ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

(1)

ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

V´ıctor Manuel S´ anchez de los Reyes

Departamento de An´ alisis Matem´ atico

Universidad Complutense de Madrid

(2)

(3)

´ Indice

1. Introducci´on 7

1.1. Conceptos b´asicos . . . 7

1.2. Algunos modelos matem´aticos . . . 9

1.2.1. Desintegraci´on radiactiva . . . 9

1.2.2. Movimiento pendular . . . 10

1.2.3. La catenaria . . . 11

1.2.4. Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire . . . 11

1.2.5. La curva braquist´ocrona . . . 12

1.2.6. Oscilaciones en resortes . . . 13

1.2.7. Din´amica de poblaciones . . . 14

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 15 2.1. Ecuaciones de variables separadas . . . 15

2.2. Ecuaciones homog´eneas . . . 16

2.3. Ecuaciones exactas . . . 18

2.4. Ecuaciones lineales . . . 20

2.5. Algunas ecuaciones especiales . . . 21

2.5.1. La ecuaci´on de Bernoulli . . . 21

2.5.2. La ecuaci´on de Ricatti . . . 22

2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y⁰ . . . 22

(4)

2.5.4. Ecuaciones de la forma f (y, y⁰) = 0. . . 22

2.5.5. Ecuaciones de la forma f (x, y⁰) = 0. . . 23

2.5.6. La ecuaci´on de Lagrange . . . 23

2.5.7. La ecuaci´on de Clairaut . . . 23

3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25 3.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . 25

3.1.1. La ecuaci´on homog´enea . . . 26

3.1.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . 28

3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . 29

3.2.1. La ecuaci´on homog´enea . . . 29

3.2.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . 31

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33 4.1. Introducci´on . . . 33

4.2. Estructura del conjunto de soluciones . . . 35

4.2.1. El sistema homog´eneo . . . 35

4.2.2. El sistema no homog´eneo . . . 37

4.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . 39

4.3.1. El sistema homog´eneo . . . 39

4.3.2. El sistema no homog´eneo . . . 40

5. Transformada de Laplace y m´etodo de series de potencias 43 5.1. Transformada de Laplace . . . 43

5.1.1. Definici´on y propiedades . . . 43

5.1.2. La funci´on de Heaviside y la delta de Dirac . . . 44

5.1.3. Traslaci´on y periodicidad . . . 45

5.1.4. Transformadas de derivadas e integrales . . . 46

(5)

5.1.5. La convoluci´on . . . 46

5.1.6. La transformada inversa . . . 47

5.1.7. Aplicaciones . . . 48

5.2. M´etodo de series de potencias . . . 50

5.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios . . . 50

5.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares . . . 52

6. Teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferenciales 55 6.1. Conceptos . . . 55

6.2. Sistemas lineales planos . . . 56

7. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales 59 7.1. Método de Euler . . . 59

7.2. M´etodo de Runge-Kutta . . . 60

Ap´endice. Teoremas de existencia y unicidad 61

Bibliograf´ıa 63

(6)

(7)

Tema 1

Introducci´ on

1.1. Conceptos b´ asicos

Definición 1.1.1. Una ecuación diferencial ordinaria (en adelante, ecuación diferencial) es la que establece una relación entre una variable independiente x, la función buscada f (x) y una o varias derivadas de esta función f⁰(x), f⁰⁰(x), . . . , fⁿ⁾(x), lo que equivale, con y = f (x), a una expresión de la forma

F (x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , yⁿ⁾) = 0.

Definición 1.1.2. Se denomina orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la expresión.

Definición 1.1.3. Una ecuación diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno respecto a la función y y todas sus derivadas, pudiéndose entonces expresar de la forma

yⁿ⁾+ a₁(x)yⁿ⁻¹⁾+ · · · + a_n−1(x)y⁰+ a_n(x)y = g(x).

Cuando las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, son constantes se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes. Si g(x) ≡ 0 la ecuación se denomina homogénea. En caso contrario se llama no homogénea o completa.

Definición 1.1.4. Una solución de una ecuación diferencial es una función que sustitui- da en la ecuación la convierte en una identidad. Si una solución es una función expl´ıcita (impl´ıcita), se dice que es una solución expl´ıcita (impl´ıcita).

Definición 1.1.5. La solución general de la ecuación diferencial de orden n dada por F (x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , yⁿ⁾) = 0 es una función ϕ(x, C1, C2, . . . , Cn) que depende de n constantes C1, C2, . . . , Cn de modo que la función ϕ satisface la ecuación para todos los valores de

(8)

las constantes, y si hay condiciones iniciales











y(x₀) = y₀ y⁰(x₀) = y₀¹ ...

yⁿ⁻¹⁾(x₀) = yⁿ⁻¹₀

se pueden elegir las constantes para que la funci´on ϕ las satisfaga.

Una relación φ(x, y, C₁, C₂, . . . , C_n) = 0 que define la solución general impl´ıcitamente se denomina integral general de la ecuación diferencial.

Definición 1.1.6. Una solución particular de una ecuación diferencial es la que se obtiene de la solución general para valores concretos de las constantes. Una curva integral es la gráfica de una solución particular.

Definición 1.1.7. Una solución singular de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación y que, sin embargo, no se obtiene de la solución general para ningún valor de las constantes.

Definición 1.1.8. Resolver o integrar una ecuación diferencial supone calcular la so- lución general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando éstas existen, hallar la solución particular que las satisfaga.

Sea F (x, y, y⁰) = 0 una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma y⁰ = f (x, y). Esta función f asocia a cada punto de su dominio el valor de la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto. Por lo tanto, la ecuación diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto de segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y⁰. Resolver una ecuación diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo de direcciones en ese punto. Para facilitar este cálculo se introducen las isoclinas:

Definición 1.1.9. Se denomina isoclina al lugar geométrico de los puntos del plano en los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuación diferencial tienen la misma dirección.

La familia de isoclinas de la ecuación diferencial y⁰ = f (x, y) está determinada por la ecuación f (x, y) = k, siendo k un parámetro. Dibujando la familia de isoclinas para valores de k próximos entre s´ı, es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales de la ecuación diferencial. La isoclina f (x, y) = 0 informa de la posible situación de los máximos y m´ınimos locales de las curvas integrales. Los puntos de inflexión, si existen, estarán situados en la curva definida por

∂f

∂x + ∂f

∂yf (x, y) = 0.

(9)

Ejercicios

1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) y = 2 +√

x²+ 1 de la ecuaci´on diferencial −(x²+ 1)y⁰ + xy = 2x.

b) y = x√

1 − x² de la ecuaci´on diferencial yy⁰ = x − 2x³. c) y = e^{arc sen x} de la ecuaci´on diferencial xy⁰ = y tag log y.

d ) x = t log t

y = t²(2 log t + 1) de la ecuaci´on diferencial y⁰log ^y₄⁰ = 4x.

e) x = log t + sen t

y = t(1 + sen t) + cos t de la ecuaci´on diferencial x = log y⁰+ sen y⁰.

2. Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) y = log(e^x+ C) de la ecuaci´on diferencial y⁰ = e^x−y. b) y =√

x²− Cx de la ecuaci´on diferencial (x²+ y²) dx − 2xy dy = 0.

c) (x + C)² + y² = 4 de la ecuaci´on diferencial y²((y⁰)²+ 1) = 4. Obt´en en este caso dos soluciones singulares.

3. Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) e^−y − Cx = 1 de la ecuaci´on diferencial xy⁰ + 1 = e^y. b) y²+ 2Cx = C² de la ecuaci´on diferencial y(y⁰)²+ 2xy⁰ = y.

c) x = yRx

0 sen t² dt de la ecuaci´on diferencial y = xy⁰ + y²sen x². 4. Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y⁰ = x + 1.

b) y⁰ = ^y−x_y+x. c) y⁰ = x + y.

d ) y⁰ = y − x.

1.2. Algunos modelos matem´ aticos

1.2.1. Desintegraci´ on radiactiva

Una reacción qu´ımica se denomina reacción de primer orden si en ella una molécula se descompone en otras espontáneamente, y el número de moléculas que se descomponen

(10)

en una unidad de tiempo es proporcional al número de moléculas existentes. Por ejemplo, la desintegración radiactiva.

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en función del tiempo por la función m = m(t), la velocidad de descomposición viene dada por m⁰. Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuación diferencial de primer orden

m⁰ = −km siendo k > 0 el coeficiente de proporcionalidad.

La soluci´on general viene dada por

m(t) = Ce^−kt.

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor m₀, de lo que resulta que

m(t) = m₀e^−kt.

1.2.2. Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se mueve por la acción de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que está en un plano vertical. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la ecuación del movimiento en función del tiempo.

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen está en el punto inferior de la circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto. Sea L la longitud del radio de la circunferencia, t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto P , de forma que si P está a la derecha del origen, es s > 0 y si está a la izquierda, es s < 0. Se pretende determinar la función s = s(t). La fuerza de la gravedad F = mg se descompone en las componentes normal F_n y tangencial F_t, siendo ésta última la que produce el movimiento. Se tiene que F_t = −mg sen α, siendo α el ángulo que forma la dirección de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad. As´ı, la función del movimiento verifica la ecuación diferencial

s⁰⁰ = −g sen s L.

Una soluci´on aproximada de dicha ecuaci´on diferencial viene dada por s = s₀senr g

Lt donde s0 es la longitud m´axima que describe el punto P .

(11)

1.2.3. La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homog´eneo suspendido entre sus dos extremos y que cuelga por su propio peso.

Sea M (0, b) el punto más bajo del hilo y P (x, y) un punto cualquiera. La sección M P del hilo está equilibrada por las siguientes fuerzas:

1. La tensión T₁ que actúa a lo largo de la tangente al punto P y forma un ángulo α con el eje de abcisas.

2. La tensi´on T₂ en el punto M que es paralela al eje de abcisas.

3. El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo m´odulo es sp, siendo s la longitud del arco M P y p el peso espec´ıfico del hilo.

Al descomponer T₁ en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:

T₁cos α = T₂ T1sen α = sp luego, dividiendo ambas igualdades entre s´ı, se tiene que

tag α = sp T₂.

Llamando a = ^T_p², derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que s⁰ =p(y⁰)²+ 1 se obtiene la ecuaci´on diferencial

y⁰⁰= 1 a

p(y⁰)²+ 1.

La soluci´on particular que pasa por M es y = a

2 e^x^a + e⁻^x^a + b − a = a coshx

a + b − a.

1.2.4. Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre el que actúa, además de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional a su velocidad de ca´ıda v = v(t), la cual se quiere calcular. La aceleración es v⁰, y k es el coeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire. Por tanto,

mv⁰ = mg − kv

(12)

que es una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes no homog´enea.

Se puede comprobar que la funci´on

v(t) = Ce⁻^m^k^t+ mg k

verifica la ecuaci´on para todo valor de la constante C. Para determinar la constante C se supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor v0, de lo que resulta que

v(t) =

v₀−mg k

e⁻^m^k^t+mg k .

Si la resistencia del aire no existe, es decir, k = 0, la soluci´on particular es v(t) = gt + v₀.

Si y = y(t) es la funci´on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, se tiene que y⁰ = v con lo que

y(t) = 1

2gt²+ v0t + y0

siendo y₀ la posici´on inicial. Si y₀ = v₀ = 0, se tiene que v² = 2gy.

1.2.5. La curva braquist´ ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se deja deslizar una bola esf´erica, supuestamente sin rozamiento. El problema consiste en determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B, sin otra fuerza que la gravedad, sea el m´ınimo.

Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav´es de dos segmentos AO y OB, con velocidades v₁ y v₂, respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamiento viene dado por

t =

√x²+ a² v1

+ p(c − x)²+ b² v2

donde A = (−x, a), O = (0, 0) y B = (c − x, −b). Para que el tiempo sea el m´ınimo debe suceder que _dx^dt = 0, con lo que

x v₁√

x²+ a² = c − x v₂p(c − x)²+ b² o bien

sen w₁

v₁ = sen w₂ v₂

(13)

siendo w₁ = arctag ^x_a y w₂ = arctag ^c−x_b . Si el n´umero de segmentos pasa a ser infinito, aumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debe verificar que ^{sen w}_v sea constante. Llamando α = ^π₂ − w se tiene que

sen w = cos α = 1 p(y⁰)²+ 1.

Como v² = 2gy, la curva braquist´ocrona debe satisfacer la ecuaci´on diferencial y((y⁰)² + 1) = C.

La soluci´on de dicha ecuaci´on viene dada por

x = r(θ − sen θ) y = r(1 − cos θ) siendo r = ^C₂ y tag ^θ₂ =q _y

C−y, que son las ecuaciones param´etricas de la cicloide, la curva que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, a lo largo del eje de abcisas.

1.2.6. Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dispositivo ejerce una fuerza de amortiguación, y además, existe una fuerza externa que actúa sobre el cuerpo. Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad del movimiento.

Sea y = y(t) la función que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en función del tiempo, k₁ > 0 la constante de rigidez del resorte, k₂ > 0 la constante de amortiguación del dispositivo y g(t) la fuerza externa. Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso del cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuación diferencial que describe el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas:

my⁰⁰= mg − k₁(y + L) − k₂y⁰ + g(t)

siendo L la elongaci´on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo que my⁰⁰+ k₂y⁰ + k₁y = g(t)

que es una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes no homog´enea.

(14)

1.2.7. Din´ amica de poblaciones

Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces y presas, con sus interacciones, obteni´endose el sistema:

_dx

dt = ax − bxy

dy

dt = −cy + f xy

donde las constantes a, b, c y f son positivas. Sin presas (x), las rapaces (y) disminuir´ıan en n´umero por falta de alimento. Y sin rapaces, las presas aumentar´ıan al no tener enemigos.

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene a − by

y dy = −c + f x

x dx

e integrando se tiene la soluci´on

y^ae^−by= kx^−ce^{f x}.

(15)

Tema 2

Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.1. Ecuaciones de variables separadas

Definición 2.1.1. Una ecuación diferencial de la forma g(y) y⁰ = f (x) se denomina ecuación diferencial de variables separadas ya que se puede expresar como g(y) dy = f (x) dx. Su solución general se obtiene integrando ambos términos:

Z

g(y) dy = Z

f (x) dx + C.

Una ecuaci´on diferencial de la forma f₁(x)g₂(y) dx = f₂(x)g₁(y) dy se reduce a una de variables separadas al pasar dividiendo a f2(x) y g2(y), aunque se pueden perder soluciones singulares que anulen a estas funciones.

Ejercicios

1. Resuelve la ecuaci´on diferencial de la desintegraci´on radiactiva.

2. Halla una soluci´on aproximada de la ecuaci´on diferencial del movimiento pendular.

3. Encuentra la expresi´on de la catenaria.

4. Halla la curva braquist´ocrona.

5. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 4yy⁰ + x = 0.

b) x dx + y dy = 0.

(16)

c) y⁰cos x = (sen x + x sec x) cotag y.

d ) y⁰√

x²+ 1 = xe^−y.

e) (xy²− y²+ x − 1) dx + (x²y + x²− 2xy − 2x + 2y + 2) dy = 0.

f ) y⁰ = (x − y)²+ 1.

6. Dados m, n, p ∈ N cualesquiera, integra la ecuaci´on diferencial y⁰+ 1 = (x + y)^m

(x + y)ⁿ+ (x + y)^p.

7. Resuelve la ecuaci´on diferencial (x²y²+ 1) dx + 2x² dy = 0 mediante la sustituci´on xy = z.

8. Integra la ecuaci´on diferencial (e^x + 1)yy⁰ = e^x y encuentra la soluci´on particular que pasa por (0, 0).

9. Halla la solución particular de la ecuación diferencial y⁰sen x = y log y que satisface la condición inicial y(^π₂) = e.

10. Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia.

11. Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

12. La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T₀ var´ıa de modo que el ritmo de variación de su temperatura es proporcional a la diferencia de tempe- raturas T − T₀ (ley del enfriamiento de Newton). Un cuerpo que inicialmente está a 120^◦C se pone en contacto con aire a 20^◦C. Al cabo de una hora, su temperatura es de 70^◦C. ¿Cuánto tiempo más tiene que transcurrir para que ésta baje a 40^◦C?

13. Inicialmente un cultivo tiene un número B₀ de bacterias. Al cabo de una hora se determina que el número de bacterias es ³₂B₀. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias B(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

2.2. Ecuaciones homog´ eneas

Definición 2.2.1. Una función f (x, y) es una función homogénea de grado n en las variables x e y si f (tx, ty) = tⁿf (x, y).

Definición 2.2.2. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y⁰ = f (x, y) se denomina ecuación diferencial homogénea si la función f es homogénea de grado 0.

(17)

Las ecuaciones homog´eneas se pueden expresar de la forma y⁰ = g ^y_x y al hacer el cambio de variable z = ^y_x la ecuaci´on se reduce a una de variables separadas.

Si la ecuación diferencial está expresada de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

Una ecuaci´on diferencial de la forma y⁰ = f

ax + by + c a⁰x + b⁰y + c⁰

en la que las rectas ax + by + c = 0 y a⁰x + b⁰y + c⁰ = 0 no son paralelas (y c 6= 0 o c⁰ 6= 0 pues de lo contrario la ecuación ya es homogénea) se puede transformar en una ecuación homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto de intersección de dichas rectas (x₀, y₀) mediante el cambio de variables

x = X + x₀ y = Y + y₀

Si las rectas son paralelas, el cambio de variable z = ax + by reduce la ecuaci´on a una de variables separadas.

Ejercicios

a) y⁰ = ^x²_xy^+y².

b) (3y − x)y⁰ = 3x − y − 4.

c) (2x − 4y + 5)y⁰ = x − 2y + 3.

d ) (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0.

e) 4y(x²+ 3y²) dx = x(x²− 6y²) dy.

f ) (x²+ y²) dx = x(x + y) dy.

g) y⁰ = (x + y)².

h) x²y⁰ = (2x − y + 1)². i ) (x − y)²y⁰ = (x − y + 1)².

2. Integra la ecuaci´on diferencial (1 − x²y²)y⁰ = 2xy³ mediante un cambio de variable del tipo y = z^α que la transforme en homog´enea.

3. Halla las curvas que posean la propiedad de que la distancia del origen de coordenadas a cualquier recta tangente sea igual al valor absoluto de la abscisa del punto de tangencia.

(18)

2.3. Ecuaciones exactas

Definición 2.3.1. Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta si existe una función F (x, y) de forma que

∂F

∂x(x, y) dx +∂F

∂y(x, y) dy = M (x, y) dx + N (x, y) dy.

La soluci´on general ser´a entonces de la forma F (x, y) = C.

Teorema 2.3.2. Si M, N son de clase C¹, la ecuaci´on M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solo si se verifica

∂M

∂y (x, y) = ∂N

∂x(x, y).

Demostración. Si la ecuación es exacta, entonces existe una función F (x, y) tal que

∂F

∂x(x, y) = M (x, y) y ∂F

∂y(x, y) = N (x, y).

Utilizando el Teorema de Schwartz se obtiene el resultado.

Rec´ıprocamente, la funci´on F (x, y) =

Z

M (x, y) dx + g(y) con g(y) = Z

N (x, y) − ∂

∂y Z

M (x, y) dx

dy

o bien la funci´on F (x, y) =

Z

N (x, y) dy + f (x) con f (x) = Z

M (x, y) − ∂

∂x Z

N (x, y) dy

dx cumple las condiciones para que la ecuaci´on sea exacta.

Definición 2.3.3. Se denomina factor integrante de una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 a toda función µ(x, y) tal que al multiplicar la ecuación por µ(x, y) se transforma en exacta.

Sean M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 una ecuaci´on diferencial no exacta y µ(x, y) su posible factor integrante. Para ello es necesario y suficiente que se verifique la igualdad

∂(µM )

∂y (x, y) = ∂(µN )

∂x (x, y) o, equivalentemente,

∂ log µ

∂y (x, y)M (x, y) − ∂ log µ

∂x (x, y)N (x, y) = ∂N

∂x(x, y) −∂M

∂y (x, y).

(19)

Por lo tanto, toda función µ(x, y) que verifique esta condición es un factor integrante de la ecuación inicial.

La obtención de un factor integrante para una ecuación diferencial puede ser muy complicada puesto que la condición anterior es una ecuación en derivadas parciales que puede ser dif´ıcil de resolver. Sin embargo, existen situaciones especiales en las que se puede calcular un factor integrante sin demasiada dificultad. Por ejemplo, µ(x), µ(y), µ(ax+by), µ(x^αy^β), etc.

Ejercicios

a) e^−y dx − (2y + xe^−y) dy = 0.

b) (6xy²+ 3x²) dx + (6x²y + 4y³) dy = 0.

c) (xy²− 1) dx + y(x²+ 3) dy = 0.

d )

2x + ¹_y

dx +

1 y − _y^x2

dy = 0.

e) (sen xy + xy cos xy) dx + x²cos xy dy = 0.

f ) (1 − xy) dx + (1 − x²) dy = 0.

g) (y²+ x) dx − 2xy dy = 0.

h) 2xy log y dx + (x²+ y²py²+ 1) dy = 0.

2. Integra la ecuaci´on diferencial (x²− y²+ 1) dx + (x²− y²− 1) dy = 0 sabiendo que tiene un factor integrante que depende de una combinaci´on lineal de x e y.

3. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes si su factor integrante es de la forma µ(y²+ x):

a) (y²+ 3x + 2y) dx + (4xy + 5y²+ x) dy = 0 b) (3y²− x) dx + (2y³− 6xy) dy = 0

4. Integra la ecuaci´on diferencial (y²− xy) dx + x² dy = 0 sabiendo que existe un factor integrante que es funci´on de xy².

5. Encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (y² − x²) de la ecuaci´on diferencial (x²+ y²+ 1) dx − 2xy dy = 0 y resu´elvela.

6. Dada la ecuaci´on diferencial (y − xy²log x) dx + x dy = 0, encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (xy) y resu´elvela.

(20)

7. Demuestra que toda ecuaci´on diferencial de la forma yf (xy) dx + xg(xy) dy = 0 admite como factor integrante a

µ(x, y) = 1

xy(f (xy) − g(xy)).

Aplica este resultado a la resoluci´on de la ecuaci´on x³y⁴ dx − (x²y − x⁴y³) dy = 0.

8. Calcula un factor integrante de la ecuaci´on diferencial (x²− y²− 1) dx + 2xy dy = 0 sabiendo que admite como soluci´on general a la familia de curvas x²+y²−Cx+1 = 0.

2.4. Ecuaciones lineales

Vamos a estudiar tres métodos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y⁰ + f (x)y = g(x), siendo f y g funciones continuas en la región en la que se pretende integrar la ecuación. Supondremos que la ecuación es no homogénea pues, en caso contrario, es de variables separadas.

En primer lugar, la ecuaci´on se puede expresar como (f (x)y − g(x)) dx + dy = 0, calculando posteriormente un factor integrante que dependa solo de x.

El segundo método consiste en realizar el cambio de variable y = uv. Sustituyendo en la ecuación se tiene u⁰v + u(v⁰+ f (x)v) = g(x). Pues bien, primero se calcula v como una solución particular no nula de la ecuación diferencial v⁰+ f (x)v = 0 y después se calcula u como la solución general de la ecuación u⁰v = g(x).

Finalmente, un método de resolución consiste en encontrar la solución general de la ecuación homogénea, y_h, y una solución particular de la no homogénea, y_p. Se comprueba fácilmente que la suma de ambas es la solución general de la no homogénea. Para obtener ypa partir de yh(x) = Ce⁻^{R f (x) dx}se emplea el método de variación de las constantes que consiste en considerar C como una función C(x) e imponer que C(x)e⁻^{R f (x) dx} sea solución de la ecuación no homogénea.

Ejercicios

1. Calcula la velocidad de un cuerpo en ca´ıda libre con resistencia del aire.

a) xy⁰+ (1 − x)y = xe^x. b) y⁰ = _ey¹−x.

c) y⁰+ 2xy = 2xe^−x².

(21)

d ) y⁰ = x cos y+sen 2y¹ . e) y⁰ + y tag x = sec²x.

f ) y⁰ = _2x−y¹ 2.

3. Integra la ecuaci´on diferencial y⁰+ ^y_x = 3 cos 2x buscando un factor integrante.

4. Resuelve la ecuaci´on diferencial y⁰ = y tag x + cos x realizando el cambio de variable y = uv.

5. Calcula la solución particular de la ecuación diferencial y⁰+²_xy = ^{cos x}_x2 que verifique la condición inicial y(π) = 0.

6. Halla la familia de funciones tales que el área del trapecio limitado por los ejes de coordenadas, la recta tangente a la gráfica de la función en un punto y la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de tangencia sea constante e igual a a².

7. Dado el problema de valor inicial

y⁰− y = 1 + 3 sen x y(0) = y₀

encuentra el valor de y₀ para el que la soluci´on permanece finita cuando x → ∞.

8. Dada la ecuaci´on diferencial 2x²y⁰ − xy = 2x cos x − 3 sen x, x > 0, estudia el comportamiento de las soluciones cuando x → 0 y cuando x → ∞. ¿Hay alguna soluci´on y tal que l´ım

x→∞y(x) = 0?

9. Dadas y₁, y₂ e y₃ soluciones particulares de una ecuaci´on lineal y⁰ + f (x)y = g(x), demuestra que la expresi´on ^y_y³^−y¹

1−y2 es constante.

2.5. Algunas ecuaciones especiales

2.5.1. La ecuaci´ on de Bernoulli

Definición 2.5.1. La ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial de la forma y⁰+ f (x)y = g(x)yⁿ

con n 6= 0, 1.

Para n = 0 se tiene una ecuaci´on lineal y para n = 1 es una ecuaci´on de variables separadas.

(22)

Esta ecuaci´on se reduce a una ecuaci´on lineal dividiendo ambos miembros por yⁿ y haciendo el cambio de variable z = y¹⁻ⁿ.

Otra forma de resolverla consiste en realizar el cambio de variable y = uv.

La ecuaci´on de Bernoulli aparece, por ejemplo, en din´amica de poblaciones y en esta- bilidad del flujo de fluidos.

2.5.2. La ecuaci´ on de Ricatti

Definición 2.5.2. La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial de la forma y⁰ = f (x)y²+ g(x)y + h(x)

con f (x), h(x) 6≡ 0.

Si f (x) ≡ 0, entonces la ecuaci´on es lineal, y si h(x) ≡ 0, entonces la ecuaci´on es una de Bernoulli.

En general, esta ecuación no puede resolverse por métodos elementales. Si se conoce una solución particular y1, entonces haciendo el cambio de variable y = y1+ u la ecuación se transforma en la ecuación de Bernoulli u⁰ = f (x)u² + (2y1f (x) + g(x))u la cual se resuelve a través del cambio de variable v = _u¹. Por lo tanto, se podr´ıa haber hecho directamente el cambio de variable v = _y−y¹

1 en la ecuaci´on inicial.

La ecuaci´on de Ricatti aparece, por ejemplo, en hidrodin´amica.

2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y

⁰

Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma

(y⁰)ⁿ+ f₁(x, y)(y⁰)ⁿ⁻¹+ · · · + f_n−1(x, y)y⁰ + f_n(x, y) = 0.

Para hallar su soluci´on general basta resolver la ecuaci´on respecto a y⁰ e integrar todas las ecuaciones resultantes.

2.5.4. Ecuaciones de la forma f (y, y

⁰

) = 0.

Si en estas ecuaciones se puede despejar y⁰, resultan ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar y, y = g(y⁰), se realiza el cambio de variable y⁰ = t con lo que y = g(t). Diferenciando esta ecuación y sustituyendo dy por t dx se obtiene la solución general de la ecuación diferencial en forma paramétrica.

(23)

Si no se puede despejar ni y ni y⁰ pero se pueden expresar param´etricamente de la forma

y = g(t) y⁰ = h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuación y sustituyendo dy por h(t) dx se obtiene la solución general de la ecuación diferencial en forma paramétrica.

2.5.5. Ecuaciones de la forma f (x, y

⁰

) = 0.

Al igual que en el tipo anterior, si en estas ecuaciones se puede despejar y⁰, resultan ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar x, x = g(y⁰), se realiza el cambio de variable y⁰ = t con lo que x = g(t). Diferenciando esta ecuación y sustituyendo dx por ^dy_t se obtiene la solución general de la ecuación diferencial en forma paramétrica.

Si no se puede despejar ni x ni y⁰ pero se pueden expresar param´etricamente de la forma

x = g(t) y⁰ = h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuación y sustituyendo dx por _h(t)^dy se obtiene la solu- ción general de la ecuación diferencial en forma paramétrica.

2.5.6. La ecuaci´ on de Lagrange

Definición 2.5.3. La ecuación de Lagrange es una ecuación diferencial de la forma y = xf (y⁰) + g(y⁰).

Para resolver una ecuación de este tipo se realiza el cambio de variable y⁰ = t, redu- ciéndola diferenciando a una ecuación lineal considerando x en función de t. La solución general vendrá dada entonces en forma paramétrica:

x = ϕ(t, C)

y = ϕ(t, C)f (t) + g(t)

2.5.7. La ecuaci´ on de Clairaut

Definición 2.5.4. La ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma y = xy⁰ + g(y⁰).

(24)

Es, por tanto, un caso particular de la ecuaci´on de Lagrange, cuyas soluciones son una familia de rectas junto con su envolvente, la cual es una soluci´on singular.

Ejercicios 1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 3xy⁰− 2y = x³y⁻². b) y = xy⁰+ (y⁰)². c) y = 2xy⁰+ sen y⁰. d ) xy⁰+ y = y²log x.

e) y^2/3+ (y⁰)^2/3= 1.

f ) y = 2xy⁰+ log y⁰.

g) y = xy⁰+ _2y^a0 siendo a una constante.

h) 2y⁰sen x + y cos x = y³(x cos x − sen x).

i ) 2y = xy⁰+ y⁰log y⁰. j ) y = (y⁰)²e^y⁰.

k ) x = log y⁰ + sen y⁰. l ) y⁴− (y⁰)⁴− y(y⁰)² = 0.

2. Integra la ecuaci´on diferencial

xy⁰ = y + 2x

x⁴− 1(y²− x²)

sabiendo que admite soluciones particulares de la forma y = ax + b.

3. Halla la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado 2 respecto a y⁰:

a) y(y⁰)²+ (x − y)y⁰− x = 0.

b) (y⁰)²− (2x + y)y⁰ + x²+ xy = 0.

c) x(y⁰)²+ 2xy⁰− y = 0.

d ) 4(y⁰)²− 9x = 0.

e) (y⁰)²− 2yy⁰ = y²(e^x− 1).

f ) x²(y⁰)²+ 3xyy⁰+ 2y² = 0.

(25)

Tema 3

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

3.1. Estructura del conjunto de soluciones

Vamos a analizar en esta secci´on la estructura del conjunto de soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal de orden n

yⁿ⁾+ a1(x)yⁿ⁻¹⁾+ · · · + an−1(x)y⁰ + an(x)y = g(x) siendo a_i(x), 1 ≤ i ≤ n, y g(x) funciones continuas en un intervalo (a, b).

Definici´on 3.1.1. Dado un conjunto de funciones {y₁, y₂, . . . , y_n} definidas en un intervalo (a, b) y derivables hasta el orden n − 1, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W [y₁, y₂, . . . , y_n] a la funci´on definida por el determinante

W [y₁, y₂, . . . , y_n] =

y₁ y₂ · · · y_n y₁⁰ y₂⁰ · · · y_n⁰ ... ... . .. ... yⁿ⁻¹⁾₁ yⁿ⁻¹⁾₂ · · · ynⁿ⁻¹⁾

.

Teorema 3.1.2. Si las funciones y₁, y₂, . . . , y_n son linealmente dependientes en el intervalo (a, b), entonces W [y₁, y₂, . . . , y_n] ≡ 0.

Demostraci´on. Trivial.

Esta condici´on no es suficiente pues basta considerar las siguientes funciones definidas en (−1, 1): y1(x) = x²χ(−1,0) e y2(x) = x²χ[0,1).

(26)

3.1.1. La ecuaci´ on homog´ enea

Teorema 3.1.3. Si las funciones y₁, y₂, . . . , y_n son soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinación lineal suya también lo es.

Demostraci´on. Trivial.

Teorema 3.1.4. Si las funciones y₁, y₂, . . . , y_n son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo no es idénticamente nulo.

Demostraci´on. Supongamos que W [y₁, y₂, . . . , y_n] ≡ 0. Dado x₀ ∈ (a, b), el sistema homog´eneo de ecuaciones lineales en las variables c₁, c₂, . . . , c_n











n

P

k=1

ckyk(x0) = 0

n

P

k=1

c_ky_k⁰(x₀) = 0 ...

n

P

k=1

c_ky_kⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0

tiene infinitas soluciones ya que el determinante de la matriz de coeficientes, es decir, el wronskiano, es nulo. En particular existen c₁, c₂, . . . , c_n no todos nulos que son soluci´on del sistema. Por tanto, la funci´on

n

X

k=1

ckyk

es una solución de la ecuación homogénea por ser una combinación lineal de ellas, y tanto ella como sus derivadas hasta el orden n − 1 se anulan en x₀, al igual que la función idénticamente nula que también es solución de la ecuación homogénea. El teorema de unicidad nos da la contradicción.

A continuaci´on demostraremos que bajo la hip´otesis del teorema anterior el wronskiano no se anula nunca.

Lema 3.1.5. Si y₁, y₂, . . . , y_n son funciones derivables hasta el orden n, entonces

W⁰[y₁, y₂, . . . , y_n] =

y₁ y₂ · · · y_n y₁⁰ y₂⁰ · · · y_n⁰ ... ... . .. ... yⁿ⁻²⁾₁ y₂ⁿ⁻²⁾ · · · ynⁿ⁻²⁾

yⁿ⁾₁ y₂ⁿ⁾ · · · ynⁿ⁾

.

(27)

Demostración. Por inducción, desarrollando W [y₁, y₂, . . . , y_n] por la última fila antes de derivar.

Teorema 3.1.6. Si las funciones y₁, y₂, . . . , y_n son soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es idénticamente nulo o no se anula en ningún punto.

Demostraci´on. En primer lugar, se verifica que

yⁿ⁾_i + a1(x)y_iⁿ⁻¹⁾+ · · · + an−1(x)y_i⁰+ an(x)yi = 0

para todo 1 ≤ i ≤ n. Multiplicando cada una de estas expresiones por el adjunto del elemento de la fila n y la columna i del wronskiano, sum´andolas y aplicando el lema anterior se tiene la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden

W⁰[y₁, y₂, . . . , y_n] + a₁(x)W [y₁, y₂, . . . , y_n] = 0

que tiene por soluci´on general W [y₁, y₂, . . . , y_n] = Ce⁻^{R a}¹^{(x) dx} obteni´endose el resultado.

No se puede prescindir de la hipótesis de que las funciones sean soluciones de la ecuación homogénea. Basta considerar, por ejemplo, las funciones definidas en (−1, 1):

y1(x) = x² e y2(x) = x³.

Definición 3.1.7. Se denomina conjunto fundamental de soluciones de la ecua- ción homogénea en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo.

Teorema 3.1.8. Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b).

Demostración. Sea x₀ ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 0 ≤ i ≤ n − 1 existe una solución y_i de la ecuación homogénea tal que y_iⁱ⁾(x₀) = 1 e y_i^j)(x₀) = 0 si j 6= i.

Las funciones y_i con 0 ≤ i ≤ n − 1 son linealmente independientes pues basta con derivar n − 1 veces una combinaci´on lineal suya id´enticamente nula y evaluar cada una de esas expresiones en x0.

Teorema 3.1.9. Dado un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), cualquier otra solución se puede expresar como combinación lineal de ellas.

Demostración. Sean {y1, y2, . . . , yn} un conjunto fundamental de soluciones de la ecua- ción homogénea en el intervalo (a, b), ϕ otra solución cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces

(28)

W [y₁, y₂, . . . , y_n](x₀) 6= 0. Se determinan ϕ(x₀), ϕ⁰(x₀), . . . , ϕⁿ⁻¹⁾(x₀) y se considera el sistema de ecuaciones lineales en las variables c₁, c₂, . . . , c_n











n

P

k=1

c_ky_k(x₀) = ϕ(x₀)

n

P

k=1

c_ky_k⁰(x₀) = ϕ⁰(x₀) ...

n

P

k=1

c_ky_kⁿ⁻¹⁾(x₀) = ϕⁿ⁻¹⁾(x₀)

que tiene soluci´on ´unica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo.

El teorema de unicidad conduce al resultado.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n, y dado un conjunto fundamental de soluciones, la solución general se puede expresar como una combinación lineal suya.

3.1.2. La ecuaci´ on no homog´ enea

Teorema 3.1.10. Si {y₁, y₂, . . . , y_n} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b) y ϕ_p es una solución cualquiera de la ecuación no homogénea, entonces para toda solución ϕ de la ecuación no homogénea existen constantes c1, c2, . . . , cn tales que

ϕ = ϕ_p+

n

X

k=1

c_ky_k.

Demostración. Basta comprobar que ϕ−ϕ_pes solución de la ecuación homogénea y aplicar el teorema anterior.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación no homogénea tiene estructura de espacio af´ın de dimensión n construido sobre el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea.

Ejercicios

1. Demuestra que los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes en R:

a) {e^λ¹^x, e^λ²^x, . . . , e^λⁿ^x}.

b) {e^αxcos βx, e^αxsen βx}.

(29)

c) {e^λx, xe^λx, . . . , xⁿ⁻¹e^λx}.

2. Comprueba si el conjunto de funciones {log x, x log x, x²log x} es linealmente independiente en (0, ∞).

3. ¿Pueden ser f (x) = x y g(x) = e^x soluciones de la ecuaci´on y⁰⁰+a₁(x)y⁰+a₂(x)y = 0, a1(x) y a2(x) continuas, en el intervalo (0, 2)? ¿Y en (−6, −1)?

4. Comprueba si las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas:

a) C₁x + C₂ de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰= 0.

b) C₁cos x + C₂sen x de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰+ y = 0.

c) C₁e^x+ C₂e^−x de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰− y = 0.

d ) C₁cos x + C₂sen x + 1 de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰+ y = 1.

e) C₁e^x+ C₂e^−x+^e^2x₃ de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰− y = e^2x.

5. Resuelve la ecuación diferencial xy⁰⁰ + 2y⁰ + xy = 0, con x > 0, sabiendo que y₁ = ^{sen x}_x es una solución particular. Para ello busca otra solución particular de la forma y₂ = y₁z.

6. Halla la solución general de la ecuación diferencial xy⁰⁰ − (x + 1)y⁰ + y = 0, con x > 0, buscando previamente una solución particular de tipo exponencial.

7. Las ecuaciones de Cauchy-Euler son de la forma

p₀xⁿyⁿ⁾+ p₁xⁿ⁻¹yⁿ⁻¹⁾+ · · · + p_n−1xy⁰+ p_ny = g(x)

con p₀, p₁, . . . , p_n∈ R y x 6= 0. Resuelve la ecuaci´on x²y⁰⁰+ 2xy⁰− 6y = 0, con x > 0, buscando soluciones de la forma y = x^r.

3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes

3.2.1. La ecuaci´ on homog´ enea

Para resolver la ecuación homogénea se buscan soluciones de la forma y = e^λx. Al sustituir estas funciones en la ecuación se obtiene que (λⁿ+a₁λⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1λ+a_n)e^λx = 0 luego

λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1λ + a_n= 0

expresión que se denomina ecuación caracter´ıstica de la ecuación homogénea, y polinomio caracter´ıstico al polinomio que la define. Por tanto, y = e^λx es solución de la

(30)

ecuación homogénea si y solo si λ es ra´ız de su ecuación caracter´ıstica. Dichas ra´ıces se denominan autovalores o valores propios de la ecuación homogénea. Los autovalores reales o complejos y su multiplicidad determinan los distintos tipos de soluciones de la ecuación homogénea:

1. Si los autovalores son reales y simples, λ₁, λ₂, . . . , λ_n, entonces un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por











y₁ = e^λ¹^x y₂ = e^λ²^x ...

y_n = e^λⁿ^x

y por tanto la soluci´on general es una combinaci´on lineal de estas funciones.

2. Si hay un autovalor real de multiplicidad m, λ, entonces un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones (ejercicio):











y₁ = e^λx y₂ = xe^λx ...

y_m = x^m−1e^λx

3. Si hay dos autovalores complejos simples, α ± βi, entonces un conjunto fundamental de soluciones en el plano complejo ser´ıa z1 = e^(α+βi)x y z2 = e^(α−βi)x, y tambi´en

y₁ = ^z¹^+z₂ ² = e^αxcos βx y₂ = ^z¹^−z_2i² = e^αxsen βx

4. Si hay dos autovalores complejos de multiplicidad m, α±βi, utilizando los resultados de los dos casos anteriores se tiene que un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones:











y1 = e^αxcos βx y₂ = xe^αxcos βx ...

y_m = x^m−1e^αxcos βx y_m+1 = e^αxsen βx y_m+2 = xe^αxsen βx ...

y_2m= x^m−1e^αxsen βx

5. Finalmente, si los autovalores son de varios de los tipos anteriores, un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por la conjunci´on de las funciones que aportara cada tipo.

(31)

3.2.2. La ecuaci´ on no homog´ enea

Por el Teorema 3.1.10, obtener la solución general de la ecuación no homogénea se reduce a encontrar una solución particular de la misma y la solución general de la ecuación homogénea asociada.

Si g(x) = e^αx(P_m(x) cos βx+Q_r(x) sen βx), siendo P_m(x) y Q_r(x) polinomios de grados m y r, respectivamente, una solución particular de la ecuación no homogénea es

ϕ_p = x^se^αx(R_k(x) cos βx + S_k(x) sen βx)

siendo s el orden de multiplicidad de la ra´ız de la ecuación caracter´ıstica de la ecuación homogénea α ± βi, k = máx(m, r) y R_k(x) y S_k(x) polinomios de grado k de coeficientes indeterminados que hay que calcular. Esta técnica es conocida como método de los coeficientes indeterminados.

Si g(x) es una combinación lineal de ese tipo de funciones, una solución particular de la ecuación no homogénea es la misma combinación lineal de las respectivas soluciones particulares para cada una de dichas funciones.

En general, se puede emplear el método de variación de las constantes que consiste en obtener primero la solución general de la ecuación homogénea

n

X

k=1

c_ky_k

y buscar a continuación una solución particular de la no homogénea pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar

ϕ_p =

n

X

k=1

c_k(x)y_k.

Para ello hay que imponer n condiciones que se obtienen derivando ϕ_p n veces y sustituyendo los resultados en la ecuaci´on diferencial. Las n condiciones son:











n

P

k=1

c⁰_k(x)y_k = 0

n

P

k=1

c⁰_k(x)y_k⁰ = 0 ...

n

P

k=1

c⁰_k(x)y_kⁿ⁻²⁾ = 0

n

P

k=1

c⁰_k(x)y_kⁿ⁻¹⁾ = g(x)

El sistema tiene solución única pues el determinante de la matriz de coeficientes es W [y1, y2, . . . , yn] que no se anula en ningún punto de (a, b).

(32)

Ejercicios

1. Halla la soluci´on general de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y⁰⁰− 3y⁰+ 2y = 0.

b) y⁰⁰⁰+ 6y⁰+ 20y = 0.

c) y⁶⁾+ y⁴⁾− y⁰⁰− y = 0.

d ) y⁰⁰⁰− y⁰⁰ = 12x²+ 6x.

e) y⁰⁰+ y = x sen x.

f ) y⁰⁰− y = sen²x.

g) y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = 25e^xsen x.

h) x²y⁰⁰− 6x²y⁰+ 9x²y = e^3x con x > 0.

i ) y⁰⁰+ y = sec x.

j ) y⁰⁰⁰+ y⁰ = cosec x.

k ) y⁰⁰+ 4y = tag 2x.

l ) y⁰⁰+ 2y⁰ + y = e^−xlog x.

2. Resuelve la ecuaci´on diferencial y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0 y encuentra la soluci´on particular que verifique y(0) = y⁰(0) = 1.

3. Prueba que si xe^λx es solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes homogénea, entonces su ecuación caracter´ıstica tiene a λ como ra´ız doble.

4. Calcula la solución general de la ecuación diferencial y⁰⁰⁰ − y⁰⁰+ y⁰ − y = x² + x y encuentra la solución particular que verifica y(0) = 0, y⁰(0) = y⁰⁰(0) = 1.

5. Halla las soluciones de la ecuaci´on diferencial y⁰⁰ + 4y⁰ + 4y = 2e^x(sen x + 7 cos x) que verifican l´ım

x→−∞y(x) = 0.

6. Calcula las soluciones de la ecuaci´on diferencial (1 − x)y⁰⁰+ xy⁰− y = (x − 1)²e^x con x < 1, que verifican l´ım

x→−∞y(x) = 0 e y(0) = 1 sabiendo que y₁ = x e y₂ = e^x forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada.

7. Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte. Halla la ecuación del movimiento que efectuará uno de estos pesos si el otro se desprende.

8. Integra la ecuaci´on de Cauchy-Euler x²y⁰⁰+ xy⁰ − y = 0, con x 6= 0, haciendo el cambio de variable x = e^t.

9. Halla la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial x²y⁰⁰−xy⁰+y = 2x que verifica y(1) = 0, y⁰(1) = 1.

(33)

Tema 4

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

4.1. Introducci´ on

Definición 4.1.1. Un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden k se expresa mediante una función vectorial F de la forma F (x, f (x), f⁰(x), f⁰⁰(x), . . . , f^k)(x)) = 0, siendo la función buscada f (x) = (f₁(x), f₂(x), . . . , f_n(x)). Si k = 1 y es posible despejar y⁰ = f⁰(x), entonces el sistema se puede expresar de la siguiente forma:











y⁰₁ = F1(x, y1, y2, . . . , yn) y⁰₂ = F₂(x, y₁, y₂, . . . , y_n) ...

y⁰_n= F_n(x, y₁, y₂, . . . , y_n)

(4.1)

La solución general del sistema 4.1 está formada por n funciones ϕ_i(x, C₁, C₂, . . . , C_n), con 1 ≤ i ≤ n, que dependen de n constantes C₁, C₂, . . . , C_n y satisfacen las ecuaciones del sistema para todos los valores de las constantes, y si hay condición inicial

y(x₀) = (y₁(x₀), y₂(x₀), . . . , y_n(x₀)) = (y₀₁, y₀₂, . . . , y_0n)

se pueden elegir las constantes para que dichas funciones la satisfagan. Una soluci´on particular del sistema es la que se obtiene de la soluci´on general para valores concretos de las constantes.

El procedimiento para expresar una ecuaci´on diferencial de orden n yⁿ⁾ = f (x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , yⁿ⁻¹⁾)