GUIA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, las cuales tienen las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C
Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par ordenado (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ambas rectas se representan en un sistema de ejes coordenados, obteniendo de esta forma uno de los siguientes casos:
I) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) corresponden a la solución del sistema (fig. 1). Las rectas L1y L2 son secantes.
II) Las dos rectas son paralelas coincidentes, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2). III) Las dos rectas son paralelas no coincidentes, por lo tanto no hay solución (fig. 3).
EJEMPLOS
1. El par ordenado (-4, 2) es solución del (de los) sistema(s): I) x + y = - 2
2x + 5y = 2 II)
3x y = -14 7x + y = 14
III) x + 2y = 06 x y =
5
A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
x y
L2 L1
L1 L2 = (a, b)
fig. 1 a
b
x y
L1= L2
fig. 2
L1 L2 L1=L2
x y
L1
fig. 3
L1 L2= (vacío) L2
C u r s o:
Matemática
2. Para que el par ordenado (2, 3) sea solución del sistema px + y = 2
x – qy = 5 , los valores de p y q deben ser respectivamente
A) -1
2 y 1 B) -1
2 y -1 C) 1
2 y - 1 D) 1
2 y 1 E) -2 y -1
3. La solución gráfica del sistema 3x – 2y = 12 3x + y = 3 es
A) B) C) D) E)
4. La figura 4 representa la solución gráfica del sistema
A) 4x + 4y = 16
x + y = -3
B) 4x 4y = 16
-x y = 3
C) 4x + 4y = 16 -3x 3y = -3 D) x + y = 4
x y = 3
E) x + y = 16
x + y = 9
5. Dado el siguiente sistema 2x + 4y = 8
6x + 3y = 6 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, respecto de su representación gráfica, es (son)FALSA(S)?
I) Las rectas son secantes.
II) Las rectas son paralelas no coincidentes.
III) Las rectas son paralelas coincidentes.
A) Solo I
B) Solo II
x y
-3
4
-3
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación y reducción.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejaruna de las variables en una de las ecuaciones y luegoreemplazarlaen la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.
MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualarlos coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.
EJEMPLOS
1. Sea el sistema y = 2x + 5
-3x + 5y = 4 . El valor dexes
A) -7 B) -3 C) -2 D) 2 E) 3
2. En el sistema x = 3y 1 x = -2y + 14
el opuesto del valor deyes
A) -3 B) - 1
3 C) 1 3 D) 3 E) 13
3. La solución del sistema 2x + y = 4 3x y = 1 es
4. Dado el sistema -x + 2y = 5
5x + 4y = -2 , la igualdad correcta es
A) 6y + 3 = 0
B) 14y – 27 = 0
C) 14y – 3 = 0
D) 14y – 23 = 0
E) 2y – 1 = 0
5. Del sistema 3x + 5y + 4 = 0
7x 2y = 2 , la igualdad correcta es
A) -3y = 4y 7
B) -5y – 7 = 2y – 5 C) 3x + 4
5 = -7x + 1 D) 3x + 4 = 7x 2
5 2
E) 3x + 4 = 2 7x
5 2
6. En el sistema 5x 3y = 8 -3x + 5y = -4
, el valor de 4 (x – y) es
A) -8 B) -6 C) 2
3 D) 7 4 E) 6
7. Dado el sistema -2 -3 -1
-3 -2 -4
10 x + 10 y = 10
-10 x 10 y = -10 , el valor de yes
A) -1 B) 10,1 C) 1 D) 104
-1 -4
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Sea el sistema: 1 1 1
2 2 2
a x + b y = c
a x + b y = c . Entonces:
I) El sistema tienesolución únicasi 1 1
2 2
a b
a b
II) El sistema tieneinfinitas solucionessi 1 1 1
2 2 2
a b c
= =
a b c
III) El sistemano tiene soluciónsi 1 1 1
2 2 2
a = b c
a b c
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene solución única?
A) 2x + 5y = 4 -6x 15y = 12 B) 2x + 2y = 4
3x 3y = 1 C) 3x + 9y = 4
-6x 18y = -8 D) 3x + 9y = 4
x + 3y = 1 E) 2x + y = 4 4x + 2y = 8
2. ¿Cuál de los siguientes sistemas notiene solución?
A) 8x + 5y = 4 3x 4y = 5 B) x + y = 4
x y = 4 C) -4x + 3y = -5
12x 9y = -15 D) 6x + 10y = 12
3. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene infinitas soluciones?
A) 2x + 4y = 4 3x 6y = 6 B) 7x + 5y = -4
21x + 15y = -12 C) 4x + 3y = 4
3x + 4y = 3 D) -5x + 10y = 20
x y = 1 E) -x + 8y = 2
2x 2y = -8
4. ¿Para qué valor dek el sistema x + ky = 2
4x y = 8 tiene solución única? A) Para k = - 1
4 B) Para todo k - 1
4
C) Para cualquier valor de k. D) Para ningún valor dek.
E) Ninguna de las alternativas anteriores.
5. Dado el sistema 2x + 3y = 4
6x + ky = 8 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Para cualquier valor dek el sistema jamás tendrá infinitas soluciones. II) Si k = 9, el sistema no tiene solución.
III) Si k ≠ 6, las rectas son paralelas no coincidentes. A) Solo I
B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
6. En el sistema ax - 4 = - by
2x - 12 = 3y , ¿qué condición deben cumplir a y b para que tenga solución única?
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo cuyo enunciado implica utilizar dos ecuaciones de dos incógnitas que podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc.
EJEMPLOS
1. El enunciado: “El doble, de un número aumentado en 3 es igual a un segundo número, y la cuarta parte de su diferencia es 12”, está representado por
A) 2x + 3 = yx y = 12 4
B) 2(x + 3) = yx y = 12 4
C) 2x 3 = y12 x y =
4
D) 2(x 3) = y x y = 12 · 4
E) 2(x + 3) = yx y = 12 4
2. Un coleccionista compra dos antigüedades (A y B) por $ 28.000 y las vende en $ 30.000. Si por la venta de ambas, en A ganó el 30% y por la otra perdió el 10% sobre el precio de compra, ¿cuál es el sistema que permite determinar los precios de costos de cada antigüedad?
A) A + B = 28.000 1,3A 1,1B = 30.000 B) A + B = 28.000 1,3A + 0,9B = 30.000 C) A + B = 28.000
3. Juan con $ 5.600 compra 20 lápices; unos que cuestan $ 250 y otros que cuestan $ 300. ¿Cuántos lápices de $ 300 compró?
A) 2 B) 8 C) 12 D) 18 E) 20
4. Dos números suman 42 y su diferencia es 12. ¿Cuáles son estos números? A) -27 y 15
B) 27 y – 15 C) -27 y -15 D) 27 y 15 E) 26 y 16
5. Hallar el número de dos dígitos, tal que la suma de sus cifras es 9 y cuando se invierte el orden de sus cifras se obtiene un segundo número que excede en 9 al cuádruplo del número original.
A) 90 B) 81 C) 54 D) 45 E) 18
6. Si un hilo de 6 metros de largo se divide en dos partes de modo que uno de ellos es 100 cm más largo que el otro. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 500 cm y 100 cm B) 300 cm y 300 cm C) 350 cm y 250 cm D) 400 cm y 200 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
7. Por la compra de 3 vacas y 7 terneros se paga $ 480.000, mientras que por la compra de 7 vacas y 3 terneros se paga $ 560.000. ¿Cuál es el costo de 5 vacas y 5 terneros? A) $ 1.040.000
B) $ 520.000 C) $ 104.000 D) $ 62.000 E) $ 42.000
RESPUESTAS
DMCAMA28
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 C B D A E
3 y 4 B A A D E E A
5 y 6 B C B B D E
