Continuación Ecuación de Segundo Grado:

(1)

Continuación Ecuación de Segundo Grado:

• Función cuadrática: gráfico, vértice, concavidad, intersección con los ejes, ceros.

• Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado.

• Problemas de planteo sobre ecuaciones de segundo grado.

(2)

Función caudrática:

Es toda función de la forma y = f(x) = ax² + bx + c con a,b,c  IR y a  0 , cuyo gráfico es una línea curva llamada parábola.

Para obtener el gráfico de una parábola es fundamental determinar el vértice u origen de esta, el que está definido por:

V = 









 − −

a 4

b2 ac

, 4 a 2

b

O bien dándole a x como primer valor –b/2a para luego calcular la imagen de este valor obteniéndose así también la segunda componente de este punto.

(3)

Ejercicio:

Definida la función caudrática f:IR IR

x x² – 4x + 3

es decir: y = f(x) = x² – 4x + 3

a=

b=

c=

1 -4 3

a) Para obtener su gráfico construya una tabla de valores, dándole a “x” como primer valor –b/2a determinando así el vértice, para luego dar a “x”

valores enteros menores y mayores a este.

(4)

Para y = x² – 4x + 3

x = − = a 2

 Vértice: b

a=

b=

c=

1 -4 3 -(-4)

2·1 = 42 = 2

x y

Vértice: 2 1 0 -1

3 4 5

y = x² - 4x + 3 Ejemplo:

Si x=2  y = 2² - 4·2 + 3 y = 4 - 8 + 3 y = -1

-1 8 3 0 0 3 8

(5)

x y

2 1

0 -1

3 4 5

-1 8 3 0 0 3

8 X

Y

• •

•

• •

•

(2,-1)

y = x² – 4x + 3

b) Indique: Dominio = Codominio = Recorrido =

f:IR IR

x x² – 4x + 3

IR IR

{ y  IR/ y  -1 }

(6)

c) Determine los puntos de intersección con los ejes para y = x² – 4x + 3:

i) Con eje X:

Hacer y = 0; despejando x:

ii) Con eje Y:

Hacer x = 0; despejando y:

y = x² – 4x + 3 0 = x² - 4x + 3 0 = (x - 1)(x - 3)

 x - 1 = 0  x - 3 = 0 x = 1 x = 3 Puntos (x,y) de  eje X son:

(1,0) con (3,0)

y = x² – 4x + 3 y = 0² - 4·0 + 3 y = 0 - 4·0 + 3

 y = 3

Puntos (x,y) de  eje Y son:

(0,3)

(7)

d) Determine los ceros de y = x² – 4x + 3:

Valores de x para los cuales y = 0 ; luego:

y = x² – 4x + 3 0 = x² - 4x + 3 0 = (x - 1)(x - 3)

 x - 1 = 0  x - 3 = 0 x = 1 x = 3 Ceros:

 f(1) = 0 y f(3) = 0

(8)

Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado:

Para obtener gráficamente las soluciones de una ecuación de segundo grado; es decir ax² + bx + c = 0 ; emplearemos la función cuadrática y = ax² + bx + c, la que gráficamente es una parábola.

Ejemplo:

Para resolver gráficamente la ecuación x² + 2x - 8 = 0 ; representaremos el gráfico de la función y = x² + 2x - 8:

y = x² + 2x - 8 ^{a= 1}^{b= 2}

c=-8

i) Vértice:

(

¹^, ⁹

)

4 , 36 2

2 4

4 , 32

2

V 2  = − −



 



 − −

 =



 



 − − −

=











− −

=

+ +

=

a 4

b2 ac

,4 a 2 V b

c 2 bx

ax y

(9)

y = x² + 2x - 8 ^{a= 1}^{b= 2}

c=-8

ii)  eje X: Hacer y = 0 despejando x:

y = x² + 2x - 8 0 = x² + 2x - 8 0 = (x + 4)(x - 2)

x + 4 = 0  x - 2 = 0 x =-4 x = 2

Puntos (x,y) de  eje X son: (-4,0) y (2,0)

(10)

y = x² + 2x - 8 ^{a= 1}^{b= 2}

c=-8

iii)  eje Y: Hacer x = 0 despejando y:

y = x² + 2x - 8 y = 0² + 2·0 - 8 y = -8

Punto (x,y) de  eje Y es: (0,-8)

iv) Ceros: x = -4 y x = 2

(11)

X Y

-1 -3 -2

-5-4

-6 -1

-2 -4-3

-5 -6 -7 -8

-9 -10

1 1

2 3 4 5

2 3 4 5 6 7

V = (-1,-9)

 eje X: (-4,0) , (2,0)

 eje Y: (0,-8)

• •

• y = x² + 2x - 8

• Ceros: x= -4 ; x = 2

(12)

Las soluciones de la ecuación a partir de la función cuadrática y = x² + 2x - 8 quedan determinadas por los ceros de esta función; es decir por los valores de x para los cuáles y = 0; valores que quedan determinados por las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje X; luego las soluciones de x² + 2x - 8 = 0 son:

x₁ = ; x₂ = , obteniéndose dos soluciones reales y distintas.

-4 2

Ejercicios:

Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado, a partir del gráfico de la función cuadrática respectiva:

(13)

X Y

2 3 6

a) x² - 5x + 6 = 0

Por medio de la función cuadrática y = x² - 5x + 6; se obtiene el gráfico:

Luego las soluciones de la ecuación son:

x₁ = x₂ =

obteniéndose dos soluciones ...

b) x² - 6x + 9 = 0

x₁ = x₂ =

reales y distintas.

reales e iguales.

3 9

2 3

3 3

(14)

X Y

1 2

3

-2 1 4

9

c) x² - 2x + 3 = 0

En este caso la ecuación no tiene soluciones reales; obteniéndose dos soluciones ...

d)-x² + 2x + 8 = 0

Por medio de la función cuadrática y = -x² + 2x + 8; se obtiene el gráfico:

x₁ = x₂ =

imaginarias, complejas y conjugadas.

reales y distintas.

-2 4

(15)

X Y

-2

1

-3 -4

2

e) -x² + 4x - 4 = 0

Por medio de la función cuadrática y = -x² + 4x - 4; se obtiene el gráfico:

x₁ = x₂ =

f) -x² + 2x - 3 = 0

Por medio de la función cuadrática y = -x² + 2x - 3; se obtiene el gráfico:

En este caso la ecuación no tiene soluciones reales; obteniéndose dos soluciones ...

2

2 reales e iguales.

imaginarias, complejas y conjugadas.

(16)

Recuerde que la concavidad de la parábola correspondiente al gráfico de la función cuadrática y = ax² + bx + c depende del valor del "a" ; teniéndose que:

- Si a > 0 la concavidad es positiva; . - Si a < 0 la concavidad es negativa; . En resumen:

i) Si la parábola intersecta al eje X en 2 puntos, la ecuación tiene _______________________________________.

ii) Si la parábola intersecta al eje X en 1 punto, la ecuación tiene ________________________________________.

iii) Si la parábola no intersecta al eje X , la ecuación no tiene __________________________________________________.

dos soluciones reales y distintas dos soluciones reales e iguales

solución real, siendo estas imaginarias __________________________

complejas y conjugadas.

(17)

Problemas de planteo sobre ecuaciones de segundo grado:

(a) Hallar un número sabiendo que la suma del triple del mismo, con el doble de su recíproco es igual a 5.

Número: x

3x + 2· = 51 luego: x

1 0 5 x

2 1

x

3 + − = ·x

x 1 x

3x² + 2 - 5x = 0 3x² - 5x + 2 = 0

Soluciones:

Para: 3x² - 5x + 2 = 0 x = 1 x = 2/3

Tal número es 1 o 2/3

(18)

(b) Hallar dos números positivos sabiendo que uno de ellos es igual al triple del otro, más 5 y que el producto de ambos es igual a 68.

Primero:

Segundo:

x

3x + 5 Producto de ambos = 68 x(3x + 5) = 68

3x² + 5x - 68 = 0

Para: 3x² + 5x - 68 = 0 Soluciones: x = 4

x =-17/3

Por ser números positivos, se considera sólo x = 4; luego:

Primero:

Segundo:

x = 4

3x + 5 = 3·4 + 5 = 12 + 5 = 17

(19)

(c) Hallar un número positivo de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es igual al doble de la cifra de las unidades y que si se multiplica dicho número por la suma de sus cifras se obtiene 63.

Decenas : Unidades: x

2x Número = 2x·10 + x·1 Número = 20x + x

Número = 21x Luego: 21x · (2x + x) = 63

21x · 3x = 63

63x² = 63 : 63

 x² = 1 2 1

x =  1 x = 

Al ser el número positivo, se considera sólo x = 1; luego el número es:

21x = 21·1 = 21

(20)

(d) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a 34cm. Hallar las longitudes de los catetos sabiendo que uno de ellos es 14cm mayor que el otro.

x 34

x+14

Cateto menor:

Cateto mayor:

Hipotenusa : x

x + 14 34

Por teorema de Pitágoras: x² + (x + 14)² = 34² x² + x² + 28x + 196 = 1156

2x² + 28x - 960 = 0 : 2

x² + 14x - 480 = 0 Soluciones: x = 16 x =-30 Por se las medidas positivas, se considera sólo x = 16

Cateto menor:

Cateto mayor:

x = 16cm.

x + 14 = 16 + 14 = 30cm.

(21)

(e) Un piloto realiza un vuelo de 600 Km. Si aumenta su velocidad en 40 Km/h podría recorrer dicha distancia empleando 30 minutos menos. Hallar su velocidad.

Si D = V · T  T = Sea la velocidad inicial :

Sea la segunda velocidad:

x Km/h.

x + 40 Km/h.

DV

x 1 600 T =

40 x

2 600

T = +

Como el segundo tiempo es 30 minutos menos que el primero; luego:

2 1 40

x

600 x

600 +

= +

x² + 40x - 4800 = 0



/·2x(x+40)

Sol: x = 200 x =-240

La velocidad inicial : La segundo velocidad:

x = 200 Km/h.

x + 40 = 200 + 40 = 240 Km/h.

Como la velocidad no puede ser negativa; luego x = 200

(22)

(f) Dos personas A y B realizan juntos un trabajo en 6 días. Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B. Hallar el número de días que tardarían en hacer la obra trabajando cada uno por sí solo.

A sola demora:

B sola demora:

A y B juntas demoran: 6 días x + 5 días

x días

1 día hace : 1 día hace : 1 día hacen:

5 x

1 + x 1

6 1

6 1 x

1 5

x

1 + =

Luego: + ·6x(x + 5)

x² - 7x - 30 = 0

 Soluciones: x = 10

x =-3

A sola demora:

B sola demora:

x + 5 = 10 + 5 = 15 días x = 10días

Los tiempos son positivos; luego considerar sólo x = 10

(23)

(g) Un comerciante compra cierto número de unidades de un artículo por un total de $720. Hallar el número de unidades que compró sabiendo que al venderlas a $40 c/u obtiene una ganancia igual al dinero que le costaron 8 de ellas.

N° unidades: x

Invierte: $720 Valor de una unidad: $ 720 x

40x - 720 = 8· 720 x

Recibido - Invertido = Ganancia

40x - 720 = 5.760x

40x² - 720x = 5.760 : 40

Soluciones: x = 24 x =-6 N° unidades: x = 24.

x² - 18x - 144 = 0

(24)

(h) Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad inicial de v_o (metros por seg.) y su distancia s (metros) al punto de lanzamiento viene dada, en función del tiempo t (segundos), por la formula s = v_o^.t - 5t² . Suponiendo que un objeto se lanza con una velocidad de 40 m/s, determinar el tiempo que tardaría en hallarse a una distancia de 35 m. del punto de lanzamiento.

s = v_o^.t - 5t² 35 = 40·t - 5t²

5t² - 40t + 35 = 0 : 5

t² - 8t + 7 = 0 + = -8

· = 7 -7 ; -1

t - 7 = 0 t - 1 = 0

t = 7 t = 1 (t - 7)(t - 1) = 0

a 1 seg. y a 7seg.





(25)

Ejercitación:

1) Referente al gráfico de la función cuadrática f(x) = x² – 4x – 5 = 0. De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):

l) Es una parábola de vértice (2,-9)

ll) La parábola intersecta al eje X en los puntos (-1,0) y (5,0)

lll) La parábola intersecta al eje Y en el punto (0,-5)

A) Sólo l

B) Sólo l y ll C) Sólo l y lll D) Sólo ll y lll E) Todas

✓

(26)

2) Resolver los siguientes problemas referentes a ecuaciones de segundo grado:

a) Hallar dos números sabiendo que uno de ellos es igual al doble del otro, menos 1 y que la suma de sus cuadrados es 34.

1º:

2º:

x

2x - 1

x² + (2x - 1)² = 34



x² + 4x² - 4x + 1 - 34 = 0

5x² - 4x - 33 = 0 Soluciones: x=3

x=-11/5 1º:

2º: 2x - 1 = 2·3 - 1 =

x = 1º:

2º:

x =

2x - 1 = 2· - 1 =-11

5 -27

5 -11

3 5

5

(27)

b) El operario B tarda 6 horas más que A en efectuar un trabajo. Hallar cuánto tiempo tardarían en realizarlo cada uno de ellos, sabiendo que juntos demoran 4 horas en terminarlo.

A:

B:

x horas

x + 6 horas

 1 hora hace:

A y B juntos: 4 horas

 1 hora hace:

 1 hora hacen: 1 4 1x x + 61

Ecuación:

4 1 6

x 1 x

1 =

+ + Solución: x = 6 x = -4 A = x = 6 horas.

B = x + 6 = 6 + 6 = 12 horas.

✓

(28)

Continuación Ecuación de Segundo Grado:

• Función cuadrática: gráfico, vértice, concavidad, intersección con los ejes, ceros.

• Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado.

• Problemas de planteo sobre ecuaciones de segundo grado.