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Ejercicios de Derivadas parciales

Pregunta 1

Dada la función: 2 _{3 3} 2 y x y xy x ) y , x ( f z + − + =

= , hallar el valor de la constante k , si

se cumple que: kz y z y x z x = ∂ ∂ + ∂ ∂ _. Resolución

Nos piden “ k ”

Dato: kz

y z y x z x = ∂ ∂ + ∂

∂ _{… (I)}

Buscamos las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

Tenemos: 2 _{3 3} 2

y x y xy x ) y , x ( f z + − + = = x z ∂ ∂ _: 2 3 3 2 2 2 3 3 ) y x ( ) x 3 )( y xy x ( ) y x )( y x 2 ( x z + − + − + + = ∂ ∂ 2 3 3 2 2 3 4 4 3 3 4 ) y x ( ) y x 3 y x 3 x 3 ( ) y xy 2 y x x 2 ( x z + − + − + + + = ∂ ∂ 2 3 3 2 2 4 3 3 4 ) y x ( y x 3 y xy 2 y x 2 x x z + + + + − − = ∂ ∂

… (II)

y z ∂ ∂ _: 2 3 3 2 2 2 3 3 ) y x ( ) y 3 )( y xy x ( ) y x )( y 2 x ( y z + − + − + − = ∂ ∂ 2 3 3 4 3 2 2 4 3 3 4 ) y x ( ) y 3 xy 3 y x 3 ( ) y 2 xy y x 2 x ( y z + − + − − + − = ∂ ∂ 2 3 3 2 2 4 3 3 4 ) y x ( y x 3 y xy 2 y x 2 x y z + − + − − = ∂

∂ _{… (III)}

Reemplazando (II) y (III) en (I):

z k ) y x ( y x 3 y xy 2 y x 2 x y ) y x ( y x 3 y xy 2 y x 2 x

x 4 3 ₃ 3_{3 2} 4 2 2 4 3 ₃ 3_{3 2} 4 2 2 =

z k )

y x (

y xy y x y x y x x

2 3 3

5 4 3 2 2 3 4 5

= +

+ − −

+ − −

z k )

y x (

) y xy x ( y ) y xy x ( x

2 3 3

2 2

3 2 2

3

= +

+ + −

− + −

z k )

y x (

) y x )( y xy x (

2 3 3

3 3 2 2

= +

+ −

+ −

z k )

y x (

) y xy x (

3 3

2 2

= +

− + −

z k z =

− De donde k =−1

Pregunta 2

Dada la función: _{z =f(x,y)=ln}n_x2 _+xy+y2 _{, si se cumple que:}

2 3 y z y x z

x =

∂ ∂ + ∂

∂ _{.hallar el valor de}

7 n 15 − .

Resolución

Nos piden “15n−7”

Dato:

2 3 y z y x z

x =

∂ ∂ + ∂

∂ _{… (I)}

Buscamos las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

Tenemos: _z=f(x,y)=lnn_x2 _+xy+y2

(

)

1 2

2 _{xy y}

x ln ) y , x ( f

z= = + +

(

)

ln n 1 ) y , x ( f

z= = + +

x z

∂ ∂

: (2x y)

) y xy x (

1 n

1 x z

2

2_{+ +} +

= ∂ ∂

) y xy x ( n

y x 2 x

z

2

2 _{+ +}

+ =

∂

y z

∂

∂ _{: (x 2y)}

) y xy x (

1 n

1 y z

2

2 _{+ +} +

= ∂ ∂

) y xy x ( n

y 2 x y

z

2

2 _{+ +}

+ =

∂ ∂

… (III)

Reemplazando (II) y (III) en (I):

2 3 ) y xy x ( n

y 2 x y

) y xy x ( n

y x 2

x _{2 2 2 2} =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ +

+ +

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ +

+

2 3 ) y xy x ( n

y 2 xy xy x 2

2 2

2 2

= +

+ + + +

2 3 ) y xy x ( n

) y xy x ( 2

2 2

2 2

= + +

+ +

2 3 n

2 _{= De donde}

3 4 n=

Luego: 15n−7=13

Pregunta 3

Dada la función:

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ +

− + =

=

x y x

x y x ln ) y , x ( f z

2 2

2 2

, simplificar la expresión:

y z x 1 x z y 1 E

∂ ∂ + ∂ ∂

= .

Resolución

Nos piden:

y z x 1 x z y 1 E

∂ ∂ + ∂ ∂

= … (I)

Buscamos las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

Tenemos:

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ +

− + =

=

x y x

x y x ln ) y , x ( f z

2 2

2 2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ +}

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ −}

=

=f(x,y) ln x y x ln x y x

z 2 2 2 2

x z

∂ ∂ _:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ +}

− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ _{+ −}

= ∂ ∂

1 ) x 2 ( y x 2

1 x

y x

1 1

) x 2 ( y x 2

1 x

y x

1 x

z

2 2 2

2 2

2 2

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ∂ ∂ 1 y x x x y x 1 1 y x x x y x 1 x z 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 _{x y}

y x x x y x 1 y x y x x x y x 1 x z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 _{x y}

x y x x y x 1 y x x y x x y x 1 x z + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ∂ ∂ 2 2 2

2 _{x y}

1 y x 1 x z + − + − = ∂ ∂ 2 2 _y x 2 x z + − = ∂

∂ _{… (II)}

y z ∂ ∂ _: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ∂ ∂ ) y 2 ( y x 2 1 x y x 1 ) y 2 ( y x 2 1 x y x 1 y z 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2

2 _{x y}

y x y x 1 y x y x y x 1 y z ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} + = ∂ ∂ x y x 1 x y x 1 y x y y z 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} + = ∂ ∂ x y x x y x x y x x y x y x y y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

2 _{x y x}

x 2 y x y y z ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ∂ ∂ 2 2 2 _y x 2 y x y y z 2 2 _y x y x 2 y z + = ∂

Reemplazando (II) y (III) en (I):

⎟⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ +

⎟⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − =

2 2 2

2 _{y x y}

x 2 x

1 y x

2 y

1 E

2 2 2

2 _{y x y}

2 y

x y

2 E

+ +

+ −

= De donde E=0

Pregunta 4

Dada la función: U=f(x,y,z)=xz2 +x2y+y2z, calcule y simplifique

z U y U x U E

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= , evaluada en el punto donde la suma de sus coordenadas es 5

− , es decir: x+y+z =−5.

Resolución

Nos piden:

z U y U x U E

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= , cuando x+y+z =−5

Tenemos: U=f(x,y,z)=xz2 +x2y+y2z

Buscamos las derivadas parciales de U con respecto a x , y, z :

xy 2 z x

U ₌ 2₊

∂ ∂

yz 2 x y

U ₌ 2₊

∂ ∂

2 y xz 2 z

U _{= +}

∂ ∂

Reemplazando: E=z2 +2xy+x2 +2yz+2xz+y2 xz 2 yz 2 xy 2 z y x

E= 2 + 2 + 2 + + +

2 ) z y x (

E= + +

Pregunta 8

Si z=f(x,y)=xy, calcular el valor de: E=e2fxx(e,2)+efxy(e,2)+fyy(e,2)

Resolución

Tenemos: z=f(x,y)=xy

Nos piden: E=e2f_xx(e,2)+ef_xy(e,2)+f_yy(e,2) … (I) Necesitamos encontrar f , _xx f y _yy f . _xy

Para encontrar f derivamos _x z=f(x,y) con respecto a x : 1

y x yx

f = −

Ahora, para encontrar f derivamos _xx f con respecto a x : _x 2

y xx y(y 1)x

f = − −

Evaluando en (e,2): f_xx(e,2)=2e0 =2 … (II) Para encontrar f derivamos _y z=f(x,y) con respecto a y:

x ln x fy = y

Ahora, para encontrar f derivamos _yy f con respecto a _y y:

(

)

2 y

yy x (lnx) f =

Evaluando en (e,2): f_yy(e,2)=e2(lne)2 =e2 … (III)

Para encontrar f podemos derivar _xy f con respecto a x o podemos derivar _y f_x con respecto a y. Haremos lo primero.

Tenemos: f_y = xylnx

[

]

⎢⎣ ⎡ +

= −

x 1 . x x ln . x y

f_xy y 1 y

[

]

xy yx .lnx x

f = − + −

[

]

x

Evaluando en (e,2): fxy(e,2)=e1(lne+1)=2e … (IV) Reemplazando (II), (III) y (IV) en (I):

) e ( ) e 2 ( e ) 2 ( e

E= 2 + + 2

2

e 5

E=

Pregunta 9

La función de producción Cobb-Douglas de una empresa está dada por: 5

2 5 3

k L 450 ) k , L (

P = , donde P representa la producción, cuando se emplean L unidades de mano de obra y k unidades de capital. Calcular λ si,

P ) 1 ( k

P k L

P

L2 2₂ 2 2₂ = λ− ∂

∂ + ∂ ∂

Resolución

Nos piden: λ

Dato: ( 1)P

k P k L

P

L2 2₂ 2 2₂ = λ− ∂

∂ + ∂ ∂

… (I)

Necesitamos encontrar 2₂ L

P

∂ ∂

y 2₂ k

P

∂ ∂

Tenemos: 5

2 5 3 k L 450 ) k , L (

P = … (II)

Derivamos P con respecto a L

5 2 5 2 k L 5 3 450 L

P −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂

5 2 5 2

k L 270 L

P −

= ∂ ∂

Derivamos L P

∂ ∂

con respecto a L

5 2 5 7 2

2

k L 5 2 270 L

P −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− =

∂ ∂

5 2 5 7 2

2

k L 108 L

P −

− = ∂ ∂

Derivamos P con respecto a k

5 3 5 3 k L 5 2 450 k

P −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂

5 3 5 3 k L 180 k

P −

= ∂ ∂

Derivamos k P

∂ ∂

con respecto a k

5 8 5 3 2

2

k L 5 3 180 k

P −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− =

∂ ∂

5 8 5 3 2

2

k L 108 k

P −

− = ∂ ∂

… (IV)

Reemplazando (II), (III) y (IV) en (I):

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ − λ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− − − 5

2 5 3 5

8 5 3 2

5 2 5 7

2 _{108L k k 108L k ( 1) 450L k}

L

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ − λ = −

− 5

2 5 3 5

2 5 3 5

2 5 3

k L 450 ) 1 ( k L 108 k

L 108

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡ − λ =

− 5

2 5 3 5

2 5 3

k L 450 ) 1 ( k L 216

1 450

216 _=λ−

− De donde:

225 117

= λ

Pregunta 10

En economía, una función de producción Cobb-Douglas tiene la forma β

α

=AL k

P , donde A , α y β son constantes y α+β=1. Para tal función demuestre que:

i) L

P L P α

= ∂ ∂

y

k P k P β

= ∂ ∂

Resolución

Parte i)

Tenemos: P =ALαkβ

Derivamos P con respecto a L

β − α

α = ∂

∂ _{A L k}

L

P 1

β α

α = ∂ ∂

k L L A L P

L k AL L

P ₌ α α β ∂

∂

L P L P α

= ∂

∂ _{l.q.q.d. … (I)}

Derivamos P con respecto a k 1

k L A k

P _{= β} α β−

∂ ∂

k k L A k

P _{= β} α β

∂ ∂

k k AL k

P ₌ β α β ∂

∂

k P k P ₌β ∂

∂ _{l.q.q.d. … (II)}

Parte ii)

La productividad marginal es la derivada de la producción. Dado que la producción P depende de dos factores: L y k , tendremos dos productividades marginales:

L P

∂ ∂ _y

k P

∂ ∂ _.

Se pide demostrar que: .k P k P L . L P

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ _{… (III)}

Reemplazamos en (III) lo obtenido en (I) y (II):

P k . k

P L . L

P

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ β + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ α

P P )

(α+β = Y dado que α+β=1 , llegamos a: