r ≡¿ ¿ ¿¿¿¿ ¿ − 1 − 1 ≡ = = x y − 31 z − 2 z =− λ,s = 0 x = 1 + 2 λy r ≡¿ ¿¿¿¿ ¿ ,π ≡ 3 x + 2 z = 2 − m + 2 y + z = 0 2 x − my + z = 2 − mx

GEOMETRÍA - SELECTIVIDAD C y L

JUNIO 2004

1. Sea la recta

r≡ { 2 x−z+3=0 ^{x + y +1=0}

_.

a. Escríbase la recta en forma paramétrica. ( 0,5 puntos )

b. Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ. ( 2,5 puntos )

(Solución:a)

x=t , y=−1−t , z=3+2t

b)

x−t

t = y +1+t

−1−t = z−3−2t

0

)

2. Determínese si el plano

π≡2 x+3 y−4=0

corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1).

(Solución:No lo corta porque

signo d ( A , π )=signo d (B , π )

por lo que A y B están en el mismo lado del plano.

También si hallamos M, el punto de corte de π y la recta que pasa por A y B observamos que d(A,M) <d(A,B) y d(B,M)

¿ d(A,B) )

3. Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta

r≡x = y=z

y es perpendicular al plano

π≡x+ y−z−1=0

_{. (Solución:x – y = 0)}

SEPTIEMBRE 2004

4. Sea m un número real y sean r y ^π la recta y el plano dados respectivamente por

2 x − my + z = 2− m x + 2 y + z = 0

, π ≡ 3 x + 2 z = 2− m r ≡¿¿{¿ ¿ ¿

¿ .

a. Estúdiese la posición relativa de r y ^π en función del valor de m. ( 1,5 puntos)

b. Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y ^π y es perpendicular a la recta

t≡x= y=z

. ( 1,5 puntos)

(Solución:a) m = 2 , r contenida en

π

; m

≠

2 , r y

π

son secantes b) P

(

1 , 0 ,−1

)

, π ≡ x+ y+ z=0 )

5. Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones

x =1+ 2 λ y =0 z =− λ , s ≡ x

−1= y −3

1 =z − 2

−1

¿

r ≡¿{¿{¿ ¿ ¿

¿

(Solución:r y s se cruzan ,

d (r , s)=6 √ ^14/7

⁾

6. Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano

-5 +2 -6 = 0

x y z

 

_. ( 1 punto) (Solución: 11 x− y−8 z−28=0 ₎ JUNIO 2005

7. Calcúlese la distancia del origen al plano ^π que pasa por

A(1,2,0)

y contiene a la recta

r≡( x+2)/2=( y−1)/3=z

_{. (Solución:}

π ≡ x−3 y+7 z+5=0 , d (O , π )=5 √ ^59/59

^¿

8. a) Determínese el punto simétrico de

A(−3,1,−7)

respecto de la recta

r≡x +1= y−3 2 = z+1

2

_{(2 puntos)}

b) Hállese la distancia entre A y r. (1 punto)(Solución:a) P´(-3, -3, -3) b)

d ( A ,r )=2 √ ²

⁾

9. Dados el punto

A(3,5,−1)

y la recta

r≡ x−1

2 = y +2= z+1

4

, hállese el punto B perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano ^π de ecuación

3 x−2 y+z+5=0

_{. (1 punto)}

(Solución:B( -1, -3 , -5))

SEPTIEMBRE 2005

10. a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas

r≡ { 3 x+ay−6 az+1=0

−x+ y+3 z−3=0

_y

s≡ { ^{x=−1−λ z=1+aλ y=3+λ}

son perpendiculares. (1,5 puntos)

b) Para

a=1

, calcúlese la recta que pasa por

( 1,1,1)

y se apoya en r y s. (1,5 puntos) (Solución:a)

a=±3 r ≡ { x− y −3 z +3=0

x+ y −2=0

⁾

11. Calcúlese el simétrico de

P(1,1,1)

respecto del plano

x+ y+ z=0

. (1 punto) (Solución:

P´ (−1,−1 ,−1)

)

12. Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices

A(1,1,1)

_,

B(1,2,3)

_,

C(2,3,1)

_,

D(3,1,2)

_.(1 punto) (Solución:3/2 u³)

JUNIO 2006

13. Sean r y s las rectas dadas por:

2 x − y = m z + 2 y = 3

x + y = 2 x +2 z = 3

¿

, s ≡¿ {¿ ¿ ¿ r ≡¿ {¿ ¿ ¿

¿ .

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos)

b) Para

m=1

, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) (Solución:a) m= 1, se cortan en el punto A(1 , 1, 1) b)

10 x+7 y +6 z−23=0

)

14. Calcúlese la distancia del punto

P ( 1,1,1 )

a la recta

x =−2 +2 λ y =0 z =− λ r ≡¿{¿¿ {¿ ¿ ¿

¿ (1 punto)

(Solución:

d (P , r )= √ ⁶

⁾

15. Hállese la distancia entre el plano ^π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano

β

de ecuación

x−5 y+2z−6=0

_. (1 punto)

(Solución:

π ≡ x−5 y+2 z=0 , d ( π , β )= √ ^{30 /5}

⁾

SEPTIEMBRE 2006

16. a) Hállese el valor de a para el que la recta

r ≡ { x− y +2 z=1

2 x + y−5 z=2

y el plano

π ≡ ax− y +z +1=0

son paralelos.

b) Para a =2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a

π

, y hállese la distancia entre r y π .

(Solución:

a

¿

a=2 b

¿

β ≡ 4 x+ y−7 z−4=0 . d (r , π )= √ ^{6 /2}

⁾

17. Hállense las ecuaciones de la recta r que pasa por P(2,1,-1) , está contenida en el plano π ≡ x+2 y +3 z=1 , y es perpendicular a la recta

s ≡ { ^{x =2 z−3} y=z +4

(1 punto) (Solución:

x−2

−1 = y −1 5 = z +1

−3

)

18. El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,0,-1) , B( 6, -4, 5), C(5,3, z) .Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo. (1 punto) (Solución:

z=0, A= √ ⁸⁵⁴

2 u

² ) JUNIO 2007

19. Sea el plano π : x + y−2 z−5=0 y la recta r ≡ x= y =z . Se pide:

a) Calcular la distancia de la recta al plano. (1 punto)

b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π .(1 punto)

c) Hallar el punto simétrico de P(-1,3,3) respecto a

π

. (1 punto) (Solución:

a

¿

r ∥π , d (r , π )=5 √ ⁶

6 b

¿

x− y=0 c

¿

P´ (2 , 6,−3)

)

20. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(1,1,0) , B(2,-1,0) y C(2, 4,0) .(1 punto) (Solución:5/2 u²)

21. Dadas las rectas

r ≡ { ^{x+ y −z=0} x +2 y=7

^y

s ≡ { y=−5 ^x=2

, hallar un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas. (1 punto)

(Solución:

P

_r

(5,1,6) , P

_s

(2 ,−5,6)

) SEPTIEMBRE 2007

22. Determinar el punto simétrico de

P(4,0,3)

respecto del plano de ecuación

x= y

_. (1 punto) (Solución:P´(0, 4, 3))

23. De una recta r se sabe que está contenida en el plano ^π de ecuación

x− y=0

_{, que}

A(0,0,0)

pertenece a r , y que el vector que une A y

B(1,0,−1)

es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a ^π que pasa por B. (3 puntos)

(Solución:

r ≡ x= y =z , π ´ ≡ x− y−1=0, d (r , π ´ )=1/ √ ²

⁾

24. Sea A el punto medio del segmento de extremos

P(3,2,1)

_y

Q(−1,0,1)

. Calcular el volumen del tetraedro de vértices A,

B(2,1,3)

_,

C(1,2,3)

_y

D(3,4,1)

_{. (1 punto)} (Solución:5/3 u³)

JUNIO 2008

25. Se considera el plano π ≡ x+ay+2 az=4 y la recta

r ≡ { x+2 y−z =3 ^{x+ y+2 z=2}

a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.(1 punto)

b) Para a =2, calcular la recta que pasa por P(1,0,-1) , es paralela al plano π y se apoya en la recta r. (2 puntos) (Solución:a) a = 1 b)

r ≡ x−1

30 = y

−13 = z+1

−1

⁾

26. Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1,1, 2) , B(1,1, 4) y C(3,3,6) , hallar el área del mismo. (1 punto)

(Solución: 4

√

2 u^{2 )}

27. Dada la recta

r ≡2 x+ y =2

, calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1,-1) .((1 punto)

(Solución:

P( 7 5 ,− 4

5 )

SEPTIEMBRE 2008

28. Hallar la distancia entre el punto A(2,1,4) y la recta

r ≡ x−1

2 = y +1= z

3

(1 punto) (Solución:

√ ^133/7

⁾

29. Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas

r ≡ { ^{y=1 z=0 , s ≡ { x=0 z=2}

a) Estudiar la posición relativa de r y s .(1 punto)

b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s .(1,5 puntos)

c) Hallar la distancia entre r y s. (0,5 puntos)

(Solución:a) Se cruzan b)

x 0 = y

0 = z−2

1

c) d(r, s) = 2)

30. Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano dados por

r ≡ { 2 y +z =3 ^x=z π ≡ x + y=z

(Solución:

sin α= √ ³

9

⁾ JUNIO 2009

31. Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,1) y B(3,1,2), y sea s la recta de ecuaciones

s ≡ { ^{x−2 z=1} y−2=0

Se pide:

a) Estudiar su posición relativa. (1,5 puntos)

b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección. (0,5 puntos)

c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) (Solución:a)

r ∥s

b) No hay c)

x−2 y−2 z+3=0

)

32. Hallar la distancia desde el punto P(1,3,-2) a la recta

r ≡ { ^{x =2+3 λ y=−1+λ z=1−2 λ}

(Solución:

d (P , r )= 3 √ ¹⁰

2

33. Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones

r ≡ { ^{3 x − y=−1 7 x−z=−4 s ≡ x−2= y−2 3 = z−3 4}

(Solución:r y s se cruzan ,

d (P , r )= √ 10 2

⁾ SEPTIEMBRE 2009

34. Se consideran la recta

r ≡ x−1

3 = y −2

2 = z

y el punto P(1,8,2) .

a) Hállese el punto A de r tal que el vector

⃗ AP

es perpendicular a r. (1 punto)

b) Determínese el plano

π

que es paralelo a r , pasa por B(5,1,0) y por el simétrico de P respecto de r . (2 puntos) (Solución:a) A(4 , 4, 1) b) π ≡ x+2 y−7 z−7=0

35. Determinar el ángulo que forman la recta

r ≡ x

2 = y +1

3 = z

y el plano

π ≡ x+ y −z=4

(Solución:

α=arcsen ( ^{2 √} 21 ⁴² ) ^≅38,11º

36. Sea

α ≠ 0

un número real, y las rectas de ecuaciones

r ≡ x

2 = y = z

α

^y

s ≡ { ^{x=1+4 λ z=3−2 λ y =2 λ}

^Para

el valor de α para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene.(1 punto) (Solución:

α=−1 , π :3 x−7 y−z =0

JUNIO 2010

37. Se consideran la recta con

{ ^{x − y+az=0} ay−z=4

, y el plano

π ≡ x+ y +z−2=0

a) Hallar los valores de a para los que r es paralela a

π

. ((1 punto)

b) Para a = 2, hallar la distancia de r a π . ((1 punto)

c) Para a = 1, hallar la distancia de r a

π

(0,5 puntos) (Solución:

a=2, a=−1 b

¿

d (r , π )= 2 √ ³

3 c

¿

d (r , π )=0, por ser secantes

)

38. Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta

r ≡ x= y +6

4 = z−3

y el plano π ≡ 6 x+6 y−12=0 se pide:

a) Hallar el punto simétrico de P respecto del plano

π

. (1,5 puntos)

b) Hallar los puntos Q de r que distan

1

√ ²

unidades de longitud de

π

. (1 punto) (Solución:a) P´(3, 1, 1) b) Q1(0, -6, 0) y Q2(-1, -10, 2))

39. Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones: r ≡

{

2 x + y−z=2^{x− y + z=1} , s ≡x−2

3 =y+ 1 2 =z

a a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares. (1,5 puntos)

b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0. (1 punto)

(Solución:a) a = -2 b)

t ≡ { ^{y=−1+μ x=2 z=μ}

⁾

40. Dadas las rectas

s ≡ x −1

3 = y= z−1

2

^y

t ≡ { ^{2 x− y=0} 2 y−z=4

se pide hallar la perpendicular común a s y a t y la distancia entre ambas rectas. (2,5 puntos)

(Solución: t ≡

{

^{y=−2 λz=1+λx=1 d}

⁽

^{s , t}

⁾

⁼

^√

⁵

SEPTIEMBRE 2010

41. a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano π ≡ 12 x +3 y−4 z=7 que distan 6 unidades del mismo. (1,5 puntos)

b) Probar que el punto P(2,1,1) pertenece a π, y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P. (1 punto) (Solución:

π

₁

≡12 x +3 y−4 z+71=0 , π

₂

≡12 x+3 y −4 z −85=0

)

42. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2,1,1) y corta perpendicularmente a la recta

r ≡ x−2

2 = y −1 2 =z

(Solución:

r ≡( x , y , z)=(1,1, 2)+t (12,3 ,−4 )

)

43. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1,0,-1), es perpendicular al plano π ≡ x− y +2 z +1=0 y es paralelo a la recta

r ≡ { x−2 y=0 ^z=0

(Solución:

π :2 x−4 y−3 z−5=0

)

44. a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A(−2,1,6) respecto de la recta

r ≡ x+1

1 = y−3 2 = z +1

2

b) Hallar la distancia de A a r. (0,5 puntos) (Solución:a) A´(2, 9, -4) b) d(A ,r) =

3 √ ⁵

⁾

JUNIO 2011

45. a) Determinar la posición relativa de la recta

r ≡ { z−2 x =0 ^y−x=1

^{y el plano}

π ≡ x− y=0

. (1,5 puntos)

b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r. (1 punto) (Solución:

a

¿

r ∥π b

¿

x + y−z−1=0

)

46. a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(0,1,-1), está contenida en el plano

π ≡ x+ y =0

, y corta a la recta s ≡ x= y=z . (1,5 puntos)

b) Hallar la distancia del punto B( 2 , -2, 2) a la recta s (1 punto)

(Solución:

x=1−k y=−1+k

z=0 b

a¿r ≡^{¿d

(

B , s

)

=4

√

⁶

3 )

SEPTIEMBRE 2011

47. Sean la recta

r ≡ { my+z=0 ^{x + y=1}

y el plano

π ≡ x+(m+1) y +mz=m+1.

Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m.(2,5 puntos)

(Solución: m≠ 0 , 1 secantes , m=1 paralelos , m=0 r contenida en π )

48. a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores

⃗ v =(1,2,0) y ⃗ w=(−1,0,1)

(1 punto)

b) Calcular el plano que contiene a las rectas

r ≡ { ^y+1=0 x+z=1

^y

s ≡ x

−1 = y +3

0 = z −2

(Solución:

a

¿

( ² 3 ,− 1 3 , 2

3 ) ^b

^¿

^r ∥s, π ≡2 x+ y +2 z−1=0

JUNIO 2012

49. Se consideran las rectas

r ≡ x

1 = y−1

−2 = z−3

2

^,

s ≡ x −2 3 = y

1 = z+1

−1

a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. (1 punto)

b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas. (1,5 puntos) (Solución:

b

¿

{ 4 x+ y −z+2=0

2 x−3 y +3 z−1=0

⁾

50. Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1) ; los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6).

a) Calcular la ecuación de la recta r. (0,5 puntos)

b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (1 punto)

c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. (1 punto) (Sol. :

a

¿

r ≡( x , y , z )=(−4,7,−6)+k (1,−2, 2) b

¿

2 x− y−2 z+3=0 c

¿

Proyección de P sobre r , P ´ (0,−1, 2)

) SEPTIEMBRE 2012

51. Dados el punto A(2, 1,1) y las rectas r ≡ x=y +2

2 =z−1 s ≡

{

^{x + y=0}x+z=2 se pide:

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. (1,75 puntos)

b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. (0,75 puntos)

(Solución:a)

3 x−2 y +z−5=0 2 x− y +3 z−6=0 b r ≡

^{¿

x+2 y +z−7=0

)

52. Sea s la recta de ecuaciones paramétricas

s ≡ { ^{y=−1−t x =3+2 t z=1}

^.

a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P( 1, 0, 5) y corta perpendicularmente a la recta s.

(1,5 puntos)

b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s. (1 punto)

(Solución: a¿r :

{

^{z =5+tx=1y=0 b¿}π ≡ x+2 y−1=0 ₎ JUNIO 2013

53. Sean los puntos A(1, 2, -1) , P(0, 0, 5), Q(1, 0, 4) y R(0, 1, 6).

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda. (1,75 puntos)

b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R

(Solución:

a

¿

r : { ^{z =−1−t x =1+2t y=2+t b}

^¿

^{d = 7 √ 3 3 u}

⁾

54. Sean los puntos P(1, 4, -1) , Q(0, 3, -2) y la recta

r ≡ { y−z=4 ^{x =1}

a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y por R. (1,5 puntos)

b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano π ≡ x− y−3=0 . (1 punto)

(Solución: a¿π ≡ x+z=0 b¿α=30 )

SEPTIEMBRE 2013

55. Sean el plano

π ≡ x+ y +z =0

, la recta

r ≡ x= y =z

y el punto A(3,2,1).

a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. (1 punto)

b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de

π

. (1,5 puntos)

(Solución:

7 6 , 7

6 , 7 6 , a

¿

s : x−3= y−2

0 = z +1

−1 b

¿

P

¿

))

56. Sean las rectas r ≡ x=− y =z−1 y s ≡ x−2= y=z−m a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. (1,5 puntos)

b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. (1 punto) (Solución:

a

¿

m=2 b

¿

d= 3 √ ²

2

⁾

JUNIO 2014

57. Sea π el plano que pasa por los puntos A (1, –1, 1), B (2, 3, 2), C (3, 1, 0) y r la recta dada por r ≡

x−7

2 = y+6

−1 = z +3 2

a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano π. (1 punto)

b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano π.(1,5 puntos)

(Solución:

a

¿

90 º b

¿

P

₁

(1 ,−3 ,−9) , P

₂

(9 ,−7 ,−1)

58. Calcular la recta contenida en el plano π1≡ x + y + z = 3, paralela al plano π2 ≡ x = 0, y que pasa por el

punto simétrico de B (–1, 1, 1) respecto de π2. (2,5 puntos)(Solución:

r : { ^{z=1−t y =1+t x=1 t ∈ R}

⁾

SEPTIEMBRE 2014

59. Sea el punto A(1, 1, 3) y la recta de ecuación r ≡

{ ^{x − y+ 2=0} z=2

^. a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pasa por A. (1 punto)

b) Calcular la distancia del punto A a la recta r.(1,5 puntos) (Solución:

a

¿

x+ y−2=0 b

¿

d= √ ^{3 u .}

⁾

60. A) Dados el punto A(3, 5, 1), la recta r ≡

x−1

2 = y+2=z +1

y el plano π ≡ 3x – 2y + z + 5 = 0, determinar el punto B de π tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (1,5 puntos)

b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores ⃗PQ y

⃗ PR

, siendo P(1, 3, –1), Q(2, 0, 1) y R(–1, 1, 0).(1 punto)

(Solución:

a

¿

B(1 , 4 , 0)b

¿

( ^√ 90 ⁹⁰ , − √ ⁹⁰

18 , − 4 √ ⁹⁰

45 )

^¿

JUNIO 2015

61. a) Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZ y que pasa por el punto P = (1, 2, 3).

b) Estudiar, en función del parámetro a, la posición relativa de la recta r ≡

{ ^x=0 y=0

y el plano π ≡ x + y + az = 1.

(Solución:

a

¿ ¿

r : { ^{y =2+2 μ x=1+μ z=3 μ ∈ R b}

^¿

a ≠ 0 , se cortanen un punto;a=0 , son paralelos

)

62. a) ¿Puede haber dos vectores

⃗ u

y

⃗ v

de

R

³ \ tales que

⃗ u · ⃗v

= –3, |

⃗ u

| =1 y |

⃗ v

| = 2? (1 punto)

b) Hallar el valor de a para que exista una recta que pase por el punto P = (1 + a, 1 – a, a), corte a la recta

r : { ^{x + y=2} z=1

y sea paralela a la recta

s ≡ { ^x+z=0 y =0

(1,5 puntos)

(Solución: a¿No , porque saldría cosα←1 b¿a=1,t :

{

^{x=2−λz=1+λy =0 λ∈ R )}

SEPTIEMBRE 2015

63. Sean las rectas

r ≡ x= y =z

y

s ≡ { x−3 z=1 ^{x− y=1}

^. a) Comprobar que las rectas r y s se cruzan. (0,5 puntos)

b) Calcular la recta que corta perpendicularmente a las rectas r y s. (2 puntos)

(Solución:

b

¿

t ≡ { x + y−2 z=0 x + y−6 z−1=0

⁾

64. a) Determinar la ecuación del plano que es perpendicular al segmento de extremos A = (0, –1, 3) y B = (2, –1, 1) y que pasa por el punto medio de dicho segmento. (1,25 puntos)

b) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los cortes del plano 2 x + y +2 z−2=0 con los ejes coordenados.(1,25 puntos)

(Solución:

a

¿

π ≡ x−z+1=0 b

¿

3 2 u

² ) JUNIO 2016

65. a) Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, que el vector

⃗ v =(2,1 ,−2)

b) Calcular un punto de la recta

r ≡ x−1

−1 = y +2

1 = z−3

−2

cuya distancia al punto A

(

−1,2,0

)

sea mínima.

(Solución:

a

¿

⃗ u= ( ⁻⁸ 3 , −4 3 , 8

3 ) ^b

^¿

P(−1,0 ,−1)

¿

66. E2.- Consideremos las rectas

r ≡ x

2 = y = z−1 2 , s ≡ x

2 = y−1 3 = z

a) Comprobar que las rectas r y s se cruzan.

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas r y s. (1,5 puntos)

(Solución: b¿t :

{

^{x=2 λy= λz=λ λ∈ R )}

SEPTIEMBRE 2016

67. a) Determinar la posición relativa de la recta

r ≡ { 2 x− y+z =2 ^{x−2 y+z =1}

y el plano

π ≡ 5 x − y+2 z=4

(1 punto)

b) Dadas las rectas

r

₁

≡ x−1 2 = y

−1 = z

5

^y

r

₂

≡ { ⁻ 2 x −3 y+z =1 ^{x+2 y−z =3}

, calcular el plano que contiene a r

1 y es paralelo a r2. (1,5 puntos)

(Solución: a) La recta y el plano son paralelos b) 2x – y – z -2 = 0)

68. a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano π ≡ 2 x−2 y +4 z−5=0 y que contiene a los puntos (−2,0,0) − y (0,1,0) . (1,25 puntos)

b) Dos caras de un cubo están contenidas en los planos π₁≡ 2 x−2 y +z−1=0 _y π₂≡ 2 x−2 y +z=5 Calcular el volumen de dicho cubo. (1,25 puntos)

(Solución: a) 2x -4y -3z + 4 = 0 b) 8 u³) JUNIO 2017

69. Determinar la recta � que es paralela al plano

π ≡ x− y−z=0

y que corta perpendicularmente a la recta

s ≡ x −1

1 = y +3

2 = z−2

− 4

en el punto P(2, -1, -2). (2,25 puntos)

(Solución:

r ≡ x−2

2 = y +1=z +2

₎

70. Dado el plano π ≡ 3 x + y +z−2=0 y los puntos P (0, 1, 1), Q (2, −1, −3) que pertenecen al plano π, determinar la recta del plano π que pasa por el punto medio entre P y Q y es perpendicular a la recta que une estos puntos. (2,25 puntos)

(Solución:

r ≡ x−1= y

−7 = z +1 4

⁾ SEPTIEMBRE 2017

71. E2.- a) Consideremos los puntos P(-1 , -4 , 0) , Q(0 , 1 , 3), R(1 , 0 , 3). Hallar el plano que contiene a P, Q y R

(1,25 puntos)

b) Calcular a para que el punto S (3 , a , 2), pertenezca al plano π ≡ x + y − 2z + 5 = 0 (1 punto) (Solución:

a

¿

π ≡ x+ y−2 z +5=0 b

¿

a=−4

)

72. E2.- a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , 3 , 4) y es perpendicular al plano π ≡ x + y + 2z + 4 = 0 (1,25 puntos)

b) Calcular

a

para que las rectas

r ≡ x−1= y−2= z−2

2 , s ≡ x−1

a = y−2

2 = z−2

3

^sean perpendiculares.

(Solución: a )

r ≡ x−2= y−3= z−4

−12

b) a= -8 ) JUNIO 2018

73. Determinar la recta � que es simétrica de � ≡ � + 2 = � = � − 2, respecto del plano � ≡ � − � + 2 = 0. (2 puntos)

(Solución: s

≡ x= y =z

)

74. Dada la recta � ≡

x−1= y +1

2 =z−1

y el plano � ≡ � − � + � = 0, se pide:

a) Determinar la posición relativa de � y �. (0,8 puntos)

b) Hallar el plano paralelo a � situado a la misma distancia de � que �. (1,2 puntos)

(Solución: a) La recta y el plano son paralelos b) 2x – 2y + 2z -3 = 0) JULIO 2018

75. Dados el plano � ≡ 2� + � + � − 3 = 0 y la recta � ≡

{ x − y+ z=2 ^{x + y +z=0}

a) Calcular el punto de intersección del plano � y de la recta �. (1 punto)

b) Encontrar la ecuación de la recta � contenida en el plano π y que corta perpendicularmente a �. (1 punto) (Solución:

a

¿

P(3 ,−1,−2)b

¿

s ≡ x−3

1 = y+1

−3 = z +2 1

¿

76. Dados el plano � ≡ �x + � − � + � = 0 y la recta � ≡

x−1

1 = y−2

−1 = z−3 1

^. a) Encontrar � y � para que la recta este contenida en el plano. (1 punto)

b) ¿Existen valores � y � para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso. (1 punto)

(Solución:

a

¿

a=2 ,b=−1 b

¿

a=−1, b cualquier valor

) JUNIO 2019

77. a) Calcular la ecuación del plano π que contiene a la recta �≡

x−1

2 = y−1

3 = z−1

2

y pasa por el punto 𝐴 = (1,2,1).

b) Calcule la ecuación de la recta � que pasa por el punto �= (2,1,2) y es perpendicular a las rectas �1≡

x−1

2 = y−1

2 = z−1

2

^{y �2≡}

x−2

−1 = y −1 3 = z

2

. (1 punto)

(Solución: a¿π ≡ x−z=0 b¿r :

{

^{z=2−4 ty =1+3tx=2+t )}

78. Sean la recta � ≡

x−1

m = y−1

2 = z−1

4

y el plano �≡ �+ � +𝑘z =0. Encontrar � y 𝑘 para que:

a) La recta � sea perpendicular al plano �. (1 punto) b) La recta � esté contenida en el plano �. (1 punto) (Solución: a¿m=2 , k=2b¿m=6,k =−2 )

JULIO 2019

79. a) Consideremos los vectores ⃗u = (1,1, �) y ⃗v = (1, −1, �). Calcular � para que sean perpendiculares.

b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores 𝑝⃗ = (1, 2,3) y 𝑞⃗ = (1, −2, −3). (1,5 puntos)

(Solución:

a

¿

a=0 b

¿

( ^{0 , 3 √} 13 ¹³ , −2 √ ¹³

13 )

^¿

80. Hallar � y � para que los vectores (�, −1,2) y (1, �, −2) sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.

(Solución:

a=2 ,b=−2

)