MATRICES REALES TABLA 1

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36 MATRICES REALES

Una empresa produce cuatro productos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. El productor de cada artículo requiere cantidades específicas de dos materias primas, 𝑋e 𝑌, y también cantidades determinadas de mano de obra. Suponga que la empresa desea comparar los números de unidades de 𝑋e 𝑌 y de mano de obra que se requieren en la producción semanal de estos cuatro productos. En la tabla 1 aparece la información. Por ejemplo, la producción semanal de 𝐴 requiere 250 unidades de 𝑋, 160 unidades de 𝑌 y 80 unidades de mano de obra.

TABLA 1

Producto A B C D

Unidades de material 𝑋 250 300 170 200 Unidades de material 𝑌 160 230 75 120 Unidades de mano de obra 80 85 120 100

Observemos que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en un arreglo rectangular. Si se suprimen los encabezados, obtenemos el arreglo rectangular de números:

250 300 170 160 230 75

80 85 120 200 120 100

CONCEPTOS BÁSICOS

Definición.- Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de números. Si el arreglo tiene m filas (horizontales) y n columnas (verticales), se llama matriz de orden 𝑚 × 𝑛.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe 𝑎

𝑖𝑗

. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: 𝐴 = (𝑎

𝑖𝑗

)

Por ejemplo el siguiente arreglo:

𝐴 = �3 7 2 1 4 6�

Es una matriz 𝐴 de orden 2 × 3, porque tiene dos filas y tres columnas.

• En la primera fila y segunda columna aparece el número 8.

• En la segunda fila y tercera columna aparece el número 6.

• En la primera fila y primera columna aparece el número ___.

• En la segunda fila y primera columna aparece el número ___.

• A cada número en el arreglo se le denomina entrada.

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Ejercicios.

En las siguientes matrices:

𝐴 = �0 3 1 4� 𝐵 = � 2 1 3 5 1 0 2

7 4 � 𝐶 = [9 1 7]

1. ¿Cuál es el orden de las matrices 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶?

2. ¿Qué número está ubicado en la tercera fila y segunda columna de la matriz 𝐵 ?

3. Ubicar los elementos de la matriz A: 𝑎

11

=___ , 𝑎

21

=___

4. Ubicar los elementos de la matriz B :𝑏

11

=___ , 𝑏

22

=___ , 𝑏

32

=___ , 𝑏

33

=___ .

5. Karla tiene dos tiendas de venta de ropa deportiva, una de ellas ubicada en Lima y la otra en Cusco. La última semana las tiendas registraron la venta de ropa deportiva para niños y adultos de la siguiente manera:

Lima: S/. 3500 en ropa de niños y S/. 2000 en ropa de adultos Cusco: S/. 2500 en ropa de niños y S/. 1000 en ropa de adultos Representar la información en una matriz de orden 2x2.

6. Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y

cada una de ellas de tres modelos: E (económico), M (medio) y L

(lujo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas; 12

modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 18 modelos E, 20 M y 12 L de

sillas. Representa esta información en una matriz.

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MATRICES IGUALES

Dos matrices 𝐴 = (𝑎

𝑖𝑗

)

𝑚×𝑛

y 𝐵 = (𝑎

𝑖𝑗

)

𝑝×𝑞

son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir:

𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞; 𝑎

𝑖𝑗

= 𝑏

𝑖𝑗

∀𝑖, ∀𝑗

TIPOS DE MATRICES

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes :

MATRIZ FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1 × 𝑛

𝐴

1×3

= [7 2 −5]

MATRIZ COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden 𝑚 × 1

𝐴

3×1

= � −7 1 6 �

MATRIZ RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m × n , m ≠ n.

𝐴

3×1

= � 1 3 5 5 −4 8 7 0 1 9

5 2 �

MATRIZ TRASPUESTA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las

columnas.

Si 𝐴 = (𝑎

𝑖𝑗

)

𝑚×𝑛

su transpuesta es 𝐴

𝑇

= (𝑎

𝑗𝑖

)

𝑛×𝑚

.

Se representa por A

t

ó A

T

MATRIZ OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

MATRIZ NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina

matriz cero y se denota por 0m×n

MATRIZ CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.

DIAGONAL PRINCIPAL: son los elementos a

11

, a

22

, ..., a

nn

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TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA (tr A): es la suma de los elementos de la diagonal principal.

tr A=1+2+5 = 8

MATRIZ SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

A = A

t

, a

ij

= a

ji

MATRIZ ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.

A = -A

t

, a

ij

= -a

ji

Necesariamente a

ii

= 0

MATRIZ ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.

Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

MATRIZ INVERSA Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :

A·A

-1

= A

-1

·A = I

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Ejercicios.

1) La siguiente información da cuenta del número de veces que tres amigos asistieron a tres cines diferentes durante este año.

• Mónica fue al cine Alambrito 13 veces, al cine Estación 7 veces y al cine Azul 10 veces.

• Roberto fue al cine Alambrito 17 veces, al cine Estación 8 veces y al cine Azul 11 veces.

• Teresa fue al cine Alambrito 5 veces, al cine Estación 9 veces y al cine Azul 16 veces.

A partir de los datos proporcionados:

a) Expresar la información en una matriz de datos. ¿Cuál es el orden de la matriz?

b) Hallar el elemento 𝑎

31

. ¿Qué significa este número?

c ) Determinar cuál de los tres amigos asistió más veces al cine.

2) Encuentra las componentes de la matriz 𝐵 = (𝑏

𝑖𝑗

), si 𝐵 es de orden 2 × 3 y 𝑏

𝑖𝑗

= 2

𝑖

− 4

𝑗

.

3) Encuentra las componentes de la matriz 𝐶 = (𝑐

𝑖𝑗

), si 𝐶 es de orden 4× 1 y 𝑐

𝑖𝑗

= 𝑖 − 𝑗.

4) Si 𝐴 y 𝐵 son iguales, encontrar 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑.

𝐴 = � 0 4 0

5 𝑎 3

(𝑏 − 1) 1 2 � 𝐵 = � (𝑐 − 3) 4 0

5 0 3

0 1 𝑑 �

5) Dada la matriz 𝐴 = �1 𝑚 −1 3 2 𝑛 � y la matriz 𝐵 de orden 2 × 3 en donde 𝑏

𝑖𝑗

= 2𝑖 − 𝑗, hallar 𝑚 y 𝑛 si se sabe que 𝐴 y 𝐵 son iguales.

6) Clasifica las siguientes matrices especiales.

𝐴 = � 3

7 4 � 𝐵 = [−1 9 0] 𝐶 = �0 0 0 0 0 0� 𝐷

= �1 2 1 2�

7) María, Ester y Rosa gustan de coleccionar monedas. Los números de monedas por países que posee cada una de ellas se muestra en la tabla siguiente:

BOLIVIA CHILE BRASIL Argentina Venezuela

María 5 0 3 2 8

0Ester 0 5 3 0 1

Rosa 0 0 1 6 5

¿Qué tipo de matriz representa la colección de María, Ester y Rosa?

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