1. ENTRETEMA 1/2. p(x) = a. (x a j ) n i. j=1. radical ( p(x) ) =

(1)

1. ENTRETEMA 1/2.

1. LA CONJETURA ABC.

El siguiente teorema de Mason (1984) y algunos otros resultados de Szpiro inspi-raron a Masser (1985) y Oesterl´e (1988) a formular la conjetura ABC. Usaremos el concepto de radical. El radical de un polinomio

p(x) = a m Y j=1 (x − aj)ni, donde nj ≥ 1, es el polinomio radical p(x) = m Y j=1 (x − aj).

(1,1,1) Teorema (Mason). Si A, B y C son tres polinomios no nulos en C[x] primos entre s´ı dos a dos, no todos constantes y tales que A + B = C, entonces

max grado(A), grado(B), grado(C) ≤ grado radical(ABC) − 1. La demostraci´on puede verse en el libro de Nathanson.

(1,1,2) Corolario. Sea n ∈ N. La ecuaci´on

p(x)n + q(x)n = r(x)n

no tiene soluciones no triviales p(x), q(x), r(x) ∈ C[x] m´as que para n ≤ 2.

Se entienden soluciones triviales aqu´ellas en que alguno de los polinomios es nulo, o los tres son constantes.

Como sabemos, para n > 2, la ecuaci´on de Fermat an_{+ b}n _{= c}n _{no tiene soluciones}

m´as que las triviales. El resultado anterior es un an´alogo en el anillo C[x] de este resultado.

La analog´ıa entre el anillo Z y los anillos de polinomios k[x] (donde k es un cuerpo) ha proporcionado muchas ideas interesantes en el pasado. La conjetura ABC pro-mete ser otro caso m´as.

(1,1,3) Conjetura ABC. Para cada ε > 0 existe una constante K(ε) tal que si A, B, y C ∈ Z son enteros no nulos, primos entre s´ı dos a dos, y tales que A + B = C, entonces

(2)

En el enunciado anterior si n = ± m Y j=1 paj j , entonces radical(n) = m Y j=1 pj.

(1,1,4) Proposici´on. La conjetura ABC implica que existe una constante n0 tal que para n ≥ n0

la ecuaci´on de Fermat an_{+ b}n _{= c}n _{no tiene soluciones no triviales.}

El siguiente teorema, que no demostramos, fue conocido durante muchos a˜nos como la conjetura de Mordell.

(1,1,5) Teorema (Faltings). Si p(x, y) ∈ Q[x, y] es un polinomio con coeficientes racionales y el g´enero de la curva {(x, y) ∈ C2_{: p(x, y) = 0} es g ≥ 2, entonces el n´umero de soluciones de}

la ecuaci´on diof´_{antica p(x, y) = 0 con x e y ∈ Q es finito.} Se ha probado la siguiente implicaci´on:

(1,1,6) Teorema (Elkies). La conjetura ABC implica el teorema de Faltings.

Otra aplicación es relativa a una clase especial de números primos. Si p es un primo impar, 2p−1 _{≡ 1 (mod p). Si además 2}p−1 _{6≡ 1 (mod p}2) se dice que p es un primo de Wieferich.

(1,1,7) Lema. Si existe un n tal que 2n

≡ 1 (mod p) y 2n

6≡ 1 (mod p2), entonces p es un primo de Wieferich.

(1,1,8) Proposici´on. La conjetura ABC implica que existen infinitos primos de Wieferich. Los ejemplos estan sacados del libro de Nathanson. Otra referencia al tema es el libro P. Ribenboim, My Numbers, My Friends. Popular Lectures on Number Theory, Sprin-ger, New York, 2000. (C511/082, y C 511/236).

Otra lectura recomendada:

S. Lang, Old and new conjetured diphantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc. 23 (1990), 37–75.

(3)

2. ENTRETEMA 2/3.

1. FUNCI ÓN ZETA DE UNA CURVA ELÍPTICA. 1. La función zeta de Riemann.

La funci´on zeta de Riemann puede definirse para Re(s) > 1 como ζ(s) = ∞ X n=1 1 ns = Y p 1 − _p1s −1 .

Los sumandos o factores en estas dos definiciones est´an asociados al anillo Z de los enteros racionales: Los ideales de Z son los ideales principales es decir nZ con n ≥ 0, los ideales primos en Z son los de la forma pZ, siendo p un n´umero primo.

Dado el ideal I = nZ podemos recuperar el n´umero n como N (I) = card(Z/I) = card(Z/nZ) = n.

En general dado un ideal I en un anillo A, denotamos por N (I) el cardinal del anillo cociente A/I.

Ahora podemos interpretar la función ζ(s) como función zeta asociada al anillo Z de los enteros racionales, esto es, del cuerpo Q. En general definiremos la función zeta de Dedekind de un cuerpo de números algebraicos k = Q(α) como

ζk(s) = X I6=(0) 1 N (I)s = Y P 1 − 1 N (P )s −1 ,

donde I (resp. P ) recorre los ideales (resp. ideales primos) del anillo Ok de los enteros del

cuerpo k.

2. Las funciones L.

Para demostrar que existen infinitos primos de la forma a+ nb siempre que a ⊥ b, Dirichlet usó unas funciones semejantes a la función zeta de Riemann y a las que llamó funciones L. Son funciones definidas para Re(s) > 1 por

L(

χ

, s) = ∞ X n=1

χ

(n) ns = Y p 1 −

χ

_p(p)s −1 .

Aqu´ı

χ

_{: N → C no puede ser arbitraria, ha de ser una funci´on completamente} multiplica-tiva:

χ

_{(m · n) =}

χ

(m)

χ

(n), además de periódica de periodo b. Existen precisamente ϕ(b) de éstas funciones.

(4)

Hecke extendi´o las funciones L al caso de cuerpos de n´umeros algebraicos, se obtienen de este modo las funciones llamadas de Hecke-Weil.

L(

χ

, s) = X I6=(0)

χ

(I) N (I)s = Y P 1 −

χ

(P ) N (P )s −1 ,

donde

χ

es ahora lo que se llama un car´acter de Hecke. 3. Curvas elipticas.

Las curvas el´ıpticas son las de ecuaci´on y2 _{= f(x), donde f es un polinomio de tercer}

o cuarto grado sin ra´ıces dobles. Por transformaciones lineales pueden ser llevadas a la forma can´onica y2 = 4x3_{− g}2x − g3. Nosotros estamos interesados en el caso en que g2 y

g3 son enteros. (Por si alguien est´a sorprendido, ciertamente: una elipse no es una curva

el´ıptica).

Gran parte de lo que sigue se extiende al caso de variedades algebraicas m´as generales, pero consideraremos una curva el´ıptica C.

4. Funci´on zeta de congruencia.

Puesto que los coeficientes son enteros podemos considerar la curva el´ıptica C en cualquier cuerpo. Es decir podemos considerar los puntos racionales (como har´ıa Diofanto), o los puntos complejos, etc... Nos interesa especialmente el caso de un cuerpo finito. Salvo para un número finito de números primos el polinomio f(x) tendrá sus ra´ıces distintas en caracter´ıstica p, por tanto y2 = f(x) sigue siendo una curva el´ıptica en un cuerpo de caracter´ıstica p, se dice entonces que la curva tiene buena reducción módulo p.

Cuando hablemos de los puntos de una curva el´ıptica consideraremos siempre incluido el punto en el infinito (es decir consideramos la curva proyectiva correspondiente).

Sea entonces Fq un cuerpo finito (donde necesariamente q = pn para alg´un primo, en el

que suponemos que la curva tiene buena reducci´on). Designamos por Nn el n´umero de

puntos de la curva el´ıptica con coordenadas en Fqn. Con estos n´umeros se forma una

funci´on Z(C/Fq; T ) que se denomina la funci´on zeta de congruencia de la curva el´ıptica

Z(C/Fq; T ) = exp _X∞ n=1 Nn n T n_.

Quizás pueda ahora parecer extraña la definición, pero no lo será tanto si vemos que cumple las siguientes condiciones:

(a) Es una funci´on racional

Z(C/Fq; T ) = 1 − aq

T + q T2

(5)

(b) El grado del polinomio en el numerador es dos, si trabajáramos con una curva más general de género g, el grado ser´ıa 2g. (El género de las curvas el´ıpticas es uno).

(c) Si α es una ra´ız del n´umerador, tambi´en lo es q/α.

Todo lo anterior nos dice que el n´umero de puntos de la curva C en Fqn es

Nn = q + 1 − αn− (q/α)n.

En particular la curva tiene q + 1 − aq puntos en el cuerpo Fq.

5. La funci´on de Hasse-Weil.

Consideremos ahora el caso en que q = p, y hagamos el cambio de variable T = p−s

obtenemos entonces la funci´on zeta local ζ(Cp, s) = 1 − a

pp−s+ p1−2s

(1 − p−s_{)(1 − p}1−s₎.

Para los primos en que la curva tiene mala reducci´on se definen tambi´en unas funciones locales ζ(Cp, s) que no precisamos.

Se sabe que esta función tiene sus ceros en la recta Re(s) = 1/2. Esto es lo mismo que decir que |α| =√p, siendo α la ra´ız que aparece en (c). Esto es un análogo a la Hipótesis de Riemann.

En el caso general de una variedad algebraica, el análogo de la Hipótesis de Riemann fue demostrado por Deligne en el año 1973.

Ahora estamos en condiciones de definir la funci´on zeta global ζ(C, s) =Y

p

ζ(Cp, s).

La funci´on de Hasse-Weil de la curva C se define como L(C, s) = ζ(s)ζ(s − 1) ζ(C, s) = Y p 1 1 − app−s+ p1−2s ,

donde el producto se extiende a los primos con buena reducci´on. Este producto converge para Re(s) > 3/2.

Observemos que la funci´on de Hasse-Weil se escribe Y p 1 − a_pps + p p2s −1 =Y p 1 − _pαs −1 1 − p/α_ps −1 ,

(6)

comparando con la forma de la función L de Hecke resulta que en algunos casos existe un cuerpo de números algebraicos y un carácter de Hecke

χ

de forma que la funci´on L de Hecke L(

χ

, s) coincide con la función de Hasse-Weil de la curva el´ıptica. En estos casos la función se puede prolongar a todo el plano y también es posible demostrar una ecuación funcional como en el caso de la función zeta de Riemann.

Si se desarrolla la funci´on L de una curva el´ıptica se obtiene L(C, s) = ∞ X n=1 an ns,

donde para n = p primo los n´umeros ap son los mismos que aparecieron antes.

2. CURVAS MODULARES. 1. Funciones el´ıpticas.

Sean ω1 y ω2 dos n´umeros complejos con raz´on ω2/ω1 no real. Generan un grupo G

de traslaciones nω1 + mω2. Es f´acil ver que cualquier punto de C es equivalente a un

punto del paralelogramo fundamental generado por ω1 y ω2. El espacio cociente S = C/G

es el paralelogramo con los lados opuestos identificados, es una superficie de Riemann homeomorfa a un toro.

Las funciones meromorfas en S se identifican a funciones f meromorfas en el plano que admiten los dos periodos ω1 y ω2. Son las llamadas funciones el´ıpticas. El cuerpo de

estas funciones est´a generado por la funci´on ℘(z) de Weierstrass y su derivada ℘0_(z).

Cada curva el´ıptica es isomorfa a una de estas superficies S, de forma que dada la curva el´ıptica y2 = 4x3 + Ax + B, existe ω1 y ω2 de forma que la correspondiente funci´on de

Weierstrass cumple

℘0(z)2 = 4℘(z)3+ A℘(z) + B.

Hemos encontrado de este modo una parametrizaci´on an´aloga a la que tenemos de la circunferencia unidad sen2_{z + cos}2_{z = 1.}

2. Curvas modulares.

Consideremos ahora el semiplano superior H = {z ∈ C : Im(z) > 0}. En el actua el grupo de las matrices unimodulares, esto es matrices γ = a b

c d

tales que ad − bc = 1, siendo a, b, c y d números reales. La acción está definida por

γ · z = az + b_{cz + d}.

Si consideramos el subgrupo de las matrices con entradas a, b, c y d ∈ Z, tenemos un grupo que actua discretamente, es el llamado grupo modular SL2(Z). Es an´alogo al grupo de

(7)

Ahora consideramos unos subgrupos especiales del grupo modular, son los subgrupos Γ0(N )

para alg´_{un N ∈ Z, esto es el grupo de las matrices γ ∈ SL}2(Z) tales que c ≡ 0 (mod N).

El espacio cociente X0(N ) = C/Γ0(N ), añadiéndole un número finito de puntos (las

puntas) para compactificarlo, es una curva modular. Es de nuevo una superficie de Riemann compacta. Al n´umero N correspondiente al grupo Γ0(N ) se le llama nivel de la

curva modular. (Otras curvas modulares aparecen al considerar otros subgrupos del grupo modular)

3. Funciones y formas modulares.

Una función f(z) meromorfa en el semiplano superior H se dice que es una función modular, si para cierto N ∈ Z, se puede considerar una función definida en la curva modular X0(N ). Esto es lo mismo que decir que si a, b, c y d son enteros con ad − bc = 1

y c ≡ 0 (mod N), entonces

faz + b cz + d

= f(z).

También interesan las formas modulares. Son formas h(z) dz que son invariantes por el grupo modular y, por tanto, pueden ser consideradas como formas diferenciales en la curva modular. Para esto es necesario que la función h cumpla en las mismas condiciones anteriores la relación

haz + b cz + d

= (cz + d)2h(z).

Se dice entonces que h(z) es una forma modular de peso 2 y nivel N .

4. Curvas el´ıpticas modulares. La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Podemos enunciar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil en dos formas diferentes. Conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Dada una curva el´ıptica y2 = 4x3+ Ax + B sobre Q, existen dos funciones modulares f(z) y g(z) del mismo nivel N y tal que

f(z)2 = 4g(z)3+ Ag(z) + B.

Se dice entonces que y2 = 4x3 + Ax + B es una curva el´ıptica modular.

Wiles ha demostrado que las curvas el´ıpticas semiestables son modulares. Resultados anteriores de Frey, Ribet, Serre, etc. hab´ıan probado que el ultimo teorema de Fermat es consecuencia de este resultado de Wiles.

Existe otra forma de definir las curvas el´ıpticas modulares. Sea C una curva el´ıptica,

L(C, s) = ∞ X n=1 an ns

(8)

su función de Hasse-Weil. (Recordemos que los números ap están relacionados con el

n´umero de puntos de la curva con coordenadas en el cuerpo Fp). Entonces la curva C es

modular s´ı y s´olo si la funci´on

∞

X

n=1

anqn, q = eπiz

es una forma modular de peso 2.

4. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

La función de Hasse-Weil está de diversos modos relacionada con una curva el´ıptica. Hemos visto como esta función codifica la información sobre el número de puntos de la curva en distintos cuerpos finitos. Resulta que una información importante sobre la curva parece estar contenida en el comportamiento de la función en el punto s = 1.

Las curvas el´ıpticas modulares tienen la función de Hasse-Weil prolongable como función meromorfa a todo el plano complejo. De forma que tiene sentido considerar la función L(C, s) para valores de s con Re(s) ≤ 3/2.

Los valores de una curva el´ıptica forman un grupo, las raices racionales son un subgrupo de este grupo. Se sabe que este subgrupo es finitamente generado. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que el rango de este grupo de puntos racionales es igual al orden del cero de L(C, s) en s = 1.

(9)

3. BIBLIOGRAF´IA.

Al nivel de divulgaci´on que hemos adoptado aqu´ı, pueden consultarse los art´ıculos siguien-tes:

D. A. Cox, Introduction to Fermat’s Last Theorem, Amer. Math. Monthly 101, (1994), 3–14.

B. Mazur, Number Theory as Gadfly, Amer. Math. Monthly 98, (1991), 593–610. F. Q. Gouvea, A Marvelous Proof, Amer. Math. Monthly 101, (1994), 203–222.

Mucha informaci´on se encuentra en el libro siguiente que recoge las conferencias sobre el ´

Ultimo Teorema de Fermat de un curso de verano sobre el tema celebrado en El Escorial. C. Corrales & C. Andradas, (editores), Cuatrocientos años de matemáticas en torno al Último Teorema de Fermat, Editorial Complutense, (1999). (Biblioteca C511/234). Bibliograf´ıa más espec´ıfica la tenemos en las referencias anteriores. Sólo recomendaremos tres que creemos buenos lugares donde empezar.

Un desarrollo elemental pero riguroso de las formas modulares se encuentra en el libro de Serre

Serre, J. P., A Course in Arithmetic, Springer Verlag, (1977). (Biblioteca C511/155; Dpto. An´alsis Matem´atico)

Una obra de arte y un buen sitio donde comenzar con las funciones modulares es el libro de Apostol

Apostol, T. M., Modular functions and Dirichlet series in Number Theory, Springer, (1976). (Biblioteca C511/203; Dpto. An´alisis Matem´atico)

Una primera introducci´on sobre las curvas el´ıpticas puede encontrarse en

Ireland, K. & Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, Segunda Edición, Springer, (1990). (Biblioteca C511/175 (p); B. General AS.511; Dpto. Análisis Matemático; B. Informática)