (Celda de manufactura, CEDETEC-CEMEX). -12 -.

(15) JMT JAVIERRUJZGARCÍA. f ATROJJUC'( '/CJ.V. En el robot de la Fig. 8, las distancias / 1 y 12 se mantienen constantes, y la variación de los ángulos 81 y B 2 definen la posición r del efector final, r E R2 x 1. El manipulador de la Fig. 9 tiene 6 motores que permiten que el efector final se coloque en cualquier posición y orientación en un espacio tridimensional. En la imagen del control manual del robot se aprecian los botones que se usan para mover cada uno de los 6 motores o hacer un desplazamiento o giro en cada uno de los 3 ejes. Para calcular el número de grados de libertad de un mecanismo, se hace un análisis que involucra el número de miembros, el número de juntas, y la conectividad de cada una de las juntas, obteniendo la siguiente ecuación [35]: I. M. = 6(n- j-1)+ ¿/;. ,~,. (1). donde: M = movilidad o grados de libertad del sistema n = número de miembros del sistema j = número de juntas del sistema /¡ = conectividad de la junta i En algunos casos, este número M puede ser engañoso debido a la presencia de grados de libertad ociosos que no afectan la posición final del mecanismo. Por ejemplo, para el caso de la plataforma de Stewart-Gough tradicional (Fig. 1O), la ecuación ( 1) nos entrega un resultado de 12; sin embargo podemos ver en la Fig. 10 que cada uno de los pistones (conformados por dos miembros y una junta) tiene un movimiento de giro sobre su eje que no afecta la posición del efector final, por lo que hay que restar esos 6 grados de libertad ociosos a nuestra M inicial, obteniendo finalmente 6 grados de libertad.. Fig. 10. Plataforma de Stewart-Gough clásica, con seis grados de libertad ociosos. [33]. Asimismo, el número de grados de libertad de un robot define el número de actuadores que necesita para poder definir su posición. Como acabamos de ver, la plataforma de Stewart-Gough (en cualquiera de las variantes planteadas) tiene 6 grados de libertad, lo que significa que: la plataforma o efector final puede traslada,,.se en los tres ejes (hasta cie11os límites) independientemente de su inclinación u orientación; la plataforma o efector final puede orientarse en cualquier dirección (hasta ciertos límites) independientemente de su posición en el espacio y se necesitan 6 actuadores (motores o pistones) para que cualquier posición del efector final quede fija. -13 -.

(16) IMTJ.1 UER. Rutz G..JRCÍ/1. INTRODUCCIÓN. Cuando el número de actuadores sobrepasa el número de grados de libertad, se tiene un sistema redundante o sobreactuado. Matemáticamente, se considera que los sistemas sobreactuados están diseñados de manera errónea; sin embargo debido a los efectos reales como fricción, histéresis, falta de rigidez, etc. a veces se utilizan para incrementar la precisión, confiabilidad o fuerza. [20].. 3.3 Cinemática directa e inversa. Matriz de transformación. Es evidente que existe una relación directa entre la posición y orientación del efector final (en nuestro caso, la plataforma flotante) y los valores que toman las articulaciones o actuadores (en nuestro caso, las distancias de los pistones). Cuando tratamos de determinar la posición del efector final a partir de los valores de las articulaciones, estamos resolviendo el problema de la cinemática directa. La cinemática inversa se ocupa de determinar la configuración de los actuadores que se necesita para alcanzar una posición y orientación específica del efector final. Para ambos casos lo más efectivo es utilizar herramientas de álgebra lineal. Para el caso de un mecanismo en serie, como los robots manipuladores que vimos en la Fig. 8 y Fig. 9 (página 12), el problema más sencillo a resolver es el de la cinemática directa, ya que con una simple suma de vectores orientados en los ángulos que determinan los motores se obtiene el punto final. Por ejemplo, para el robot de 2 grados de libertad mostrado en la Fig. 8, (con / 1 y /2 definidos como parámetros), supongamos que conocemos los valores de 8 1 y 82, y deseamos conocer el punto r. Entonces podemos representar cada eslabón del robot como un vector. De forma geométrica, tenemos que: rr = /1 cos ( el ) + !2 cos ( el + e2 ). r,.. = l¡ sen ( el ) + !2 sen ( el + e2). O en forma vectorial: r = 11 + 12. donde 11 y '2 son los vectores !1 L G1 y /2 L(B 1+82), respectivamente. Podemos ver que el ángulo del segundo eslabón depende del primero. Para robots con más eslabones, resulta útil usar transformaciones lineales para resolver esta dependencia. Una transformación lineal es una operación en la que a partir de un punto definido en un sistema de coordenadas se obtiene la representación del mismo punto desde otro sistema de coordenadas. Esto se hace utilizando una matriz de transformación. Una forma sistemática de construir una matriz de transformación para cualquier configuración de actuadores en un robot manipulador en serie es el algoritmo de Denavit-Hartenberg, cuya matriz de transformación i- 1A¡ expresa la transformación de coordenadas del miembro i con respecto al i - l, y se construye de la siguiente manera ([34],[35]): cose¡ - cosa, sen e, sen a, sene, a, cose, ,-1. cosa¡ cose¡. - sen a, cose,. ª1 sene,. o. sena,. cosa,. d,. o. o. o. A = sen O, 1. -14 -. (2).

(17) JMT JAVIER RUIZ GARCÍA. INTRODUCCIÓN. donde: B¡ = rotación del elemento i con respecto al eje Z¡_ 1 d¡ = traslación del elemento i a lo largo del eje Z¡_ 1 a¡ = traslación a lo largo del eje X¡ a.¡= rotación a lo largo del eje Z¡. Para el caso de los mecanismos en paralelo, como la plataforma de Stewart-Gough clásica, la dificultad se invierte, ya que dada una cierta posición y orientación p de nuestro efector final, es sencillo calcular las distancias de las articulaciones en la plataforma a las articulaciones en la base, y por lo tanto la configuración d,~seada r de los actuadores. En la Fig. 11 se muestra un ejemplo de este caso.. Fig. 11. Obtención de la cinemática inversa de la plataforma de Stewart Gough.. El vector p representa la posición deseada del efector final. El vector a¡ es conocido por los parámetros del robot. Del vector b¡ conocemos la magnitud por los parámetros del robot, y su orientación está determinada por la orientación en la que se desea colocar el efector final. Estableciendo estos vectores en un mismo sistema de coordenadas, podemos obtener la magnitud de cada uno de los vectores r¡ como r; =p+b; -a, y la magnitud de dicho vector representa la longitud que deben tomar los actuadores. En cambio, la naturaleza libre de las uniones esféricas y universales hace que, dadas las distancias de los actuadores, no sea tan sencillo calcular la posición de la plataforma.. 3.4 Espacio de trabajo. Otro concepto que es importante definir para el presente trabajo es el espacio de trabajo. El espacio de trabajo de un robot se compone de todos los puntos que puede alcanzar el efector final tomando en ~uenta las restricciones que presentan las articulaciones. Se distingue un espacio de trabajo alcanzable y un espacio de trabajo diestro. El espacio de trabajo alcanzable es el conjunto de todos los puntos que el efector final puede tocar. El espacio de trabajo diestro es un subconjunto del anterior, y está conformado por los puntos a los que el robot puede alcanzar pero que además puede hacerlo en cualquier. -15 -.

(18) JMT J~VJERRUIZGARCÍA. INTRODUCCIÓN. orientación deseada. La diferencia entre ambos es el conjunto de puntos que el robot puede alcanzar, pero para los cuales no podemos establecer una orientación deseada.. Fig. 12. Espacio de trabajo diestro y espacio de trabajo alcanzable para un manipulador en serie de 3 grados de libertad.. La Fig. 12 esquematiza los conceptos antes mencionados. El punto A se encuentra dentro del espacio de trabajo diestro, puesto que puede ser alcanzado desde cualquier orientación deseada. El punto B sólo se encuentra dentro del espacio de trabajo alcanzable, puesto que puede ser alcanzado pero no desde cualquier orientación. En el caso de la mayoría de los robots paralelos, el espacio de trabajo diestro es nulo, por la imposibilidad del efector final de girar completamente, al estar sujeto por múltiples puntos. Está obviamente limitado tanto por la arquitectura del robot como por los límites de sus actuadores.. 3. 5 Precisión La precisión de un manipulador se refiere a la distancia mínima controlada que se puede desplazar el efector final en algún eje. Cada uno de los actuadores tiene cierta precisión, que se puede definir como una distancia lineal o angular dependiendo del tipo de actuador, y contribuye a la precisión del efector final. En cierto modo podríamos decir que el manipulador se mueve en unidades discretas definidas por su precisión.. 3.6 Rigidez La rigidez k se puede considerar como la relación que tiene una fuerza externa F que se aplica por ejemplo a una barra y el desplazamiento ó.x que se tiene. Para el caso de un manipulador conformado por varias barras, tendríamos entonces una matriz de fuerzas F, un vector de desplazamientos ~x y una matriz de rigidez K, que se relacionan de la siguiente manera [3]: F = K.tlx (3) En el caso de un robot manipulador en serie, la rigidez total del sistema es la suma de los valores de rigidez de cada uno de los actuadores; por otro lado, en el caso de los manipuladores en paralelo la rigidez es mayor ya que cada uno de los actuadores están basados en un marco rígido y no sobre otro actuador. -16 -.

(19) /MT J,H'/ER RUIZGARCÍA. INTROnUCCIÓ.V. 3. 7 Clasificaciones de robots manipuladores Como se mencionó antes, existen robots móviles y robots manipuladores. Los robots manipuladores se pueden clasificar según distintos criterios. [33]. 3.7.1 Según sus grados de libertad La clasificación más obvia sería según los grados de libertad del mecanismo, que debe corresponder con el número de actuadores. Un robot manipulador ideal posee 6 grados de libertad, para poder mover su efector final a cualquier posición y en cualquier orientación. Sin embargo, para muchos robots de aplicaciones específicas son suficientes 5, 4 o hasta 3 grados de libertad. También hay robots redundantes que tienen más de 6 grados de libertad, usualmente para poder posicionar su cuerpo en diferentes posiciones para la misma posición del efector final y así evitar obstáculos.. 3.7.2 Según su estructura cinemática Un criterio importante (en especial para los conceptos de el presente trabajo) es la distinción entre robots seriales (o de lazo cinemático abierto) y robots paralelos. Los robots en serie son aquéllos en los que cada eslabón de la cadena cinemática está conectado sólo a dos otros eslabones, de manera que forman una cadena, corno el caso del robot manipulador FANUC de la Fig. 9. Los robots paralelos tienen lazos cinemáticos cerrados de manera que varios actuadores trabajan a la vez sobre un mismo eslabón, como el caso de la plataforma de Stewart-Gough de la Fig. 1O. En general, un manipulador paralelo tiene las ventajas de una mayor rigidez, mayor capacidad de carga y menor inercia del manipulador que un manipulador en serie, con las desventajas de un espacio de trabajo menor y un mecanismo y control mucho más complejo.. 3.7.3 Según la tecnología de los actuadores Una clasificación no muy usada es según la energía que se use para los actuadores. Así, podemos tener robots de motores eléctricos, de pistones hidráulicos o neumáticos. Aunque la hidráulica tiene gran capacidad de carga y buena potencia, es bastante flexible debido a la elasticidad del aceite. Los pistones neumáticos son muy limpios y rápidos, pero difíciles de controlar por la compresibilidad del aire. En cuanto a los manipuladores seriales con motor, en algunos casos el motor está montado directamente en cada junta, aunque esto representa un peso más que cargar para el actuador anterior. Por esto, muchas veces se montan varios motores instalados en la base, con cadenas o bandas que transmiten el movimiento a las j·.mtas correspondientes. También podemos encontrar distinción entre motores que actúan directamente sobre el eslabón y aquéllos que tienen una caja de reducción para poder usar motores más pequeños con menos par.. -17 -.

(20) IMTJl11D? RLI/UIRCL1. J\'TRODUCCIÓN. 3.7.4 Según la geometría del espacio de trabajo Como vimos antes, el espacio de trabajo de un robot es el espacio que puede alcanzar el manipulador final. Así, podemos ver distintos tipos de robots, que generan diferentes espacios debido a la configuración de sus juntas: cartesianos (3 juntas prismáticas ortogonales), esféricos ( dos rotacionales y una prismática radial), cilíndricos (prismática, rotacional, prismática), articulados (tres o más rotacionales), y algunos casos especiales como el robot SCARA (dos rotacionales y una prismática, todas con sus ejes paralelos).. 3.8 Arquitectura y configuración Se llama arquitectura de un robot a la forma en que se conectan las articulaciones y al conjunto de dimensiones que definen las proporciones entre las distintas partes. Es decir, si tornarnos por ejemplo un brazo manipulador y reducimos la longitud de uno de sus eslabones sin reducir proporcionalmente los demás, estamos generando una nueva arquitectura del robot. Se le llama configuración a una de las posibles combinaciones que pueden tomar los diferentes eslabones de una arquitectura dada para alcanzar o acercarse a cierto punto. El clásico ejemplo de diferentes configuraciones es cuando un manipulador de 2 grados de libertad corno el de la Fig. 8 puede alcanzar un mismo punto usando ya sea una configuración "codo arriba'' o una configuración "codo abajo'' (ver Fig. 13). ,-"C: ____ _ I ' . , .1. , - - - - - I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I I. Fig. 13. Robot de dos grados de libertad, mostrando las configuraciones "codo abajo" (línea sólida) y "codo arriba" (línea punteada).. Esto nos lleva a observar que para que un robot llegue a un punto deseado, se necesitan calcular los valores que deben tomar sus actuadores. Y también sería posible predecir el punto al que llegará el efector final a partir de los valores que tomarán los actuadores. A estos cálculos se les llama cinemática inversa y directa, respectivamente.. -18 -.

(21) /MI JAVIER RUIZ GARCl4. ESTUDIOS ACTUALES. 4 Estudios actuales 4. 1 Cinemática En la robótica, el modelado de los mecanismos se basa principalmente en el modelo de la cinemática directa y la cinemática inversa. Como se mencionó anteriormente, la cinemática directa da la posición (y orientación) del efector final con respecto a una base fija como función del conjunto de variables de los actuadores. Ésta es necesaria para el modelado de los robots, y para el caso de los robots seriales es tan sencilla como una suma de vectores. Por otra parte, la cinemática inversa da la configuración de los actuadores en función de la posición final del efector, y es crucial para el control del robot. Para el caso de los robots seriales, la cinemática inversa no es trivial y es normalmente el principal objeto de estudio. En el caso de la plataforma de Stewart-Gough, la. cinemática inversa es tan fácil como calcular las distancias que hay entre los puntos correspondientes de la base y la plataforma. Sin embargo, el caso de la cinemática directa no es trivial y ha sido objeto de estudio por muchos matemáticos e ingenieros. Aquí se presenta, a manera de referencia, la solución que da Khalil [17] al problema. Existen distintas posibles configuraciones de plataforma de Stewart-Gough "tradicional"; siendo la más común la octaédrica, en la cual las juntas están por pares de manera que se forma un octaedro. Tomemos el caso general en el que las uniones en la base y la plataforma no están por pares, sino que tenemos dos hexágonos. Llamemos miembro a cada uno de los 6 mecanismos que conectan un punto en la base con un punto en la plataforma. Cada miembro está conformado por pistón, cilindro y 3 articulaciones. Al pistón y cilindro les llamaremos eslabones; también se verá más adelante que existen otros eslabones virtuales al descomponer las articulaciones en uniones de 1 grado de libertad. Cada uno de los miembros tiene una unión universal de 2 grados de libertad uniéndolo a la base y una unión esférica de 3 grados de libertad uniéndolo a la plataforma. Los centros de la articulación en la base y en la plataforma se denotan respectivamente como los puntos 8; y P; ( i = 1, ... ,6). Las uniones prismáticas varían la longitud de cada miembro. Se define el marco de referencia Fo fijo en la base, con origen en 8 apuntando hacia 8 2. El plano (xo, y 0 ) es aquél formado por el triángulo 818286.. 1. y con x 0. El marco de referencia Fp está fijo en la plataforma, con origen en P 1 y con apuntando hacia P 2. El plano (xp, yp) es aquél formado por d triángulo P 1P2P6.. Xp. Las juntas esféricas en la base se descomponen como dos uniones de revolución como se muestra en la Fig. 15. La primera de ellas se coloca de tal manera que su eje esté orientado como se muestra en la figura. Con esto tenemos que cada miembro se compone de tres eslabones y tres juntas (dos juntas de revolución pasivas y una junta prismática activa).. -19 -.

(22) JMT }AJ1ERRUIZGARCÍA. ESTUDIOS ACTUALES. I p6. ... . . ... . ... Yi',. .. ... ... .... Fig. 14. Marcos de referencia en la base y en la plataforma. [17). Fig. 15. Descomposición de las juntas de una pata a juntas simples de 1 GL. [17). Sea j; el eslabón j del miembro i, con los marcos de referencia locales definidos como en la Fig. 15 mostrada arriba. Para cada uno de los eslabones, se definen los siguientes parámetros: a(j) = antecesor del eslabón) µ 1 = 1 para actuadores y O para juntas pasivas 0 = O para juntas de revolución y 1 para juntas prismáticas así como los parámetros comunes de Denavit - Hartenberg ( YJ, b 1, a 1, d 1, 8 1, r 1) que determinan la posición y orientación del marco F¡ con respecto a su antecesor F¡. Esto se puede obtener por la matriz de transformación homogénea ;R. 'T = J J (4) ' [O 1. ipl. (lxJ). ( 4x4). -20 -.

(23) !MI JAVIER RUJZ GARCÍA. ESTUDIOS A CTUA LF:S. donde ¡Rj es la matriz de rotación de 3 x 3 que rota las coordenadas del marco F; al F¡, y ipj es el vector de traslación de 3 x 1 que indica la traslación entre dichos marcos de referencia. 2 Con los parámetros anteriores podemos construir la siguiente tabla:. a(j¡). }¡ li 2i 3i. o li 2i. µ. (Y¡¡. ji. o o. o o. 1. 1. Yji. bji. Uji. dji. O¡¡. y¡¡. b¡¡. d¡¡. o o. o o. - 1rl 2 :rr/2 7r / 2. q¡¡. o o. q2¡. o. rji. o o q3¡. Tabla 4-1. Parámetros geométricos de los marcos de referencia para la pata i.. Una vez establecidos los marcos de referencia, podemos definir los siguientes parámetros cinemáticos:. O. Yr. Vector unitario a lo largo del eje z 3¡ Vector de posición P 1P¡ referido al marco F 0 . (El superíndice izquierdo indica el marco de proyección) Matriz antisimétrica de 3 x 3 asociada al vector Velocidad lineal del origen de la plataforma P 1. O. ro P. Velocidad angular de la plataforma. a 3¡ ºL¡. ºL¡ o . 0. ºL¡. V". Aceleración lineal del origen de la plataforma. <i>P. Aceleración angular de la plataforma. ºVr. Vector de velocidad espacial de 6 x l, compuesto de las velocidades lineales y angulares de la plataforma (5). o .. V". Vector de aceleración espacial (6). O. Yp¡. Velocidad lineal del punto P¡ de la plataforma. ºV.P, o.. Vr,. = ºvp + ºro P X ºL ¡. (7). Aceleración lineal del punto P¡ de la plataforma 0. v·Pi = 0 v·p + º(!)· p. X. ºL ¡ + º. (!) p X. (º. (!) I' X. ºL ¡ ). (8). O también puede ser expresado como. 2. En una matriz de transformación homogénea general, el vector O de 1 x 3 corresponde al vector de perspectiva, y el 1 del último elemento corresponde al factor de escala. [30] -21 -.

(24) !MT.f..1 l'!fR RCII. GAIICÍ.I. ESTUDIOS ACTUALES. ºV1'1 = [1 3 - ºL' i ]. o'\I·, "I P. +. 0 (O P. (O I'. X. ºL i ). (9). donde 13 es la matriz identidad de 3 x 3 Vector de 6 x 1 de las fuerzas en los actuadores. r. r = [r,1 Qa. Vector de 6. x. q,. Vector de 3. x. = [q3 I. Vector de 3. x. ( 1O). q36. r. (11). l de las velocidades de las uniones del miembro i. <i, = [(}¡, I. r,6r. 1 de las variables (distancias) de los actuadores. qa. q. 0. X(. (}3,. q2,. r. (12). 1 de las aceleraciones de las uniones del miembro i (13). La cinemática inversa del robot da las velocidades de las juntas activas. q3,. (i. =. 1, ... ,6) como función de la velocidad de la plataforma. Se define de la siguiente manera [ 17]: (14) donde OJ~ es la matriz Jacobiana del robot, definida como 1. ºa;1. ( ºL1 ºa31. f. ºJ~ = 1. (15). ºa;(, ( ºl6 ºa)6. f. 0. donde a 3¡ es el vector unitario a lo largo del eje z 3¡. Una de las utilidades que tiene esta matriz es que nos ayuda a predecir si un robot está en riesgo de dañarse en ciertos puntos (singularidades) debido a fuerzas que crecen exageradamente. Para un robot paralelo bien diseñado, la matriz Jacobiana debe ser invertible en todo el espacio de trabajo. También podemos determinar la cinemática inversa que nos diga la velocidad de todas las juntas como función de la velocidad lineal del punto P¡ . . = ºJ-1J, ºvPi ( 16) Q, don de ºJ-1 3 ; es la Jacobiana inversa de la pata i. Esta Jacobiana se obtiene [17]. º 1 'J,,-l-q ,s~n(q,,}. 3. 3. q3i. ~. Por su forma, es fácil obtener la inversa: -22 -. º O. ]. (17).

(25) !MI' JAVIER RUJZ GARCÍA. ESTUDIOS ACTUALES. -1/. o. o. / ( q3; sen ( q 2;)). 3,J-1 _. o o. 3i -. o. (18). 1. Nótese que ºJ-1 3i. = )iJ-13i )iR O'. ( ºJ-1 3¡. )T = ºR 3i ( )iJ-13i )T. (19). Este Jacobiano es singular sólo cuando sen(q2;) = O ó q 3; = O, condiciones que son imposibles en un modelo físico real, puesto que son las longitudes de los actuadores (cilindro-pistón). El modelo de la cinemática inversa de segundo orden de la pata i es .. q¡. = ºJ-13i ( ºv·Pi - ºJ. 3iq. ). (20). Al sustituir la ecuación (9) en la (20), obtenemos .. q¡. = ºJ-13i ([1 3 - ºL" i JDi,'*' P + oCOp X (º COp X. JL) ºJ. . ) i. -. 3iqi. (21). Muchos investigadores han estudiado la cinemática directa de la plataforma de Stewart-Gough. Puesto que la solución analítica requiere de la solución de una ecuación de grado 16, la mayoría de los artículos sobre el tema tratan sobre métodos numéricos iterativos para la solución del problema. Se ha demostrado que debido a la libertad que tienen las articulaciones, para una vector de actuadorei, dado pueden existir hasta 40 soluciones diferentes de la posición de la plataforma.[9],[1.l ],[33],[35] Sin embargo la mayoría de estos estudios tratan sobre la plataforma 6-UPS, y muy pocos ([3],[13],[33]) analizan la variante 6-PUS.. 4. 2 Dinámica y control Ya se mencionó antes que los robots paralelos presentan importantes diferencias con los robots en serie. Para los robots en serie, la dinámica se puede representar con la ecuación vectorial de Euler-Lagrange para sistemas no-lineales de 2° orden: M(q)q+C(q,q)q+G(q)=T (22) donde q es el vector de coordenadas generalizadas o de posición de los actuadores, 't es el vector de pares o fuerzas, M(q) es la matriz de masas e inercias, C(q,q') es la matriz de aceleración de Coriolis y G el vector de términos en función de la gravedad. Sin embargo, para los robots paralelos el modelo no es tan conocido. Tsai [33] presenta un modelo basado en las ecuaciones de Lagrange del primer tipo. Merlet [26] plantea una manera más sencilla pero como veremos más adelante, no considera las fuerzas de reacción del piso. Aracil [2], Khalil [17] y Yiu [37] documentan propuestas basadas en el método de Newton Euler, pero todas ellas son muy complejas y hacen muchas suposiciones y -23 -.

(26) JMT JAVIER RUIZGARCÍA. ESTUDIOS ACTUALES. simplificaciones para terminar resolviendo el problema por medio de algoritmos iterativos muy complejos. Para evitar este problema, la mayoría de los robots paralelos se diseflan de manera que todos los eslabones sean ligeros y todos los actuadores se colocan en la base, de manera que los efectos dinámicos del robot en sí son mucho menores en comparación con los robots en serie. [7]. Por consiguiente, tampoco existen métodos de control definidos para este tipo de robots. Los que se han construido, generalmente se controlan de manera desacoplada, considerando únicamente la posición de los actuadores, de la cual se tiene una referencia definida por la fácil obtención de la cinemática inversa.[2][22][23][18][25]. Kozak [ 18] plantea un modelo dinámico basado en las ecuaciones de Euler Lagrange, y luego lo linealiza, con lo que se podrían aplicar distintos métodos de control. Sin embargo, dicho artículo trabaja sobre un robot plano de dos grados de libertad (2RPR), con una configuración que simplifica los cálculos ya que la fuerza de los actuadores es colineal a los eslabones. A pesar de estas simplificaciones resultan unas ecuaciones muy complicadas, por lo que se considera que no es el camino óptimo para analizar un robot en . el espacio con 6 grados de libertad involucrando fuerzas de reacción del piso.. y. .... X. ~------Lg. Fig. 16. Robot 2RPR planteado por Kozak para su análisis dinámico en (18).. Se tiene entonces que los modelos dinámicos en general son muy complejos. Sin embargo, afortunadamente hoy en día existen programas de software que ayudan a poder probar diferentes diseños sin necesidad de escribir las relaciones cinemáticas o modelos dinámicos. A este tipo de programas se les llama CAD (Computer-Aided Design: Diseflo Asistido por Computadora) y CAE (Computer-Aided Engineering: Ingeniería Asistida por Computadora) y se basan en algoritmos numéricos iterativos que crea la computadora a base de modelos geométricos dibujados por el usuario.. -24 -.

(27) !MT Jff!ER RUIZGARCÍ4.. AS.ÍUS!S PARA EL f)fSEi\/0 f)f:'L :'v!ANIPULADOR. 5 Diseños preliminares en CAD-CAE El software de CAD-CAE es muy útil para hacer prototipos virtuales rápidos de modelos dinámicos sin necesidad de conocer el modelo matemático. Esto permite analizar el comportamiento del modelo al variar las características principales, incluso antes de empezar a deducir el modelo. Se realizaron algunos modelos de los diseños propuestos (Fig. 1, pág. 4) en software de CAD-CAE para obtener una primera visualización del movimiento que tendrá el mecanismo, y obtener una primera impresión de cuáles son las características deseables e indeseables.. 5. 1 Modelo tradicional 6-UPS 3 5.1.1 Descripción Parte importante de esta investigación es hacer un comparativo de los nuevos diseños contra el diseño tradicional. Es por esto que para poder hacer las comparaciones se analizó una plataforma Stewart-Gough que existe físicamente en la Ciudad de México: se trata de la base de un simulador de vuelo en el centro de entrenamiento de pilotos de Aeroméxico.. Fig. 17. Vistas externas del simulador de vuelo para pilotos de Aeroméxico. (Fotos tomadas con permiso durante una visita de estudios para el Proyecto de Carrera). La versión simplificada de este sistema en visualNastran es la siguiente: 3. A partir de aquí, cuando no se especifique con negritas o subrayado la articulación que está actuada, se entenderá que es la prismática. -25 -.

(28) JMT JAVIERRl/lZGARCÍA. ANÁLISIS PARA El DISEÑO DEL lv/ANIPULADOR. Fig. 18. Modelo de la base del simulador de vuelo. Se puede distinguir claramente la geometría octaédrica. visua1Nastran4D.. 5.1.2 Pruebas La primer prueba consistió en programar los actuadores de manera que se movieran con una onda senoidal, todos al parejo, para observar el movimiento hacia arriba y hacia debajo de la plataforma. La siguiente prueba consistió en programar los actuadores con fases alternantes, buscando en la plataforma un movimiento de nutación. Se generaron los archivos de video así como las siguientes gráficas: .dQJ~ -. X(lffll). -. y(INft). -. 2':(ffrll) VS.til'e(S). ,..,. <'. x.,¡,. 2ID). ' @@tj. {'.: ttttttEf~i:(~_!. .dQJ~. -x(mi). -. z(rnn). 1~T""?""'",,-~~~----,,.......,...~~~---,. """. 500. ............ .soo~~~~~~~~~~. o. Fig. 19. Desplazamiento de la plataforma comparado con el desplazamiento de los pistones (pistones sincronizados). -26 -.

(29) !MI JAVIER RUJZ GARCÍA. ANiLISIS PARA EL DISEÑO DEL MANIPULADOR. Fig. 20. Ángulo de desviación de la plataforma comparado con el desplazamiento de los pistones (pistones en tres fases alternant,~s). 5.2 Diseño triangular simple 5.2.1 Descripción La primera idea se conformó pensando en una plataforma triangular similar al del diseño clásico, y una manera sencilla de hacer que las puntas de dicho triángulo suban y bajen. Con esto se esbozó una base con canales alineados por pares como se verá a continuación. Se pensó en un mecanismo pequeño, de tamaño similar a los comerciales presentados en www .hexapod.net. A continuación se presmta una descripción y esquemas de las piezas. Base.- Se realizó partiendo de un triángulo de altura 25 cm truncando las puntas de manera que quedara un hexágono irregular con apotema mayor de longitud 1Ocm. Se trazaron los canales donde se moverán las patas, por pares alineados, de longitud 45mm, a 65mm del centro.. -27 -.

(30) JMJ' JAVIER RUIZ GARCÍA. ANÁLISIS PARA EL DISEÑO DEL MANIPULADOR. Fig. 21. Vista superior de la base. Medidas en mm.. Fig. 22. Vista tridimensional de la base. ProlENGINEER Wildfire 2.. Plataforma.- Consiste en un triángulo equilátero, cuyas dimensiones coinciden con las distancias entre los canales de la base. En la parte inferior tiene 6 perforaciones de diámetro 5mm donde van las juntas universales de las patas, a 65mm del centro (igual que en la base), quedando el triángulo de altura 125 mm (menos el redondeo de las puntas) y lado 147.5.. -28 -.

(31) !MT JAVIER RU/7 GARCÍA. A.V,ÍLISIS !'ARA H nJS!éivD /lF/, .\/11\'ll'CL,WOR. R2.49-2.51. Fig. 23. Vista superior de la plataforma móvil. Medidas en mm.. Fig. 24. Vista tridimensional de la plataforma mó, il. Pro\ENGINEER.. Eslabones.- Consisten simplemente en una barra ~ircular de 1Ocm de longitud y Smm de espesor, con las puntas redondeadas, que embcnará en los orificios y ranuras correspondientes en la plataforma y la base.. -29 -.

(32) AxAus,s !':IRA E/, DISE.VO DEL MA1\'ll'l.LADOR. !Jfj'J¡ 11/,R R{'// U-IRC'Í1l. .... '. Fig. 25. Vista tridimensional y medidas de la barra o pata. ProlENGINEER.. Una vez diseñados los bocetos de las piezas, se procedió a hacer un ensamble preliminar en el mismo ProlENGINEER, para posteriormente exportarlo a MSC.visua1Nastran4D, donde se terminaron de definir las uniones y restricciones, así como los actuadores que le darán el movimiento.. Fig. 26. Ensamble preeliminar en ProlENGINEER.. -30 -.

(33) IMT } A VIER R wz GARCÍA. ANÁLISIS PARA EL DISEÑO DEL MANIP ULA DOR. Fig. 27. Ensamble final en MSC.visua1Nastran4D. Se pueden observar en verde las juntas universales y los actuadores lineales.. 5.2.2 Pruebas A continuación se presentan los resultados de la pnmera prueba (movimiento senoidal coordinado). t. '. '. 1. ¡.. . .. ':. '{' '.". .. .. .. y (mm). x (mm). --. '. z (mm) vs. lime (s). 120 110 100 90 80. .:..IQJ-29. 'g¡lOisplacement of_constraint(56J y (mm) . PI (mm) vs. tine (s). x(mm) z(mm). 70 60. 50. 50. 40. 40. 30. 30. 20. 20. 10. 10. o. o. -10. o.o. -10 1.0. 2.0. o.o. 3.0. 1 .0. 2.0. 3.0. Fig. 28. Gráficas del movimiento de los actuadores (coordinados) y el correspondiente desplazamiento de la plataforma. Las ventanas se presentan en distintos tamaños para igualar las escalas.. -31 -.

(34) /MT J AVIERR UIZ G ARCÍA. A NÁLISIS PARA El DISEÑO DEL MANIP ULADOR. La Fig. 28 muestra la pantalla de visualNastran durante la simulación mecánica. Se puede ver en la parte superior izquierda una vista del modelo durante la animación, y en la parte inferior izquierda y mitad derecha de la pantalla se muestran gráficas que registran el comportamiento de distintas variables. Del lado izquierdo, se presenta el desplazamiento de una de las articulaciones, es decir, los valores que va tomando uno de los actuadores. Del lado derecho, el correspondiente desplazamiento de un punto en la plataforma. En la parte superior de cada gráfica se especifica el significado de cada eje (variables dependientes en el eje y contra variable independiente -tiempo- en el eje x), así como la magnitud que mide cada color de gráfica. En el caso de la gráfica de la izquierda, la única variable que tiene significado es IDI , que corresponde a la magnitud de los pistones. Con este primer acercamiento, podemos notar dos cosas importantes: 1. El movimiento en z de la plataforma no es completamente senoidal como el de los actuadores. 2. El rango de movimiento de la plataforma es mucho menor al de los actuadores. Es decir, los actuadores se están desplazando una distancia de 47mm (su rango total de movimiento) y esto genera un movimiento en la plataforma en un rango menor a 20mm. Es importante considerar esto ya que nos muestra que se sacrifica mucho espacio con este diseño en particular. La siguiente prueba, los actuadores con fases alternantes, arrojó las siguientes gráficas. -\,,i:'R J!I~. g¡ Orientation of PLATAFORMA Rx(deg). Ry(deg). --. Rz (deg) vs. timE. 100. 90. 80. 70. 60. so 40. ;g¡)Oisplacement of c,o~~!!'!15~J y (mm). x (nun) z (nun). IDI (mm). .d.º129 .. 30. vs . tme (s). 20. 40 10 20. o -20 +--+--+--+----+-<>-'--+---+--+----+-. º. 2. 3. 5. 6. 2. 3. 4. 5. 6. Fig. 29. Movimiento de la plataforma resultado de programar diferentes fases a los pares de actuadores (0°, 120º, 240°). La gráfica de la izquierda son mm de desplazamiento y la de la derecha son grados de orientación. -32 -.

(35) JMT JAVIER RUJZ GARCÍA. ANÁLISIS PARA EL DISEÑO DEL MANIPULADOR. Se observa también un movimiento irregular, resultado probablemente de ligeras desalineaciones de los actuadores al momento de especificar las coordenadas de unión sobre las superficies. Otra cosa importante que no se ve claramente en las gráficas pero sí en la animación es que tampoco se tiene un rango de movimiento muy amplio; es decir que si por ejemplo se acopla un láser a la plataforma, el cono que proyectará será de un ángulo pequeño.. 5.2.3 Análisis Con esta primera prueba se puede ver que en cuanto a espacio de trabajo, la configuración propuesta no es la óptima debido a que el desplazamiento en z que permite cada uno de los pares de patas es muy reducido en comparación al desplazamiento en x que requiere en la base. Tomemos las siguientes consideraciones: Cada par de patas se une en un solo punto en la plataforma móvil. El ángulo () de las patas con respecto del plano perpendicular (ver diagrama) varía muy poco y se puede considerar como 90º despreciando su variación. Lo anterior se muestra en la Fig. 30:. Fig. 30. Medidas importantes para calcular el rango de movimiento.. Donde. a = distancia del centro de la plataforma al punto de unión de cada par de patas r = longitud de cada pata d = rango de desplazamiento de cada actuador e = distancia del centro de la base a donde inicia el rango del actuador z = desplazamiento vertical de la punta de la plataforma.. -33 -.

(36) ÁNIÍLIS!S PARA EL DISEÑO DEL ,'v/AN!PULADOR. !MT.!AVIER RUIZGARCÍA. De manera simplificada, consideremos que cada pareja de patas se mueve de manera simétrica, con lo que obtenemos simplemente un movimiento vertical de la correspondiente punta de la plataforma (despreciando, como se dijo, desviación con respecto del plano vertical). Con esto tenemos que la altura mínima de cada punta será: 1. zmin. .. . . ... .. = ;r 2 -(c+d) 2. (23). que corresponde a cuando las patas están totalmente abiertas. La altura máxima corresponde a las patas totalmente ce1Tadas, es decir: f 2 2 zmin=.;r-c. (24). Con esto podemos calcular la inclinación maxnna de la plataforma en alguna dirección, que para este diseño en particular corresponde a cuando dos pares de patas se encuentran totalmente cerrados (altura máxima) y el par restante totalmente abierto (altura mínima) o viceversa. , I 1 (}. I I. I. ... -. -. -. -. .. 1. ¡. Zma.. -. I. .,.,. _, ,_,'.s' . ,, " 1. \1\ 1. ~. 1. \\. I. -:r: /:. -. ...... ~ fl .... pares cerr~\. I. par abierto. z. J. Zmin. \. 1. ) \\. ~\}. \. '. Fig. 31. Máxima inclinación de la plataforma en un sentido.. Si se definió a como la distancia del centro a la punta de la plataforma, entonces la altura total de ese triángulo es 3a/2. La diferencia máxÍma de alturas entre los extremos es Zmax - Zmin, y entonces la inclinación máxima es: B = arcsen(. (} = arcsen. [. 2 '"~. .J¡. 2. Í~z.,,. -c. 2. J. -)1. 2. -(c+d). 2. J. (25). la 2. Sustituyendo las variables correspondientes para el modelo presentado, tenemos: -34 -.

(37) ANÁLISIS PARA EL DISE1VO DEL MANIPULADOR. JM[ JAVIER RUIZ GARCÍA. -. 2. 2. 2. 2. [~100 -7.5 -~100 -(7.5+45) ( ) () - arcsen 3 2 67.5. J (26). () = 8.29º lo cual corresponde a lo que vimos en la Fig. 29 y es muy pequeño.. 5.3 Diseño triangular cruzado 5.3.1 Descripción Al comparar el diseño rec1en mostrado con el modelo original (ignorando las diferencias de escala), vemos que en el diseño original la señal de salida es de amplitud muy pequeña. Esta razón motivó a intentar un nuevo diseño que no perdiera tanta amplitud en el movimiento. La idea fue cruzar las patas para poder tener un movimiento "de tijera" para subir y bajar y una mayor posibilidad de giro.. Fig. 32. Esquema de la idea del modelo de patas cruzadas.. Para poder realizar este modelo fisicamente, se rediseñó la base de manera que en vez de tener por lado dos canales cortos colineales, fueran dos canales largos paralelos; además es necesario ajustar el tamaño de la plataforma y girar un poco su posición inicial para que las patas (que físicamente no son líneas, sino cilindros) no se intersecten, como muestra la Fig. 33.. -35 -.

(38) JMT JAVIER RUIZ GARCÍA. ANÁl/SIS PARA EL DISEÑO DEL MANIPULADOR. Fig. 33. Vista superior de la base y plataforma del modelo de "patas cruzadas". Nótese el ligero giro a la izquierda que tiene la plataforma para que los puntos donde se conectan las patas queden, al menos inicialmente, en el mismo plano que las ranuras.. Fig. 34. Vistas del modelo ensamblado en ProlENGINEER.. Al igual que los modelos anteriores, éste fue exportado a visualNastran, donde se terminaron de definir las restricciones de las articulaciones, así como las características de los actuadores.. -36 -.

(39) !MI' JAVIER RUJZ GARCÍA. ANIÍLISIS PARA El J)JSE:VO DEL MANll'UL4DOR. (a). (b). Fig. 35. Vistas del modelo en visualNastran. (a) Render4 y (b) modelo de trabajo con las juntas y actuadores.. 5.3.2 Pruebas Se generaron igualmente los dos casos: cuando todos los actuadores funcionan sincronizados (movimiento hacia arriba y hacia abajo) y cuando se alternan en tres fases (movimiento de nutación). Los resultados fueron los siguientes:. ~. 11. 'P!!'P'f"&lil1é~·:, _: x(nrn). --. y(rnrn). .:Jgj~. --. Z(lfflt) vt.lffll(•). 100 50. ..........~............. ~--~~~~-~~~~~. O. 1. 2. 3. 4. S. 6. 7. 8.. 9. 10. 11. 12. 13. O. 1. 2. 3. 4. s. s. 1. a. s. 10. 11. 12. 13. Fig. 36. Gráficas del movimiento hacia arriba y hacia abajo. Se puede observar que, a diferencia del modelo presentado en la sección anterior, éste tiene un rango amplio de movimiento. 4. Render.- Imagen o video bidimensional de W1 modelo CAD tridimensional en la cual se incluyen texturas, sombras, reflejos y deformaciones debidas a la perspectiva, y se ocultan todas las marcas auxiliares o de trabajo. Como requiere de muchos cálculos, usualmente no se puede trabajar con el modelo en vista renderizada, sino que se genera para una posición o trayectoriu predt:terminada y desde un punto de vista también predeterminado. -37 -.

(40) A NÁLISIS PARA EL DISEÑO DEL MA NIPULADOR. !MTJAVIER R UIZGARCÍA. Rx (de!!) ~. A. 1 70 \. .V. Ry (de!!). í\. \. \J"-_,. /. --. '. í"\. \ /. ,.,,. .. Rz (deg). ,. ,,, ! \. ¡··\ ·. \/--~/. ve. 1'. ,¡,v / \. 60. 50 40. x(mm) z(mm). y(mm). IDI (mm). . vs . time (s). ·~~~-SO~. 1. O. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 3. _30...._+--+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+--+-+--+-<. 1. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. O. 13. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. (x, y) • (3.0117, 55.938). Fig. 37. Gráficas del movimiento de nutación. Se observa en las gráficas y en el modelo la gran desviación que se puede alcanzar.. 5.4 Conclusiones sobre los modelos CAD Empecemos por comparar el modelo original con el primer diseño. Aunque las dimensiones son de magnitudes diferentes (éste se trata de un simulador de vuelo y el anterior se trataba de un modelo pequeño), lo que nos interesa de estas gráficas es la relación que hay entre la entrada (actuadores) y la salida (plataforma). En la Fig. 29 (pág. 32) se observa que para el primer modelo la amplitud de salida es menos de la mitad que la amplitud de entrada, mientras que para el diseño clásico (Fig. 19) la amplitud es prácticamente la misma. Algo parecido se observa en el ángulo de nutación. En cuanto al segundo diseño, en las gráficas y las animaciones generadas se observa que tiene amplia ventaja sobre el anterior en cuanto a espacio de trabajo, ya que con un mismo tamaño de base (la plataforma y las patas se hicieron un poco más grandes para cumplir con las características del diseño) se alcanzan movimientos mucho más amplios. La amplitud del movimiento hacia arriba y hacia abajo es casi la misma que la amplitud del movimiento de los actuadores, como ocurre con el diseño original. Sin embargo, durante las simulaciones (gracias a que se cometió un error al establecer las fases de los actuadores) se detectó un fenómeno importante y es que, debido a la amplitud de sus movimientos, este diseño sí tiene singularidades, en los que las fuerzas necesarias se vuelven demasiado grandes y esto puede ser peligroso.. -38 -.