Series de tiempo pptx

SERIES EN EL TIEMPO.

Introducción.

Análisis de series en el tiempo: Es el estudio histórico de

las tendencias a largo plazo, las variaciones estacionales y

los desarrollos de ciclos de negocios.

Una serie de tiempo es un grupo de datos cuantitativos

que se obtienen en períodos regulares. Ej: los cambios

semanales en el porcentaje de las ventas de las tiendas

departamentales. La publicación mensual del Índice de

precios al consumidor, etc.

_{Su mayor aplicación es en la elaboración de pronósticos,}

los cuales incluyen la proyección de valores futuros de una

variable,

basada

completamente

en

observaciones

pasadas y presentes de ésta.

SERIES EN EL TIEMPO.

EXISTEN BÁSICAMENTE DOS ENFOQUES EN LA ELABORACIÓN DE PRONÓSTICOS: CUALITATIVO Y CUANTITATIVO.

LOS MÉTODOS CUALITATIVOS SON ESPECIALMENTE ÚTILES CUANDO NO SE DISPONE DE INFORMACIÓN HISTÓRICA, COMO CUANDO SE HACEN PRONÓSTICOS PARA UN ARTÍCULO NUEVO. SON MUY SUBJETIVOS Y DE CRITERIO.

LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS UTILIZAN LA INFORMACIÓN HISTÓRICA.

LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS SE PUEDEN SUBDIVIDIR EN DOS TIPOS SERIES EN EL TIEMPO Y CAUSALES

LOS MÉTODOS CAUSALES INCLUYEN ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE CON VARIABLES RETRASADAS, ELABORACIÓN DE MODELOS ECONOMÉTRICOS.

LOS MÉTODOS DE SERIES DE TIEMPO INCLUYEN LA PROYECCIÓN DE VALORES FUTUROS DE UNA VARIABLE, BASADA COMPLETAMENTE EN OBSERVACIONES PASADAS Y PRESENTES DE ESTA.

Existen muchos modelos matemáticos para explorar las fluctuaciones entre

los factores componentes de una serie de tiempo. Quizá el más importante

sea el

Modelo Clásico Multiplicativo

, que es el que estudiaremos.

Componente Clasificación del

componente.

Definición Razón de la influencia Duración

Tendencia Sistemático Patrón de movimientos

ascendentes ó descendentes, general ó persistente a largo plazo

Debidos a cambios en tecnología, población, riqueza, valores

Varios años

Estacional Sistemático Fluctuaciones periódicas

bastante regulares que ocurren dentro de cada período de 12 meses, año tras año.

Debido a condiciones de tiempo, costumbres sociales, costumbres religiosas.

Dentro de 12 meses (ó información mensual ó trimestral). Cíclica. Sistemático Desplazamientos ó

movimientos repetitivos

ascendentes y descendentes mediante cuatro fases; desde el punto más alto (prosperidad) a la contracción (recesión); de la sima (depresión a la

expansión (recuperamiento).

Debido a interacciones de numerosas

combinaciones de factores que influyen sobre la economía.

Por lo general de 2 a 10 años con diferente intensidad para un ciclo completo. Irregular. No sistemático.

Las fluctuaciones erráticas ó (residuales) en una serie de tiempo que existen después de tomar en cuenta los efectos sistemáticos.

Debido a variaciones aleatorias en los datos ó debido a

acontecimientos imprevistos como huelgas , huracanes, etc.

MODELO CLÁSICO MULTIPLICATIVO.

El modelo de serie de tiempo clásico multiplicativo afirma que

cualquier valor observado en una serie de tiempo es el

producto de

estos factores influyentes

Una observación Y

registrada en el año i

se puede expresar como:

Y

= T

• C

• I

T

= valor de la componente de tendencia.

C

= valor del componente cíclico.

I

= valor del componente irregular,

Cuando los datos se obtienen trimestral ó mensualmente, se

debe añadir la componente S

(componente estacional).

AJUSTE DE TENDENCIA.

La tendencia es factor componente más estudiado en una serie de

tiempo. En primer lugar se estudia para fines de predicción, es decir

para realizar proyecciones de pronósticos a medio y largo plazo

Como se estudió en regresión, el método de mínimos cuadrados

permite ajustar una línea recta de la forma:

De modo que los valores calculados para los dos

coeficientes, ordenada al origen b

y la pendiente b

. den

como resultado:

𝒃𝟏=

∑

(

∑

) (

∑

)

∑

−

(

∑

)

𝟐

𝒏

AJUSTE DE UNA TENDENCIA LINEAL DE MÍNIMOS

CUADRADOS PARA UN NÚMERO IMPAR DE AÑOS.

AÑO X_i IMPUESTOS (MILLONES) Y_i

X_IY_I X_i2

1973 -7 55.40 -387.80 49 1974 -6 61.50 -369.00 36 1975 -5 68.70 -343.50 25 1976 -4 87.20 -348.80 16 1977 -3 90.40 -271.20 9 1978 -2 86.20 -172.40 4 1979 -1 94.70 -94.70 1 1980 0 103.20 0.00 0 1981 1 119.00 119.00 1 1982 2 122.40 244.80 4 1983 3 131.60 394.80 9 1984 4 157.60 630.40 16 1985 5 181.00 905.00 25 1986 6 217.80 1306.80 36 1987 7 244.10 1708.70 49

0 1820.8 3322.1 280

Tomaremos como ejemplo los impuestos anuales sobre la

renta pagados al gobierno federal (1973-1987)

1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 Años Im p u e s to s ( m il lo n e s d e d o la re s )

Impuestos anuales pagados (millones de dólares)

Para series con un número impar de años, para facilitar los

cálculos al año central se le asigna del código de X=0. A todos los

años posteriores se le asignan números enteros sucesivos

AÑO X_i

IMPUESTOS (MILLONES)

Y_i

X_IY_I X_i2

1973 -7 55.40 -387.80 49 1974 -6 61.50 -369.00 36 1975 -5 68.70 -343.50 25 1976 -4 87.20 -348.80 16 1977 -3 90.40 -271.20 9 1978 -2 86.20 -172.40 4 1979 -1 94.70 -94.70 1 1980 0 103.20 0.00 0 1981 1 119.00 119.00 1 1982 2 122.40 244.80 4 1983 3 131.60 394.80 9 1984 4 157.60 630.40 16 1985 5 181.00 905.00 25 1986 6 217.80 1306.80 36 1987 7 244.10 1708.70 49

0 1820.8 3322.1 280

𝒃

=

∑

𝑿

𝒀

𝑿

𝟐

=

𝟑

,

𝟐𝟐𝟐

.

𝟏

𝟐𝟖𝟎

=

𝟏𝟏

.

𝟗

𝒃

=

∑

𝒀

𝒏

=

𝟏

,

𝟖𝟐𝟎

.

𝟖

𝟏𝟓

=

𝟏𝟐𝟏

.

𝟒

Puesto que el origen señalado fue el año 1980 El año medio de la serie se tiene:

Donde el origen es 1980 y X unidades un año

Esto significa que en 1980, los contribuyentes pagaron 121.4 millones de dólares y que la tasa de aumento es de 11.9 millones por año

AJUSTE DE TENDENCIA PARA UN NÚMERO PAR DE

AÑOS

AÑO X_i

IMPUESTO S (MILLONE

S) Yi

X_IY_I X_i2

1974 0 10.10 0 0

1975 1 11.30 11.3 1

1976 2 13.80 27.6 4

1977 3 16.10 48.3 9

1978 4 17.10 68.4 16

1979 5 18.00 90 25

1980 6 20.20 121.2 36

1981 7 22.90 160.3 49

1982 8 24.50 196 64

1983 9 25.90 233.1 81

1984 10 27.60 276 100

1985 11 30.10 331.1 121

1986 12 34.80 417.6 144

1987 13 41.50 539.5 169

n=14 91 313.9 2520.4 819

𝒃_𝟏=𝒏

∑

(

∑

)(

∑

)

𝒏

_∑

(

∑

)

𝒃

_𝟏

=

𝟏𝟒

(

𝟐𝟓𝟐𝟎

.

𝟒

)

−

(

𝟗𝟏

)

¿¿

Puesto que:

𝑌

=

∑

𝑌

𝑛

=

313.9

14

=

22.42

𝑋

=

∑

𝑋

𝑛

=

91

14

=

6.5

22.42-(2.1)(6.5)=8.8

Por lo que:

^

𝒀

=

𝟖

.

𝟖

+

𝟐

.

𝟏

𝑿

Donde el origen es 1974 y X unidades 1 año

El pronóstico para 1991 sería el año 17

_𝒀

^

1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 0.00

5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00

Series1

Linear (Series1) Exponential (Series1)

AJUSTE D

E UNA TE

NDENCIA

CUADRÁT

ICA POR

EL MÉTO

DO DE

LOS MÍN

IMOS CU

ADRADO

S.

El modelo cuadrático ó polinomial de segundo grado es el más

sencillo de los modelos curvilíneos, en este modelo se puede usar

la fórmula:

^

𝒀

=

𝒃

+

𝒃

+

𝒃

𝑿

𝟐

Donde: b

= ordenada al origen estimada

b

= efecto lineal estimado sobre Y

b

= efecto curvilíneo estimado sobre Y

Los cuales tendrían las ecuaciones lineales:

∑

𝒀

𝒊

=

𝒏𝒃

𝟎

+

𝒃

𝟏

∑

𝑿

𝒊

+

𝒃

𝟏𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟐

∑

𝑿

𝒊

𝒀

𝒊

=

𝒃

𝟎

∑

𝑿

𝒊

+

𝒃

𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟐

+

𝒃

𝟏𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟑

AÑO X_i

IMPUESTOS (MILLONES)

Y_i XIYI Xi

2_Y

i Xi2 Xi3 Xi4

1974 0 10.10 0 0 0 0 0

1975 1 11.30 11.3 11.3 1 1 1

1976 2 13.80 27.6 55.2 4 8 16

1977 3 16.10 48.3 144.9 9 27 81

1978 4 17.10 68.4 273.6 16 64 256

1979 5 18.00 90 450 25 125 625

1980 6 20.20 121.2 727.2 36 216 1296

1981 7 22.90 160.3 1122.1 49 343 2401

1982 8 24.50 196 1568 64 512 4096

1983 9 25.90 233.1 2097.9 81 729 6561

1984 10 27.60 276 2760 100 1000 10000

1985 11 30.10 331.1 3642.1 121 1331 14641

1986 12 34.80 417.6 5011.2 144 1728 20736

1987 13 41.50 539.5 7013.5 169 2197 28561

n=14 Años

91.00 313.90 2,520.4024,877.00 819.00 8,281.00 89,271.00

Ejemplo

∑

𝒀

𝒊

=

𝒏𝒃

𝟎

+

𝒃

𝟏

∑

𝑿

𝒊

+

𝒃

𝟏𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟐

∑

𝑿

𝒊

𝒀

𝒊

=

𝒃

𝟎

∑

𝑿

𝒊

+

𝒃

𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟐

+

𝒃

𝟏𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟑

∑

𝑿

𝒊

𝟐

𝒀

𝒊

=

𝒃

𝟎

∑

𝑿

𝒊

𝟐

+

𝒃

𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟑

+

𝒃

𝟏𝟏

∑

𝑿

𝒊

𝟒

313.9=14b₀+b₁(91)+b₁₁(819) 2,520.4=91b₀+b₁(819)+b₁₁(8,281)

24,877=819b₀+b₁(8,281)+b₁₁(89,271)

b₀=11.145 b₁=0.89 b₂=0.094

^

𝒀

=

𝟏𝟏

.

𝟏𝟒𝟓

+

𝟎

.

𝟖𝟗

𝑿

+

𝟎

.

𝟎𝟗𝟒

𝑿

𝟐

Con origen en 1974 y X unidades = 1 año

Pronostico para 1991 (17)

^

AJUSTE D

E UNA TE

NDENCIA

EXPONEN

CIAL POR

EL MÉTO

DO DE

LOS MÍN

IMOS CU

ADRADO

S.

Cuando una serie parece aumentar a una tasa creciente, de modo que la diferencia porcentual de una observación a otra sea constante, se puede ajustar una ecuación de tendencia exponencial de la forma:

Donde: b₀ = ordenada al origen

(b1 – 1)x100%= Tasa de crecimiento compuesta anual estimada (en porcentaje)

Aplicando logaritmos (base 10):

log𝑏1=

∑

(∑ 𝑋𝑖) (∑log𝑌𝑖)

𝑛

∑

∑

2

𝑛

log

𝑏

=

∑

log

𝑌

AÑO X_{i (MILLONES) Y}IMPUESTOS

i Log Yi XiLogYi X

2 i

1974 0 10.10 1.00432 0.00000 0

1975 1 11.30 1.05308 1.05308 1

1976 2 13.80 1.13988 2.27976 4

1977 3 16.10 1.20683 3.62048 9

1978 4 17.10 1.23300 4.93198 16

1979 5 18.00 1.25527 6.27636 25

1980 6 20.20 1.30535 7.83211 36

1981 7 22.90 1.35984 9.51885 49

1982 8 24.50 1.38917 11.11333 64

1983 9 25.90 1.41330 12.71970 81

1984 10 27.60 1.44091 14.40909 100

1985 11 30.10 1.47857 16.26423 121

1986 12 34.80 1.54158 18.49895 144

1987 13 41.50 1.61805 21.03463 169

n=14 Años 91.00 313.90 18.43913 129.55254 819.00

Ejemplo:

log𝑏₁=

∑

𝑋𝑖) (∑ log𝑌𝑖)

𝑛

∑

2

𝑛

log

𝑏

₁

=

129.55254

−

(

91

)

¿¿¿¿

𝐥𝐨𝐠

𝒃

=

𝟎

.

𝟎𝟒𝟐𝟔𝟐𝟗𝟔

log

𝑏

=

∑

log

𝑌

𝑛

−

𝑿

log

𝑏

log

𝑏

=

18.43913

14

−

6.5

(

0.0426296

)

=

1.03999

b₀ = antilog 1.03999= 11.0

^

𝒀

=

𝟏𝟏

.

𝟎

(

𝟏

.

𝟏𝟎𝟑𝟏

)

Donde el origen es 1974 y X unidades 1 año.

El pronóstico para el año 1991 (17) sería:

^

AISLAMIE

NTO Y EL

IMINACIÓ

N DE LA

TENDENC

IA EN LO

S DATOS

ANUALE

S: LAS

RELATIVA

S CÍCLIC

AS - IRRE

GULARES

Algunas veces se desea eliminar el efecto de la tendencia, en el modelo clásico multiplicativo y proporcionar la estructura para la elaboración de presupuestos a corto plazo de la actividad general.

El procedimiento de aislar y eliminar de los datos un factor componente se denomina

descomposición de series de tiempo. Puesto que el método de mínimos cuadrados proporciona valores de tendencia ajustados para cada año en la serie, se puede eliminar con facilidad el componente de tendencia del modelo clásico multiplicativo:

Por lo que

:

AISLAMIE

NTO Y EL

IMINACIÓ

N DE LA

TENDENC

IA EN LO

S DATOS

ANUALE

S: LAS

RELATIVA

S CÍCLIC

AS - IRRE

GULARES

Ejemplo:

AÑO X_i IMPUESTOS

(MILLONES) Y_i XIYI Xi2 AJUSTADA REL. CIC. _IRREG

SELECCIÓN DEL MODELO DE PRONÓSTICO APROPIADO.

Los métodos de mayor utilización para establecer lo adecuado de un modelo particular de elaboración de pronósticos se basan en el criterio de lo bien que se ha ajustado a un determinado de grupo de datos de series de tiempo. Hay tres enfoques: a) Realizar un análisis residual.

b) Medir la magnitud del error de pronostico.

c) Usar el principio de la parquedad.

Medición del error del pronostico. Esta medida se basa en la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales y ajustados.

Variación no explicada =

Si el modelo ajustara perfectamente los datos del pasado, entonces la variación no explicada seria cero, si el modelo ajustara de manera deficiente los datos del pasado la variación explicada sería grande.

Una importante desventaja de usar la Variación no explicada es la exageración que se produce por elevar al cuadrado las diferencias. Por que se usa La desviación media absoluta (MAD).

Ejemplo: Tendencia lineal b₀= 8.7057 b₁ =2.1101 MAD = 1.4218

Tendencia cuadrática: b₀=11.145 b₁=0.8905 b₁₁=0.0938 MAD =1.0424

Tendencia exponencial: b₀= 10.9645 b₁ =1.1031 MAD = 0.9957

DATOS TENDENCIA

LINEAL CUADRÁTICATENDENCIA _EXPONENCIALTENDENCIA

AÑO X_i IMPUESTOS (MILLONES)

Y_i

1974 0 10.10 8.71 1.3943 11.1450 1.0450 10.9645 0.8645 1975 1 11.30 10.82 0.4842 12.1293 0.8293 12.0954 0.7954 1976 2 13.80 12.93 0.8741 13.3012 0.4988 13.3428 0.4572 1977 3 16.10 15.04 1.0640 14.6608 1.4392 14.7190 1.3810 1978 4 17.10 17.15 0.0462 16.2080 0.8920 16.2370 0.8630 1979 5 18.00 19.26 1.2563 17.9428 0.0572 17.9117 0.0883 1980 6 20.20 21.37 1.1664 19.8653 0.3347 19.7590 0.4410 1981 7 22.90 23.48 0.5765 21.9754 0.9246 21.7969 1.1031 1982 8 24.50 25.59 1.0866 24.2731 0.2269 24.0450 0.4550 1983 9 25.90 27.70 1.7967 26.7585 0.8585 26.5249 0.6249 1984 10 27.60 29.81 2.2068 29.4315 1.8315 29.2606 1.6606 1985 11 30.10 31.92 1.8169 32.2922 2.1922 32.2785 2.1785 1986 12 34.80 34.03 0.7730 35.3405 0.5405 35.6076 0.8076 1987 13 41.50 36.14 5.3629 38.5764 2.9236 39.2801 2.2199