Cinemática y Dinámica

(1)

Academia Universitaria Guillermo Soler

- Ingeniería e Idiomas -

Cinemática

y Dinámica

(2)

8 609.478.523 609.478.523 1 1. Movimiento Rectilíneo.

Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

Movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

3. Método de Superposición (traslación más rotación).

a=dv dt =d²x

dt² = vdv dx v= dx

dt

x= x₀+ vt v= v₀+ at x= x₀+ v₀t+1

2at² v²= v₀²+ 2a(x − x₀)

O P

x

a= a_t+ a_n ⇒ a_t =α × r ⇒ a_t =αr a_n =ω²r

⎧⎨

⎪

⎩⎪

v =ω × r

ω = dθ

dt α = d²θ

dt² = dω

dt =ω dω dθ

x y

at

an

ω α x

y

ω

r v

v_B= v_A+ v_B/A a_B = a_A+ a_B/A VA

VB

A ω

VA

VB

VB/A

AB

Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

Cinemática Momentos de inercia de masas.

Barra Ligera

Cilindro rectangular

Disco delgado

Esfera

Prisma rectangular

Cono circular

Placa rectangular

delgada

x y

z

x y

z

x y

z L

x y

z L

x y

a z

b c

x y

z h

x y

z c

b

I_y = I_z = 1 12mL²

I_x = 1 2mr² I_y = I_z = 1

12m(3r²+ L²)

I_x = 1 2mr² I_y = I_z = 1

4mr²

I_x = I_y = I_z = 2 5mr²

I_x = 1

12m(b²+ c²) I_y = 1

12m(c²+ a²) I_z = 1

12m(a²+ b²)

I_x = 3 10mr² I_y = I_z = 3

5m 1

4r²+ h²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

I_x = 1

12m(b²+ c²) I_y = 1

12mc² I_z = 1

12mb²

Academia Universitaria Guillermo Soler

- Ingeniería e Idiomas -

(3)

2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7 z’

r=rer

4. Centros Instantáneos de Rotación.

5. Movimiento Relativo.

Vabs= velocidad absoluta.

Varr = velocidad arrastre.

Vrel = velocidad relativa.

6. Coordenadas Polares.

ω = v_A AC

ω = v_B BC VA

VA

VB

A

B

C C

B

v = (!r) e_r + (r !θ) e_θ = (v_r) e_r + (rω) e_θ = (v_r) e_r + (v_θ) e_θ

a= (!!r− r !θ²) e_r + (r !!θ + 2!r !θ) e_θ = (a_t − rω²) e_r + (rα + 2v_rω) e_θ

P

er

eθ

O θ

v_abs = v_arr + v_rel

a_abs = a_arr + a_rel + a_cor ⇒

a_arr = (a_arr)_n+ (a_arr)_t a_rel = (a_rel)_n+ (a_rel)_t a_cor = 2ω_arr × v_rel

⎧

⎨⎪

⎩⎪ P

r_{abs(P )}= r_{arr (A)}+ r_{rel(P /A)}

O A

rP

rA

rP/A

y

z x

x’

y’

z’

Apéndice

1. Trigonometría. - Razones Trigonométricas

- Teorema del Seno:

- Teorema del Coseno:

2. Álgebra Vectorial. - Vector Unitario:

- Producto Vectorial:

- Producto Escalar: λ_OE = OE! "!!

OE = cosθ_x!i

+ cosθ_y!j

+ cosθ_zk!

V = P × Q =

i j k

P_x P_y P_z Q_x Q_y Q_z

P iQ = PQcosθ

i× i = 0 j× i = −k k × i = j i× j = k j× j = 0 k × j = −i i× k = − j j× k = i k× k = 0

i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1 i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0 Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ P_OE = P i λ_OE sinα = a

c cosα =b

c

tanα = a b

c a

b α

a

sinα = b

sinβ = c sinγ

c

a α b

β γ

c²= a²+ b²− 2abcosγ

c

a

b γ

Academia Universitaria G uillermo Soler

(4)

6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3

Cinética Vibraciones

1. Segunda ley de Newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

definiendo fuerza como La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

Fuerza de rozamiento:

Equilibrio dinámico se define como:

2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

Intrínsecas.

Polares.

Cartesianas

3. Cantidad de movimiento.

La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

Cantidad de movimiento angular:

4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

∑

F ^{= ma}

F_r =µma

F = ma = mdv dt F = !mv= dm

dt v F− ma = 0

∑

F_t = mdv

∑

dt

∑

^Fⁿ^{= m}^v_r²

F_θ = ma_θ

∑

F_r= ma_r

∑

(F_x! i + F_y!

j+ F_z!

k)= m(a_x! i+ a_y!

j+ a_z!

∑ k)

∑Ft

∑Fn

∑Fr

∑Fθ

θ r

F = ma = mdv dt = d

dt(mv)

∑

⇒ L = mv ⇒ F = !L

∑

H_o= r × mv

H0

r

mv

M_G+ [r × (−ma)] + (−Iα) = 0

∑

F1 F2

F3

ma

Iα G

1. Vibración Libre.

2. Vibración Forzada.

3. Vibración amortiguadas.

4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

md²x dt² + cdx

dt + kx = P_msinω_ft

x_part = x_msin(ω_ft−ϕ) Frecuencia Circular Forzada=ω_f

Desplazamiento=δ = kδ_msinω_ft Factor de Amplificación= x_m

P_m/ k = x_m

δ_m = 1

1− (ω_f /ω_n)² Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + kx = P_msinω_ft⎯En función del desplazameinto⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m→ d²x

dt² + kx = kδ_msinω_ft

Periodo=τ_n=2π ω_n Frecuencia= f = 1

τ_n Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + kx = 0 ⎯frecuencia Natural⎯⎯⎯⎯⎯ ω^{Siendo la} → _n= k

m ⎯^{Nos da}⎯⎯ → d²x

dt² +ω_n²x= 0 Desplazamiento⇒ x = x_msin(ω_nt+φ) ⇒ φ = ángulo de desfase

x_m= amplitud

⎧⎨

⎩⎪

Velocidad ⇒ v_m= x_mω_n Aceleración ⇒ a_m= x_mω_n² x

-xm

xm Equilibrio 0

Coeficiente de amortiguamiento= c Sobreamortiguamiento ⇒ c > c_c Amortiguamiento crítico ⇒ c = c_c Subamortiguamiento ⇒ c < c_c

Coef. amortiguamiento crítico ⇒ c_c = 2m k / m = 2mω_n Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + cdx

dt + kx = 0

k c

(5)

4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5 5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

También se puede expresar como promedio.

6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

7.Impactos.

La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

8.Impactos centrales.

- Central directo:

- Central oblicuo:

F dt

∑

^{= mv}²^{− mv}¹

t₁ t₂

∫

(t₁− t₂)

∑

F_media = mv₂− mv₁

v = m_Av_A+ m_Bv_B m_A+ m_B

mv_A+ mv_B = cte.

A

B FAB

FBA

m_Av_A+ m_Bv_B = m_Av_A^' + m_Bv_B^' e=v_B^' − v_A^'

v_A− v_B

e=(v_B^' )_x− (v_A^' )_x (v_A)_x− (v_B)_x

m_A(v_A)_x+ m_B(v_B)_x = m_A(v_A^' )_x+ m_B(v_B^')_x

VA VB V’A V’B

A B

Impacto

*(y,z no varían con

el impacto) V^A

V’^B V’_A

V_B

9. Trabajo y potencia. - Trabajo de una Fuerza:

- Trabajo de un momento par: - Potencia:

- Potencia de un par: - Rendimiento / Eficiencia:

10. Energía cinética. - Energía cinética de una partícula:

- Energía cinética en movimiento plano:

11. Energía potencial. - Energía potencial de una partícula:

- Energía potencial de un muelle:

12. Conservación de la Energía.

Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

E_C1+ E_P1= E_{C 2}+ E_p2

dU= F ds ⇒ U = F ds

s₀ s₁

∫

U = M dθ

θ0

θ1

∫

Pot.= P = dU

dt = F·dr

dt = Fv P= E / t P =Mdθ

dt = Mω η= Salida

Entrada

E_Pm= V = 1

2k(x− x_o)² E_P = V = mg(h_f − h_o) h0

hf

x0

x

E_C = T = 1 2mv²

E_C = T = 1

2mv²+1 2Iω² ω

v

(6)

4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5 5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

También se puede expresar como promedio.

6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

7.Impactos.

La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

8.Impactos centrales.

- Central directo:

- Central oblicuo:

F dt

∑

^{= mv}²^{− mv}¹

t₁ t₂

∫

(t₁− t₂)

∑

F_media= mv₂− mv₁

v= m_Av_A+ m_Bv_B m_A+ m_B

mv_A+ mv_B = cte.

A

B FAB

FBA

m_Av_A+ m_Bv_B = m_Av_A^' + m_Bv_B^' e=v_B^' − v_A^'

v_A− v_B

e= (v_B^')_x− (v_A^' )_x (v_A)_x− (v_B)_x

m_A(v_A)_x+ m_B(v_B)_x = m_A(v_A^' )_x+ m_B(v_B^' )_x

VA VB V’A V’B

A B

Impacto

*(y,z no varían con

el impacto) V^A

V’^B V’_A

V_B

9. Trabajo y potencia.

- Trabajo de una Fuerza:

- Trabajo de un momento par:

- Potencia:

- Potencia de un par:

- Rendimiento / Eficiencia:

10. Energía cinética.

- Energía cinética de una partícula:

- Energía cinética en movimiento plano:

11. Energía potencial.

- Energía potencial de una partícula:

- Energía potencial de un muelle:

12. Conservación de la Energía.

Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

E_C1+ E_P1= E_{C 2}+ E_p2

dU= F ds ⇒ U = F ds

s₀ s₁

∫

U= M dθ

θ0

θ1

∫

Pot.= P = dU

dt = F·dr

dt = Fv P= E / t P =Mdθ

dt = Mω η = Salida

Entrada

E_Pm= V = 1

2k(x− x_o)² E_P = V = mg(h_f − h_o) h0

hf

x0

x

E_C= T = 1 2mv²

E_C = T = 1

2mv²+1 2Iω² ω

v

(7)

6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3

Cinética Vibraciones

1. Segunda ley de Newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

definiendo fuerza como La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

Fuerza de rozamiento:

Equilibrio dinámico se define como:

2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

Intrínsecas.

Polares.

Cartesianas

3. Cantidad de movimiento.

La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

Cantidad de movimiento angular:

4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

∑

F ^{= ma}

F_r =µma

F= ma = mdv dt F= !mv=dm

dt v F− ma = 0

∑

F_t = mdv

∑

dt

∑

^Fⁿ^{= m}^v_r²

F_θ = ma_θ

∑

F_r= ma_r

∑

(F_x! i + F_y!

j+ F_z!

k)= m(a_x! i + a_y!

j+ a_z!

∑ k)

∑Ft

∑Fn

∑Fr

∑Fθ

θ r

F = ma = mdv dt = d

dt(mv)

∑

⇒ L = mv ⇒ F = !L

∑

H_o = r × mv

H0

r

mv

M_G+ [r × (−ma)] + (−Iα) = 0

∑

F1 F2

F3

ma

Iα G

1. Vibración Libre.

2. Vibración Forzada.

3. Vibración amortiguadas.

4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

md²x dt² + cdx

dt + kx = P_msinω_ft

x_part = x_msin(ω_ft−ϕ) Frecuencia Circular Forzada=ω_f

Desplazamiento=δ = kδ_msinω_ft Factor de Amplificación= x_m

P_m/ k = x_m

δ_m = 1

1− (ω_f /ω_n)² Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + kx = P_msinω_ft⎯En función del desplazameinto⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m→ d²x

dt² + kx = kδ_msinω_ft

Periodo=τ_n=2π ω_n Frecuencia= f = 1

τ_n Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + kx = 0 ⎯frecuencia Natural⎯⎯⎯⎯⎯ ω^{Siendo la} → _n= k

m ⎯^{Nos da}⎯⎯ → d²x

dt² +ω_n²x= 0 Desplazamiento⇒ x = x_msin(ω_nt+φ) ⇒ φ = ángulo de desfase

x_m= amplitud

⎧⎨

⎩⎪

Velocidad ⇒ v_m= x_mω_n Aceleración ⇒ a_m= x_mω_n² x

-xm

xm Equilibrio 0

Coeficiente de amortiguamiento= c Sobreamortiguamiento ⇒ c > c_c Amortiguamiento crítico ⇒ c = c_c Subamortiguamiento ⇒ c < c_c

Coef. amortiguamiento crítico ⇒ c_c = 2m k / m = 2mω_n Ec. Diferencial⇒ md²x

dt² + cdx

dt + kx = 0

k c

(8)

r=rer

4. Centros Instantáneos de Rotación.

5. Movimiento Relativo.

Vabs= velocidad absoluta.

Varr = velocidad arrastre.

Vrel = velocidad relativa.

6. Coordenadas Polares.

ω = v_A AC

ω = v_B BC VA

VA

VB

A

B

C C

B

v= (!r) e_r + (r !θ) ^e_θ = (v_r) e_r + (rω) ^e_θ = (v_r) e_r + (v_θ) e_θ

a= (!!r− r !θ²) e_r + (r !!θ + 2!r !θ) ^e_θ = (a_t − rω²) e_r + (rα + 2v_rω) ^e_θ P

er

eθ

O θ

v_abs = v_arr + v_rel

a_abs = a_arr + a_rel + a_cor ⇒

a_arr = (a_arr)_n+ (a_arr)_t a_rel = (a_rel)_n+ (a_rel)_t a_cor = 2ω_arr × v_rel

⎧

⎨⎪

⎩⎪ P

r_{abs(P )}= r_{arr (A)}+ r_{rel(P /A)}

O A

rP

rA

rP/A

y

z x

x’

y’

z’

Apéndice

1. Trigonometría.

- Razones Trigonométricas

- Teorema del Seno:

- Teorema del Coseno:

2. Álgebra Vectorial.

- Vector Unitario:

- Producto Vectorial:

- Producto Escalar:

λ_OE = OE! "!!

OE = cosθ_x!i

+ cosθ_y!j

+ cosθ_zk!

V = P × Q =

i j k

P_x P_y P_z Q_x Q_y Q_z

P iQ = PQcosθ

i× i = 0 j× i = −k k × i = j i× j = k j× j = 0 k × j = −i i× k = − j j× k = i k× k = 0

i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1 i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0 Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ P_OE = P i λ_OE sinα =a

c cosα = b

c

tanα =a b

c a

b α

a

sinα = b

sinβ = c sinγ

c

a α b

β γ

c² = a²+ b²− 2abcosγ

c

a

b γ

(9)

8 609.478.523 609.478.523 1 1. Movimiento Rectilíneo.

Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

3. Método de Superposición (traslación más rotación).

a=dv dt =d²x

dt² = vdv dx v= dx

dt

x= x₀+ vt

v= v₀+ at x= x₀+ v₀t+1

2at² v²= v₀²+ 2a(x − x₀)

O P

x

a= a_t+ a_n ⇒ a_t =α× r ⇒ a_t =αr a_n=ω²^r

⎧⎨

⎪

⎩⎪ v =ω× r

ω =dθ

dt α =d²θ

dt² =dω

dt =ω^dω dθ

x y

at

an

ω α x

y

ω

r v

v_B= v_A+ v_B/A a_B= a_A+ a_B/A VA

VB

A ω

VA

VB

VB/A

AB

Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

Cinemática Momentos de inercia de masas.

Barra Ligera

Cilindro rectangular

Disco delgado

Esfera

Prisma rectangular

Cono circular

Placa rectangular

delgada

x y

z

x y

z

x y

z L

x y

z L

x y

a z

b c

x y

z h

x y

z c

b

I_y = I_z = 1 12mL²

I_x = 1 2mr² I_y = I_z = 1

12m(3r²+ L²)

I_x = 1 2mr² I_y = I_z = 1

4mr²

I_x = I_y = I_z = 2 5mr²

I_x = 1

12m(b²+ c²) I_y = 1

12m(c²+ a²) I_z = 1

12m(a²+ b²)

I_x = 3 10mr² I_y = I_z = 3

5m 1

4r²+ h²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

I_x = 1

12m(b²+ c²) I_y = 1

12mc² I_z = 1

12mb²

(10)