Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Parciales 1er Semestre de 2010
1. Resolver el problema de Sturm-Liouville:
y′′
= λ y y(0) + y(1) = 0
y′
(0) = 0
Respuesta: λn = −(2n−1)2π2 ; yn = cos[(2n−1)πx], n = 1,2,3, . . .
2. Resolver la ecuación
∂u ∂t =
∂2u ∂x2 −u
sujeta a la condición inicial u(x,0) = 1, con 0≤x≤π y las condiciones de borde:
ux(0, t) =u(π, t) = 0 t≥0.
Respuesta: U(x, t) = π4P∞ n=0 (
−1)n
2n+1 cos 12+n
x
e−
1+(1 2+n)
2
t
3. Use el cambio de variable u(x, t) =w(x, t) +P(x) para resolver la e.d.p
ut= 3uxx+ 3, 0< x < π, t >0
u(0, t) =u(π, t) = 1
u(x,0) = 1
Respuesta:
u(x, t) =−x 2 2 +
π
2x+ 1 + ∞
X
n=1 2
n3π[(−1) n
−1]e−3n2t
sen(nx)
Sujeta a las condiciones de borde:
u(0, y) = 0 u(1, y) = 1−y uy(x,0) = 0 uy(x,1) = 0
Respuesta: u(x, y) = x 2 + 4 π2 ∞ X n=1 2
(2n−1)2senh[(2n−1)π]cos[(2n−1)πy] senh[(2n−1)πx]
5. Resolver la ecuación
∂2u ∂x2 +
∂2u ∂t2 = 0
donde 0< x < L y t >0. Sujeto a las condiciones de borde:
u(0, t) = 0 ∀t u(L, t) = 0 ∀t
l´ım
t→∞u(x, t) = 0
u(x,0) =x(L−x)
Respuesta: u(x, y) = ∞
X
n=1
Ane−nπt/Lsen
nπx
L
; An= 2
L Z L
0
x(L−x) sennπx
L
dx
6. Resolver el problema:
utt+ut+u = 9uxx 0< x <6, t >0
u(0, t) =u(6, t) = 0
u(x,0) =−24
π sen πx 6 +12 π sen πx 3
ut(x,0) =x
Respuesta:
u(x, t) = e−1
2t "
24
π cos
√ 3 +π2
2 t
!
senπx 6
+12
π cos
√
3 + 4π2
2 t
!
senπx 3 # + ∞ X n=3 e−1
2t 24(−1)
n+1
nπ√3 +n2π2sen √
3 +n2π2
2 t
!
sennπx 6
7. Resuelva la ecuación:
utt = uxx + 2ux
donde 0< x < π y t >0. Sujeta a las condiciones:
u(0, t) = u(π , t) = 0 ∀t > 0
u(x ,0) = e−x
sen(2x)
ut(x ,0) = 2 e−x
sen(3x)
Respuesta: u(x , t) = e−x
cos(√5t) sen(2x) + √2 10e
−x
sen(√10t) sen(3x)
8. Considere la e.d.p
ut(x, t) =uxx(x, t)
ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 2
u(x,0) =x2+ 1
Pruebe que el cambio de variable u(x, t) =ax2+bt+w(x, t) transforma está ecuación en
wt(x, t) =wxx(x, t)
wx(0, t) =wx(1, t) = 0
w(x,0) = 1
Usando separación de variables, encuentre las soluciones w(x, t) y u(x, t).
Respuesta: w(x, t) = 1 ; u(x, t) =x2 + 2t + 1
9. Resolver:
utt = uxx + 2ux ; 0< x < π ; t >0
u(0, t) = u(π , t) = 0
u(x ,0) = e−x
sen(2x)
Respuesta: u(x , t) = cos(√5t) e−x
sen(2x) + √2 10sen(
√
10t) e−x
sen(3x)
10. Resolver la ecuación
uxx + uyy = 0 , 0< x <1 , y >0
que satisfaga:
ux(0, y) = 0 , ux(1, y) = 0
u(x,0) = sen2(2x) + cos3(3x)
Además u(x, y) permanezca acotado cuando y→ ∞
Respuesta: u(x , y) = 1 2 +
3 4e
−3πy
cos(3x)− 1 2e
−4πy
cos(4x) + 1 4e
−9πy
11. Resolver los siguientes problemas de Sturm-Liouville regulares:
a)
X′′
+λX = 0 , 0< x <1
X(0) =X′
(1) = 0
b)
X′′
+λX = 0 , 0< x <1
X(0) +X′
(0) =X(1) = 0
c)
(1 +x)2X′′
+ 2(1 +x)X′
+ 3λX = 0 , 0< x <1
X(0) =X(1) = 0
d)
X′′ +X′
+ (1 +λ)X= 0 , 0< x <1
X(0) =X(1) = 0
12. Resolver la ecuación de calor unidimensional
∂2u ∂x2 =
1 6
∂u
∂t 0< x <6, t >0
que satisface las condiciones de frontera:
ux(0, t) = ux(6, t) = 0
u(x,0) = 6−x
13. Resuelva la ecuación de Laplace
∂2u ∂x2 +
∂2u ∂y2 = 0
u(0, y) = u(π, y)
ux(0, y) = ux(π, y)
u(x,0) = 0
uy(x,4) = cos(6x)
14. Resolver
utt =uxx 0< x < π , t >0
Sujeta a las condiciones:
ux(0, t) = 0 t≥0
ux(π , t) = 0 t≥0
u(x,0) = cos(2x) x∈ [ 0, π]
ut(x,0) = cos(x) x∈ [ 0, π]
15. Resolver
uxx =ut+ 6x+ 4 0< x <1, t >0
Sujeta a las condiciones:
ux(0, t) = 0
ux(1, t) = 0
u(x,0) = 2x2+x3+ 1
16. Resolver la ecuación
∂u ∂t =
∂2u ∂2x−u
sujeta a la condición inicialu(x,0) = 1, con 0≤x≤π y las condiciones de borde:
17. Resolver la ecuación de Laplace
uxx+uyy = 0
en el rectángulo 0< x < π; 0< y <1, si se cumple
ux(0, y) = ux(π , y) = 0 0≤y≤1
u(x,0) = cos(x)−cos(3x) 0≤x≤π
u(x,1) = cos(2x) 0≤x≤π
18. Encontrar la temperatura de estado estacionario de una placa, que tiene la forma de un cuadrante de un disco de radio 1 , si la temperatura de los lados se mantiene a cero grado y la temperatura en el arco de la circunferencia es
u(1, θ) = sen(2θ), 0≤θ≤ π
2
19. Resolver la ecuación de Laplace en el complemento del disco unitario x2+y2<1, si se cumple:
u(r,0) = u(r,2π)
uθ(r,0) = uθ(r,2π)
ur(1, θ) = cos4(θ)− 3 8
20. Considerar la región R1 ≤x2+y2 ≤R2, R1 >0. Si la temperatura en el circulo x2+y2 = R1
es 0 grados, y la temperatura en el circulo x2+y2 = R2 es 100 grados.
¿En que puntos del anillo la temperatura es de 50 grados?
21. Un disco anular homogéneo, delgado, que tiene las dimensiones que se muestran en la figura, está aislado en forma tal que no fluye calor a través de sus caras. Encontrar la temperatura de estado estable en todo el disco, si en el límite interior se mantiene a 0◦
, mientras que la temperatura en el límite exterior está dada por
g(θ) = sen 6θ.
22. Resolver:
ut(x, t) = 2uxx(x, t) ; 0< x < π ; t >0
u(0, t) = 5 , u(π, t) = 10 ; t >0
u(x,0) = sen(3x)−sen(5x)
