Álgebra y funciones potencias - ecuación exponencial - función exponenecial

C u r s o : Matemática

Material N° 25

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

POTENCIAS – ECUACIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN EXPONENCIAL

PROPIEDADES DE POTENCIAS

Sean a, b ∈lR – {0} y m, n ∈z

* PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

am _{· a}n _{= a}m+n

* CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

am _{: a}n _{= a}m-n

EJEMPLOS

1. -4a _{· 4}2 ₌

A) -4a – 2

B) -4a + 2

C) -42a

D) 162a

E) (-16)a + 2

2. 5b _{: -5}b – 4 ₌

A) -54

B) -5-4

C)5-4

D)54

E) _-52b 4

3x + 1 ₋₃x

3. =

3x

A)3 3x

B) 3x + 1 C) 3x + 1 – 1

D) 3

m

* PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

am _{· b}m _{= (a · b)}m

* CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

a ₌ ⎛a ⎞m

⎜ ⎟

bm _⎝b ⎠

* POTENCIA DE UNA POTENCIA

(am₎n _{= a}m·n

EJEMPLOS

1. 5x – 2 _{· (20)}x – 2 ₌

(x −2 2

A) 100 )

B) ₁₀4x – 8

C) ₁₀2x – 4

D) ₁₀2x – 2

E) ₂-2x + 4

9x − 1

2. =

3x − 1

A) 3x – 4

B) 3x – 3

C) 3x – 2

D) 3x E) 3x – 1

3. Al simplificar la expresión 273a − 2 ⋅9-a

33 + a se obtiene

A) 36

B) 9-a

C) ₃5a + 9

D) ₃6a – 9

* POTENCIAS DE IGUAL BASE

am _{= a}n _{⇔ m = n , con a distinto de -1 , 0 y 1}

* POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

a = b ⇒ an _{= b}n

ECUACIÓN EXPONENCIAL

Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una o más potencias.

Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases deben ser distintas de cero, uno y menos uno.

EJEMPLOS

1. Si 32x _{= 3}3_{, entonces 2x – 3 =}

A) 0

B) 1

C) 3

2

D) 2

E) 3

2. Si 4x + 1 _{· 2}2x – 6 _{= (0, 5)}x _{, entonces x es}

A)4 3 B)4

5 C)5

2 D) - 4 3 E) - 4 5

3. Si 3x _{+ 3}x + 1 _{+ 3}x + 2 _{= 13, entonces x es}

2

⎜ ⎟

2

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función f definida por f(x) = ax_{, con a ∈lR}+ _{y a ≠1 se denomina función exponencial.}

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

x

1) f(x) = 2x _{2) f(x) =} ⎛1 ⎞

⎝ ⎠

x f(x)

1

-2

4 1

y

f(x) = 2x

4

x f(x)

-2 4

-1 2

f(x) = ⎛⎜ 1 ⎞⎟x y

⎝ ⎠ ₄

-1 _{2 0 1}

1

0 1 1 1

1 ₂

1 2 _{-2 -1 1 2 x 1}

2 4 2 4

-2 -1 1 2 x

En las gráficas se puede observar que:

* La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). * Si a > 1, entonces f(x) = ax es creciente.

* Si 0 < a < 1, entonces f(x) = ax es decreciente. * La gráfica no corta al eje de las abscisas.

EJEMPLOS

1. Con respecto a la función f(x) = 5x_{, ¿cuál de las siguientes opciones es falsa?}

A) La función f(x) es creciente B) f(2) = 25

C) La gráfica no intersecta al eje de las abscisas

D) La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (1, 0) E) f(-2) < f(2)

⎛1 _⎞x 2. Dada la función f(x) = _{⎜ ⎟}

⎝4 _⎠ , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) La función f(x) es decreciente. II) f(-2) = 16

III) f(-1) > f(1)

2

-3

EJERCICIOS

1. -24 _{– (4}2 _{– 2}5_{) =}

A) -32 B) -16 C) 32 D) 16

E) 0

2. ¿Cuánto es la mitad de 28_?

⎛1 _⎞8 A) _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎛1 ⎞4 B) _{⎜ ⎟}

⎝2 ⎠ C) 18

D) 24

E) 27

⎛1 _⎞-2

3. _⎜ b =

3 ⎟

⎝ ⎠

A) 1 b6

9 B) 1 b6

3 C) 1 b-5

3 D) 9b-5

E) 9b6

a3 − x

4. =

a5x

A) a3 – 6x

B) a3 + 4x

C) a-2 D) a3 – 4x

a4_b-12

5. =

a-2_b-4

A) a2_b-16

B) a6b-8 C) a-2b3 D)8 ₆

E) - 8 ₆

6. Si 3x + 2 _{= 9}x – 1_{, entonces x es igual a}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) -4

7. Si 32x _{= 27, ¿cuántas veces x es igual a 6?}

A) 4

B) 3

2

C) 2

D) 9

2

E) 9

8. Si ax + 3 _{= b, entonces} b ₌

a

A) x + 3 B) ax

C) _ax + 1

D) _ax + 2

4

2

9. Si 16 · 16 = 4x_{, entonces x =}

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

10. Si n es un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)?

I) n2 _{· n}3 _{= n}5

II) 2n _{+ 3}n _{= 5}n

III) 2n _{· 3}n _{= 6}n

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

11. La expresión b5 _{+ b}5 _{+ b}5 _{corresponde a}

A) (3b)5

B) b15

C) (3b)15

D) 3b15

E) 3b5

⎛2 _⎞-a

⎜ ⎟ ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟a 12. ⎝3 _{⎠ ⎝}2 _{⎠ =}

⎛9 _⎞a

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

A)1 B)3

2

⎛3 _⎞2 C) _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎛3 ⎞a D) _{⎜ ⎟}

⎝2 ⎠

2

⎛3 ⎞a E) _{⎜ ⎟}

13. 63 _{+ 6}3 _{+ 6}3 _{+ 6}3 _{+ 6}3 _{+ 6}3 ₌

A)63

B)64

C)618

D)363

E) 3618

14. Si 3x + 2 = 243, entonces 2x es igual a

A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 27

15. Sea M = (t2 )-2 · (-t)2

t4 . Cuando t = 0,1, el valor de M es

A) 0,001

B) 0,01

C) 10.000

D) 100.000 E) 1.000.000

16. Si 32x _{· 9}x _{· 27}2x ₌ 1

815 , entonces ₂ x es igual a

A) -4 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2

17. Si (0,01)x – 5 _{= 100, entonces el valor de x es}

A) -6 B) -4 C)3

3 4

18. El valor de x en la ecuación 2x + 1 _{+ 2}x + 2 _{+ 2}x + 3 _{= 56 es}

A)2 B)3 C)2

3 D) -3 E) -4

19. El valor de x2 _{en la ecuación ⎛}2 _⎞x −3

⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎛

9 _⎞x + 3

⎜ ⎟ es ⎝ ⎠

A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 9

20. Si tomáramos una hoja de papel de 0,1 mm de grosor y la dobláramos sucesivamente por la mitad, ¿cual sería el grosor del cuerpo resultante luego del n-ésimo doblez?

A) 0,1 · 2n + 1 _mm

B) 0,1 · 2n – 1 _mm

C) 0,1 · 2n _mm

D) (0,1 + 2n + 1_{) mm}

E) (0,1 + 2n_{) mm}

21. El número de bacterias B en un cierto cultivo está dado por B = 100t _{· 100}100_{, siendo t el}

tiempo en horas. ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de 4 horas?

A) 100400

B) 4 · 100100

C) 400100

D) 100104

22. El gráfico de la función f(x) = 2x – 1 _{está representado por la alternativa}

A) y

4 3 2 1 1 2

-1 1 x

B) y

3 2 1 1 2

-1 1 x

C) y

4

3 2 1 1 2

-2 -1 1 2 x

D) y

4 3 2

1

-2 -1 x

E) y

2

1 1 2

1 2 _x

23. Un microorganismo se duplica cada 15 minutos. Si una muestra de laboratorio existía un microorganismo a las 09:00 A.M, ¿cuántos microorganismos habrá en esa misma muestra a las 4:00 P.M?

A) 228

B) 224

C) 220

D) 214

E) 27

24. Si 2x _{+ 2}-x _{= M, entonces 4}x _{+ 4}-x ₌

A) M2 _x

B) M2 _{– 1}

C) M2 _{+ 2}

D) M2 _{– 2}

E) M2 _{+ 1}

25. Una bacteria se reproduce de acuerdo a la expresión 2t, siendo t el tiempo en horas. ¿En cuántas horas se tendrá 1.024 bacterias?

26. La expresión ax + 7

ax + 2 toma siempre un valor positivo si:

(1) a es un número positivo.

(2) a es un número par.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el valor numérico de (x − 5)2

(5 − x)2

⎛6 ⎞3

+ _{⎜ ⎟}

⎝y ⎠

⎛y _⎞3

⋅ _{⎜ ⎟} ⋅z

⎝6 _⎠ si:

(1) y = 4 (2) z = 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. El valor de m se puede determinar en la figura 1, si:

(1) f(m) = 125 y a = 5 (2) n = 125 y f(x) = 5x

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

y

y = ax

n

m x

fig. 1

29. Dada la función potencia f(x) = n · ax_{, el punto de intersección con el eje de las ordenadas}

se puede determinar si:

(1) Se conoce el valor de a. (2) Se conoce el valor de n.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

Ejemplos

Págs. 1 2 3

1 B A E

2 C E D

3 A B C

4 D E

⎛1 _⎞x 30. Se puede afirmar que f(x) = _{⎜ ⎟}

⎝a _⎠ es creciente si:

(1) a es positivo.

(2) a < 1

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

CLAVES PÁG. 5