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APUNTES
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ESIME ZACANTENCO
Francisco Muñoz Apreza, Juan Alfaro Yllescas, Genoveva Barrera Godínez, Rosa María Estrella Montoya.
de la Estadística descriptiva. Se abordarán los temas en dos vertientes; la primera a partir de los fundamentos teóricos y aplicaciones y la segunda mediante un Muestreo por encuestas.
TEMARIO
1.- Características del muestreo Levantamiento de la encuesta
Uso del SPSS 17 para la elaboración de las tablas de frecuencia 2.- Tabla de Frecuencia 2.1 Teoría Elemental 2.2 Frecuencias Acumuladas 2.3 Frecuencias Relativas 2.4 Ejemplos 2.5 Ejercicios
3.- Representación gráfica de las Tablas de Frecuencias 3.1 Teoría Elemental
3.2 Gráficas e Histogramas 3.3 Ejemplo
3.4 Ejercicio
4.- Medidas de Tendencia Central 4.1 Teoría Elemental 4.2 Moda 4.3 Media 4.4 Mediana 4.5 Media geométrica 4.6 Ejemplo 4.7 Ejercicios
5.- Medidas de Tendencia Central con Datos Agrupados 5.1 Teoría Elemental 5.2 Ejemplo 5.3 Ejercicios 6.- Medidas de Dispersión 6.1 Teoría Elemental 6.2 Cuartiles 6.3 Porcentiles 6.4 Varianza 6.5 Desviación Estándar 6.6 Ejemplo 6.7 Ejercicios 2.- Tablas de Frecuencia
Teoría Elemental
Definición de tabla de Frecuencia:
Una tabla de frecuencia es el conjunto de datos organizados con base en la información contenida en una muestra.
Definición de frecuencia relativa:
La frecuencia Relativa fi/n : es una frecuencia particular entre el número total de observaciones. Definición de escala ordinal.
Una escala Ordinal: es aquella escala representada por valores numéricos Ejemplo:
{1, 2. 3...}; < 1, 5, >,. Definición de escala nominal
Una escala Nomina: es aquella escala representada por valores no numéricos Ejemplo
< masculino, femenino >.
Determinación del tamaño del intervalo:
La fijación de este tamaño dependerá de las necesidades del investigador, puede ser todos del mismo tamaño o de tamaños desiguales.
Determinación del número de intervalos de clase:
A medida que el número de intervalos de clase disminuye, la información es menos precisa pero su tratamiento analítico es mayor. El número de intervalos se sugiere que sea entre 5 y 15 dependiendo de las necesidades de investigador.
Definición Límite superior e inferior: son los existentes en un intervalo de clase < límite inferior, límite superior >.
Frecuencia acumulada:
Para elaborar este tipo de tabla se van sumando las frecuencias de cada una de los intervalos de clase. Su utilidad consiste en que podemos conocer el comportamiento del proceso estadístico de los intervalos de clase con respecto a la primera variable..
En los intervalos de clase, por ejemplo ( 13 a 15 ) del cuadro del ejemplo que se desarrolla, el 13 representa el límite inferior y el 15 el límite superior.
En el cuadro del siguiente ejemplo el investigador organizó su información en 7 intervalos de clase sacrificando precisión en la información pero ganó claridad analítica en ella.
9 – 12 72 13 - 15 153 16 – 17 190 18 – 20 313 21 – 25 45 26 en adelante 9 No contestó 30 Total 812
Al analizar el cuadro 4, observamos que los datos están agrupados por intervalos de clase ordinal, de conformidad con la necesidad que el investigador tiene de conocer parámetros que le permitan inferir acerca del trabajo infantil ( 9 a 12 ), la pubertad (13 a 15 ) y la adolescencia (18 a 20 ) y la juventud <21 a 25 > teniendo un intervalo mixto <26 en adelante> y uno nominal <no contestó>.
Tabla de frecuencia acumulada
Al elaborar una tabla de frecuencia acumulada del cuadro 4 se van sumando las frecuencias de cada uno de los intervalos. Ahí la utilidad para el investigador consiste en que puede conocer en cada uno de los intervalos el comportamiento total. Detecta en particular que 225 trabajadores se iniciaron en el trabajo asalariado entre los 9 y 15 años de edad.
Tamaño de la muestra 782 Inicia labor de asalariado
Clase Frecuencia Acumulada
9 – 12 72 9 - 15 225 9 – 17 415 9 – 20 728 9 – 25 773 9 ó 26 en adelante 782 No contestó Total 782
Tablas de frecuencia relativa
La utilidad para el investigador de representar sus datos mediante una tabla de frecuencias relativas, consiste en que ésta da claridad sobre el comportamiento de cada intervalo de clase respecto al total.
De tal forma si se desea conocer el peso que tiene en la rama del vidrio en los trabajadores que iniciaron una actividad remunerada en la época de la adolescencia vemos que representa el 38.54 %.
Tamaño de la muestra 812 Inicio en labores asalariadas
Clase Frecuencia 9 – 12 8.8 13 – 15 18.84 16 – 17 23.39 18 – 20 38.54 21 – 25 5.54 26 en adelante 1.1 No contestó 3.7 T o t a l 100.00 Cuadro 1 CUADRO 2 Tamaño de la Muestra 812 Sexo Frecuencia Masculino 712 Femenino 67 No Contestó 33 Total 812 CUADRO 3 Tamaño de la Muestra 812 Estado Civil Frecuencia
Soltero 206 Casado 544 Viudo 13 Divorciado 15 Unión Libre 28 No Contestó 6 Total 812
Ejercicios del Tema I
1.- ¿Qué utilidad tendría utilizar la frecuencia acumulada en los cuadros 1, 2 y 3 ?. Tamaño de la muestra 812 Edad Edad Frecuencia 0 – 17 12 18 – 20 60 21 – 25 143 26 – 30 171 31 - 35 148 36 – 40 137 41 – 45 61 46 - 50 52 51 - 55 21 55 o más 5 No contestó 2 Total 812
y 3.
4.- ¿Tiene sentido la frecuencia de amplitud total en los cuadros 1, 2 y 3?. ¿En cuáles no tiene sentido plantear intervalos de clase?.
TEMA II
El visualizar el comportamiento de los datos de las tablas de frecuencia mediante diagramas de barras, gráficas de líneas, diagramas circulares, polígonos de frecuencia rinden beneficios analíticos al investigador GRÁFICA Tipo I GRÁFICA Tipo 2 GRÁFICA Tipo 3
El utilizar una u otra representación visual va a ser importante en la medida que describa a la información con mayor claridad y facilite la interpretación.
Se debe tener cuidado con la escala con las cuales elaboren las gráficas; si se usa una escala errónea el gráfico arrojará una falsa idea en su comportamiento.
Ejemplo (Tema II) Cuadro 5 Salario Semanal Clase Frecuencia Hasta 125 31 125 – 250 194 251 – 375 224 376 – 500 123 510 ó más 240 No contestó 0 Total 812
La presentación de los intervalos de clase en el salario semanal esta dada en combinación ordinal y nominal < hasta 125 >, < 501 ó más >.
En el polígono de frecuencia podemos deducir que la mayor concentración de los trabajadores se localiza en los niveles salariales de 4 salarios mínimos ó más.
Además de peso de los trabajadores que perciben hasta un salarios mínimo prácticamente inexistente. Cuadro 6 Antigüedad Años Frecuencia 0 – 1 143 2 – 5 290 6 – 10 183 11 – 15 86 16 – 20 56 21 – 25 35 26 – 29 12 300 ó más 7 Total 812
Ejercicios (Tema II)
1.- Elabore la gráfica del cuadro 6.
2.- ¿Qué tipo de escalas se utilizan en el cuadro 6?.
3.- ¿Qué ventajas le ve usted a elaborar una tabla de frecuencias acumuladas en el cuadro 6?.
4.- ¿Qué análisis se desprende de la gráfica del cuadro 6?.
Media: La media aritmética (o el promedio, media simple) es calculada sumando todos los números de un conjunto de números (xi) y después dividiéndolos por el número de
observaciones (n) del conjunto.
Media = = Xi /n,
La media utiliza todas las observaciones, y cada observación afecta la media. Aunque la media es sensible a los valores extremos; es decir, los datos extremadamente grandes o pequeños pueden causar que la media se ubique o más cerca de uno de los datos extremos; A pesar de esto, la media sigue siendo la medida lo más usada para medir la localización. Esto se debe a que la media posee valiosas propiedades matemáticas que la hacen conveniente para el uso en el análisis estadístico de inferencia o deductivo.
Media Ponderada: en algunos casos, los datos de una muestra o población no deberían ser ponderados de la misma manera, es preferible ponderarlos de acuerdo a su importancia. Mediana: La mediana es el valor medio de una grupo ordenado de observaciones. Si existe un número par de observaciones correspondientes al grupo podrían haber dos medianas La mediana es normalmente utilizada para resumir los resultados de una distribución. Si la distribución es sesgada , la mediana es un buen indicador de medida para saber donde los datos observados se encuentran concentrados.
Generalmente, la mediana proporciona una mejor medida que la media cuando las
observaciones son extremadamente grandes o pequeñas La media tiene dos ventajas distintas sobre la mediana. Es más estable, y uno puede calcular la media basada de dos muestras combinando las dos medios de las mismas.
Moda: La moda es el valor lo más con frecuencia posible que ocurre de un sistema de observaciones. Los datos pueden tener dos modas. En este caso, decimos que los datos son bimodales, y los grupos de observaciones con más de dos modos están referidos como multimodales. Observe que la moda no es una medida útil de ubicación, porque puede haber más de una moda o quizás ninguna.
Características de la Moda, Mediana y Media
Hechos Moda Mediana Media
1
Es el valor mas frecuente en la
distribución. Es el punto de más alta densidad.
Es el valor del punto medio de la selección (no del rango), tal que la mitad de los datos están por arriba y por debajo de ella.
Es el valor en algún agregado, el cual se obtendría si todos los valores fueran iguales.
2 Su valor es establecido por la frecuencia predominante, no por los valores en la distribución. El valor de la media es fijado por su posición en la selección, y no refleja valores individuales.
La suma de las
desviaciones en cualquier lado de la media son iguales; por lo tanto la suma algebraica de sus desviaciones es cero.
3
Este es el valor mas probable, por lo tanto el mas común.
La distancia agregada entre la mediana y cualquier otro punto de la muestra es menor que
Esta refleja la magnitud de cada valor.
en cualquier otro punto.
4
Una distribución puede tener mas de 2 modas, pero no existe moda en una distribución
rectangular.
Cada selección tiene solo una mediana.
Una muestra tiene solo una media. 5 No puede ser manipulada algebraicamente. Modas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas. No puede ser manipulada algebraicamente. Medianas de subgrupos no pueden ser ponderadas o combinadas.
Pueden ser manipuladas algebraicamente. Medias de subgrupos pueden ser combinadas cuando son ponderadas
apropiadamente.
6
Es inestable, puede ser influenciada en el proceso de agrupación.
Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación.
Es estable en cuanto a que procedimientos para agrupar no afecta su apreciación. 7 La moda no refleja el grado de modalidad. No es aplicable para datos cualitativos.
Podría ser calcula igualmente cuando los valores individuales son desconocidos, si se posee la suma de los valores y el tamaño de la muestra.
8
Puede ser calculada cuando los extremos de los valores de los grupos son abiertos.
Puede ser calculado cuando los valores extremos son abiertos.
No puede ser calculado de una tabla de frecuencia cuando sus valores extremos son abiertos. 9
Valores deben ser ordenados para su cálculo.
Valores deben ser ordenados y agrupados para su cálculo.
Los valores no necesitan ser ordenados para su cálculo.
La Media Geométrica: La media geométrica (G) de n valores no negativos es la enésima raíz del producto de los n valores.
Si algunos valores son muy grandes en magnitud y otros muy pequeños, la media geométrica proporciona una mejor representación de los datos que un simple promedio.
La Media Armónica: H = n/[ (1/x(i)].
La media armónica es útil para calcular promedios de variables expresadas en proporciones de unidades por tiempo.
Histogramas: Analizando la Homogeneidad de la Población
Un histograma es una representación gráfica de una estimación para la densidad (para variables aleatorias continuas) o la función de probabilidad total (para variables aleatorias discretas) de la población.
Las características geométricas del histograma nos permiten descubrir información útil sobre los datos, por ejemplo:
Las medidas de variación más comunes son: varianza, desviación estándar, y el coeficiente de variación.
Cuartiles: Cuando requerimos sean divididos en cuartos, Q1... Q4, conocidos como cuartiles. El primer cuartíl (Q1) es el valor donde están 25% de los valores mas pequeños y en el otro 75% los más grandes. El segundo cuartíl (Q2) es el valor donde están 50% de los valores mas pequeños y en el otro 50% los más grandes. En el tercer cuartíl (Q3) es el valor donde están 75% de los valores mas pequeños y en el otro 25% los más grandes.
Porcentajes: Los porcentajes tienen la ventaja que pueden ser subdivididos en 100 porciones. Los porcentajes y los cuartiles son más convenientes de leer cuando son tomados de una función de distribución acumulativa.
Varianza: Es una importante medida de variabilidad. La varianza es el promedio de las desviaciones estándar elevadas al cuadrado de cada una de las observaciones con respecto a la media.
Var(x) = (xi - ) 2
/ (n - 1), de donde n por lo menos es igual a 2.
La varianza es una medida de dispersión entre valores de los datos. Por lo tanto, mientras más grande sea la varianza, menor será la calidad de los datos.
Desviación Estándar:
Ambas, la varianza y la desviación estándar proporcionan la misma información; una siempre puede ser obtenida de la otra . Es decir, el proceso de cálculo de la desviación estándar siempre implica el cálculo de la varianza. Puesto que la desviación estándar es la raíz
cuadrada de la varianza, esta siempre es expresada en las mismas unidades que el conjunto de datos:
Desviación estándar= = (Varianza) ½
Coeficiente de Variación: El coeficiente de variación (CV) es la desviación relativa absoluta con respecto al tamaño , siempre que sea cero, expresado en porcentaje:
CV =100 |S/ | %
El CV es independiente de las unidades de medida. En la estimación de un parámetro, cuando su CV es menos del 10%, la estimación se asume aceptable. En el caso contrario, digamos, 1/CV se llama el Cociente de señal de ruido.
El coeficiente de variación se utiliza para representar la relación de la desviación estándar hacia la media, diciendo cuan representativa es la media de los números de los cuales fue calculada. Esta expresa la desviación estándar como porcentaje de la media; es decir, refleja la variación de una distribución con respecto a la media. Sin embargo, los intervalos de la
confianza para el coeficiente de variación generalmente no son expresados. Una de las razones es que el cálculo exacto del intervalo de confianza para el coeficiente de variación es tedioso de obtener.
Observe que, para un conjunto de datos agrupados o sesgados, el coeficiente de variación cuartíl es:
VQ = 100(Q3 - Q1)/(Q3 + Q1)%
es mas útil que el CV.
Cociente de Variación para Datos Cualitativos: Puesto que la moda es la medida mas usada para la tendencia central de variables cualitativas, la variabilidad es medida con respecto a la moda. El estadístico que describe la variabilidad de datos cuantitativos es el cociente de variación (VR):
VR = 1 - fm/n,
de donde fm es la frecuencia de la moda, y n es el número total de cálculos en la distribución.
Cálculo de Estadísticos Descriptivos para Datos Agrupados: Una de las maneras más comunes de describir una sola variable es con una distribución de frecuencia. Un histograma es una representación gráfica de una estimación para la distribución de frecuencia de la población. Dependiendo de las variables particulares, todos los valores de los datos podrían ser representados, o se podrían agrupar los valores primero por categorías . Generalmente, no sería sensible determinar las frecuencias para cada valor. Preferiblemente, los valores
deberían ser agrupados en rangos, y luego determinar la frecuencia. Las distribuciones de frecuencia se pueden representar de dos maneras: como tablas o como gráficos, los cuales a menudo se refieren a histogramas o gráfico de barras. Los gráficos de barras son normalmente utilizados para mostrar la relación entre dos variables categóricas.
Los datos agrupados son derivados de informaciones ordinarias, y consisten en frecuencias (cálculo de valores ordinarios) tabulados con las clases en las cuales ocurren. Los límites de las clases representan los valores más pequeños (inferiores) y más grandes (superior) que la clase contendrá. Las fórmulas para los estadísticos descriptivos son mucho más simples para los datos agrupados, así como se muestra en las siguientes formulas para la media, varianza, y la desviación estándar, respectivamente, de donde f representa la frecuencia de cada clase, y n es la frecuencia total:
Seleccionando entre Desviación Cuartíl, Media de Desviación Absoluta y Desviación Estándar
Una guía general para seleccionar el estadístico adecuado para describir la dispersión de la población, incluye la consideración de los siguientes factores:
1. El concepto de dispersión que el problema requiere. ¿Es un simple par de valores adecuado, tal como los dos extremos o los dos cuartiles (rango o Q)? 2. El tipo de datos disponibles. Si son pocos en números, o contiene valores
Desviación Absoluta y la Desviación Estándar”, que se muestra a continuación. Características Principales de la Desviación Cuartíl, la Media de Desviación Absoluta y la Desviación Estándar
Hechos La Desviación Cuartíl La Media de Desviación Absoluta La Desviación Estándar 1 La desviación cuartíl es fácil de calcular y entender. Sin embargo, esta es inconsistente si existen brechas entre los datos alrededor de los cuartiles.
La Media de Desviación Absoluta tiene la ventaja de dar igual peso a la
desviación de cada valor con respecto a la media o la mediana.
La Desviación Estándar es
normalmente mas útil y mejor adaptable a análisis mas profundos que lo que es La Media de Desviación Absoluta.
2
Solo depende de dos valores, los cuales incluyen la mitad central de los mismos.
Es una medida de dispersión más sensitiva que cualquiera de las descritas anteriormente, y normalmente tiene errores de muestreo más pequeños. Es más adaptable como estimador de la dispersión de la población que cualquier otra medición, haciendo que la distribución sea normal.
3
Es normalmente superior al rango como una medida cruda de dispersión.
Es más fácil de calcular y entender, además es menos sensible que la desviación estándar a valores extremos. Es la más amplia medida de dispersión usada, y la más fácil de manejar algebraicamente. 4
Esta podría ser determinada en una distribución abierta en los extremos, o en una en la cual los datos pueden ser
seleccionados pero no medidos
cuantitativamente.
Desafortunadamente, es muy difícil de manejar algebraicamente, dado que el signo negativo debe ser ignorado cuando se calcula.
En comparación con los demás, esta es mas difícil de calcular y de entender.
5
Es muy útil en distribuciones muy sesgadas, o en aquellas en las cuales otras medidas de dispersión serian deformadas por valores extremos. Su aplicación principal es la precisa elección de modelos en técnicas de predicciones comparativas. Es normalmente afectada por valores extremos, los cuales podrían ocasionar el sesgamiento de los datos.
Al tomar una cantidad de elementos de una población para poder contar con criterios de decisión, estamos tomando una muestra de ella.
Del tamaño de la población (N) se pueden extraer varias muestras. Un cierto estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población. Una
distribución del estadístico obtenida de esta manera es llamada la distribución del estadístico.
En estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir de una población.
Terminología para el muestreo
Los términos usados en inferencia estadística son:
Estadístico: medida usada para describir alguna característica de una muestra (media aritmética, mediana. desviación estándar)
Parámetro: representación del estadístico.
Los símbolos usados para representar los estadísticos y los parámetros, en éste y los siguientes capítulos, son resumidos en la tabla siguiente:
Tabla 1
Medida Símbolo para el estadístico Símbolo para el parámetro
Media X µ
Desviación estándar S s
Número de elementos N N
Proporción P P
Al elegir una muestra, se espera que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, obteniendo resultados parecidos que si se realizase un estudio de toda la población.
Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio fiable (que represente a la población), debe cumplir ciertos requisitos, lo que lo convertiría en una muestra representativa.
En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la población, se puede extraer dos o más muestras de la misma población. Al conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de extracción, sigue la llamada distribución muestral
Error Estándar: La desviación estándar de una distribución, en el muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del estadístico.
Error muestral o error de muestreo: La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadístico) y el resultado el cual deberíamos haber obtenido de la población (el parámetro correspondiente) se llama el error muestral o error de muestreo. Un error de muestreo usualmente ocurre cuando no se lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para estimar las características de la población.
El error muestral es medido por el error estadístico, en términos de probabilidad, bajo la curva normal. El resultado de la media indica la precisión de la estimación de la población basada en el estudio de la muestra. Mientras más pequeño el error muestras, mayor es la precisión de la
Métodos de selección de muestras.
Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las características de la población. Los métodos para seleccionar una muestra representativa van a depender del objeto de estudio.
Muestreo simple: Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el propósito de inferencia estadística. Puesto que solamente una muestra es tomada, el tamaño de muestra debe ser lo suficientemente grandes para extraer una conclusión. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado dinero y tiempo.
Muestreo doble: Bajo este tipo de muestreo, cuando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, una segunda muestra es extraída de la misma población. Las dos muestras son combinadas para analizar los resultados. Este método permite a una persona principiar con una muestra relativamente pequeña para ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra arroja una resultado definitivo, la segunda muestra puede no necesitarse.
Muestreo múltiple: El procedimiento bajo este método es similar al expuesto en el muestreo doble, excepto que el número de muestras sucesivas requerido para llegar a una decisión es más de dos muestras.
Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras diferentes: a. Basados en el juicio de una persona.
b. Selección aleatoria (al azar)
Muestreo Aleatorio: Una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal, que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado.
A. Muestreo aleatorio simple. Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la población. Para obtener una muestra aleatoria simple, cada elemento en la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, el plan de muestreo puede no conducir a una muestra aleatoria simple. Por conveniencia, este método pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios. Cuando una población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son sistemático, estratificado y de conglomerados.
B. Muestreo sistemático. Una muestra sistemática es obtenida cuando los elementos son seleccionados en una manera ordenada. La manera de la selección depende del número de elementos incluidos en la población y el tamaño de la muestra. El número de elementos en la población es, primero, dividido por el número deseado en la muestra. El cociente indicará si cada décimo, cada onceavo, o cada centésimo elemento en la población va a ser seleccionado. El primer elemento de la muestra es seleccionado al azar. Por lo tanto, una muestra sistemática puede dar la misma precisión de estimación acerca de la población, que una muestra aleatoria simple cuando los elementos en la población están ordenados al azar. C. Muestreo Estratificado. Para obtener una muestra aleatoria estratificada, primero se divide la población en grupos, llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos de la muestra son entonces seleccionados al azar o por un método sistemático de cada estrato. Las estimaciones de la población, basadas en la muestra
estratificada, usualmente tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si la población entera muestreada mediante muestreo aleatorio simple. El número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser proporcional o no proporcional al tamaño del estrato en relación con la población.
D. Muestreo de conglomerados. Para obtener una muestra de conglomerados, primero dividir la población en grupos que son convenientes para el muestreo. En seguida, seleccionar una porción de los grupos al azar o por un método sistemático. Finalmente, tomar todos los elementos o parte de ellos al azar o por un método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra. Bajo este método, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto la muestra es aleatoria.
Una muestra de conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral (por lo tanto, da menor precisión de las estimaciones acerca de la población) que una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. Los elementos individuales dentro de cada "conglomerado" tienden usualmente a ser iguales. Por ejemplo la gente rica puede vivir en el mismo barrio, mientras que la gente pobre puede vivir en otra área. No todas las áreas son muestreadas en un muestreo de áreas. La variación entre los elementos obtenidos de las áreas seleccionadas es, por lo tanto, frecuentemente mayor que la obtenida si la población entera es muestreada mediante muestreo aleatorio simple. Esta debilidad puede reducida cuando se incrementa el tamaño de la muestra de área.
El incremento del tamaño de la muestra puede fácilmente ser hecho en muestra de área. Los entrevistadores no tienen que caminar demasiado lejos en una pequeña área para entrevistar más familias. Por lo tanto, una muestra grande de área puede ser obtenida dentro de un corto período de tiempo y a bajo costo.
Por otra parte, una muestra de conglomerados puede producir la misma precisión en la estimación que una muestra aleatoria simple, si la variación de los elementos individuales dentro de cada conglomerado es tan grande como la de la población.
Teoría de conjuntos:
Un poco de historia
El matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX formalizó por primera vez la teoría de conjuntos. El concepto de conjunto es fundamental en el análisis matemático toda vez que nos permite encontrar relaciones, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas.
En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir
proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Definición de Conjunto
“Un conjunto es una agrupación de elementos bien definidos” Ejemplo de conjuntos:
S1 = {2, 4}; S2 = {2, 4, 6, …, 2n, …} = {todos los enteros pares};
Notaciones de conjuntos
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas.
Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas A = { 1,3,5,7,9,11 }
Separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves {}. Esta es llamada forma tabular de un conjunto.
Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.
Ejemplo: Sea B el conjunto de todos los numero pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe
B={x/xa los números pares }
lo que se lee “B es el conjunto de los números x tales que x es par” se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical se lee “ Tales Que” .
si un objeto x es el elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos, se escribe.
x A
que se puede leer también “x pertenece a A” ó “x esta en A”. Si por el contrario un objeto x no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe x A
Es costumbre que en los escritos matemáticos poner una línea vertical o una oblicua “/” tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado de símbolos.
Decimos que el elemento P pertenece al conjunto S si P está contenido en el conjunto S.
Decimos que el conjunto A está contenido en el conjunto S si todos los elementos del conjunto A son elementos del conjunto S.
Igualdad o identidad de conjuntos
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismo elementos, es decir, si cada elemento en A pertenece también a B, y si cada elemento en a B pertenece a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A = B.
Decimos que la identidad de dos conjuntos A Y B se da, cuando A está contenido en B y B está contenido en A.
Ejemplo
Sean. A={1,2,3,4 } y B={3,1,4,2 }, entonces A=B, porque los elementos 1,2,3,4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 3,1,4 y 2 de B pertenece a A.
Debemos de observar que en un conjunto el orden de aparición de sus elementos no cambia su contenido.
UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por
A U B = { x / x en A ό x en B }
el cual se lee “A unión B”.
Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos comunes en A Y B, esto es, aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B.
Se denota la intersección de A y B por:
A ∩ B = { x / x Є A y x Є B }
Que se lee “A intersección B”
El complemento de un conjunto, es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir la diferencia del conjunto universal U y del A.
Se denota el complemento de A por:
Diferencia
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por:
A ─ B = { x / x Є A y x B }
Que se lee “A diferencia B” o simplemente “A menos B”
Definición de conjunto vacío
El conjunto vacío es un conjunto sin elementos.
Φ = { }
Conjunto Universal
El Conjunto Universal es el conjunto que tiene todos los elementos.
Es importante señalar que el conjunto universal se debe definir en primer lugar y todos los demás conjuntos deberán estar contenidos en él.
Por Ejemplo Si definimos que el Conjunto Universal está definido por los diez número dígitos entonces U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Ejemplo
Si el Conjunto Universal está definido por los números dígitos entonces
U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Ejemplo: Sea U={ x / 0< x < 2} A={x /1/2 < x < 1 } B={x / ¼< x < 3/2 } C= {x / 1/3 < x < 3/2 } Entonces AUB = { x / x Є A ó x Є B} = { x / ¼ < x < 3/2 } A∩B ={x / x Є A y x Є B } = { x / ½ < x < 1} Ā= {x / x A , x Є (U - A)} = { x / 0 < x < ½ } U { 1 < x < 2} Con base en el desarrollo anterior
Calcula (AUB)C , (A∩B)C , AC∩B , A∩BC , AC∩ BC , ACUBC , CC , A∩C , ACUCC , ACUC. Solución
(AUB)C = { x / x AUB, x Є (U- AUB) } = { x / (0 < x < ¼) U (3/2 < x < 2)} (A∩B)C = { x / x A∩B, x Є U – (A∩B) } = { x / (0 < x < 1/2) U (1 < x < 2)} AC∩B = { x / x A y x Є B} = { x / (1/4 < x < 1/2) U (1 < x < 3/2)} A∩BC = { x/ x Є A y x B} = { Ø } AC∩ BC = { x / x A y x B} = { x / (0 < x < 1/4) U (3/2 < x < 2)} ACUBC = { x / x A ó x B} ={ x / (0 < x < 1/2) U (1 < x < 2)} CC = { x / x C , x Є (U – C)} = { x / (0 < x < 1/3) U (3/2 < x < 2)}
/
Producto cartesiano
Definición: El producto cartesiano de un conjunto E por el conjunto F, es el conjunto de todas las parejas
ordenadas ( x , y ) tales que x E , y F .
El producto cartesiano de E y F, se escribe como E × F
Ejemplo: si A = {1, 2} y B = {x, y, z} entonces: A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}.
En este caso, A × B = B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).
Conjunto Potencia
La familia de todos los subconjuntos S se llama conjunto de potencia de S. Se le designa por
s
2
Ejemplo:
Si M{a,b},entonces
2M{{a,b},{a},{b},}
si un conjunto S es infinito digamos que S tenga n elementos, entonces el conjunto potencia de S tendrá n
2 elementos, como se puede demostrar. Esta es una razón, para llamar conjunto de potencia de S la clase de los subconjuntos de S y para denotarla por 2 . s
Ejemplos
1.-Sea el conjunto universal u
(x,y)|xD1,yD2,1x0,1 y0
y x,yZ. Sea:} 10 | , { 1 2 x D y D x y A } | , { 2 2 1 y D x y D x B } 10 | , { 2 2 2 1 x D y D x y C } 2 | , { 2 2 1 x D y D x D } 10 2 2 | , { 1 2 x D y D x y E Determinar u, A, B, C, D y E. Solución: )} 6 , 6 ( ), 5 , 6 ( ), 4 , 6 ( ), 3 , 6 ( ), 2 , 6 ( ), 1 , 6 ( ), 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 6 , 4 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 6 , 3 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 6 , 2 ( ), 5 , 2 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 6 , 1 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 {( u )} 6 , 6 ( ), 5 , 6 ( ), 4 , 6 ( ), 6 , 6 ( ), 6 , 5 ( ), 6 , 4 {( A )} 6 , 6 ( ), 5 , 6 ( ), 4 , 6 ( ), 3 , 6 ( ), 6 , 5 ( ), 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 6 , 4 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 6 , 3 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 6 , 2 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 6 , 1 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {( B )} , 31 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 {( C )} 3 , 6 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 2 {( D u E{(1,1),(2,1),(3,1),(1,4),(1,5)...}
2.- Sean los conjuntos:
| ,0 9
x x R x u
| 3
{ |3 9} x x x x A
| 3
{ |0 3} x x x x B
x|A x6
C
| 3, 8
{ |0 38 9} x x ox x x x D Encontrar A', AB, A'(B'C), A(B'c), B(A'C). Solución: B x x x x A x x A'{ | }{ 3 9}{ 0 3} } 9 0 , | { B x x R x A } 6 4 y 9 3 ) ( ó 9 3 | { ) ' ( B C x x x x x A A x x x x A x c B A( ' ){ ó |4 6}{ |3 9} B x x x B C A B( ' ) {0 34 6}{0 3} Problemas propuestos1.- Escriba los elementos de los siguientes conjuntos:
B) Sea B el conjunto de las x que cumplen con x x120
Respuesta: B
x|x2x12 0,xZ
3,4
C) Sea C el conjunto de las x que cumplen con x2 4x50 Respuesta: C
x|x24x50,xZ
1,5
D) Sea E el conjunto donde x es un continente.
América Europa áfrica Asia Oceanía
D Continente x x D , , , , |
2.- Sea el conjunto universal un intervalo de 0 a 15 obtener: a) El conjunto A todas x > 10.
El conjunto B todas las x de por lo menos 1 hasta 4. El conjunto C todas las x de por lo menos 7 a lo más 9. El conjunto D las x < 2 o x > 8. El conjunto E las x > 8 y x < 10. b) B’ c) B’ ∩ D’ d) A U (C∩E’) Respuesta:
x x x R
x x x R
A U , 15 10 | , 10 | 15 , 14 , 13 , 12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( ]
x x x R
B |1 4, [ ]
x x x R
C |7 9, [ ]
x x o x x R
x x o x x R
D | 2 8, |0 2 8 15, [ ) ( ]
x x y x x R
x x x R
E | 8 10, |8 10, [ ] 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14
x x B x R
x x o x x R
B| | , |0 1 4 15,
| 0 1 4 15 2 8,
4 8
| | | | | x x R x x x y x o x x x D B D x y B x x D B
C E
x x o x x R
AU | |7 8 10 15, Tema II.- Probabilidad Simbología
Є Pertenece. Conjunto vacío. U Unión.
∩ Intersección.
Representa un conjunto con sus
elementos.
≤ menor igual que. ≥ mayor igual que. < menor que. = igual.
exactamente igual.
Por lo menos significa mayor o igual que
A lo más significa menos o igual que
Al menos: significa mayor o igual que No más: significa menos o igual que Igual a = Relación entre dos
los apostadores intentaran llevar ventaja sobre sus oponentes, de esta forma encontraron que existía una relación inversamente proporcional entre los casos favorables y los casos posibles.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo.
La probabilidad es una disciplina matemática que se aborda desde tres enfoques: a) El contenido lógico formal.
La probabilidad es analizada desde un punto de vista axiomático por lo que establece un conjunto de reglas.
b)Antecedentes intuitivos.
La intuición y la experiencia física son interdependientes, es un problema del que necesitamos ocuparnos.
c)Aplicaciones
En las aplicaciones, los modelos matemáticos abstractos sirven de instrumentos; además, diferentes modelos pueden describir la misma situación empírica. La forma en que se aplican las teorías matemáticas no depende de ideas preconcebidas; es una técnica con un fin determinado, que depende y cambia con la experiencia.
Tipos de experimentos Experimento determinístico:
Son aquellos eventos que se cumplen inexorablemente y cuya probabilidad de ocurrencia es 1 Ejemplo de ello es “Todos los humanos nos vamos a morir”.
Experimentos no determinísticos: son aquellos eventos cuya probabilidad de ocurrencia se encuentra en 0 P(E) 1.
A este tipo de experimentos corresponde “Al arrojar un dado legal cual es la probabilidad de que aparezca un dos”
Probabilidad clásica
Al utilizar el modelo probabilística en otro tipo de problemas surgió un problema nodal por resolver, esto es, se requería saber contar tanto los casos favorables como los posibles. Para responder a esta necesidad surgieron las técnicas del conteo, las que podemos agrupar en: espacio muestral, análisis combinatorio y los diagramas de árbol.
Ejemplo: En una urna hay 30 bolas: 10 rojas, 5 azules y 15 blancas. Hallar la probabilidad de que al extraer una bola al azar ésta sea de color.
Podemos observar que son 30 los casos posibles entonces: P(roja) = 10/30 = 1/3
P(azul) = 5/30 = 1/6
Espacio Muestral
Comencemos por la técnica del espacio muestral, esta técnica se recomienda utilizarla cuando el número de eventos posibles sea del orden de no más de 50.
Definición: “Un evento simple es un evento que no se puede descomponer”. A cada evento simple le corresponde uno y sólo un punto muestral.
Construcción de espacios muestrales
Ejemplo 1: Exprese simbólicamente el espacio muestral S que consiste en todos los puntos (x,y) dentro de una circunferencia de radio 3 con centro en el punto (2,-3)
{(x,y)/ (x - 2)2 + (y + 3)2 < 9}
Ejemplo 2: Supongamos que en un sistema físico aislado hay tres moléculas M1, M2 y M3 cada una con cero, una o dos unidades de energía, la suma de sus energías es dos. Supóngase que todas las distribuciones de energía entre las tres moléculas son igualmente probables. Constrúyase un modelo matemático para esta situación. ¿Cuántos eventos elementales hay? ¿Cuántos eventos elementales son favorables al evento “M1 tendrá energía cero”? ¿Cuál es su probabilidad?.
M1 (0,1,2) (0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,1,0) (0,1,1) (0,1,2) (0,2,0) (0,2,1) (0,2,2) M2 (0,1,2) (1,0,0) (1,0,1) (1,0,2) (1,1,0) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,0) (1,2,1) (1,2,2) M3 (0,1,2) (2,0,0) (2,0,1) (2,0,2) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,2) (2,2,0) (2,2,1) (2,2,2) Como la suma de sus energías es dos, entonces:
(0,0,2) (0,1,1) (0,2,0) (1,0,1) (1,1,0) (2,0,0) por lo tanto,
a) Hay 6 eventos elementales.
b) “M1 tendrá energía cero”: (0,0,0) por lo tanto, cada uno tiene probabilidad de 1/6, entonces: (0,0,2) (0,1,1) (0,2,0) =1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 c) Su probabilidad es: Pr (C) = 3/24 / 6/24 = 3/6 = ½ Problemas propuestos
1.- Constrúyase un modelo para el experimento de lanzar un par de dados estándar ¿cuántos eventos elementales hay, y cuales son sus posibilidades?
26
d)¿Cuál es la probabilidad de tirar 7 u 11? e)¿Cuál es la probabilidad de tirar 2,3 o 12?.
f) Supóngase que un dado es rojo, el otro es blanco. ¿cuál es la probabilidad de que el numero de puntos del dado rojo sea menor que el numero de puntos del dado blanco?
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
a) existen 36 eventos diferentes y es una suposición que los dados no están cargados a) total de eventos 36 probabilidad de 1/36
b) p(b)= 5 c) p©=1/36
d) p(7)=6/36 +P(11)=6/36+2/36=8/36=2/9 e) P(2)=1/36 +P(3)=3/36 +P(12)=1/36=4/36=1/9 f) P(f)=15/36=5/12
2.- Encontrar el espacio muestral de preguntarle a tres mujeres si ve la telenovela a las 8:00 pm.
SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS NNN
S , , , , , , ,
3.- ¿Cuál será el espacio muestral si se quiere obtener de un grupo de química a tres personas que son hombres y mujeres?
HHH HHM HMH HMM MHH MHM MMH MMM
S , , , , , , ,
4.- Encontrar el espacios muestral del siguiente experimento: se inspeccionan 3 artículos si se encuentran o no defectuosos:
Sea D: articulo defectuoso y N: articulo no defectuoso.
Respuesta y solución
Respuesta y solución
Respuesta y solución
} , , , , , , , {DDDDDN DND DNN NDD NDD NND NNN S
5.-Si se lanzan dos monedas al mismo tiempo :
a) Cual es la probabilidad de que caigan 2 soles b) Que caiga un águila o un sol o águila y sol
S = { A A,AS, SA,SS}
a) P(A y A) = P(A∩A) =P(A)*P(A) = ½ * ½ = 1/4 b) P(S y A) o P(A y S) = (1/2 * 1/2) + (1/2 * 1/2) = 1/2
Para tres monedas: S = {AAA,AAS,ASA,ASS,SAA,SAS,SSA,SSS} a) Probabilidad de que caiga SSA
P(SSA) = P(S∩S∩A) = P(S)*P(S)*P(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8 b) Probabilidad de que salgan 2 soles y 1 águila
P(SSA) o P(SAS) o P(ASS) = 1/8*1/8*1/8 = 3/8
La probabilidad desde el punto de vista de la frecuencia relativa:
Si un experimento se repite un número grande (N) de veces y de éstas el evento A ocurre n veces la probabilidad de A es:
P(A) = na / N
A cada punto muestral se le asigna P(Ej) tal que: 1.- 0 < P(Ej) < 1
2.- P(E) = 1 s
1.- Una urna contiene 20 papeletas blancas numeradas del 1 al 20, 10 papeletas rojas numeradas del 1 al 10, 40 papeletas amarillas numeradas del 1 al 40 y 10 azules numeradas del 1 al 10. Se revuelven las papeletas en la urna para que todas tengan probabilidad de ser seleccionadas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una papeleta azul ó blanca? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1, 2, 3,4 ó 5?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una roja ó amarilla y numeradas de 1, 2, 3, 4? d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5,15,25 ó un 35?
e) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una papeleta blanca con un número mayor que 12 ó amarilla y con un número mayor que 26?
80 8 35 , 25 , 16 , 5 20 8 4 , 3 , 2 , 1 80 20 5 , 4 , 3 , 2 , 1 80 30 P amarilla o roja P P blancas o azules P
80 22 26 12 o amarilla blanca P2.- Cuantas palabras de 5 letras se pueden formar usando las letras empleadas en la palabra caaas. Se tienen 5! = 120 permutaciones si no tomamos en cuenta el orden. Si lo tomamos en cuenta solamente las letras se forman seis palabras iguales, esto resulta del hecho que hay 3! = 3·2·1 =6 maneras diferentes de colocar las letras Esto es cierto para cada una de las otras posiciones posibles en donde las a aparezcan. Por consiguiente hay 20 palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra caaas.
20 6 120 ! 3 ! 5 b)
4.- Se van a construir en Puebla, Acapulco, Toluca y Tepic hoteles y condominios y casas los que se ubicarán en la planicie o en la montaña.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de tener un hotel?
c) ¿Cuál es la probabilidad de tener en Acapulco un condominio de desarrollo turístico? d) ¿Cuál es la probabilidad de tener un desarrollo turístico?
2 1 24 12 24 8 24 8 24 DT P DT Con C P H P S 5.- En una escuela 100 estudiantes tienen las siguientes asignaturas , 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes encuentre la probabilidad de que:
a) Se haya dedicado a matemáticas o historia. b) No haya cursado ninguna de estas materias. c) Haya estudiado historia pero no matemáticas.
6.- La probabilidad de que una moneda al ser lanzada aparezca cara y cruz son 0.52 y 0.48 respectivamente. Si la moneda se lanza 3 veces ¿Cuáles son las probabilidades de sacar: a) Solo caras
b) Dos cruces y una cara en ese orden
a) P(C C C) = P(C)*P(C)*P(C) = (0.52)(0.52)(0.52) = 0.14060 b) P(Z Z C) = P(Z)*P(Z)*P(C) = (0.48)(0.48)(0.52) = 0.1198
7.- Se lanzan dos dados en donde se registran el conjunto de todos los pares posibles que se pueden observar entonces defina los siguientes subconjuntos de S.
A: el número en el segundo dado es par. B: la suma de los dos números es par.
C: al menos un número en el par ordenado es impar. (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A =: (1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6) (4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6) B =: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2;6),(3,1),(3;3),(3,5) (4,2),(4,4),(4,6), (5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) C =: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2;1),(2,3),(2,5) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5) A n B = (2,2),(4,2),(6,2),(2,4),(4,4),(6,4),(2,6),(4,6)(6,6) _ A n B =(1,2),(3,2),(5,2),(1,4),(3,4),(5,4),(1,6),(3,6),(5,6) _ A u B = (1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(1,3),(2,3),(3,3) (4,3),(5,3),(6,3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)
Definición:
Se dice que dos eventos son independientes si cumplen alguna de las condiciones: i) PA/B) = P(A)
ii) P(B/A) = P(B) iii) P(A∩B) = P(A)P(B
Caso contrario los eventos son dependientes Eventos mutuamente excluyentes
Si A y B son mutuamente excluyentes entonces P(A∩B) = 0 y
6.- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y P(A) = 0.3 y P(B)=0.5 encuentre: a) P(AUB) b) P(A|) c) P(A|UB)
A B
P
A P B 0.30.50.8 P
A|
x|xA
0.7 P
A| B
x|xA y xB
0.70.50.5 P 7.- Una persona al llegar a una intersección tiene tres opciones, dar vuelta a la derecha, a la izquierda, o seguir de frente.
a) Obtenga el espacio muestral del experimento.
b) Determine la probabilidad de que la persona de vuelta, suponiendo que todos los puntos maestrales tienen la misma probabilidad.
B
A
B
A
3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 , , VI P VD P VI VD P V P F P VI P VD P F VI VD S 8.- En una empresa su personal tiene las siguientes características Empleado Desempleado Hombre 460 40 500 Mujer 140 260 400 600 300 900 Obtener: a) P(M) b) P(M|Desempleado) c) P(Desempleados) d) P(M ó Desempleados) e) P(Empleados|Hombres)
500 460 ) | ( 90 44 ) ( 3 1 900 300 ) ( 300 260 ) | ( 9 4 900 400 Hombres Empleados P os Desemplead ó M P os Desemplead P os Desemplead M P M PTécnica de Análisis combinatorio Principio fundamental del Conteo:
Si un evento puede realizares de n1 maneras diferentes, y si, continuamos el procedimiento,
con n2 maneras diferentes, y n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número
de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es producto n1· n2 ·
·n3...
Notación Factorial
Definición de Combinaciones
El número de combinaciones de n objetos tomados de r veces a la vez, es el número de subconjuntos no ordenados de tamaño r que se pueden formar con los n objetos está dada por: r nC )! ( ! ! r n r n Definición de Permutaciones
Son la cantidad de manera en que podamos ordenar n objetos diferentes tomados de r a la vez está dada por:
)! ( ! ) , ( r n n r n P Teorema.
El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, ..., nr
son iguales, es ! !··· 2 ! 1 ! nr n n n
Ejemplo 1.- Cuantas permutaciones se pueden hacer para 4 personas que juegan al Briget.
Solución:
24
4Pn
Ejemplo 2.- De cuantas maneras un investigador puede seleccionar a 3 familias que viven en un complejo departamental que consta de 20 departamentos.
Solución: 1140 3 20 C Cr n
Ejemplo 3.- En cuantas maneras diferentes pueden 6 lanzamientos de una moneda producir 2 águilas y soles.
225 6 6 4 6 2 6 C C C
Ejemplo 4.- ¿Cuántos comités diferentes de dos químicos y un físico se pueden formar con 4 químicos y 3 físicos de una universidad.
Solución: 18 1 3 4 4C C
5.- En una mano de póquer que consta de 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener: a) Tres ases
Solución:
Número de formas en que se pueden repartir una mano póquer es nCr 52 C5 2598960
De esas 5, de cuantas maneras puedo recibir tres ases
21120 1 4 1 4 3 12 3 4C C C C 008126 . 2598960 21120 ) ( Posibles Favorables ases tres p
6.- Si un cliente invierte con una probabilidad de .6 en bonos, en fondos de inversión con una probabilidad de .3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de .15. Encuentre:
a) La probabilidad de que invierta ya sea en bonos libres o en fondos de inversión. b) En ninguno de los instrumentos.
Solución:
Sea L: Bonos l y M: fondos de inversión.
a) 15 . ) ( 3 . ) ( 6 . ) ( L M p M p L p 75 . 15 . 3 . 6 . ) ( ) ( ) ( ) ( M p L p M p L M L p b) p(LM)C p(LCMC).25
7.- Un jurado integrado por ocho personas; cinco mujeres y tres hombres. Votaron por una mujer las cinco mujeres y los tres hombres en contra. Se apeló la decisión alegando parcialidad de género. Si no hubiera parcialidad se podría concluir que cualquiera de los miembros de la junta votara a favor de la mujer con la misma probabilidad. Si esto fuera cierto. ¿cuál es la probabilidad de que el voto se diera como el jurado votó?
5M
5 P(cinco sean mujeres)= 5/8 3H 5 8 3 53 5 C C C Pvsex
)! 5 8 ( ! 5
8.- En un paquete de 52 cartas de un naipe inglés.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as? P(as) = 4 /52 = 1/ 13
b) La probabilidad de sacar un rey rojo P(Rey Rojo) = 2/52 =1/26 c) Probabilidad de sea una figura negra P(Fig. Negra) = 26/52 = ½ d) Probabilidad de que sea par P(par) = (13)(13) 5C2 ) / 52C5 = 0.000652
e) Probabilidad de un Full P(Full) = (13)(12) 5C35C2) / 52C5 = 6 x 10 -3
9- En una urna existen 20 bolitas y solo hay 5 premiadas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar las 5 bolitas con premio?, obtener el recorrido de la variable.
Solución:
20C5 = 15504 maneras de sacar 5 bolitas.
P(x) = eventos posibles / total de eventos x = numero de bolitas ganadoras.
x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 15 5*5 0 1001 (0) 15504 5168 C C P 15 4*5 1 2275 (1) 15504 5168 C C P 15 3*5 2 2275 (2) 15504 7752 C C P 15 2*5 3 175 (3) 15504 2584 C C P 15 1*5 4 25 (4) 15504 5168 C C P 15 0*5 5 1 (5) 15504 15504 C C P
La probabilidad de sacar las 5 bolitas ganadoras es 1/15504 Axiomas de probabilidad
Sean S cualquier espacio muestral y A cualquier evento de éste. Se llamara función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P(A) si satisface los siguientes axiomas. 1.- p(A) 0 para todo A S
2.- p(S) =1
3.- p(A+B) = p(A) + p(B) si AB = Teoremas importantes
a.- p( A´ ) = 1- p(A)
b.- p(A) 1 para todo A S c.- p() = 0.
d.- p(A+B) p(A) + p(B) -p(AB)
e.- p(A1+A2+... An) = p(A1) + p(A2) + ...p(An ) si Ai Aj = para ij
f.- p(A) p(B) si A B g.- P() = 0
h.- P (A B) = P(A) + P (B) - (A B) Diagramas de Árbol
1.- Una persona tiene probabilidad de sobrevivir a un trasplante de corazón en un 55%. Si el paciente sobrevive a la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante es del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva a estas etapas críticas?.
P(salvarse) = (0.55) ( 0.80) = 0.44 P 0.55 Sobreviva 0.45 No sobreviva 0.2 Su cuerpo rechace 0.8 Su cuerpo No rechace
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición.
Sean A y B dos sucesos tales que P(A)>0. Denotamos por P(B\A) la probabilidad de B dado que A ha ocurrido.
P(B/A) = P( A B) / P(A)
Ejemplos
1.- Los resultados de una investigación de campo arrojan la siguiente información del comportamiento de 50 empresas de servicio:
Antigüedad Buen servicio (BS) Mal servicio (MS) Total
mas de 10 años (A) 16 4 20
menos de 10 años (B)
10 20 30
Total 26 24 20
a) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una agencia de automóviles que proporcione buen servicio dado que ha operado más de diez años?
5 4 20 16 50 20 50 16 20 16 / / / / ) A ( P ) A BS ( P / ) A | BS ( P
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la agencia que ha operado con menos de 10 años proporcione un buen servicio de garantía?
3 1 30 10 50 30 50 10 / / / / ) B ( P ) B BS ( P ) B | BS ( P
2.- Se sabe por experiencia que el 80% de los productos están a tiempo para ser embarcados y que el 72% se entregan a tiempo al comprador.¿Cuál es la probabilidad de que una orden se entregue a tiempo dado que estuvo lista para el embarque a tiempo?
A = es el evento de que este a tiempo para el embarque = 0.80 B = es el evento de que se entregue a tiempo
Teorema de Bayes
Los exámenes del laboratorio de una clínica privada resultan correctos en el 95% de los casos de infección cuando la infección esta presente. Estos exámenes arrojan un resultado "positivo" que es falso en el 1% de las personas sanas que se someten al examen, es decir, que si la persona esta sana entonces el examen le puede decir con una probabilidad .01 que ella esta enferma. Además se sospecha que el 5% de la población tiene esa infección.
¿Cual es la probabilidad de que una persona tenga la infección dado que recibió un resultado positivo ?
Solución.
Si D: La persona tiene la infección y E: El resultado del examen es positivo, la interrogante será P(D/E) ?.
Esto significa que solo el 83,3% de las personas cuyos resultados fueron positivos tienen la infección.
Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reaccionan positivamente en dichas circunstancias,
mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre?
SOLUCION: M+ = 70% H+ = 40% M_ = 30% M_ = 60% P ( x H ) = ( 25 ) ( 60 ) = 0.4 (25)(60) +(75)(30)
Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial el porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin
embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30% de los casos (se utiliza A en el otro 70%). Se entreno a un trabajador según uno de los dos métodos pero no logro aprenderlo correctamente ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A?
82 . 0 ) 1 . 0 )( 3 . 0 ( ) 2 . 0 )( 7 . 0 ( ) 20 . 0 )( 7 . 0 ( ) | ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( 3 . 0 ) ( 7 . 0 ) ( 1 . 0 ) | ( 2 . 0 ) | ( x A P B x P B P A x P A P A x P A P x A P B P A P B x P A x P
1. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de
6 bolas blancas y 4 negras. Halla:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
2. Dos personas piensan cada una de ellas un número del 0 al 9. Calcula la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número.
Contenido
a) Variables aleatorias
Definición de una variable aleatoria, definición de una variable aleatoria discreta, definición de función de probabilidad de una v.a.d.
b) Distribución de probabilidad Binomial, definición de ensaño Bernulli, definición de variable aleatoria binomial.
c) Distribución de probabilidad Geométrica, serie geométrica, definición de v.a. geométrica, función de probabilidad geométrica.
d) Distribución de probabilidad Poisson, proceso Poisson, v.a. Poisson, Función de probabilidad Poisson.
e) Valor esperado, varianza, desviación estandar, de una v.a.d. definición de valor esperado de una v.a.d. definición de valor esperado de la función de una v.a.d. cáculo del valor esperado de las distribuciones binomial, geométrica y de Poisson.
f) Propiedades del valor esperado
g) Definición de varianza y desviación estandar. h) Teoremas
i) Función generatriz de momentos, definición del i-esimo momento de una v.a. respecto al origen, definición del i-esimo momento de una v.a. respecto a su media, definición de función generatriz de momentos, teoremas.
j) Usando la función generatriz de momentos calcular las variables de esta para la binomial, geométria y Poisson.
