TEMA2_RADICALES.TEORÍA

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(1)IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. RADICALES 1. DEFINICIÓN Sea “a” un número real y sea “n” un número natural mayor que 1 (n > 1). Se define la raíz n-ésima de “a” como: n. a = b ⇔ bn = a. = signo radical n = índice del radical (cuando es 2 no se escribe) a = radicando b = raíz n-ésima. Ejemplos a) 3 125 = 5 pues 5 3 = 125 b) 5 − 32 = −2 pues (−2) 5 = −32 c) d). 4. − 16 = no existe ; no hay ningún número real que elevado al cuadrado de − 16 4 (− 3) = 81 81 = ±3 pues  4 3 = 81. DISTINGUIREMOS LOS SIGUIENTES CASOS I). El índice “ n” es un número par • Si a > 0 (radicando positivo) ⇒ • Si a = 0 ⇒. n. a = ±b , es decir, “a” tiene dos raíces de valores opuestos.. a =0 • Si a < 0 (radicando negativo) ⇒ exponente par sea negativo. n. n. a no existe ya que no existe ningún número real que elevado a. II) El índice “ n” es un número impar Entonces n a existe para todo a ∈ ℜ , es única y tiene el mismo signo que “a”.. 2. EXPRESIÓN DE RADICALES EN FORMA DE POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO n. a =a. m. 1 n. n. a. m. = an. Ejemplos 1. a). 3. 1. 5. 5 = 53. b). 4. 25 = 2 4. c). 6 = 62. c). 4 2 2 x = x 9 3. d). 36 x 4 = 6 x 2. 4. d). 7. 24 = 2 7. Ejemplo: Calcula 3 3. a). 3. 125 = 5 = 5 = 51 = 5. b). 5. 1024 = 2. 3. 3. 5. 10. =2. 10 5. = 22 = 4. 1.

(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. 121x 6 = 112 ⋅ x 6 = 11x 3. e). h). f). 49a 4 7a 2 = 100b 2 10b. 5. i). 4. g). 8x 3 3 23 ⋅ x 3 2x = = 2 a6 a6 a. 3. 10 5. 10. 1024 5 2 2 22 4 = = 15 = 3 = 3 15 15 x x x x x5 − 16 = no existe. 3. RADICALES EQUIVALENTES Para obtener radicales equivalentes a uno dado se multiplica el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de cero. Ejemplos a). 5. 2 3 = 10 2 6 = 15 2 9 = .... b). 3. 2 = 6 2 2 = 9 2 3 = .... c). 3. − 5 = − 6 (− 5) = 9 (− 5) = −12 (− 5) = ... 2. 3. 4. 4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del radicando por un divisor común. Cuando un radical no se puede simplificar diremos que es un radical irreducible. Ejemplos 12. 34 =. 32 =. 6. (: 2 ). (: 2). 3. 3. 15. a). 64 = 15 2 6 =. (: 3 ). 5. 22 = 5 4. 12. b). a8 ⋅ b4 =. (: 4 ). 6. a2 ⋅ b. 5. PROPIEDADES DE LOS RADICALES 1). n. an = a. Ejemplos. 53 = 5. 4. 16 = 4 2 4 = 2. ( a). m. n. = n am. Ejemplos. ( 2) 3. (. 5. 2. 2x3. 4. a ⋅ n b = n a ⋅b. 3). 8. Ejemplos 24 : 3 = 24 : 3 = 8. 2 x ⋅ 8 3x 4 = 8 6 x 5 5). a : n b = n a :b. n. 3. n m. 12 x 9 : 3 4 x 5 = 3 3x 4. a = n⋅ m a. Ejemplos. = 3 22 = 3 4. ). n. Ejemplos 3 ⋅ 2 = 3⋅ 2 = 6. 3. 4). 2). = 5 2 4 x12 = 5 16 x12. 3 5. 6 = 15 6 9x = 4 9x. 6. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL Para introducir un factor dentro del radical se eleva dicho factor al índice. Ejemplos a) 3 5 = 3 2 ⋅ 5 = 45. ( ). c) 2a 2 2 = 2 2 ⋅ a 2. 2. ⋅ 2 = 2 3 ⋅ a 4 = 8a 4. b) 3x 3 = 3 2 ⋅ x 2 ⋅ 3 = 27 x 2 2.

(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. 3. d). 23 8 40 x 2 5x = 3   ⋅ 5x = 3 ⋅ 5x = 3 3 27 27 3. e) a 2. 3. ( ). 1 3 2 = a a. 3. ⋅. 1 3 a6 3 5 = = a a a. 7. EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL 1) Se descompone el radicando en producto de factores primos. 2) Podemos extraer factores del radical si se verifica que: exponente del factor ≥ índice del radical. 3) Se divide el exponente entre el índice. El cociente de esta división es el exponente del factor que sale fuera y el resto el exponente del factor que queda dentro. Exponente Índice Resto cociente Fuera. Dentro. Ejemplos a). 3. 1152 = 3 2 7 ⋅ 3 2 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 = 4 3 18 32 xy 6 = 2 5 ⋅ x ⋅ y 6 = 2 2 ⋅ y 3 ⋅ 2 x = 4 y 3 2 x. b) c). 3. 32 x 9 25 ⋅ x9 2x 3 3 = = 3y 27 y 5 33 ⋅ y 5. 3. 22 2x 3 = 3y y2. 4 y2. 3. 8. REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN Consiste en obtener radicales equivalentes a los dados que tengan todos ellos el mismo índice. • El índice común de los radicales es el m.c.m. de los índices. • El nuevo exponente de los factores del radicando se obtiene multiplicando su exponente por el cociente de la división (índice común : índice del factor) Lo veremos con ejemplos: 1). 3. 2x 2. 30. (2 x ). 30. 210 x 20. 2 10. 3ab 4. 2). 30 30. 3y 2. 5. 25 y 3 x. (3y ). 30. (2. 315 y 30. 4. 12. (3ab ). 12. 36 a 6 b 24. 4 6. 2 15. 12 12. 30. 5. y3x. m.c.m.(3,2,5) = 30. ). 2 30 y 18 x 6 m.c.m.(2,4,3) = 12. 23 b 2. 3. 32 a 5. (2 b ). 12. (3 a ). 12. 38 a 20. 3. 2 3. 29 b 6. 6. 2. 5 4. 9. OPERACIONES CON RADICALES 9.1. SUMA Y RESTA Para poder sumar (restar) radicales es necesario que sean radicales semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. A) 3 2 + 9 2 = 12 2 B) 9 3 − 5 3 = 4 3 C) 3 2 + 5 3 → No son radicales semejantes ⇒ no podemos efectuar la operación, se deja indicado.. 3.

(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. PARA SUMAR O RESTAR RADICALES PROCEDEMOS DE LA SIGUIENTE MANERA: I) SI SON SEMEJANTES SE OPERA COMO EN A) Ò B) II) SI NO SON SEMEJANTES:. 1) Se descomponen los números que aparecen en el radicando en producto de factores primos. 2) Se extraen factores del radical 3) Si los radicales son semejantes se opera como en A) ò B); si no son semejantes, se deja la operación indicada como en C). Ejemplos a) 3 5 + 9 5 − 11 5 + 6 5 = 7 5 (como son semejantes operamos directamente; 3 + 9 − 11 + 6 = 7 ) b) 2 12 − 27 + 5 75 = (Descomponemos en factores los radicandos). = 2 22 ⋅ 3 − 33 + 5 3 ⋅ 52 = = 2 ⋅2 3 − 3 3 + 5⋅5 3 = = 4 3 − 3 3 + 25 3 = 26 3 c) 5 8 + 4 3 − 3 50 + 9 12 =. (Extraemos factores) (Operamos) (Descomponemos en factores los radicandos). = 5 23 + 4 3 − 3 2 ⋅ 52 + 9 2 2 ⋅ 3 = = 5⋅ 2 2 + 4 3 − 3⋅5 2 + 9 ⋅ 2 3 = = 10 2 + 4 3 − 15 2 + 18 3 = = 22 3 − 5 2. (Extraemos factores) (Operamos) (Reducimos radicales semejantes). 9.2. PRODUCTO DE RADICALES I). n. Radicales con el mismo índice. a ⋅n b = n a ⋅b. Ejemplos a) 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 12 ⋅ 6 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 3 ⋅ 3 2 = 2 ⋅ 3 2 = 6 2. b) c) d). (1). 3. (2). ( 3). (4). 18 ⋅ 3 36 = 3 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 2 ⋅ 3 2 = 3 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 3 2 3 ⋅ 3 4 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 3 = 6 3 3 (1). ( 2). ( 3). ( 4). 16a ⋅ 18a = 2 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a = 2 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a 7 = 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ a 10 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ a 5 2 = 12a 5 2 3. 7. 4. 3. 2. 7. (1). (1) Descomponemos en factores los radicandos (2) Operamos. 4. ( 2). 3. 2. ( 3). (4). (3) Reducimos aplicando propiedades de las potencias (4) Extraemos factores. 1) Se reducen los radicales a índice común (si es necesario se. II) Radicales con distinto índice. factorizan previamente los radicandos) 2) Se opera como en el caso I). 4.

(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. Ejemplos a). 2 ⋅ 3 = 6 2 2 ⋅ 6 33 = 6 2 2 ⋅ 33 = 6 4 ⋅ 27 = 6 108. 3. 32 ⋅ 4 4 = 2 5 ⋅ 3 2 2 = 6 215 ⋅ 6 2 4 = 6 219 = 2 3 ⋅ 6 2 = 8 6 2. b) c). (1). ( 2). ( 3). (4). 8 x 8 ⋅ 4 2 x 5 = 3 2 3 ⋅ x 8 ⋅ 4 2 ⋅ x 5 = 12 212 ⋅ x 32 ⋅ 12 2 3 ⋅ x15 = 12 215 ⋅ x 47 = 2 ⋅ x 3 ⋅ 15 2 3 ⋅ x 11 = 2 x 3 15 8 x 11. 3. (1). ( 2). ( 3). (1) Factorizamos los radicandos (2) Reducimos a índice común. (4). (3) Operamos (4) Extraemos factores. 9.3. COCIENTE DE RADICALES I). Radicales con el mismo índice. n. a :n b = n a:b. Ejemplos a) 24 ⋅ 3 = 24 : 3 = 3 192 : 48 = 2 ⋅ 3 : 2 ⋅ 3 = 6. b). 4. (1). 54a 5. c) d). =. 27 a. 8 (1). 32 x. 6. 2 ⋅ 33 ⋅ a 5 3 ⋅a 3. 8. 2 ⋅ x6 5. =. 4x3. (2). (1). 2 ⋅ 33 ⋅ a 5 2 1 = = 3 8 3 ( 4) ( 3 ) a 3 ⋅a a. =. ( 2). 2 a. (1) Descomponemos en factores los radicandos (2) Operamos (3) Reducimos aplicando propiedades de las potencias (4) Extraemos factores. 25 ⋅ x 6 = 23 ⋅ x 3 = 2x 2 x 2 3 ( 3) (4) 2 ⋅x. =. 22 ⋅ x3. 26 ⋅ 3 = 22 = 2 4 ( 2 ⋅ 3 3). (2). 1) Se reducen los radicales a índice común (si es necesario se. II) Radicales con distinto índice. factorizan previamente los radicandos) 2) Se opera como en el caso I) Ejemplos a). 3. b). 4. 32 : 8 = 3 2 5 : 2 3 = 6 210 : 6 2 9 = 6 2 (1). (2). ( 3). 80a : 25a = 2 ⋅ 5 ⋅ a : 5 ⋅ a = 2 ⋅ 5 ⋅ a 9. 3. 2. 4. 4. 9. 3. 2. 2. (1). = 2a. 12. 12. ( 2). 12. 3. 27. : 5 ⋅a =. 12 x. 3. 8. 12. 212 ⋅ 5 3 ⋅ a 27 12 212 ⋅ a 19 a7 12 = = 2a ⋅ = 58 ⋅ a 8 55 (4) 55. a7 3125. 108 x 5 6. 8. ( 3). (1) Factorizamos los radicandos (2) Reducimos a índice común. c). 12. =. (1) 6. 2 2 ⋅ 33 ⋅ x 5 2 ⋅3⋅ x 2. 3. (3) Operamos (4) Extraemos factores. =. ( 2). (1) Factorizamos los radicandos (2) Reducimos a índice común (3) Operamos. 2 6 ⋅ 39 ⋅ x15. 6 6. 2 ⋅3⋅ x 2. 3. = 6 2 4 ⋅ 38 ⋅ x12 = 3 2 2 ⋅ 3 4 ⋅ x 6 = 3 x 2 ⋅ 3 2 2 ⋅ 3 = 3 x 2 3 12. ( 3). ( 4). (5). (4) Simplificamos (5) Extraemos factores. 5.

(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2 3º ESO. 10. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES A) EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO CON UN RADICAL CUADRÁTICO →. a. b c Se multiplica en el numerador y en el denominador por el radical que aparece en el denominador y se opera. Ejemplos 6 6⋅ 3 6 3 6 3 (:3) = = = =2 3 a) 2 3 (:3) 3 3⋅ 3 3 b). 6 3+ 2 3 2. ( ). (6 =. ). 3+ 2 ⋅ 2. =. 3 2⋅ 2. ( 2) 3⋅ ( 2). 2. 6 6+. =. 2. 6 6 + 2 :( 2) 3 6 + 1 = (:2 ) 6 3. B) EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO CON UN RADICAL n-ÉSIMO → Se multiplica en el numerador y en el denominador por Ejemplos a) b). 3 3. 6. =. 1 5. 27. 3 ⋅ 3 62 3. =. =. 6 ⋅ 3 62 1 5. =. 33. 3 3 36 3. 63. 1 ⋅ 5 32 5. 33 ⋅ 5 3 2. = =. n. a b ⋅ n cm. c n −m y se opera.. 3 3 36 (:3) 3 36 = 6 (:3) 2 5 5. 9 35. =. 5. 9 3. C) EL DENOMINADOR ES UN BINOMIO CON UN RADICALES CUADRÁTICOS →. a. b+ c Se multiplica en el numerador y en el denominador por el conjugado del denominador y se opera. El CONJUGADO de ( A + B ) es ( A − B ). Ejemplos 3 + 5 conjugado  → 3 − 5 2 5 − 3 2 conjugado  → 2 5 + 3 2 Ejemplos 5 5⋅ 3 − 2 5 3 −5 2 5 3 −5 2 5 3 −5 2 a) = = = = = 5 3 −5 2 2 2 3− 2 1 3+ 2 3+ 2 ⋅ 3− 2 3 − 2. (. (. )(. ). ) ( ) ( ) 1 + 5 (1 + 5 )⋅ ( 5 + 2 ) 5 + 2 + ( 5) + 2 5 5 +2+5+2 5 7+3 5 = = = = = 7+3 5 5−4 1 5 − 2 ( 5 + 2 )⋅ ( 5 − 2 ) ( 5) − 2 3 6 3 6 ⋅ (2 3 − 1) 6 18 − 3 6 6 2 ⋅ 3 − 3 6 6 ⋅ 3 ⋅ 2 − 3 6 18 2 − 3 6 = = = = = 4 ⋅ 3 −1 12 − 1 11 2 3 + 1 (2 3 + 1)⋅ (2 3 − 1) (2 3 ) − 1 2. b). 2. 2. 2. c). 2. 2. 6.

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