TRABAJO Y ENERGÍA
1º.- Trabajo realizado por una fuerza: El término trabajo no tiene el mismo significado en la Física que el utilizado en el lenguaje coloquial, al igual que sucede con otros muchos términos (por ejemplo, con la fuerza, calor, etc.). Desde un punto de vista físico, se define el trabajo elemental o diferencial realizado por una fuerza “ ” variable a lo largo de un desplazamiento elemental “ ” por el producto escalar:
donde la fuerza, en general, variará con el tiempo, es decir “ ” y la trayectoria tendrá una forma arbitraria. Así pues, en principio, se trata de un concepto puramente matemático, basado en el producto escalar de dos vectores.
Supongamos la situación presentada en la fig. 1, tal como vemos si la fuerza tiene una determinada dirección y la partícula sobre la que actúa se desplaza en otra, únicamente la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento efectúa trabajo, ya que a partir de la definición dada anteriormente podemos escribir:
y “ ” es la proyección del vector fuerza sobre la dirección del desplazamiento.
Naturalmente si expresamos ambos vectores por sus componentes podremos escribir:
En definitiva, el trabajo finito realizado desde un punto A a otro B, a lo largo de una curva C, nos vendrá dado por:
Este tipo de integrales reciben el nombre de integrales curvilíneas o integrales de línea ya que su valor no depende únicamente de la función que se integra, ni del punto inicial “A” y final “B”, sino también de la trayectoria, es decir de la curva que siga o describa la partícula sobre la que actúa la fuerza “ ”, para desplazarse de A a B. No se trata de una integral definida, a la que se pueda aplicar la regla de Barrow, sino de otro tipo de integración.
Así, el trabajo realizado por una fuerza “ ” para desplazar una partícula desde un punto A a otro B, depende de la trayectoria seguida. Es decir que, en general, para la fig. 2 tendremos:
Veamos un ejemplo para clarificar todo lo dicho anteriormente.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) Fig. 1
Ejemplo: Dada la fuerza calcular el trabajo realizado por la misma al desplazar una partícula desde el punto A(0, 0) al punto B(2, 4) a lo largo de:
a) La recta que une los punto A y B. b) La parábola de ecuación “ .
c) La quebrada “ ”
Solución: Como podemos observar la fuerza dada depende de los puntos del plano, es decir que según el punto que consideremos así es el valor de la misma. Por ejemplo, en el punto (1,1), la fuerza valdría “ ”, mientras que en el (3,4) sería “ ”. Por otro lado, es evidente que al ir del punto A al punto B, por diferentes trayectorias pasaremos por distintos puntos, con lo que el valor de la fuerza no será el mismo. Es por esto que el trabajo dependerá de la trayectoria. Si bien, la expresión general será:
En la fig. 3 se han representado las tres trayectorias mencionadas. Veamos las diferentes situaciones enunciadas.
1º.- La recta que une los puntos A y B tiene por ecuación “y = 2x”, de manera que para todos los puntos de esta recta podemos sustituir el valor de “y” por “2x”, además diferenciando obtenemos “dy = 2 dx”, con lo que la expresión del trabajo puede ser escrita como:
2º.- En este caso, vamos de A a B, a través de la parábola “
” , de manera que para todos los puntos de esta parábola podemos sustituir “ ” por “ ”, y además, diferenciando obtenemos que “ ”, con lo que la expresión del trabajo puede ser escrita como:
3º.- En este último caso al ir de (0, 0) al (2, 0), lo que hacemos es mantener en todo momento la “y” constante, e igual cero, con lo que “y = 0” , “dy = 0”. A continuación vamos del (2, 0) al punto (2, 4), con lo que mantenemos fijo el valor de “x”, e igual a 2, y así “dx = 0”. De esta forma, el trabajo total será igual a la suma de los trabajos correspondientes a estos dos pasos, es decir:
donde:
en definitiva:
como vemos todos los trabajos son diferentes.
Naturalmente si sobre un cuerpo actúan diferentes fuerzas “ ” el trabajo elemental total realizado por ellas al desplazar la partícula, se obtiene sumando los trabajos elementales realizados por cada uno de ellos. Es decir:
donde “ ” representa la resultante vectorial del conjunto de fuerzas aplicadas sobre la partícula.
Notemos que tanto el trabajo elemental como el total es una magnitud escalares puede ser nula, si los vectores fuerza y desplazamiento son perpendiculares “ ”, positiva si “ ” o negativa “ ”. Estas dos últimas circunstancias corresponden a que la fuerza se encuentre en la dirección del desplazamiento o se oponga.
Un caso particular y extremadamente simple es aquel en el que sobre un determinado cuerpo que se desplaza sobre una superficie horizontal actúa una fuerza constante que forma un ángulo “ ” con la dirección del desplazamiento, ya que entonces:
es decir:
de manera que únicamente la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento “ ”, es efectiva en la producción de trabajo, de hecho, si toda la fuerza actúa en dicha dirección , podremos escribir:
que es la expresión que se estudia en cursos elementales.
Desde el punto de vista dimensional, las correspondientes al trabajo son:
que en el Sistema Internacional sirven para definir el Julio (J), como:
es decir que un julio es el trabajo realizado por una fuerza de un newton al desplazar un cuerpo un metro en la misma dirección que la fuerza.
Otras unidades que se utilizan son: a) En el sistema C.G.S: El ergio
b) En el sistema técnico: El kilopondímetro c) En termodinámica: La caloría
d) En Física atómica y nuclear: El electrón-voltio
(6)
(7)
e) En Ingeniería eléctrica: El kilovatio hora:
Por último conviene indicar que si vamos desde un punto A a otro B a través de una curva C, y posteriormente vamos desde B a A, a través de la misma curva, los trabajos realizados serán los mismos en valor absoluto, si bien tendrán signos opuestos, es decir:
y en consecuencia, de forma general si vamos de A a B, a través de una trayectoria y volvemos de B a A, a través de otra trayectoria diferente, la suma de los trabajos será distinta de cero, lo que se representa por:
2º.- Potencia: Un concepto que tiene gran importancia en ingeniería es el de “potencia”, ya que el tiempo que se invierte en la realización de un cierto trabajo es de vital importancia en estos campos. Es pues, un concepto que no es fundamental en la dinámica, pero sí eminentemente práctico. Se define la potencia instantánea como el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo, es decir:
La unidad de potencia es el wattio, definido por:
si bien también se utiliza el caballo de vapor, cuyo valor es:
También es posible definir la potencia media como el cociente entre la variación de trabajo realizado en un cierto intervalo de tiempo, es decir:
además, si utilizamos la definición y suponemos que lo realiza una fuerza constante en la dirección del desplazamiento, podemos escribir:
Por último, se deduce de la expresión (9), que si la potencia es constante entonces:
es decir en tiempos iguales se realiza un mismo trabajo.
3º.- Teorema de la Energía Cinética o de las Fuerzas Vivas: Consideremos una partícula de masa “m” sobre la que actúa una fuerza “ ”. Tal como sabemos, el trabajo elemental producido por esa fuerza en un desplazamiento “ ” viene dado por:
(11)
(12)
(13) (9)
ahora bien, utilizando la segunda ley de Newton, podemos sustituir la fuerza por el producto de la masa por la aceleración, de forma que:
ahora bien, a partir de la definición del módulo de un vector, podemos escribir:
y por otro lado, diferenciando el producto “ ”, obtenemos:
es decir:
de donde
y así:
Por definición se denomina energía cinética de una partícula en un instante “t” a:
de forma, que a partir de la expresión (14), podemos concluir: el trabajo elemental realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un punto material es igual a la variación infinitesimal de su energía cinética.
El trabajo finito realizado por la fuerza “ ”, al pasar del punto A al punto B a lo largo de la curva C, puede entonces calcularse mediante la integración:
expresión que nos indica que: El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un punto material, al desplazarse desde un punto A hasta B a lo largo de cierta trayectoria C, es igual a la diferencia de energías cinéticas correspondientes a los puntos B (final) y A (inicial). Este resultado se conoce como teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética.
Debe notarse que este resultado, si bien nos permite determinar el trabajo realizado por la fuerza total que actúa sobre la partícula, a lo largo de cualquier trayectoria, sin tener que resolver la integral de línea no está en contradicción con que el trabajo realizado dependa de la trayectoria seguida, ya que las velocidades alcanzadas dependerán de la trayectoria que describa la partícula.
(14)
(15)
La energía cinética es un escalar siempre positivo asociado a la partícula y que depende de su estado de movimiento. Es evidente, además, que la energía cinética depende del Sistema de Referencia utilizado, ya que la velocidad es una magnitud relativa. Desde el punto de vista dimensional, sus unidades son las correspondientes al trabajo.
Algunas consecuencias del teorema de las fuerzas vivas son las siguientes:
a) Si la velocidad de la partícula es constante, su energía cinética no sufre variación alguna y por lo tanto es nulo el trabajo realizado por la fuerza neta.
b) Recíprocamente, si la fuerza no produce trabajo alguno, por ser “ ” y “ ” perpendiculares, su acción consistirá únicamente en alterar la trayectoria, no existiendo variaciones en el módulo de la velocidad, o sea aceleraciones tangenciales, si bien sí existirán aceleraciones normales.
c) Si la energía cinética disminuye al pasar de A al punto B, el trabajo realizado por la fuerza neta es negativo; la partícula va disminuyendo la velocidad. Por tanto, su energía cinética será igual al trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre la partícula, para llevarla al reposo. Desde este punto de vista, puede decirse que toda partícula tiene almacenada una energía, como consecuencia de su estado de movimiento, ya que a medida que realiza un trabajo disminuye su velocidad y pierde esta energía (cinética).
4º.- Fuerzas conservativas. Energía potencial. Teorema de las energías potenciales: Una fuerza se dice que es conservativa si el trabajo efectuado por la misma al pasar de un punto inicial A a otro B es independiente de la trayectoria seguida, es decir que únicamente depende de los puntos inicial y final. Desde un punto de vista matemático, esto significa que la integral correspondiente al trabajo admite una primitiva, con lo que es posible calcularla aplicando la regla de Barrow. Si denotamos por “ ” a esta primitiva, tendremos que:
donde el signo menos "-", se introduce por convenio.
Si en la expresión anterior aplicamos la regla de Barrow, podremos escribir que el trabajo efectuado por una fuerza conservativa entre los puntos A y B, viene dado por:
cada uno de estos términos se denomina energía potencial correspondiente bien al punto A o bien al punto B, y la expresión anterior recibe el nombre de teorema de las energías potenciales, y nos indica que: el trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre una partícula, durante el desplazamiento desde una posición inicial a otra final, viene dado por la variación de la energía potencial de la partícula entre ambas posiciones.
Notemos que a diferencia de lo que ocurre con el teorema de las energías cinéticas, el correspondiente a las energías potenciales únicamente es aplicable si las fuerzas son conservativas, ya que sólo para estas es posible la introducción de tal concepto.
Además la energía potencial está indeterminada en una constante arbitraria; ya que si en la expresión anterior sumamos la misma constante tanto a “ ” como a “ ”, el resultado no varía. Así pues, no tiene sentido hablar de energía potencial correspondiente a un punto, salvo que se halla definido un origen para la energía potencial. De todas maneras, mas que la energía potencial de una partícula en un punto (definición que nace de la toma de un origen y por tanto de un convenio), lo que tiene realmente interés es la diferencia de energías potenciales entre los puntos, ya que este término no presenta ninguna indeterminación.
Por otro lado si una fuerza es conservativa y vamos de un punto A hasta otro B a lo largo de una trayectoria C, posteriormente vamos de B a A, a través de otra trayectoria C`, resultará que al ser los trabajos independientes de la trayectorias y además iguales el trabajo total será nulo, de forma que para una fuerza conservativa podremos escribir:
(17)
(18)
siendo precisamente el cumplimiento de esta condición la que nos servirá `para determinar si una fuerza dada es o no conservativa.
Ejemplo: Dada la fuerza determinar si es o no conservativa, y en caso afirmativo determinar su energía potencial.
Solución: El trabajo para pasar de un punto A hasta otro B, a lo largo de una trayectoria C, nos vendrá dado por:
a fin de verificar si es conservativa comprobaremos que al partir de un punto para ir a otro por una trayectoria C, por ejemplo la quebrada que los une, y volver de a a través de otra trayectoria C`, por ejemplo la recta que los une, el trabajo total es nulo. Y así:
1º.- Trabajo realizado por la quebrada . En este caso tendríamos:
siendo con lo que
siendo , luego
y el trabajo en su totalidad será:
2º.- Trabajo realizado por la recta que une los puntos B y A, cuya ecuación será:
es decir:
de donde
que realizando los cálculos pertinentes nos lleva a:
y en consecuencia:
y por lo tanto la fuerza dada es conservativa.
De esta manera existe una energía potencial asociada a esta fuerza, para su cálculo nos basaremos en el teorema de las energías potenciales:
y en que el trabajo para ir de un punto que tomaremos como origen a otro arbitrario, viene dado por:
cualquiera que sea la trayectoria seguida. Por tanto igualando ambas expresiones tendremos:
es decir:
de esta manera si como origen de energías potenciales tomamos el (0, 0), resultará que la energía potencial de un punto cualquiera de coordenadas será:
con respecto del mencionado origen.
En definitiva, la energía potencial (magnitud escalar) define una interacción en la misma forma que lo hace una fuerza (magnitud vectorial). Conviene indicar, también, que la energía potencial no es susceptible de forma directa a la medida, mientras que la fuerza si lo es. La energía potencial es una representación matemática de la interacción, particularmente útil, pero su sentido físico nace de la existencia de campos de fuerzas conservativos.
Además, la energía potencial, a diferencia de la energía cinética, puede ser tanto positiva como negativa, ya que la elección del origen es por conveniencia.
5º.- Principio de la conservación de la energía mecánica: Si bien, el término energía es uno de los más utilizados tanto en la física, su definición, hoy por hoy no es posible. Es una magnitud escalar, congruente con las unidades de trabajo y que no varía en los múltiples cambios que ocurren en la naturaleza.
Para nuestros propósitos, podemos definir la energía como la capacidad para realizar un trabajo1 . Esta definición no es válida para todos los tipos de energía, pero sí para definir la
energía asociada a sistemas puramente mecánicos.
Supongamos que sobre un cuerpo actúa una fuerza conservativa, ya hemos visto que en tales circunstancias el trabajo necesario para trasladarlo desde un punto A a otro B, puede calcular como diferencia de energías cinéticas (teorema de las fuerzas vivas) o a partir de las energías potenciales. En cualquiera de los casos, el resultado será el mismo, por lo que se verificará:
o sea
La cantidad “ " se denomina energía mecánica. Y de esta manera, la expresión anterior nos indica que: cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica total de la partícula permanece constante. Es decir:
Si consideramos ahora el caso de sistemas en los que intervienen fuerzas no conservativas, deberemos tener en cuenta que el trabajo de las fuerzas disipativas no se acumula en forma de energía potencial, de manera que las variaciones de energía cinética no se compensan por las correspondientes de la energía potencial. Ahora bien, si se verificará el teorema de las fuerzas vivas, con lo que el trabajo efectuado será igual a la diferencias de energías cinéticas. Por otro lado, si suponemos que sobre el sistema actúan fuerzas conservativas y disipativas, el trabajo total será igual a la suma de los trabajos realizados por tales fuerzas, es decir:
donde " " indica el trabajo correspondiente a las fuerzas conservativas y " " el de las fuerzas disipativas.
Evidentemente, las fuerzas conservativas tendrán asociadas las energías potenciales correspondientes, y el trabajo efectuado por ellas podrá ser calculado a partir de la diferencia de energías potenciales, y así:
por tanto:
es decir: el trabajo efectuado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía cinética más el cambio en la energía potencial. Y teniendo en cuenta la definición anterior de la energía mecánica total, la expresión anterior puede escribirse como:
1 La energía asociada con el calor, a menudo no está disponible para realizar un trabajo. (20)
(21)
(22)
o sea: el trabajo realizado por las fuerzas disipativas es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema.
6º.- Introducción al concepto de campo: Uno de los principales problemas con los que la física se ha encontrado, desde la antigüedad, es el de cómo un cuerpo puede actuar sobre otro. Filósofos de la Grecia antigua, Tales, Demócrito y Platón ya intentaron contestar a esta pregunta proponiendo algunas soluciones interesantes que implicaban teorías sobre la naturaleza del mundo. Demócrito, por ejemplo, decía que los cuerpos interactuaban por contacto entre sus átomos. Cuando el pensamiento griego fue recuperado en el Renacimiento, Descartes, Galileo y otros pensadores del siglo XVII mejoraron las teorías griegas, desarrollando nuevas ideas. Así, por ejemplo, Descartes lanzó la teoría de que el mundo está completamente lleno de materia, y toda acción de un cuerpo sobre otro se realiza por contacto directo o indirecto. Pensaba que un imán actúa sobre un trozo de hierro a través de un flujo invisible de materia que sale del imán y vuelve a él. Sin embargo, el éxito iba a ser para otra teoría, aparecida a finales del siglo XVII y cuyo autor fue Isaac Newton.
En la Teoría de Newton los cuerpo están formados por corpúsculos que actúan a distancia unos sobre otros instantáneamente. La intensidad de la acción depende del inverso del cuadrado de la distancia entre los cuerpo. Esta teoría se aplicaba también a la gravitación, con la que pudo calcular el movimiento de los planetas con una gran aproximación y deducir leyes enunciadas por Kepler y Galileo. La teoría de Newton era muy superior en la predicción de resultados a cualquier otra hasta el momento desarrollada, de esta manera se convirtió en punto de referencia para lo sucesivo.
Tal como hemos visto, dentro de la Mecánica Clásica la interacción entre los diferentes punto materiales puede describirse mediante fuerzas, y si estas son conservativas, por medio de energías potenciales que aparecen como función de las coordenadas de las partículas que interactúan. Esta forma de describir las interacciones lleva implícita la aceptación de una propagación instantánea de las mismas, ya que las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas debidas a las restantes, en cada instante dependen únicamente de las posiciones de las partículas en este mismo instante. Un cambio en la posición de cualquiera de las partículas que interaccionan repercute inmediatamente sobre las otras partículas. Esto significa que la velocidad de propagación debe ser infinita .
La respuesta a estas cuestiones la da una teoría: la teoría de los campos, que nace en el siglo XIX como fruto, por un lado de las experiencias de Faraday y Oersted, y por otro, de los trabajos teóricos de Gauss, completados posteriormente por Maxwell. Esta teoría indica que al situar en el espacio vacío una partícula con una propiedad especial y característica (carga, masa, etc.) se rompe la estructura del espacio originalmente vacío, que ya no lo es por haber introducido esa partícula. Esta ruptura o deformación del espacio hace que éste deje de ser Euclídeo, es decir homogéneo e isótropo .No obstante, la partícula se mueve libremente si es la única que se encuentra presente en el espacio, ya que ella no se ve afectada por las deformaciones que ella misma provoca. En otras palabras, la partícula genera una perturbación que se denomina campo de fuerzas, que se traduce sobre toda partícula que presente la misma propiedad en una determinada acción, siempre y cuando se halle dentro de la zona perturbada.
De este modo, la acción sobre una partícula del campo generado por otra se manifiesta en la interacción entre ambas; es decir, la partículas interaccionan a través de los campos creados por ellos. El espacio vacío, se deforma cambiando su geometría, al introducir en él una partícula, de manera que otra nueva partícula aparecerá sometida a la acción de esa deformación. Exactamente igual podría decirse de la primera de las partículas respecto a la deformación originada por la segunda.
Es evidente, entonces, que las trayectorias posibles de las partículas situadas en un campo ya no serán las correspondientes a líneas rectas arbitrarias, tal como ocurre en el movimiento libre, sino que el campo dotado de una nueva estructura geométrica, obligará a las partículas situadas en él a seguir otras trayectorias, denominadas líneas de fuerza.
Fig. 5
definitiva, una partícula genera un campo, que se pone de manifiesto a si en él colocamos otra partícula con las mismas propiedades física, manifestación que recibe el nombre de fuerza.
En otras palabras, si suponemos que una partícula con la propiedad "p" genera un campo " ", al situar en su seno otra partícula con la misma propiedad, nosotros observaremos una fuerza " ", tal que:
(24)
Hasta el momento hemos hablado únicamente de campos de fuerza, ya que su efecto es la aparición de fuerzas de interacción; estos campos son vectoriales, ya que la magnitud física posee carácter vectoríal. Si la magnitud física se corresponde a un escalar, hablaremos de campos escalares, ejemplos serían la temperatura, las densidades o las presiones.
Cuando los campos, bien sean escalares o vectoriales, no dependen del tiempo se dicen estáticos o estacionarios.
Desde un punto de vista gráfico los campos escalares se visualizan por las llamadas superficies de nivel o equiescalares, que se definen como el lugar geométrico de los puntos del espacio para los que la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo:
tal como se aprecia en la fig.4.
Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o equiescalares, que según las circunstancias reciben determinadas denominaciones: isotermas,
isobaras, de nivel, etc. Estas curvas son de gran importancia de los mapas metereológicos o en los topográficos. Un ejemplo, construido a partir de la fig. 4 se representa en la fig. 5.
En lo sucesivo, nosotros centraremos nuestro estudio en los campos de fuerza, y más concretamente en aquellos que son independientes del tiempo, es decir en los campos de fuerza estáticos. Y de esta manera, todo punto del espacio tendrá definido un vector que en general tomará valores distintos para puntos diferentes. De esta manera se puede dar una imagen del campo, asociando vectores a muchos puntos del espacio, de manera que cada uno de esos vectores indique la intensidad, dirección y sentido en ese punto (fig. 6).
También, se pueden visualizar los campos vectoriales y su comportamiento, y de hecho se hace, trazando líneas que en todo momento son tangentes al vector de campo correspondiente a ese punto, esto se puede ver en la fig. 7. Estas líneas se denominan de campo e indican el sentido mediante flechas colocadas sobre ellas. Es necesario indicar que, mediante este tipo de representación, se pierde información sobre el módulo de los vectores, si bien para dar una idea cualitativa de la magnitud del campo, se dibujan las líneas más
Fig. 4
separadas en las regiones donde es más débil, mientras que se representan más juntas allí donde el campo es más intenso (fig. 8).
Las líneas de campo son una forma bastante incompleta de describir un campo, ya que es difícil enunciar leyes cuantitativamente correctas, obtenidas de forma directa en función de dichas líneas.
Además también resulta muy complicado su representación en el caso de más de un campo y de las interacciones que puedan existir entre ellos.
Finalmente, conviene recalcar que si bien desde el punto de vista histórico primero surge el concepto de fuerza o interacción y posteriormente el de campo, a fin de explicar la interacciones a distancia, desde un punto de vista conceptual lo que realmente hay son campos que se ponen de manifiesto a través de la fuerzas o interacciones. La relación matemática entre ambos viene dada por:
donde "p" es la característica propia del campo. Es cierto que a partir de esta expresión es posible escribir:
(25)
expresión que en algunos textos sirve para definir un campo como la fuerza por unidad de propiedad característica (masa, carga, etc.), lo que es cierto desde el punto de vista operativo pero no conceptual.
7°.- Campos conservativos. Potencial: Un campo se dice que es conservativo si sus manifestación corresponde a una fuerza de tipo conservativa, y que ya hemos definido anteriormente. Desde un punto de vista matemático, podemos expresarlo a partir de las expresiones (19) y (24), ya que:
de donde
(26)
expresión que nos servirá para caracterizar a los campos conservativos, y que nos indica que la circulación del vector campo a través de una trayectoria cerrada es nula, o sea, que únicamente depende de los puntos inicial y final. Este hechos, nos lleva a indicar que la integral
posee una función primitiva, que denominaremos función potencial que denotaremos por "V", tal que:
(27)
donde el signo menos nuevamente aparece por convenio. Notemos que si esta expresión la multiplicamos por la magnitud característica de campo "p", entonces:
que nos conduce a:
(28)
lo que, identificando términos nos conduce a:
(29)
con lo que, podemos afirmar que de igual forma que el campo se manifiesta a través de fuerzas, las energías potenciales son las manifestaciones de los potenciales. De esta forma, todo campo conservativo tiene una doble descripción; una vectorial (a través del vector campo) y otra escalar (a través de la función potencial).
Una consecuencia de lo dicho es que para un campo conservativo, el trabajo realizado por la fuerza conservativa puede escribirse como:
(30)
lo que hace que en ciertos textos se defina la diferencia de potencial como el trabajo por unidad de propiedad, definición que desde el punto de vista operativo resulta útil, pero que conceptualmente no es correcta.
Desde el punto de vista gráfico la representación de un campo vectorial resulta complicada, pero si el campo es conservativo existe la posibilidad de utilizar su descripción escalar a base de superficies de potencial y más frecuentemente de líneas equipotenciales, es decir curvas que unen los puntos que presentan un mismo valor para el potencial.
A continuación se representan el campo vectorial, las líneas de campo para diferentes valores y las correspondientes líneas equipotenciales, para el ejemplo ya estudiado anteriormente, es decir el campo de fuerzas dado por:
con referencia al origen que consideramos el (0, 0).
Campo Vectorial: Tal como puede apreciarse, los vectores se disponen a modo de hipérbolas algunas de las cuales se representan a continuación.
Líneas de Fuerza:
Superficies Equipotenciales: A partir de la expresión de la energía potencial, y considerando a esta como eje OZ, se ha realizado la siguiente representación.
8º.- Estudio de algunos campos conservativos: En esta sección estudiaremos algunas fuerzas de carácter conservativo que suelen ser las que con más frecuencia nos encontraremos.
I.- Campo Gravitatorio Terrestre: Tal como sabemos toda masa situada sobre la superficie terrestre o en sus inmediaciones sufre una fuerza de carácter atractivo que llamamos peso. Esta fuerza viene dada por:
(31)
Según lo dicho, podemos concluir que esta fuerza es la manifestación de un campo cuya expresión obtenemos sin más que considerar la unidad de masa, y así:
(32)
donde, tal como sabemos "g" tiene un valor constante de aproximadamente . Este campo o esta fuerza es conservativa, lo que es fácil de comprobar, ya que al considerar el trabajo realizado al trasladar una masa" m" desde un punto A a otro B, a lo largo de una curva C, nos encontramos con:
(33)
como vemos esta integral tiene primitiva, por lo que es posible aplicar la regla de Barrow, es decir que únicamente depende de los puntos inicial y final, o en otras palabras que es conservativo, y así:
(34) expresión que comparándola con la correspondiente al teorema de las energías potenciales nos permite escribir:
(35)
donde " " y " " representan las posiciones (alturas) respecto del origen. De esta manera si tomamos como origen, la superficie terrestre, podemos escribir que la energía potencial correspondiente a una altura " " sobre ella viene dada por:
(36)
y el trabajo necesario para elevar una determinada masa desde la superficie terrestre hasta una determinada altura será:
donde el signo menos indica que el trabajo se realiza contra el sistema, es decir que debemos apartarlo desde el exterior.
II- Campo Gravitatorio: Desde un punto de vista histórico y hasta la aparición de Kepler, la astronomía matemática se encuentra dominada por la idea de la perfección celeste. Platón y Aristóteles, como otros filósofos de su tiempo, suponían que los cielos eran perfectos en todos los sentidos. De esta doctrina deducían que los cuerpos celestes y las estructuras que los sostenían debían estar compuestos de una sustancia imperecedera (el éter) y presentar una forma esférica, porque la esfera es la única figura geométrica en la que todos sus puntos de la superficie equidistan del centro. La misma doctrina llevó a los astrónomos matemáticos griegos de esta época al dogma del movimiento circular uniforme: los cuerpos celestes recorren círculos a velocidad constante o bien sus movimientos son composición de dos o más movimientos circulares uniformes. Por ejemplo, un planeta Q, Marte, puede viajar a velocidad constante a lo largo de una circunferencia de centro P que avanza con velocidad constante a lo largo de una circunferencia mayor cuyo centro es la Tierra, situada en O.
Es Kepler con el enunciado de sus tres leyes, y las posteriores investigaciones de Galileo y Newton los que reducen el problema a los límites en que lo enfocamos en la actualidad.
LAS TRES LEYES:
Ley de las órbitas elípticas: las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas, ocupando éste uno de sus focos.
Ley de las áreas: en cualesquiera intervalos de tiempos iguales, una línea trazada desde el planeta al Sol barrera áreas iguales.
Ley de la armonía universal: los cuadrados de los tiempos de revolución de cada dos planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.
En las figuras 6-a y 6-b se representan tanto la primera como la segunda ley de Kepler. Fig. 13
Fig. 14
Notemos que en la fig. 14-B, que nos muestra áreas iguales para tres regiones de una órbita planetaria, como las tres regiones sombreadas tienen la misma área, el planeta se mueve más rápidamente cuando está más cerca de Sol y más lentamente cuando está mas alejado. Esta segunda ley nos indica que la irregularidad aparente en la velocidad con la que los planetas se mueven en sus órbitas es una variación que es función de una sencilla condición de tipo geométrica.
Con respecto a la "ley de las órbitas elípticas", y que hoy se conoce como la primera ley de Kepler, basta decir que en realidad Kepler primero deduce una ley general de áreas que es independiente de cualquier órbita en particular, Sólo más tarde inventó el concepto de una órbita elíptica y más tarde observar que la órbita encajaba con las observaciones de Marte.
La tercera ley, conocida como ley armónica ya que Kepler pensó que demostraba las verdaderas armonías celestes, desde un punto de vista matemático se escribe:
(38)
donde "D" es la distancia media y "T" el periodo de revolución. Si como unidades de distancia se toman unidades astronómicas (1 UA = 1.495978707 1011 m, distancia media entre la Tierra y el Sol) y como unidades de tiempo se escogen los años, entonces el valor de la constante es la unidad (k = 1). Pero si la distancia y el tiempo se midieran en el S. I, por ejemplo, el valor de la constante ya no sería la unidad.
La trascendencia de esta tercera ley es que se trata de una ley de necesidad; es decir, establece que, en cualquier sistema de satélites, es imposible para éstos moverse a cualquier velocidad o a cualquier distancia. Una vez se ha dado la distancia, la velocidad está determinada. En nuestro Sistema Solar esta ley implica que el Sol suministra la fuerza rectora que mantiene a los planetas moviéndose como lo hacen. De ninguna otra manera podría dar cuenta del hecho de que la velocidad esté tan puntualmente relacionada con la distancia al Sol. Kepler pensaba que la acción del Sol era, cuanto menos en parte, magnética. Se sabía en su día que un imán atrae a otro imán aún a pesar de que los separen distancias considerables. El movimiento de un imán produce movimiento en el otro. Kepler estaba informado de que un físico de la reina Isabel, William Gilbert, había mostrado que la Tierra es un enorme imán. Si todos los objetos en el Sistema Solar son semejantes antes que diferentes, como había mostrado Galileo y como supone el sistema heliocéntrico, ¿por qué el Sol y los otros planetas no podrían ser también imanes como la Tierra?
La suposición de Kepler, pese a ser atractiva, no conduce directamente a una explicación de por qué los planetas se mueven en elipses y barren áreas iguales en tiempos iguales. Ni nos dice por qué, la particular relación distancia-período que encontró es efectivamente válida. Ni parece relacionada de alguna forma con problemas tales como la caída de graves (conforme a la ley galileana de caída) sobre una Tierra estacionaria o en movimiento, ya que la piedra corriente o el trozo de madera no son magnéticos. Y sin embargo veremos que Newton, el cual respondió con el tiempo a estas cuestiones, basó sus descubrimientos en las leyes encontradas por Kepler y Galileo.
A partir de estas leyes es posible deducir la ley de la gravitación universal. Esta deducción la realizaremos aquí en forma simplificada, si bien en el Apéndice I se presenta de forma exacta.
La primera ley establece que la órbita de un planeta es una elipse. Un caso particular de una elipse es un círculo, en el cual los dos focos coinciden en el centro. En este caso, y aplicando la segunda ley la fuerza se dirige hacia el centro del círculo. Puesto que la órbita es estable, desde el punto de vista dinámico esto exige un equilibrio de fuerzas, por lo que la fuerza de atracción debe equilibrar a la fuerza inercial (centrífuga) y así:
siendo “P” el período de revolución de la masa “m”, y así tenemos:
Ahora, la tercera ley de Kepler nos dice que:
donde “k” es una constante de proporcionalidad, y por tanto:
que demuestra que para verificar las leyes de Kepler, la interacción gravitacional debe ser central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
De esta manera podemos afirmar que: la interacción gravitatoria es atractiva y varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos; esto es:
donde “G” es la llamada constante de la gravitación universal y cuyo valor determinado experimentalmente por Cavendish es de:
tal como se explica en el apéndice II.
Si suponemos que es la masa m’ la que genera el campo, que se manifiesta sobre cualquier otra masa m, éste podrá escribirse como:
donde hemos construido el vector unitario como . Si (x, y, z) son las coordenadas de un punto cualquiera del espacio sobre el que está definido el campo2, la expresión del campo será:
2 En el caso del campo gravitatorio, y dada su estructura matemática, puede observarse que se extiende por extiende por el espacio en su totalidad.
