TP N°1
“Naturales (N), Enteros (Z) y Racionales (Q)”
1) Si a y b pertenecen a los naturales, ¿a + b SIEMPRE pertenece a los naturales?, ¿a - b SIEMPRE pertenece a los naturales? Den ejemplos de cada caso
2) ¿Existen números enteros que no sean naturales? ¿y al revés? Den ejemplos
3) Encierren en un círculo aquellos números que sean naturales y en un cuadrado los que sean enteros. ¿Qué fue lo que ocurrió?
2 -3 0 14 -22 2.2 511 -4 9 25 -3.1 -11 1045057 7 4) Escriban los números opuestos a los dados
3 → -7 → -3 → -(-7) → 0 → -0 → 5) ¿Qué número entero es opuesto de sí mismo?
6) ¿Qué se obtiene cuando se suma un número y su opuesto? 7) ¿Qué número es el neutro de la suma?
8) Un número entero y su opuesto distan en la recta numérica 14 unidades, ¿cuáles son esos números? 9) Calculen mentalmente y escriban el resultado
a) 1-2+3= b) -1+2-3= c) -1-2+3= d) -1-2-3= e) 1-2-3= f) -3-2+1= g) -2-3+1= h) 25-40= i) -11+27= j) 14-17+9= k) -14-15-16= l) 7-8+9= m) -2+4-7+11= n) -22+8+7-20= o) -19-3+14-11=
10) Calculen mentalmente respetando el orden indicado y luego comparen los resultados, ¿qué ocurre? a) 5-11+8= y 5-(11+8)=
b) 20-13-5= y 20-(13-5)=
c) -7+8+4= y -(7+8)+4= d) -2-(4+3)= y -(2-4)+3= 11)¿Es cierto que a - b = - b+a ? Den ejemplos
12) Si dentro de un par de paréntesis hay una operación pero no queremos hacerla, ¿qué se debemos tener en cuenta para sacarlos?
13) Apliquen primero la regla para sacar paréntesis (y otros) nivel a nivel; recién después calculen a)
−
4
−
(
8
−
12
)
=
b){
[
(
−
7
+
8
)
+
4
]
−
5
}
=
c)−
{
−
[
( )
−
4
]
}
+
(
−
4
)
=
d)+
[
(
−
9
−
1
)
−
(
−
4
)
]
+
(
−
11
)
=
e)−
(
−
3
+
4
)
+
[
−
3
+
(
−
9
)
]
=
f)−
3
−
5
−
{
−
[
(
−
4
+
8
)
]
−
7
}
+
4
=
g)−
{
−
4
+
[
(
−
4
+
8
)
−
1
]
−
9
}
−
4
+
10
=
h)−
{
−
[
+
(
3
+
11
) (
−
8
−
9
)
+
5
]
+
14
}
+
5
=
i)−
−
1
+
{
1
−
[
3
−
(
−
2
)
]
}
+
8
=
j)−
+
{
−
1
+
[
−
4
+
9
]
−
5
}
−
7
+
1
=
k)−
{
1
+
[
1
−
(
−
1
+
1
−
1
)
]
+
1
}
−
1
=
14) Operen, calculen los resultados y ordenen las respuestas con flechas -(-12)-(+4)= +(-5)+(-6)= +(-9)-(+(-1))= +(+9)-(+7)= -(-50)+(-(+39))= -(+6)+(+8)= Rta: 1 Rta: 11 Rta: 8 Rta: -8 Rta: 2 Rta: -11 15) Expliquen las reglas de los signos para el producto entre enteros. Den ejemplos 16) Aplicado las reglas de los signos, calculen mentalmente los productos
a) 2.(-3)= b) (-6).9= c) (-8).(-9)= d) 2.(-8).5= e) (-4).5.3= f) 9.7.(-2)= g) (-8).(-2).4= h) (-7).6.(-2)= i) 4.(-8).(-3)= j) (-9).(-2).(-2)= k) (-1).(-1).(-1)= l) (-2).2.(-2)= 17) Completen los espacios con los factores que verifican las igualdades
a) (-6). …… = -18 b) (-7). …… = 35 c) 8. …… = -24 d) 15. ….. = -60 e) (-2). .. . (-4) = 56 f) 7. ….. = 0
18) ¿Cuál operación tiene prioridad entre la suma /o la resta) y el producto? Den ejemplos. ¿Es posible cambiar esta prioridad?, ¿cómo? Den ejemplos
19) Calculen respetando las prioridades indicadas y comparen los resultados entre los dos casos a) 2.3 -8= y 2(3 -8)=
b) 15 -7.2= y (15 -7)2=
c) -22+2.(-5)= y -(22+2)-5= d) -5 - 10.(-4)= y -(5 -10).(-4)= 20) Expliquen la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. Den ejemplos 21) Calculen usando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma (y de la resta)
a) 4(5+6)= b) 4(5-3)= c) -3(4+9)= d) -5(-1+6)= e) -7(-2-8)= f) -(-1+5)= 22) Calculen los resultados de los siguientes ejercicios combinados
a) 4[(+5)+(-7)] - (-3) [7-(+3)]= b) 8+(4-9+7) 2+4(3-8+4)= c) {-2[+4-2(2-3)]+(-3)(-3+2) }(-1)= d) (-3)(-11) - [(-6)+(-8)-(-2)] 2= e) (-6)[(-7)+(3) -(7+6-14) ]+(-7) 3= f) 10-{10+[10-(10-1)]-[90+10(-10)]}= g) -1{2+[3-4]5-(-6)7-39}-9= h) -|4+{ -[-(6-8)+2]-3}(-1)|-1= i) -{-[-2+(-3)(-2)+2]-1}(-1)= j) -{100-(-150).(-2)}-(-(150)=
23)Si a y b pertenecen a los enteros (Z), ¿ b a
SIEMPRE pertenece a los enteros? Prueben con algunos ejemplos
24)¿Qué operación está implícita en la expresión
b
a
con a y b enteros?
25)¿Qué condiciones deben cumplir a y b para que podamos hablar de un número racional? En estas condiciones, ¿qué nombres reciben
a
yb
?
26)¿Es posible dividir un número entero por cero? ¿Qué es lo que ocurre? Den ejemplos.
27)¿Cuántos números hay entre el 0 y el 1, ninguno, uno, dos, más? Si existe alguno den ejemplos; si creen que no, expliquen sus razones.
28)¿Cuántos números hay entre el 0 y el -1, ninguno, uno, dos, más? Si existe alguno den ejemplos; si creen que no, expliquen sus razones.
29)¿Cuándo
b
a
es igual a 1?, ¿cuándo es menor?, ¿cuándo es mayor? Den ejemplos.
30)¿El número 3 es racional?, ¿y el -8?, ¿y el 15046? Expliquen por qué. 31)Para pensar:
a) ¿Existen números racionales que no sean enteros? Den ejemplos.
b) ¿Existen números enteros que no sean racionales?, ¿y naturales que no sean racionales? Den ejemplos. c) Hagan un diagrama de Venn que muestre la situación entre naturales (N), enteros (Z) y racionales (Q).
32)Ubiquen en la recta numérica los siguientes números racionales:
a)
2
1
b)2
1
−
c)3
4
d)3
5
−
e)7
10
f)3
9
g)2
0
33) Dados los siguientes números racionales, hallen otros cocientes entre enteros que expresen el mismo número racional (fracciones equivalentes).
a)
2
1
b)3
2
c)6
d)7
5
−
e)8
12
f)13
26
g)48
12
−
34)Expresen las siguientes fracciones de forma tal que ya no se puedan seguir reduciendo los numeradores y denominadores entre si. ¿Cómo se llama esta operación?, ¿Qué nombre reciben estas fracciones a las que llegamos? a)
21
14
b)21
33
−
c)80
215
d)121
22
e)49
2401
f)23
200
g)138
23
−
35)Teniendo en cuenta que cuando ocurre: a.d b.c d c b a < ⇒ <
Ordenen de menor a mayor los siguientes números racionales:
a)
3
1
b)5
2
c)12
5
d)1
e)−
1
f)4
3
−
g)23
10
h)7
9
i)11
4
j)11
8
−
36)Expliquen cómo se suman y/o restan dos o más números racionales de igual denominador. Den ejemplos. 37)Hallen fracciones equivalentes a las dadas de modo que en cada caso queden expresadas con el mismo
denominador. a)
6
1
y
3
1
b)6
1
y
4
1
c)10
7
y
2
3
;
5
2
d)12
5
y
2
1
;
5
2
e)y
3
12
3
;
10
2
38)Expresen las siguientes fracciones con un mismo denominador. Hallen otros dos posibles denominadores comunes. El menor de todos los posibles, ¿qué resulta ser? ¿Cómo estar seguros de que es el menor?
a)
8
3
y
10
1
b)12
5
y
9
2
c)20
3
y
15
4
d)11
7
y
7
11
e)12
3
y
2
7
;
9
1
4
39)Para poder sumar y/o restar dos o más fracciones que poseen distinto denominador es necesarioreescribirlas con un mismo denominador y luego operar. Teniendo esto en cuenta, realicen las siguientes operaciones: a)
8
3
10
1
+
b)12
5
9
2
c)20
3
15
4
+
−
d)11
7
7
11
−
e)12
3
2
7
-9
1
+
40)¿Qué es el M.C.M. entre dos o más números naturales?, ¿Cómo se lo calcula?, ¿Para qué sirve? 41)Calcular el M.C.M. entre los siguientes números naturales:
a) 18; 30 b)18; 30; 40 c) 18; 30; 40; 12 d) 5; 6 e) 5; 6; 9 f) 5; 6, 9; 18 g) 2; 3; 10 h) 20; 12; 16 i) 16; 12 j) 12; 9; 4 k) 7, 8; 10 l) 6; 8; 16; 20; 18 m) 1; 1504679 42)Usando el M.C.M. entre los denominadores hagan los siguientes cálculos:
a)
12
7
4
7
-9
7
+
b)12
3
6
7
-8
1
+
c)14
9
2
5
7
3
+
+
−
d)11
4
2
5
-4
9
+
−
e)24
3
4
7
-18
1
+
f)2
8
1
+
g)6
1
2
-8
1
+
h)4
3
5
-18
1
+
−
i)3
4
7
-1
+
j)1
5
3
3
7
-2
1
+
+
43)Traten de calcular mentalmente:a) ¿Cuántos medios hay en un entero? ¿y en tres enteros? b) ¿Cuántos tercios hay en dos enteros? ¿y en cinco enteros? c) ¿Cuántos quintos hay en dos enteros? ¿y en seis enteros? d) ¿Cuántos cuartos hay en un medio? ¿y en seis medios?
e) ¿Cuántos medios hay en menos un entero? ¿y en menos dos enteros? 44)Calculen mentalmente: a)
2
1
1
−
b)2
1
1
+
c)4
3
1
−
d)3
2
1
−
e)4
3
1
+
f)5
3
1
−
g)2
1
1
+
−
h)2
1
1
−
−
i)2
1
2
−
j)2
1
2
+
−
k)2
1
3
+
−
l)2
1
3
−
m)2
1
5
+
n)2
1
5
−
−
o)2
1
4
1
+
45)¿La suma de dos números racionales da siempre un número racional? Den ejemplos. 46)¿La resta de dos números racionales da siempre un número racional? Den ejemplos.47)¿Los números racionales cumplen con las reglas para trabajar con paréntesis, corchetes, llaves, etc.? Den ejemplos.
48)Aplicando lo visto hasta aquí, calculen:
a)
=
−
−
5
4
-3
1
b)
=
−
+
−
9
4
3
1
c)+
=
−
−
−
−
3
4
1
1
d)
+
=
−
−
+
−
1
15
2
10
3
5
5
2
e)
+
=
−
−
+
−
3
6
1
1
3
1
2
5
f)
−
=
−
−
−
+
+
−
7
1
2
1
7
2
1
2
7
7
6
9
Rta: -4 g)
+
=
−
−
+
−
20
1
60
1
1
30
1
2
Rta: -1 h)−
+
−
+
=
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Rta:60
23
i)=
+
−
+
−
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Rta:20
1
−
j)=
+
−
+
−
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Rta:60
17
k)−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
+
=
60
877
6
1
5
5
1
4
4
1
3
3
1
2
2
1
1
Rta: 049)Expliquen brevemente cómo se realiza el producto entre dos números racionales positivos. Den ejemplos 50)¿Es válida la regla de los signos en el producto entre números racionales? Den ejemplos de cada caso 51)Teniendo en cuenta lo anterior, calculen los siguientes productos. Expresen los resultados como fracciones
irreducibles. a)
=
5
1
.
3
2
b)=
5
10
.
4
1
c)
=
−
5
6
.
2
1
d)
=
−
5
12
.
3
7
e)
=
−
−
8
2
.
2
5
f)
=
−
−
14
4
.
3
7
g)
=
−
−
4
14
.
7
3
h)
=
−
50
40
.
30
70
52)Los números racionales de denominador 1, ¿con qué otro nombre son más comúnmente conocidos? 53)Teniendo en cuenta lo visto hasta aquí, calculen:
a)
=
5
2
.
7
b).
4
=
7
1
c)( )
−
=
5
2
.
7
d)
=
−
5
4
.
4
e)( )
=
−
−
5
4
5
f).
( )
−
3
=
4
7
g)
=
−
5
4
.
20
h)
(
−
)
=
−
.
15
5
4
.
i)(
)
=
−
−
7
4
.
49
j).
(
−
44
)
=
4
3
k)
=
−
2
1
.
2
l)
=
−
50
40
.
70
m)
=
−
20
1
.
20
n)( )
=
−
−
4
1
.
2
54)Con lo visto hasta aquí traten de determinar si la siguiente afirmación es correcta o no. En caso de que sea verdadera den un ejemplo; en caso de que sea falsa den un contraejemplo (ejemplo que niega lo dicho)
b
a
b
a
b
a
−
=
−
=
6
55)Expliquen brevemente cómo se realiza la división entre dos números racionales. Den ejemplos56)La división entre racionales, ¿cumple con la propiedad conmutativa? Den ejemplos 57)Teniendo en cuenta lo visto hasta acá, calculen:
a)
=
4
2
:
4
1
b)
=
−
4
2
:
4
1
c)
=
−
4
2
:
4
1
d)=
12
2
:
4
3
e)=
16
15
:
4
5
f)
=
−
−
20
8
:
5
4
g)
=
−
21
49
:
3
7
h)
=
−
49
21
:
3
7
i)
=
−
21
49
:
30
70
j):
7
=
5
2
k)=
5
2
:
7
l):
4
=
7
1
m)=
7
1
:
4
n)( )
−
=
5
2
:
7
o):
( )
−
7
=
5
2
p)
=
−
5
4
:
4
q)
=
−
:
4
5
4
r)
=
−
:
5
5
4
s)
( )
−
=
−
:
5
5
4
t)( )
=
−
−
5
4
:
5
58)¿Cuál operación tiene prioridad entre la suma y la división? ¿Y entre la resta y la división? Den ejemplos. ¿Es posible cambiar esta prioridad?, ¿cómo? Den ejemplos
59)¿Cómo se establece qué operación se hace primero entre el producto y la división? Den ejemplos. Prueben producto-división y división producto y vean qué pasa. ¿Es posible cambiar esta prioridad?, ¿cómo? Den ejemplos
60)Calculen respetando las prioridades indicadas y comparen los resultados entre los dos casos
a)
+
=
2
1
16
10
:
4
5
y
=
+
2
1
16
10
:
4
5
b)+
=
2
1
:
4
3
1
y
=
+
2
1
:
4
3
1
c)−
=
2
1
:
4
3
1
y
=
−
2
1
:
4
3
1
d)−
+
=
2
1
:
4
4
2
y
=
−
+
2
1
:
4
4
2
61)Apliquen la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y calculen luego la operación resultante. Verifiquen el resultado resolviendo primero la operación indicada dentro de los paréntesis y luego el
producto. a)
=
+
10
3
5
2
5
b)
=
+
−
10
3
5
2
5
c)
=
+
10
3
2
5
2
d)
=
+
−
10
3
5
2
1
e) = + 10 3 5 3 3 2 f) = + − 3 10 6 1 4 3 g)
=
−
10
3
5
2
5
h)
=
−
−
10
3
5
2
5
i)
=
−
+
10
3
2
5
2
j)
=
−
+
−
10
3
5
2
1
k) = − 10 3 5 3 3 2 l) = − − 3 10 6 1 5 127
62) ¿Qué número es mayor,0
,
9
)
o 1? Justifiquen su respuesta.63) Hagan los pasajes de expresiones decimales a fraccionarias
a)
