Identificación de modelos estadísticos para la regionalización de los caudales máximos de la Cuenca Magdalena Cauca

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IDENTIFICACIÓN DE MODELOS ESTADÍSTICOS PARA LA REGIONALIZACIÓN DE LOS CAUDALES MÁXIMOS DE LA CUENCA MAGDALENA-CAUCA.

DANNY ALEXANDER LEIVA MANZANO 20131279001

JHONATHAN RODRÍGUEZ 20131279003

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ

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DANNY ALEXANDER LEIVA MANZANO JHONATHAN RODRÍGUEZ

Tutor

ING. EDUARDO ZAMUDIO HUERTAS

Trabajo de investigación para optar al título de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ

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Nota de aceptación:

_______________________ _______________________ _______________________

_______________________ Presidente de jurado

_______________________ Jurado

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GLOSARIO ... 11

caudales máximos: ... 11

Periodo de retorno: ... 11

función de distribución: ... 11

Valor atípico (outliers): ... 11

RESUMEN DE LA PROPUESTA ... 12

INTRODUCCIÓN ... 13

1.1 INTERROGANTE (HIPÓTESIS) ... 15

1.2 OBJETIVOS ... 15

OBJETIVO GENERAL ... 15

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 15

2. bases conceptuales ... 16

2.1 MARCO TEÓRICO ... 16

2.1.1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EN HIDROLOGÍA ... 16

2.1.2 Prueba de Independencia y Estacionalidad (Wald - Wolfowitz) ... 17

2.1.3 Prueba de Homogeneidad y Estacionalidad (Mann - Whitney). ... 18

2.1.4 Prueba de Outliers o Datos Dudosos ... 19

2.1.5 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA ... 21

2.1.6 PRUEBA DE BONDAD DEL AJUSTE - KOLMOGOROV SMIRNOV. .. 28

2.1.7 Método de Momentos Convencionales ... 29

3. DESARROLLO METODOLÓGICO ... 31

3.1 CRITERIOS DE SELECCIÓN DE ESTACIONES. ... 31

3.2 DEPURACIÓN DE ESTACIONES HIDROLÓGICAS ... 33

(5)

3.3.2 Aleatoriedad: ... 35

3.3.3 Estacionalidad: ... 35

3.3.4 Homogeneidad: ... 35

3.3.5 Nivel de Significación ... 36

3.3.6 Estación “La Virginia” ... 36

3.3.7 TEST WALD-WOLFOWITZ (1943)... 38

3.3.8 TEST MANN – WHITNEY ... 41

3.3.9 LISTA DE ESTACIONES DEPURADAS ... 46

3.3.10 TEST DE OUTLIERS O PRUEBA DE DATOS DUDOSOS. ... 49

3.4 Momentos convencionales. ... 55

3.4.1 Coeficiente de Variación: ... 57

3.4.2 Coeficiente de Asimetría: ... 57

3.4.3 Coeficiente de Curtosis: ... 57

3.5 Análisis gráfico: ... 58

3.5.1 Diagramas de Relación de Momentos. ... 58

3.6 ARCHIVO MAGNÉTICO (.DWG) ... 65

3.6.1 Descarga de información ... 65

3.6.2 Procesamiento de la información ... 68

3.6.3 Sistema de coordenadas Gauss-Krüger ... 68

3.6.4 Archivo Shapefile (.shp) ... 71

3.6.5 Creación de Anotaciones ... 75

3.7 Coordenadas geográficas de las estaciones. ... 78

3.7.1 Software ... 78

3.8 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN Y PRUEBA DE BONDAD DEL AJUSTE ... 86

3.8.1 Cálculo de cuantiles para las funciones de distribución ... 92

3.9 zonas homogéneas y gráficas (qt Vs A) ... 98

4. resultados ... 102

4.1 Teóricamente ... 102

(6)

4.2.3 Región 3. ... 109

4.2.4 Región 4. ... 110

4.2.5 Región 5. ... 110

4.2.6 Región 6. ... 112

5. RECOMENDACIONES ... 114

6. conclusiones ... 115

BIBLIOGRAFÍA ... 117

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IDENTIFICACIÓN DE MODELOS ESTADÍSTICOS PARA LA REGIONALIZACIÓN DE LOS CAUDALES MÁXIMOS DE LA CUENCA MAGDALENA - CAUCA.

ILUSTRACIONES

Ilustración 1 Forma de la distribución normal en función de los parámetros ... 23

Ilustración 2 - Gráfica de la función de densidad de probabilidad para diferentes valores de α y β ... 25

Ilustración 3. Gráfico de test de datos dudosos estación “La Virginia”. ... 52

Ilustración 4. Diagrama de relación de momentos Ca Vs Cc. ... 60

Ilustración 5. Diagrama de relación de momentos B1 Vs B2. ... 61

Ilustración 6. Análisis gráfico Ca Vs Cc de estaciones seleccionadas. ... 63

Ilustración 7. Análisis gráfico B1 Vs B2 de estaciones seleccionadas. ... 64

Ilustración 8. Venta de inicio Aplicativo SIG. ... 66

Ilustración 9. Selección de información. ... 67

Ilustración 10. Descarga de información. ... 68

Ilustración 11. Sistema de coordenadas Gauss-Krüger. ... 69

Ilustración 12. Datum MAGNA SIRGAS, Origen Bogotá. ... 69

Ilustración 13. Información de referencia datos geográficos. ... 70

Ilustración 14. Pestaña Coordinate System. ... 70

Ilustración 15. Asignación de sistema de coordenadas. ... 71

Ilustración 16. Diálogo para importar Shape. ... 72

Ilustración 17. Selección de información de Shape. ... 73

Ilustración 18. Selección de atributos Shape. ... 74

Ilustración 19. Resultado final Shape. ... 75

Ilustración 20. Archivos Shape compilados. ... 77

Ilustración 21. Shape de cuencas hidrográficas en Colombia. ... 77

Ilustración 22. Proceso de datos geográficos CONCOORD 1.0. ... 79

Ilustración 23. Resultados gráficos de conversión. ... 79

Ilustración 24. Proceso de datos geográficos individualmente Magnapro3. ... 80

Ilustración 25. Proceso de datos geográficos mediante archivo de datos Magnapro3. ... 81

(8)

Ilustración 27. Comando MAPTRACKCS en forma decimal. ... 83

Ilustración 28. Comando MAPTRACKCS en grados, minutos y segundos. ... 83

Ilustración 29. Estaciones calculadas en plano... 84

Ilustración 30. Shape de estaciones del IDEAM. ... 84

Ilustración 31. Estaciones calculadas y Estaciones Georreferenciadas IDEAM. ... 85

Ilustración 32 Región 2 Q Vs A ... 101

Ilustración 33 Región 6 q Vs A ... 101

Ilustración 34. Región 1 Normal. Q Vs A. ... 103

Ilustración 35. Región 2 Log Normal. Q Vs A... 103

Ilustración 37. Región 4 Normal. Q Vs A ... 104

Ilustración 39. Región 6 Gumbel. Q Vs A. ... 105

Ilustración 40. Regionalización gráfica cuenca Magdalena – Cauca. ... 106

Ilustración 41. Región homogénea 1. ... 107

(9)

TABLAS

Tabla 1 valores de 𝑲𝒏 para la prueba de datos dudosos ... 20

Tabla 2 - Valores de μ y 𝝈 ... 27

Tabla 3 - Valores críticos de d para prueba Kolmogorov ... 28

Tabla 4. Resumen de Estaciones Hidrométricas seleccionadas. ... 32

Tabla 5. Valores del Nivel de Significación ... 36

Tabla 6. Datos estación “La Virginia”. ... 37

Tabla 7. Resumen test Wald-Wolfowitz estación “La Virginia” ... 39

Tabla 8. Resumen test Mann – Whitney estación “La Virginia” ... 43

Tabla 9. Listado de estaciones depuradas. ... 47

Tabla 10. Resumen test de datos dudosos estación “La Virginia” ... 49

Tabla 11. Resumen de datos dudosos encontrados en la estación “La Virginia”. . 53

Tabla 12. Listado de estaciones con presencia de datos dudosos. ... 54

Tabla 13. Resultados momentos convencionales estación “La Virginia”. ... 55

Tabla 14. Estaciones hidrométricas aptas para Regionalización. ... 62

Tabla 15 - Datos estación Calichal el bosque ... 86

Tabla 16 Funciones de distribución a estación Calichal el Bosque ... 89

Tabla 17. Estaciones Log normal ... 90

Tabla 18 Estaciones Normal ... 91

Tabla 19 Estaciones Pearson ... 91

Tabla 20 Estaciones Gumbel ... 92

Tabla 21 Valores de la variable estandarizada Z ... 94

Tabla 22 Valores percentiles de la distribución ji-cuadrado con n grados de libertad ... 97

Tabla 23 Áreas aferentes cuenca Magdalena Cauca ... 99

Tabla 24 Primeras zonas homogéneas de Magadalena Cauca ... 100

Tabla 25. Factores a y b de la ecuación potencial de las zonas homogéneas .... 102

Tabla 26. Estaciones para la Región 1. ... 107

(10)

(11)

GLOSARIO

 CAUDALES MÁXIMOS:

Los caudales máximos son flujos extremos que se presentan en las corrientes de agua los cuales son influenciados directamente por el comportamiento de la precipitación y las características propias de la cuenca

 PERIODO DE RETORNO:

Es el tiempo esperado o tiempo medio entre dos sucesos, es un concepto estadístico que intenta proporcionar una idea de hasta qué punto un suceso puede considerarse raro. Suele calcularse mediante distribuciones de variables, sobre la base de valores extremos registrados dentro de periodos iguales y consecutivos, un ejemplo de ello en hidrología se recopila información con la precipitación máxima recogida en 24 horas en un año, durante una serie de años consecutivos.

 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio, para estudiar la función de distribución se debe distinguir entre el caso discreto y el caso continuo.

 VALOR ATÍPICO (OUTLIERS):

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RESUMEN DE LA PROPUESTA

Con el fin de proporcionar una fuente de información sobre las características de comportamiento del recurso hídrico del país, diferentes entidades públicas y privadas cuentan con una serie de estaciones hidrométricas, encargadas de registrar los caudales mínimos, medios y máximos que fluyen por un punto determinado de una cuenca en un tiempo específico. Con el uso adecuado de la información hidrológica captada por las estaciones hidrométricas, en este caso caudales máximos, se permite estimar la oferta hídrica de determinada zona de la cuenca Magdalena-Cauca. Éste tipo de información puede ser aprovechada para la identificación de zonas de riesgo por inundación, a partir de los caudales máximos para diferentes periodos de retorno, incrementando los argumentos para la posterior toma de decisiones.

En ese orden, la estimación de estos caudales puede realizarse a través de mediciones o análisis estadísticos (regionalización).

Esta regionalización consiste en una serie de modelos estadísticos que de una forma sencilla, permiten estimar caudales máximos de acuerdo con el periodo de retorno de diseño y el área aferente a la zona en cuestión; en todas aquellas regiones que estén contempladas dentro del área de estudio y en las que la información sea insuficiente o se imposibilite la medición. Así, la regionalización permitirá entonces la estimación de caudales máximos para diferentes periodos de retorno.

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INTRODUCCIÓN

En Colombia las cuencas hidrográficas representan el recurso energético más importante del país, en donde además, se da lugar a diversas actividades productivas como lo son: explotación minera, sector industrial, sector agrícola y ganadero, en las últimas décadas las cuencas hidrográficas han sido producto de explotaciones y uso inadecuado por las comunidades aledañas, este tipo de recurso hídrico (tanto en Colombia como en el resto del mundo), requiere de un uso planificado, que involucre aspectos de protección y cuidado del medio ambiente, garantizando de esta manera la sostenibilidad y el uso para generaciones futuras.

A pesar de los esfuerzos actuales de entidades públicas y privadas por la recolección de información para futuras investigaciones, la escasez de estudios realizados en las fuentes hidrográficas Colombianas, hace que la población siga desinformada y con una actitud indiferente hacia una problemática evidente, puesto que, a pesar de que existen estudios actualmente, estos no son de la magnitud requerida ni son socializados para el planteamiento de posibles soluciones.

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Gumbel. A su vez se determinará una prueba de bondad de ajuste, que podrá establecer la distribución de probabilidad más adecuada para el cálculo de cada una de las estaciones.

Para la identificación de las regiones homogéneas se necesitó de la cartografía de la cuenca, la cual se logró con la ayuda de las herramientas CAD y la información suministrada por el IDEAM en su portal web, además de otras entidades encargadas de propiciar información para el desarrollo cartográfico digital. Con esto y las distribuciones de densidad de cada una de las estaciones, se podrán agrupar en regiones que compartan la misma tendencia de distribución y vayan de acuerdo con las condiciones fisiográficas de las cuencas aferentes a cada estación.

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1.1 INTERROGANTE (HIPÓTESIS)

¿Qué modelos estadísticos pueden utilizarse eficientemente para la regionalización de caudales máximos de la cuenca Magdalena-Cauca?

1.2 OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Mediante el uso de modelos estadísticos, regionalizar y caracterizar los caudales máximos de la cuenca Magdalena-Cauca.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



Recopilar el registro anual de los caudales máximos correspondientes a las estaciones hidrométricas ubicadas sobre la cuenca Magdalena-Cauca.  Evaluar pruebas de independencia, aleatoriedad, estacionalidad, y

homogeneidad a las estaciones hidrométricas seleccionadas; además de la aplicación de un test de outliers1_{para la depuración de los registros}

anuales.



Identificar el comportamiento de las estaciones gráficamente, empleando el método de momentos convencionales.

 Evaluar el registro de datos en las diferentes funciones de distribución y aplicar la prueba de bondad del ajuste Kolmogorov – Smirnov.



Desarrollar mediante el uso de AutoCAD MAP 2012 una cartografía digital de la zona de estudio, involucrando la ubicación de las estaciones hidrométricas seleccionadas.



Determinar las regiones homogéneas utilizando las funciones de distribución y la información cartográfica.



Determinar los factores a y b de las ecuaciones potenciales de la gráfica caudales Vs área para cada zona homogénea y distintos periodos de retorno.

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2. BASES CONCEPTUALES

2.1 MARCO TEÓRICO

El Marco teórico referenciado a continuación, pertenece en su gran mayoría a los capítulos 1, 2 y 3 del libro "FLOOD FREQUENCY ANALYSIS, A. Ramachandra Rao, Khaled H. Hamed, CRC press LLC, 2000" y al capítulo 9 del libro “FUNDAMENTOS DE HIDROLOGÍA DE SUPERFICIE, de Francisco J. Aparicio Mijares, Limusa, 1992".

2.1.1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EN HIDROLOGÍA

El diseño y la planeación de obras hidráulicas están siempre relacionadas con eventos hidrológicos futuros; por ejemplo, la avenida de diseño para el vertedor de una presa es un evento que tal vez no se ha presentado jamás, o al menos no en el periodo de datos disponible, pero que es necesario conocer para determinar las dimensiones de la obra. La complejidad de los procesos físicos que tienen lugar en la generación de esta avenida hace, en la mayoría de los casos, imposible una estimación confiable de la misma por métodos basados en las leyes de la mecánica o la física, sea porque estos métodos son insuficientes, sea porque el modelo matemático resultante sería exageradamente grande, complicado y difícil de manejar.

Por ello, y como sucede en la mayoría de las ciencias, con mucha frecuencia el estadístico es el camino obligado en la solución de los problemas. En particular, la probabilidad y la estadística juegan un papel de primer orden en el análisis hidrológico.

(17)

2.1.2 PRUEBA DE INDEPENDENCIA Y ESTACIONALIDAD (WALD - WOLFOWITZ)

Dada una muestra N de datos, la prueba Wald- Wolfowitz evalúa los parámetros de independencia y estacionalidad sin importar si el orden de los datos es Cuando los elementos de la prueba son independientes, R sigue una distribución normal con media y varianza dadas por las siguientes ecuaciones:

𝑅̅ = 𝑆1

N= Número de registros, y:

𝑆_𝑘 = ∑ 𝑥_𝑖𝑘

𝑛

𝑖=1

(2.1.2.4) Además, el valor estadístico |𝑢| se obtiene como:

|𝑢| = (𝑅 − 𝑅̅) √(𝑣𝑎𝑟(𝑅)

(18)

El valor estadístico |𝑢| de cada una de las estaciones debe ser menor que el valor crítico del nivel de significación que se escoja y que se ajuste mejor a las finalidades del estudio; dependiendo del valor crítico de cada nivel de significación si el valor de u de cada estación es menor, se acepta la hipótesis de independencia y estacionalidad.

2.1.3 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD Y ESTACIONALIDAD (MANN - WHITNEY).

Esta prueba se usa para determinar la homogeneidad y posible condición de aleatoriedad de la serie de datos. En su desarrollo se procede a tomar la muestra N y dividirla en 2 submuestras de tamaños "p" y "q" que cumplan la condición de

𝑝 ≤ 𝑞. Seguidamente la muestra de tamaño N se ordena enumerando cada uno de

los datos de forma ascendente, con el fin de sumar los rangos asignados y obtener el valor correspondiente para cada una de las variables mencionadas en las siguientes ecuaciones:

𝑉 = 𝑅 − (𝑝(𝑝 + 1)) 2

(2.1.3.1)

𝑊 = 𝑝𝑞 − 𝑉

(2.1.3.2) De donde R corresponde a la suma de los rangos de la primer submuestra (muestra tamaño p) para las series de tamaño “N”. Las variables “W” y “V” son calculadas a partir de R, y el estadístico |𝑢| es definido por el menor valor entre “W” y “V”.

Para el uso de esta prueba se debe cumplir con dos condiciones básicas, las cuales son:

 Tener un N > 20 registros.

(19)

Siempre bajo el supuesto de que las dos submuestras vienen de la misma población. Se determina su varianza y media por las siguientes ecuaciones.

𝑈̅ =𝑝𝑞 2

(2.1.3.3)

𝑣𝑎𝑟(𝑈) = [ 𝑝𝑞

𝑁(𝑁 − 1)] [

𝑁3− 𝑁

12 ]

(2.1.3.4)

2.1.4 PRUEBA DE OUTLIERS O DATOS DUDOSOS

Los datos dudosos (Outliers) son puntos de la información que se alejan significativamente de la tendencia de la información restante2_{. Estos pueden darse}

debido a errores en la toma del registro o en la recolección de datos causan dificultad al momento de ajustar una distribución a los datos.

Las siguientes ecuaciones de frecuencia pueden utilizarse para detectar datos dudosos altos y bajos:

𝑦𝐻 = 𝑦̅ + 𝐾𝑛∗ 𝑠𝑦 (2.1.4.1)

𝑦𝐿 = 𝑦̅ − 𝐾𝑛∗ 𝑠𝑦 (2.1.4.2)

Donde 𝑦𝐻 es el umbral de dato dudoso alto, 𝑦𝐿 es el umbral de dato dudoso bajo y 𝐾_𝑛 es tal como se muestra en la tabla 1 para un tamaño de muestra n.

(20)

Tabla 1 valores de 𝑲𝒏 para la prueba de datos dudosos

(Fuente: U.S. Water Resources Council, 1981. Tabla de valores de 𝑘𝑛 para una distribución normal.)

Y el valor de 𝑆_𝑦 se obtiene a partir de:

𝑆_𝑦 = √ 1

𝑁 − 1∗ ∑(𝑦 − 𝑦̅)2

𝑛

𝑖=1

(2.1.4.3) Con:

𝑦̅ = Promedio de los logaritmos en base 10 de los datos (Para el estudio, el

promedio de los logaritmos de caudales máximos de los registros anuales).

(21)

2.1.5 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA

Entre las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología, se estudiarán las siguientes:

 Normal.

 Lognormal.

 Pearson III.

 Gumbel.

Las funciones anteriores, aun cuando son las más comúnmente usadas en la hidrología aplicada, no son todas. No obstante, se presentan las bases necesarias para estudiar cualquier función de distribución de probabilidad.

Las funciones normal y Lognormal son generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, como por ejemplo los volúmenes de escurrimiento mensual en un río. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el análisis de los valores extremos de dichos resultados, como los gastos máximos o mínimos anuales. La función Pearson III ocupa un lugar intermedio.

(22)

Antes de mencionar las funciones de distribución y su desarrollo es fundamental citar dos de las ecuaciones más usadas en hidrología, probabilidad de ocurrencia y la estimativa para el cálculo de periodo de retorno respectivamente:

𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝑚

La función de densidad de probabilidad normal se define como:

𝐹(𝑥) = 1

√2𝜋𝜎 𝑒

−1₂ (𝑥−µ_𝜎 )2 _(2.1.5.1.1)

Donde µ y σ, son los parámetros de la distribución. Estos parámetros determinan la forma de la función f(x) y su posición en el eje x (véase Ilustración 1).

Es posible demostrar que µ y σ son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la población y pueden estimarse como la media y desviación estándar de los datos. La función de distribución de probabilidad normal es:

𝐹(𝑥) = ∫ 1

√2𝜋𝜎 𝑒

−1₂(𝑥−µ_𝜎 )2 𝑥

−∞ (2.1.5.1.2)

Hoy en día, no se conoce analíticamente la integral de la ecuación 2.1.5.1.2, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para evaluarla. Sin embargo, para hacer esto se requeriría una tabla para cada valor de µ y σ, por lo que se ha definido la variable estandarizada

𝑧 = 𝑥− µ

(23)

que está normalmente distribuida con media cero y desviación estándar unitaria. Así, la función de distribución de probabilidad (ecuación 2.1.5.1.2) se puede escribir como:

Ilustración 1 Forma de la distribución normal en función de los parámetros

Fuente: Fundamentos de Hidrología de Superficie. Francisco J. Aparicio

𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑧) = ∫ 1

√2𝜋 𝑒 −𝑧2₂_𝑑𝑧 𝑧

−∞ (2.1.5.1.4)

La función F(z) se ha calculado numéricamente y se han publicado tablas de ella. Debido a que la función F(z) es simétrica, en dicha tabla se encuentran únicamente valores de:

∫ 1

√2𝜋 𝑒

−𝑧2₂_𝑑𝑧 𝑧

−∞

Con lo que es posible calcular F(z) para cualquier valor de z.

Otra manera de estimar f(z) o F(z), más conveniente si se usa una computadora, es mediante fórmulas aproximadas. La función de densidad f(z) se aproxima, con una precisión mayor de 2.27 X 10-3_:

𝑓(𝑧) = (𝑎0 + 𝑎1𝑧2+ 𝑎2𝑧4+ 𝑎3𝑧6)−1 (2.1.5.1.5)

(24)

𝑎₀ = 2.490895

𝑎₁ = 1.466003

𝑎₂ = -0.024393

𝑎₃ = 0.178257

Y la función de distribución como:

𝐹(𝑧) = 𝐻(𝑧), 𝑧 > 0

𝐹(𝑧) = 1 − 𝐻(𝑧), 𝑧 < 0] (2.1.5.1.6)

Donde

𝐻(𝑧) = 1 − 1

√2𝜋 𝑒 −𝑧2₂_(𝑏

1𝑞 + 𝑏2𝑞2+ 𝑎3𝑧3) (2.1.5.1.7)

Sabiendo que

𝑞 = 1

1+ 𝑏0|𝑧|

𝑏₀= 0.33267

𝑏₁ =0.43618

𝑏₂= -0.12017

𝑏₃= 0.93730

2.1.5.2 Distribución lognormal

En esta función los logaritmos naturales de la variable aleatoria se distribuyen normalmente. La función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) = 1

√2𝜋 1 𝑥𝛽 𝑒

−1₂(𝑥−µ_𝜎 )2 _(2.1.5.2.1)

(25)

se muestra una gráfica de la función de densidad de probabilidad para diferentes valores de α y β.

Como se observa, esta función no necesariamente es simétrica. Los valores de α y β se estiman a partir de n observaciones Xi, i = 1, 2,... n, como:

𝛼 = ∑ ln 𝑥𝑖

𝑛 𝑛

𝑖=1 (2.1.5.2.2)

Ilustración 2 - Gráfica de la función de densidad de probabilidad para diferentes valores de α y β

Fuente: Fundamentos de Hidrología de Superficie. Francisco J. Aparicio.

𝛽 = [∑ ln (𝑥𝑖−𝛼)2 La función de distribución de probabilidad es:

𝐹(𝑥) = ∫ 1

La variable estandarizada se define como:

𝑧 =

𝑙𝑛𝑥− 𝛼

𝛽

(2.1.5.2.5)

2.1.5.3 Distribución Pearson III o Gamma de tres parámetros

La función de densidad de probabilidad Pearson III se define como:

(26)

Los parámetros α1, β1 y δ1 se evalúan, a partir de n datos medidos, mediante el

siguiente sistema de ecuaciones:

𝑥̅ = α₁β₁+ δ₁ (2.1.5.3.2)

La función de distribución de probabilidad es:

𝐹(𝑥) = 1

La ecuación 2.1.5.3.6se escribe como:

𝐹(𝑦) = 1

La ecuación 2.1.5.3.6 es una función de distribución ji cuadrada con 2 β1 grados

de libertad y x2_=2y

𝐹(𝑦) = 𝐹 (𝑥2⁄ ) = 𝐹𝑥_𝑣 2 (2𝑦⁄_2𝛽) (2.1.5.3.9) 2.1.5.4 Distribución Gumbel

(27)

demostrar que, a medida que n aumenta, la función de distribución de probabilidad de x tiende a:

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑒−𝛼(𝑥− 𝛽) _(2.1.5.4.1)

La función de densidad de probabilidad es entonces:

𝑓(𝑥) = 𝛼𝑒−𝑒[−𝛼(𝑥− 𝛽)−𝑒−𝛼(𝑥−𝛽)] (2.1.5.4.2)

Donde α y β son los parámetros de la función. Los parámetros α y β se estiman como:

𝛼 = 1.2825

𝑠 (2.1.5.4.3)

𝛽 = 𝑥 − 0.45 𝑠 (2.1.5.4.4)

Para muestras muy grandes, o bien como:

𝛼 = 𝜎𝑦

𝑆 (2.1.5.4.5)

𝛽 = 𝑥̅ − 𝜇𝑦⁄_𝛼 (2.1.5.4.6)

Para muestras relativamente pequeñas, donde 𝜇_𝑦y 𝜎_𝑦 se muestran en la tabla 2.

Tabla 2 - Valores de μ y 𝝈

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2.1.6 PRUEBA DE BONDAD DEL AJUSTE - KOLMOGOROV SMIRNOV.

Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D entre la distribución de probabilidad observada 𝐹₀ = (𝑥_𝑚) y la estimada 𝐹 = (𝑥_𝑚).

𝐷 = 𝑚á𝑥 |𝐹0 (𝑥𝑚) − 𝐹(𝑥0)| (2.1.6.1)

Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionado (véase tabla 3.) Si 𝐷 < 𝑑 se acepta, esta prueba tiene la ventaja que compara los datos con el modelo estadístico sin necesidad de agruparlos. La función de distribución de probabilidad observada se calcula así:

𝐹₀ (𝑥_𝑚) = 1 − 𝑚

𝑛+1 (2.1.6.2)

Donde 𝑚 es el número del orden del dato 𝑥_𝑚 en una lista de mayor a menor y 𝑛 es el número toral de datos

Tabla 3 - Valores críticos de d para prueba Kolmogorov

(29)

2.1.7 MÉTODO DE MOMENTOS CONVENCIONALES

Los momentos convencionales más conocidos como momentos sobre el origen o sobre la media son usados para caracterizar las distribuciones de probabilidad. Las ecuaciones generales para el cálculo de los momentos convencionales se

(30)

Coeficiente de Variación:

𝐶𝑣 =√𝜇2

𝜇₁

(2.1.7.5)

Coeficiente de Asimetría:

𝐶_𝑎 = 𝜇3 √𝜇₂3

(2.1.7.6)

Coeficiente de Curtosis:

𝐶_𝑐 = 𝜇4 𝜇₂2

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3. DESARROLLO METODOLÓGICO

3.1 CRITERIOS DE SELECCIÓN DE ESTACIONES.

Para seleccionar correctamente las estaciones hidrológicas ubicadas a lo largo y ancho de la cuenca Magdalena-Cauca, se debe tener en cuenta la variedad de condiciones hidrológicas y la diversidad morfológica que presentan los cauces primarios dentro de la cuenca, debido principalmente a la posición geográfica que ocupan y a la presencia de tres grandes cordilleras en su recorrido. También se debe conocer que la densidad hidrográfica de la cuenca es alta, y que dentro de ella existen gran cantidad de afluentes con sistemas de ríos torrenciales y de planicie, que responden al proceso de precipitación y al relieve de la zona.

Este tipo de condiciones, obligan a que entidades públicas y privadas monitoreen diariamente el comportamiento del caudal y otras características hidrológicas; por lo que en la actualidad cuenta con gran variedad de estaciones operadas por diferentes instituciones interesadas en el comportamiento del complejo hidrológico que representa dicha cuenca.

Las estaciones hidrométricas operadas por el IDEAM, que se encuentran distribuidas en la cuenca y sus afluentes principales son un total de 167, las cuales tienen la función de medir las características hidrológicas de las corrientes principales y todas aquellas que las tributan. Estas estaciones se ubican sobre el territorio colombiano y pasan por los diferentes departamentos por donde se distribuye esta gran cuenca.

En ese orden, los criterios que se tuvieron en cuenta para la selección de las estaciones que hacen parte del presente estudio, se resumen a continuación:

 Estaciones operadas por el IDEAM y en actual funcionamiento.

 Estaciones ubicadas geográficamente dentro de la cuenca Magdalena – Cauca y en sus afluentes principales.

(32)

Por lo anterior, se solicitó al IDEAM la información histórica de los caudales máximos de las 167 estaciones hidrométricas que en un principio cumplían con las condiciones anteriormente mencionadas para la aplicación de los métodos de regionalización que en capítulos posteriores se desarrollará. Sin embargo 30 de las 167 estaciones no cumplieron con algunos de los requisitos expuestos anteriormente, por lo que en conclusión las estaciones aptas para la realización de los diferentes cálculos y análisis son en total 137 y se relacionan a continuación:

N° CÓDIGO ESTACIÓN ÁREA AFERENTE

( Km² ) N° CÓDIGO ESTACIÓN

ÁREA AFERENTE ( Km² )

1 21017020 SAN AGUSTIN 480 70 25027630 RIONUEVO 163542

2 21017030 C SIMON BOLIVAR 840 71 25027680 MAGANGUE-_ESPERANZA 246771

3 21017040 SALADO BLANCO 3022 72 26017020 JULUMITO 724

4 21037010 PTE GARCES 989 73 26017040 PTE CARRETERA 3 57

5 21037020 SAN MARCOS 377 74 26017060 PTE ARAGON 237

6 21047010 PTE BALSEADERO 5875 75 26017070 LOMITAS 132

7 21057030 PTE RICAURTE 1660 76 26017080 PALETARA 79

8 21057050 VEGA EL SALADO 1236 77 26027080 TOTORO 39

9 21057060 PAICOL 4078 78 26027090 EL CORTIJO 180

10 21087040 HIDROELECTRICA 229 79 26027100 PTE CARRETERA 1 392

11 21087050 BOCATOMA 1 465 80 26027200 PTE CARRETERA 4 197

12 21097070 PTE SANTANDER 15705 81 26027210 PTE FERROCARRIL 185

13 21107020 PTE MULAS 756 82 26027240 MALVASA 33

14 21107030 CASIL 449 83 26027250 BUENOS AIRES 159

15 21127010 PALERMO 357 84 26037010 REMOLINO 139

16 21127020 EL SOCORRO 255 85 26047020 BOCATOMA 906

17 21127030 STA MARIA 94 86 26057030 POTRERITO 110

18 21137010 PURIFICACION 26115 87 26057040 TIMBA 455

19 21137020 PURIFICACION 1 219 88 26077060 BUCHITOLO 286

20 21147010 SAN ALFONSO 2445 89 26097040 EL VERGEL 173

21 21167050 PTE CUNDAY 143 90 26107130 MATEGUADUA 664

22 21167060 SAN PABLO 205 91 26127010 EL ALAMBRADO 1309

23 21187020 PAVO REAL 188 92 26127040 CARTAGO 2736

24 21187030 CUCUNUBA 342 93 26137110 BANANERA LA 6-909 198

25 21197010 EL PROFUNDO 957 94 26147050 LA VIRGEN 439

26 21197030 LA PLAYA 1259 95 26157020 EL RETIRO 986

27 21197110 SILVANIA 156 96 26167060 LA PAILA 275

28 21207960 PTE PORTILLO 5544 97 26167070 IRRA 25472

29 21237020 ARRANCAPLUMAS 54359 98 26177010 PTE CARRETERA 2 88

30 22027010 EL CONDOR 1058 99 26177030 LA VIRGINIA 22814

31 22057010 PIEDRAS DE

COBRE 7009 100 26187030 SONSON 13

32 22057040 PALMALARGA 5664 101 26187040 QUITASUENO 958

33 22057060 LA MURALLA 3713 102 26187110 PINTADA 27452

34 22067010 PTE ORTEGA 252 103 26197010 CAMPAMENTO 690

35 22077030 EL DIAMANTE 374 104 26197020 BRASILIA 290

36 22077060 EL GUAMAL 102 105 26197030 EL REMOLINO 1450

37 22077070 CALICHAL EL

BOSQUE 725 106 26207080 BOLOMBOLO 32162

38 23017020 BOCATOMA 2 14 107 26217010 LA GALERA 268

39 23017030 PTE LOPEZ 1082 108 26237020 PENALTA 230

40 23037010 PTO SALGAR 56905 109 26237040 PTO VALDIVIA 37966

41 23067020 COLORADOS 3045 110 26247010 PALMIRA HDA 590

42 23097030 PTO BERRIO 74410 111 26247020 LA COQUERA 41699

43 23127020 PTO ARAUJO 5300 112 26247030 APAVI 38807

44 23147020 PTE FERROCARRIL

1 1698 113 27037010 LA ESPERANZA 13508

45 23197130 PTE SARDINAS 128 114 28017050 EL REPOSO 778

46 23197270 PTE PANEGA - 115 28017080 CORRAL DE PIEDRA 203

47 23197290 CAFÉ MADRID 1248 116 28017110 LA MINA 474

48 24017150 LA BOYERA 166 117 28027020 LA MATILDE 256

49 24027010 SAN GIL 1849 118 28027030 LAS FLORES 1 373

50 24027030 NEMIZAQUE 596 119 28027040 STA TERESA 120

51 24027040 PTE CABRA 162 120 28027050 BECERRIL 550

52 24027050 PTE LLANO 199 121 28037010 PTE CALLAO 186

53 24027060 PTE ARCO 118 122 28037020 CONVENCION HDA 182

54 24037030 PALO 441 123 28037030 PTE SALGUERO 3754

55 24037040 GUICAN 138 124 28037040 MARIANGOLA 122

56 24037070 MAGUNCIA 205 125 28037060 CANTACLARO 169

57 24037090 SAN RAFAEL 347 126 28037090 PTE CANOAS 10080

58 24037110 LA RESACA 557 127 28047010 LA AURORA 715

59 24037120 VEGA 287 128 28047020 PUEBLO BELLO 35

60 24037130 LA REFORMA 1024 129 28047040 PTE CARRETERA 177

61 24037290 PTE CHAMEZA 2300 130 29037020 CALAMAR 257438

62 24037450 EL MOLINO 54 131 29067010 EL TREBOL 439

63 24067010 EL TABLAZO 20777 132 29067040 STA ROSALIA 55

64 24067030 PTE LA PAZ 21513 133 29067050 CANAL FLORIDA 283

65 25027020 EL BANCO 161292 134 29067060 PTO RICO HDA 957

66 25027050 MARGENTO 42404 135 29067120 FUNDACION 992

67 25027080 GRACIAS A DIOS _HDA 425 136 29067130 PTE FERROCARRIL 2 723

68 25027200 LAS VARAS 59013 137 29067150 GANADERIA CARIBE 705

69 25027270 LAS FLORES 56491

ESTACIONES HIDROMÉTRICAS CUENCA MAGDALENA - CAUCA

(33)

Fuente: Elaboración del autor

Es así como un total de 137 estaciones son una muestra representativa para el estudio de regionalización de caudales máximos. En algunas estaciones fue necesario eliminar los registros anuales que no contaron con más de la mitad de los registros mensuales.

3.2 DEPURACIÓN DE ESTACIONES HIDROLÓGICAS

Con el fin de lograr resultados válidos teóricamente en el análisis de frecuencias, es necesario partir de la hipótesis que utilizan las funciones de densidad de probabilidad, en la cual los datos a analizar son independientes, estacionarios y homogéneos. De allí la necesidad de estudiar si las estaciones seleccionadas

N° CÓDIGO ESTACIÓN ÁREA AFERENTE _{( Km² )} N° CÓDIGO ESTACIÓN ÁREA AFERENTE _{( Km² )}

1 21017020 SAN AGUSTIN 480 70 25027630 RIONUEVO 163542

2 21017030 C SIMON BOLIVAR 840 71 25027680

MAGANGUE-ESPERANZA 246771

3 21017040 SALADO BLANCO 3022 72 26017020 JULUMITO 724

4 21037010 PTE GARCES 989 73 26017040 PTE CARRETERA 3 57

5 21037020 SAN MARCOS 377 74 26017060 PTE ARAGON 237

6 21047010 PTE BALSEADERO 5875 75 26017070 LOMITAS 132

7 21057030 PTE RICAURTE 1660 76 26017080 PALETARA 79

8 21057050 VEGA EL SALADO 1236 77 26027080 TOTORO 39

9 21057060 PAICOL 4078 78 26027090 EL CORTIJO 180

10 21087040 HIDROELECTRICA 229 79 26027100 PTE CARRETERA 1 392

11 21087050 BOCATOMA 1 465 80 26027200 PTE CARRETERA 4 197

12 21097070 PTE SANTANDER 15705 81 26027210 PTE FERROCARRIL 185

13 21107020 PTE MULAS 756 82 26027240 MALVASA 33

14 21107030 CASIL 449 83 26027250 BUENOS AIRES 159

15 21127010 PALERMO 357 84 26037010 REMOLINO 139

16 21127020 EL SOCORRO 255 85 26047020 BOCATOMA 906

17 21127030 STA MARIA 94 86 26057030 POTRERITO 110

18 21137010 PURIFICACION 26115 87 26057040 TIMBA 455

19 21137020 PURIFICACION 1 219 88 26077060 BUCHITOLO 286

20 21147010 SAN ALFONSO 2445 89 26097040 EL VERGEL 173

21 21167050 PTE CUNDAY 143 90 26107130 MATEGUADUA 664

22 21167060 SAN PABLO 205 91 26127010 EL ALAMBRADO 1309

23 21187020 PAVO REAL 188 92 26127040 CARTAGO 2736

24 21187030 CUCUNUBA 342 93 26137110 BANANERA LA 6-909 198

25 21197010 EL PROFUNDO 957 94 26147050 LA VIRGEN 439

26 21197030 LA PLAYA 1259 95 26157020 EL RETIRO 986

27 21197110 SILVANIA 156 96 26167060 LA PAILA 275

28 21207960 PTE PORTILLO 5544 97 26167070 IRRA 25472

29 21237020 ARRANCAPLUMAS 54359 98 26177010 PTE CARRETERA 2 88

30 22027010 EL CONDOR 1058 99 26177030 LA VIRGINIA 22814

31 22057010 PIEDRAS DE

COBRE 7009 100 26187030 SONSON 13

32 22057040 PALMALARGA 5664 101 26187040 QUITASUENO 958

33 22057060 LA MURALLA 3713 102 26187110 PINTADA 27452

34 22067010 PTE ORTEGA 252 103 26197010 CAMPAMENTO 690

35 22077030 EL DIAMANTE 374 104 26197020 BRASILIA 290

36 22077060 EL GUAMAL 102 105 26197030 EL REMOLINO 1450

37 22077070 CALICHAL EL

BOSQUE 725 106 26207080 BOLOMBOLO 32162

38 23017020 BOCATOMA 2 14 107 26217010 LA GALERA 268

39 23017030 PTE LOPEZ 1082 108 26237020 PENALTA 230

40 23037010 PTO SALGAR 56905 109 26237040 PTO VALDIVIA 37966

41 23067020 COLORADOS 3045 110 26247010 PALMIRA HDA 590

42 23097030 PTO BERRIO 74410 111 26247020 LA COQUERA 41699

43 23127020 PTO ARAUJO 5300 112 26247030 APAVI 38807

44 23147020 PTE FERROCARRIL ₁ 1698 113 27037010 LA ESPERANZA 13508

45 23197130 PTE SARDINAS 128 114 28017050 EL REPOSO 778

46 23197270 PTE PANEGA - 115 28017080 CORRAL DE PIEDRA 203

47 23197290 CAFÉ MADRID 1248 116 28017110 LA MINA 474

48 24017150 LA BOYERA 166 117 28027020 LA MATILDE 256

49 24027010 SAN GIL 1849 118 28027030 LAS FLORES 1 373

50 24027030 NEMIZAQUE 596 119 28027040 STA TERESA 120

51 24027040 PTE CABRA 162 120 28027050 BECERRIL 550

52 24027050 PTE LLANO 199 121 28037010 PTE CALLAO 186

53 24027060 PTE ARCO 118 122 28037020 CONVENCION HDA 182

54 24037030 PALO 441 123 28037030 PTE SALGUERO 3754

55 24037040 GUICAN 138 124 28037040 MARIANGOLA 122

56 24037070 MAGUNCIA 205 125 28037060 CANTACLARO 169

57 24037090 SAN RAFAEL 347 126 28037090 PTE CANOAS 10080

58 24037110 LA RESACA 557 127 28047010 LA AURORA 715

59 24037120 VEGA 287 128 28047020 PUEBLO BELLO 35

60 24037130 LA REFORMA 1024 129 28047040 PTE CARRETERA 177

61 24037290 PTE CHAMEZA 2300 130 29037020 CALAMAR 257438

62 24037450 EL MOLINO 54 131 29067010 EL TREBOL 439

63 24067010 EL TABLAZO 20777 132 29067040 STA ROSALIA 55

64 24067030 PTE LA PAZ 21513 133 29067050 CANAL FLORIDA 283

65 25027020 EL BANCO 161292 134 29067060 PTO RICO HDA 957

66 25027050 MARGENTO 42404 135 29067120 FUNDACION 992

67 25027080 GRACIAS A DIOS _HDA 425 136 29067130 PTE FERROCARRIL 2 723

68 25027200 LAS VARAS 59013 137 29067150 GANADERIA CARIBE 705

69 25027270 LAS FLORES 56491

(34)

cumplen con dichos parámetros y pueden utilizarse para el desarrollo del presente proyecto.

Además resulta válido resaltar que dichas pruebas estadísticas pueden indicar únicamente el comportamiento de los registros observados, sin pretender deducir las consecuencias que los produjeron, bien sea un cambio en el uso del suelo o alguna otra condición particular no identificada a simple vista.

Dentro del estudio de aceptación de los datos se escogerá un nivel de significación que variará entre el 1 %, 5% y 10 %, siendo este último valor el de mayor rigurosidad y el menos empleado. Este valor se escogerá a conveniencia de los resultados obtenidos en dichas pruebas.

Así, las pruebas descritas a continuación son las más comúnmente utilizadas en la hidrología estadística para determinar la estacionalidad, homogeneidad e independencia de los datos.

3.3 PRUEBAS DE INDEPENDENCIA, ALEATORIEDAD, ESTACIONALIDAD Y HOMOGENEIDAD

Antes de entrar a evaluar cada uno de los test de depuración de datos, es necesario entender cuál es su propósito y el por qué se hacen necesarios de desarrollar en el estudio de regionalización de caudales máximos. Para ello se exponen a continuación cada uno de los parámetros a evaluar de acuerdo con las definiciones de la (Tabla II.5.3. Pruebas estadísticas y criterios estadísticos) del “capítulo 5. Análisis de valores extremos” del documento Guía de Prácticas Hidrológicas disponible en la web y en formato (.pdf):

3.3.1 Independencia:

(35)

flujo diario tiende a ser grande, mientras que la dependencia entre los valores máximos anuales es generalmente pequeña.

3.3.2 Aleatoriedad:

En un contexto hidrológico, aleatoriedad significa esencialmente que las fluctuaciones de la variable se deben a causas naturales. Por ejemplo, los flujos de crecida apreciablemente alterados por las operaciones de un embalse no son naturales y, en consecuencia, no se pueden considerar como aleatorios, a menos que se eliminen antes los efectos de la regulación.

3.3.3 Estacionalidad:

Estacionalidad significa que, excluyendo las fluctuaciones aleatorias, la serie de datos es invariante con respecto al tiempo. La no-estacionalidad puede consistir en tendencias, saltos o ciclos. En el análisis de crecidas, los saltos se deben generalmente a un cambio abrupto en una cuenca fluvial o un sistema fluvial, como la construcción de una presa. Las tendencias pueden estar causadas por cambios graduales de las condiciones climáticas o del uso de la tierra, como en el caso de la urbanización. Los ciclos pueden estar asociados a oscilaciones del clima en largos períodos.

3.3.4 Homogeneidad:

Homogeneidad significa que todos los elementos de la serie de datos provienen de una misma población. Elderton (1953) indicó que rara vez se obtienen estadísticas de un material estrictamente homogéneo. Por ejemplo, una serie de valores de flujo que contenga tanto crecidas de nieve fundida como de lluvia podría no ser homogénea; sin embargo, dependiendo de los resultados de las pruebas, podría ser aceptable tratarla como tal. Cuando la variabilidad del fenómeno hidrológico es demasiado grande, como en el caso de las precipitaciones extremas, la no homogeneidad suele ser difícil de descifrar (Miller, 1972), siendo más fácil detectarla en las sumas de precipitación anual.

(36)

Se aclara que los resultados obtenidos no pretenden establecer un método de diseño ni aportar conclusiones inequívocas; solo desarrollan un concepto teóricamente válido y presentan un resumen de los cálculos.

3.3.5 Nivel de Significación

Los valores críticos para una distribución normal estándar se relacionan en la siguiente tabla

Tabla 5. Valores del Nivel de Significación

Fuente: Elaboración del autor

Para el desarrollo del presente proyecto se utilizará el nivel de significación del 1 %, dada la finalidad académica del estudio y la necesidad de utilizar la mayor cantidad de estaciones hidrométricas posibles.

3.3.6 Estación “La Virginia”

Para la aplicación de los diferentes test de depuración se seleccionó la estación “La Virginia”, dada la cantidad favorable de registros históricos (66 años de registro), y el comportamiento óptimo de los datos para la ilustración de los cálculos.

α α/2 Z

1% 0.005 2.58

5% 0.025 1.96

10% 0.05 1.64

Valores críticos del nivel de significación para una distribución

(37)

Tabla 6. Datos estación “La Virginia”.

Fuente: Base de datos del IDEAM

CÓDIGO: NOMBRE: 26177030 LA VIRGINIA

No. AÑO ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

VALOR ANUAL

1 1946 252 901 591 901

2 1947 765 566 358 304 467 559 645 483 566 1047 1216 1145 1216

3 1948 371 283 505 873 775 787 333 256 188 490 981 553 981

4 1949 775 668 581 534 914 760 696 550 313 911 1512 1183 1512

5 1950 1073 1553 1553 1500 1728 1709 1269 602 364 753 1450 1578 1728

6 1951 898 1210 784 615 948 826 615 317 371 717 1215 1009 1215

7 1953 681 552 460 846 1250 722 400 394 387 1120 1468 1452 1468

8 1954 887 620 573 876 1112 817 838.9 726 332 1151 1226 1362 1362

9 1955 1290 631 1202 1371 1169 1198 745 512 527 1422 1666 1710 1710

10 1956 1497 1061 1007 1202 950 1483 750 415 436 1215 1193 1193 1497

11 1957 1038 478 640 871 1272 1134 421 255 184 504 868 962 1272

12 1958 424 344 280 734 837 560 304 344 234 294 768 837 837

13 1959 784 366 285 597 1058 880 834 422 272 795 768 759 1058

14 1960 1414 1190 584 843 1208 572 567 327 325 491 1394 1430 1430

15 1961 573 592 589 1168 840 990 821 321 206 366 1154 786 1168

16 1962 534 498 750 950 1230 1044 637 455 268 744 916 1058 1230

17 1963 689 1013 843 1234 1382 883 612 469 248 387 1193 680 1382

18 1964 713 504 332 913 930 1165 910 589 544 900 1061 1020 1165

19 1965 907 515 315 1121 1328 665 292 362 227 956 1290 1107 1328

20 1966 629 321 418 520 818 798 464 370 325 557 1279 1446 1446

21 1967 1279 716 950 798 1090 1068 575 398 222 827 1320 1094 1320

22 1968 623 920 734 1104 750 853 605 578 405 1044 1256 1351 1351

23 1969 590 500 380 1280 1490 890 500 270 450 1040 1140 700 1490

24 1970 620 650 870 930 1420 1030 530 370 410 1310 1600 1438 1600

25 1971 1650 1330 2182 2150 1486 1753 831 601 660 1013 1663 871 2182

26 1972 988 1219 860 783 1257 1002 692 366 349 457 853 731 1257

27 1973 379 217 266 404 625 638 495 866 1074 1212 2102 1589 2102

28 1974 1414 1563 1709 1303 1227 753 583 400 591 1103 1490 1700 1709

29 1975 828 1088 1219 762 1295 1568 1402 697 708 1193 1585 2036 2036

30 1976 1527 759 717 1088 1106 725 488 309 281 700 1002 481 1527

31 1977 347 211 264 490 570 578 410 353 476 895 1206 513 1206

32 1978 780 309 591 1189 1110 776 565 281 234 614 828 1067 1189

33 1979 620 378 652 1434 1061 1119 427 546 745 1168 1418 990 1434

34 1980 563.9 750.4 597.5 429.4 530 812 260 181.5 212.5 527.5 708.4 809 812

35 1981 764 439 564 1224 1442 1306 692 330 405 600 1252 1256 1442

36 1982 1490 914 904 1510 1386 1219 539 386 280 942 809 777 1510

37 1983 683 420 803 1283 1164 900 362 326 224 417 489 1038 1283

38 1984 1374 1026 731 1230 1168 1454 855 603 790 1840 2077 1320 2077

39 1985 996 740 451 598 600 701 276 462 731 1180 1026 842 1180

40 1986 848 1026 1101 1056 858 946 686 352 364 1083 963 722 1101

41 1987 330 338 358 555 829 417 342 548 420 1188 855 928 1188

42 1988 314 408 563 656 713 653 956 790 835 1113 1699 1861 1861

43 1989 1144 877 1075 578 761 505 471 492 565 725 790 953 1144

44 1990 580 692 648 887 803 451 390 306 220 563 704 1075 1075

45 1991 455.5 370 716 701 893.5 567.5 491.5 460 392.5 379 710 625 893.5

46 1992 460 433 342 364 330 356 241 202 248 244.5 489.3 640 640

47 1993 757 650 743 1002 1262 837 378 268 479 416 1359 1310 1359

48 1994 1020 882 1069 1310 1080 908 440 289 332 1035 1091 972 1310

49 1995 426 271 382 990 1014 609 692 680 428 721 1005 743 1014

50 1996 768 912 1390 1027 958 1018 950 543 440 740 745 760 1390

51 1997 1319 1283 837 918 655 975 459 351 376 383 872 685 1319

52 1998 255 285 489 715 1294 1012 519 372 623 1005 1412 1334 1412

53 1999 1229 1795 1805 1431 1405 810 698 479 924 1457 1644 1652 1805

54 2000 1312 1368 1317 1303 1394 1229 698 516 760 901 1263 775 1394

55 2001 587 489 755 582 640 595 315 313 440 454 815 1167 1167

56 2002 538 341 535 1213 1054 811 459 262 432 695 834 916 1213

57 2003 394 383 441 1141 743 770 415 327 329 948 1094 1226 1226

58 2004 758 560.5 329 734 830 452.6 337.6 282.9 378.5 634 942 818 942

59 2005 640 717 743 695 992 607 361 230 342 1026 1519 1009 1519

60 2006 1084 776 1203 1203 1413 1323 481.9 415 379 505.1 920.1 1080 1413

61 2007 716.7 512.8 867.1 1471 1355 1348 598 567.8 554 1344 1475 1703 1703

62 2008 1217 1446 1391 1273 1948 1612 1030 904 1104 827.1 1883 1940 1948

63 2009 1207 1020 1231 1417 1280 861 559.5 388.6 287.5 352.8 497.4 439 1417

64 2010 415 310 310 873.3 1277 894.8 1366 936.3 702 1221 2073 2253 2253

65 2011 1357 1097 1387 2050 1591 1249 741.7 722.8 497.9 1716 1891 2355 2355

66 2012 1604 1418 991.2 1222 1226 457 306.4 266 274 525 623.4 679.5 1604

TOTAL DATOS 66

MEDIOS 849.1 735 777.3 991.2 1071 907.2 594.2 442.4 441.4 838.7 1174 1107 827.41 MAXIMOS 1650 1795 2182 2150 1948 1753 1402 936.3 1104 1840 2102 2355 2355

MINIMOS 255 211 264 304 330 356 241 181.5 184 244.5 489 439 181.5 ESTACIÓ

(38)

3.3.7 TEST WALD-WOLFOWITZ (1943)

Dentro de la solución del test, se debe tener claro que se evaluarán los parámetros de independencia, y estacionalidad.

En primera instancia se deben organizar los datos de manera ascendente de acuerdo con el año de registro. Una vez organizados se debe encontrar la sumatoria para el cálculo de R, donde se tiene:

Con la ecuación

De la cual se obtiene posteriormente:

(39)

Se presenta la tabla de resultados obtenidos de manera resumida y para la Estación “La Virginia”.

Tabla 7. Resumen test Wald-Wolfowitz estación “La Virginia”

…

Fuente: Elaboración del autor.

Adicionalmente y con el uso de la siguiente ecuación:

𝑅̅ = 𝑆1

2_{− 𝑠} 2

𝑁 − 1

Reemplazando valores, se obtiene:

𝑅̅ = (8515321562.25 − 137101153.25)

66 − 1

𝑅̅ = 128895698.6 No.

DATOS AÑO QMÁX

1 1946 901 1095616 901 811801 731432701 6.59021E+11

2 1947 1216 1192896 1216 1478656 1798045696 2.18642E+12

3 1948 981 1483272 981 962361 944076141 9.26139E+11

4 1949 1512 2612736 1512 2286144 3456649728 5.22645E+12

5 1950 1728 2099520 1728 2985984 5159780352 8.9161E+12

6 1951 1215 1783620 1215 1476225 1793613375 2.17924E+12

7 1953 1468 1999416 1468 2155024 3163575232 4.64413E+12

8 1954 1362 2329020 1362 1855044 2526569928 3.44119E+12

9 1955 1710 2559870 1710 2924100 5000211000 8.55036E+12

10 1956 1497 1904184 1497 2241009 3354790473 5.02212E+12

11 1957 1272 1064664 1272 1617984 2058075648 2.61787E+12

12 1958 837 885546 837 700569 586376253 4.90797E+11

13 1959 1058 1512940 1058 1119364 1184287112 1.25298E+12

14 1960 1430 1670240 1430 2044900 2924207000 4.18162E+12

15 1961 1168 1436640 1168 1364224 1593413632 1.86111E+12

16 1962 1230 1699860 1230 1512900 1860867000 2.28887E+12

17 1963 1382 1610030 1382 1909924 2639514968 3.64781E+12

18 1964 1165 1547120 1165 1357225 1581167125 1.84206E+12

19 1965 1328 1920288 1328 1763584 2342039552 3.11023E+12

20 1966 1446 1908720 1446 2090916 3023464536 4.37193E+12

21 1967 1320 1783320 1320 1742400 2299968000 3.03596E+12

22 1968 1351 2012990 1351 1825201 2465846551 3.33136E+12

23 1969 1490 2384000 1490 2220100 3307949000 4.92884E+12

24 1970 1600 3491200 1600 2560000 4096000000 6.5536E+12

25 1971 2182 2742774 2182 4761124 10388772568 2.26683E+13

26 1972 1257 2642214 1257 1580049 1986121593 2.49655E+12

27 1973 2102 3592318 2102 4418404 9287485208 1.95223E+13

28 1974 1709 3479524 1709 2920681 4991443829 8.53038E+12

29 1975 2036 3108972 2036 4145296 8439822656 1.71835E+13

30 1976 1527 1841562 1527 2331729 3560550183 5.43696E+12

31 1977 1206 1433934 1206 1454436 1754049816 2.11538E+12

32 1978 1189 1705026 1189 1413721 1680914269 1.99861E+12

33 1979 1434 1164408 1434 2056356 2948814504 4.2286E+12

34 1980 812 1170904 812 659344 535387328 4.34735E+11

35 1981 1442 2177420 1442 2079364 2998442888 4.32375E+12

36 1982 1510 1937330 1510 2280100 3442951000 5.19886E+12

37 1983 1283 2664791 1283 1646089 2111932187 2.70961E+12

38 1984 2077 2450860 2077 4313929 8960030533 1.861E+13

39 1985 1180 1299180 1180 1392400 1643032000 1.93878E+12

40 1986 1101 1307988 1101 1212201 1334633301 1.46943E+12

41 1987 1188 2210868 1188 1411344 1676676672 1.99189E+12

42 1988 1861 2128984 1861 3463321 6445240381 1.19946E+13

43 1989 1144 1229800 1144 1308736 1497193984 1.71279E+12

44 1990 1075 960512.5 1075 1155625 1242296875 1.33547E+12

45 1991 893.5 571840 893.5 798342.25 713318800.4 6.3735E+11

46 1992 640 869760 640 409600 262144000 1.67772E+11

47 1993 1359 1780290 1359 1846881 2509911279 3.41097E+12

48 1994 1310 1328340 1310 1716100 2248091000 2.945E+12

49 1995 1014 1409460 1014 1028196 1042590744 1.05719E+12

50 1996 1390 1833410 1390 1932100 2685619000 3.73301E+12

51 1997 1319 1862428 1319 1739761 2294744759 3.02677E+12

52 1998 1412 2548660 1412 1993744 2815166528 3.97502E+12

53 1999 1805 2516170 1805 3258025 5880735125 1.06147E+13

54 2000 1394 1626798 1394 1943236 2708870984 3.77617E+12

55 2001 1167 1415571 1167 1361889 1589324463 1.85474E+12

56 2002 1213 1487138 1213 1471369 1784770597 2.16493E+12

57 2003 1226 1154892 1226 1503076 1842771176 2.25924E+12

58 2004 942 1430898 942 887364 835896888 7.87415E+11

59 2005 1519 2146347 1519 2307361 3504881359 5.32391E+12

60 2006 1413 2406339 1413 1996569 2821151997 3.98629E+12

61 2007 1703 3317444 1703 2900209 4939055927 8.41121E+12

62 2008 1948 2760316 1948 3794704 7392083392 1.43998E+13

63 2009 1417 3192501 1417 2007889 2845178713 4.03162E+12

64 2010 2253 5305815 2253 5076009 11436248277 2.57659E+13

65 2011 2355 3777420 2355 5546025 13060888875 3.07584E+13

66 2012 1604 1604 2572816 4126796864 6.61938E+12

66 ∑= 92278.5 137101153.3 2.16158E+11 3.60873E+14

S1 S2 S3 S4

8515321562 1.87967E+16 4.67243E+22 1.3023E+29 N=

No.

DATOS AÑO QMÁX

1 1946 901 1095616 901 811801 731432701 6.59021E+11

2 1947 1216 1192896 1216 1478656 1798045696 2.18642E+12

3 1948 981 1483272 981 962361 944076141 9.26139E+11

4 1949 1512 2612736 1512 2286144 3456649728 5.22645E+12

5 1950 1728 2099520 1728 2985984 5159780352 8.9161E+12

6 1951 1215 1783620 1215 1476225 1793613375 2.17924E+12

7 1953 1468 1999416 1468 2155024 3163575232 4.64413E+12

8 1954 1362 2329020 1362 1855044 2526569928 3.44119E+12

9 1955 1710 2559870 1710 2924100 5000211000 8.55036E+12

10 1956 1497 1904184 1497 2241009 3354790473 5.02212E+12

11 1957 1272 1064664 1272 1617984 2058075648 2.61787E+12

12 1958 837 885546 837 700569 586376253 4.90797E+11

13 1959 1058 1512940 1058 1119364 1184287112 1.25298E+12

14 1960 1430 1670240 1430 2044900 2924207000 4.18162E+12

15 1961 1168 1436640 1168 1364224 1593413632 1.86111E+12

16 1962 1230 1699860 1230 1512900 1860867000 2.28887E+12

17 1963 1382 1610030 1382 1909924 2639514968 3.64781E+12

18 1964 1165 1547120 1165 1357225 1581167125 1.84206E+12

19 1965 1328 1920288 1328 1763584 2342039552 3.11023E+12

20 1966 1446 1908720 1446 2090916 3023464536 4.37193E+12

21 1967 1320 1783320 1320 1742400 2299968000 3.03596E+12

22 1968 1351 2012990 1351 1825201 2465846551 3.33136E+12

23 1969 1490 2384000 1490 2220100 3307949000 4.92884E+12

24 1970 1600 3491200 1600 2560000 4096000000 6.5536E+12

25 1971 2182 2742774 2182 4761124 10388772568 2.26683E+13

26 1972 1257 2642214 1257 1580049 1986121593 2.49655E+12

27 1973 2102 3592318 2102 4418404 9287485208 1.95223E+13

28 1974 1709 3479524 1709 2920681 4991443829 8.53038E+12

29 1975 2036 3108972 2036 4145296 8439822656 1.71835E+13

30 1976 1527 1841562 1527 2331729 3560550183 5.43696E+12

31 1977 1206 1433934 1206 1454436 1754049816 2.11538E+12

32 1978 1189 1705026 1189 1413721 1680914269 1.99861E+12

33 1979 1434 1164408 1434 2056356 2948814504 4.2286E+12

34 1980 812 1170904 812 659344 535387328 4.34735E+11

35 1981 1442 2177420 1442 2079364 2998442888 4.32375E+12

36 1982 1510 1937330 1510 2280100 3442951000 5.19886E+12

37 1983 1283 2664791 1283 1646089 2111932187 2.70961E+12

38 1984 2077 2450860 2077 4313929 8960030533 1.861E+13

39 1985 1180 1299180 1180 1392400 1643032000 1.93878E+12

40 1986 1101 1307988 1101 1212201 1334633301 1.46943E+12

41 1987 1188 2210868 1188 1411344 1676676672 1.99189E+12

42 1988 1861 2128984 1861 3463321 6445240381 1.19946E+13

43 1989 1144 1229800 1144 1308736 1497193984 1.71279E+12

44 1990 1075 960512.5 1075 1155625 1242296875 1.33547E+12

45 1991 893.5 571840 893.5 798342.25 713318800.4 6.3735E+11

46 1992 640 869760 640 409600 262144000 1.67772E+11

47 1993 1359 1780290 1359 1846881 2509911279 3.41097E+12

48 1994 1310 1328340 1310 1716100 2248091000 2.945E+12

49 1995 1014 1409460 1014 1028196 1042590744 1.05719E+12

50 1996 1390 1833410 1390 1932100 2685619000 3.73301E+12

51 1997 1319 1862428 1319 1739761 2294744759 3.02677E+12

52 1998 1412 2548660 1412 1993744 2815166528 3.97502E+12

53 1999 1805 2516170 1805 3258025 5880735125 1.06147E+13

54 2000 1394 1626798 1394 1943236 2708870984 3.77617E+12

55 2001 1167 1415571 1167 1361889 1589324463 1.85474E+12

56 2002 1213 1487138 1213 1471369 1784770597 2.16493E+12

57 2003 1226 1154892 1226 1503076 1842771176 2.25924E+12

58 2004 942 1430898 942 887364 835896888 7.87415E+11

59 2005 1519 2146347 1519 2307361 3504881359 5.32391E+12

60 2006 1413 2406339 1413 1996569 2821151997 3.98629E+12

61 2007 1703 3317444 1703 2900209 4939055927 8.41121E+12

62 2008 1948 2760316 1948 3794704 7392083392 1.43998E+13

63 2009 1417 3192501 1417 2007889 2845178713 4.03162E+12

64 2010 2253 5305815 2253 5076009 11436248277 2.57659E+13

65 2011 2355 3777420 2355 5546025 13060888875 3.07584E+13

66 2012 1604 1604 2572816 4126796864 6.61938E+12

66 ∑= 92278.5 137101153.3 2.16158E+11 3.60873E+14

S1 S2 S3 S4

(40)

Ahora bien, utilizando los datos relacionados a continuación:

Se reemplazan los valores obtenidos en la siguiente ecuación:

𝑣𝑎𝑟 (𝑅) =𝑠2

Donde se tiene como resumen de resultados:

Reemplazando:

|𝑢| =(131424118.5 − 128895698.6)

√9.50846E + 11

|𝑢| = 2.5929

3.3.7.1 Criterio de aceptación test WALD-WOLFOWITZ

El criterio de aceptación de la Estación “la Virginia” se resume en una desigualdad de acuerdo con el nivel de significación utilizado en el estudio. Para el presente proyecto se escogió el 1 % correspondiente a un valor de 2.58. De allí se concluye entonces que el dato es independiente y estacionario si:

∑= 92278.5 137101153.3 2.16158E+11 3.60873E+14

S1 S2 S3 S4

8515321562 1.87967E+16 4.67243E+22 1.3023E+29

(41)

|𝑢| < 2.58

Luego:

|2.5929| > 2.58

= 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎 𝑉𝑖𝑟𝑔𝑖𝑛𝑖𝑎 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂𝒅𝒂

Por lo que puede concluirse que los datos de la estación la Virginia no son independientes ni estacionarios, lo que implica que algunos de los registros medidos pueden depender en alguna medida de registros anteriores, reflejando una posible tendencia hacia la toma de datos futuros; además de que dicha tendencia marca la no-estacionalidad de los datos, y confirma la variación en los registros para diferentes intervalos de tiempo; de modo tal que los datos proporcionados por la estación “La Virginia” no son convenientes de utilizar dada la hipótesis de independencia y estacionalidad empleada en los métodos de distribución.

3.3.8 TEST MANN – WHITNEY

Este test busca encontrar si los datos de la Estación “La Virginia” son homogéneos, además de establecer una posible condición de aleatoriedad.

El procedimiento consiste en dividir la muestra en dos 2 submuestras de tamaños "p" y "q" de tal forma que p < q. Así, con N=66, se tiene que

Para cálculo de P se recomienda usar el entero de N dividido en dos partes, donde para el caso corresponde al entero 33. Seguidamente a dicho valor calculado se le resta la unidad, tal como se muestra en el siguiente procedimiento:

p= 32

q= 34

(42)

𝑝 = 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜(𝑁 2) − 1

𝑝 = 33 − 1

𝑝 = 32

Donde “q” deberá ser igual a la resta entre N y p.

𝑞 = 𝑁 − 𝑝

𝑞 = 66 − 32

𝑞 = 34

(43)

Tabla 8. Resumen test Mann – Whitney estación “La Virginia”

Fuente: Elaboración del autor.

En esta tabla asignaremos un rango que irá en función de la posición del dato ordenado ascendentemente, de modo tal que para el cálculo de R se sumarán los rangos asignados de la primer submuestra, que corresponden a los primeros 32 valores de acuerdo con el valor de “p” y el chequeo que realiza la hoja de cálculo (Séptima columna).

4 1949 1512 893.5 4 49 SUMAR

5 1950 1728 901 5 57 SUMAR

6 1951 1215 942 6 21 SUMAR

7 1953 1468 981 7 45 SUMAR

8 1954 1362 1014 8 34 SUMAR

9 1955 1710 1058 9 56 SUMAR

10 1956 1497 1075 10 47 SUMAR

11 1957 1272 1101 11 26 SUMAR

12 1958 837 1144 12 3 SUMAR

13 1959 1058 1165 13 9 SUMAR

14 1960 1430 1167 14 41 SUMAR

15 1961 1168 1168 15 15 SUMAR