Propiedades exóticas de los determinantes

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(4) Los Cuadernos de Trabajo de la Escuela Universitaria de Estadística constituyen una apuesta por la publicación de los trabajos en curso y de los informes técnicos desarrollados desde la Escuela para servir de apoyo tanto a la docencia como a la investigación.. Los Cuadernos de Trabajo se pueden descargar de la página de la Biblioteca de la Escuela www.ucm.es/BUCM/est/ y en la sección de investigación de la página del centro www.ucm.es/centros/webs/eest/. CONTACTO: Biblioteca de la E. U. de Estadística Universidad Complutense de Madrid Av. Puerta de Hierro, S/N 28040 Madrid Tlf. 913944035 [email protected]. Los trabajos publicados en la serie Cuadernos de Trabajo de la Escuela Universitaria de Estadística no están sujetos a ninguna evaluación previa. Las opiniones y análisis que aparecen publicados en los Cuadernos de Trabajo son responsabilidad exclusiva de sus autores.. ISSN: 1989-0567.

(5) Propiedades exóticas de los determinantes Venancio Tomeo Perucha Escuela U. de Estad´ıstica, Univ. Complutense [email protected]. 20 de abril de 2010. Resumen En este trabajo se presentan unas propiedades de los determinantes que, por distintas causas, no se incluyen en las explicaciones que damos a nuestros alumnos en el u ´ltimo curso de bachillerato ni en las de primer curso de cualquiera de las carreras de ciencias. Se ha procurado motivar a profesores y alumnos mediante nombres apropiados y ejemplos sencillos. Después de una breve introducción veremos estas cinco propiedades, que son: 1. Desarrollo por elemento determinado. 2. Regla del corazón para determinantes de orden tres. 3. Regla de las cuatro esquinas. 4. Cálculo de determinantes por bloques y 5. La regla de Laplace. En cada una de ellas analizaremos el enunciado y algunos ejemplos de su uso y también se verá su demostración o se dejará para más adelante como caso particular de otra propiedad.. Palabras clave: Determinantes, propiedades de los determinantes, c´ alculo de determinantes.. 1.

(6) 2.

(7) 0. Introducción Los determinantes, ¿qu´ e son? Un determinante es una aplicación del conjunto de matrices cuadradas de orden n en el cuerpo sobre el que se han definido las matrices, que asocia a cada matriz un n´ umero obtenido de una forma determinada. Es decir Mn (R) −→ R A 7−→ |A| ¿C´ omo surgen? El origen de los determinantes está en la resolución de sistemas lineales y fue obra de Leibniz, en Europa en 1678, y de Seki Kowa, en 1683 en Japón. ¿C´ omo se explican? Existen tres formas tradicionales de explicar los determinantes a nuestros alumnos: - Por formas multilineales alternadas, como puede verse en LentinRivaud y Queysanne. - Por la forma clásica de las permutaciones: Birkhoff-MacLane y Rey Pastor. - Por medio una axiomática: Lang y Rojo. Y una cuarta forma consiste en explicar cómo funcionan sin una fundamentación rigurosa. ¿Qu´ e propiedades tienen? Las propiedades de los determinantes suelen organizarse en una lista de 9 o 10 de forma que unas se apoyan en las otras. ¿C´ omo se calculan los determinantes? Si son peque˜ nos tienen su forma: - el de orden dos tiene una forma sencilla y u ńica, - el de orden tres por la regla de Sarrus o desarrollando por l´ınea. Si son grandes desarrollando por l´ınea, o por la regla de Chio, que es el desarrollo por l´ınea cuando se han hecho ceros, mediante el uso de pivotes, o triangulando, que es repetir esta regla. 3.

(8) 1. Desarrollo por elemento determinado Proposici´ on 1 En todo determinante se puede quitar un elemento determinado, poniendo un cero, a condici´ on de sumar al resultado ese elemento multiplicado por su adjunto..

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16). Es decir, para un determinante de orden 4 y elemento a32 , se

(17)

(18)

(19)

(20) a11 a12 a13 a14

(21)

(22)

(23)

(24) a11 a12 a13 a14

(25)

(26)

(27) a11

(28)

(29)

(30)

(31) a21 a22 a23 a24

(32)

(33) a21 a22 a23 a24

(34)

(35) a21 = − a 32

(36) a31 a32 a33 a34

(37)

(38)

(39)

(40) a31 0 a33 a34

(41)

(42)

(43) a41

(44)

(45)

(46) a41 a42 a43 a44 a41 a42 a43 a44. Ejemplo 1. Si queremos hallar el valor

(47)

(48) 1 2

(49)

(50) 2 1

(51)

(52) 8 0,0023

(53)

(54) −3 −4 y aplicamos la

(55)

(56) 1 2

(57)

(58) 2 1

(59)

(60) 8 0,0023

(61)

(62) −3 −4. regla, resulta

(63)

(64) 9 −2

(65)

(66)

(67)

(68) 1 5 −1

(69)

(70)

(71)

(72) 2 = 7 0

(73)

(74)

(75)

(76) 8 2 4

(77)

(78) −3. 2 1 0 −4. del determinante

(79) 9 −2

(80)

(81) 5 −1

(82)

(83) 7 0

(84)

(85) 2 4

(86). Ejemplo 2. Pensemos ahora en el determinante

(87)

(88) 3 −1 0 −1

(89)

(90) −4 2 2 78977

(91)

(92) 1 0,0041 1 3

(93)

(94) 2 1 2 5 veces. Resulta:

(95)

(96)

(97)

(98)

(99) =

(100)

(101)

(102) 4. a13 a14 a23 a24 a43 a44.

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108).

(109)

(110)

(111) 9 −2

(112)

(113)

(114) 1 9 −2

(115)

(116)

(117) 5 −1

(118)

(119) − 0,0023

(120)

(121) 2 5 −1

(122)

(123) =

(124) 7 0

(125)

(126) −3 2 4

(127) 2 4

(128). = 0 − 0,0023 · (−61) = 0, 001403. y vamos aplicar la regla tres

(129)

(130) 3 −1 0 −1

(131)

(132) −4 2 2 78977

(133)

(134) 1 0,0041 1 3

(135)

(136) 2 1 2 5. tiene que.

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144).

(145)

(146)

(147) 3

(148)

(149) −4 =

(150)

(151)

(152) 1

(153) 2

(154)

(155) 3

(156)

(157) −4 =

(158)

(159)

(160) 1

(161) 2

(162)

(163)

(164)

(165) =

(166)

(167)

(168)

(169). 3 −4 1 2. −1 2 0 1 −1 2 0 1. −1 2 0 1

(170)

(171) 3

(172) − 0,0041

(173)

(174) −4

(175) 2.

(176)

(177)

(178) 0 −1

(179)

(180)

(181) 3 0 −1

(182)

(183)

(184)

(185) 2 78977

(186)

(187)

(188)

(189) −0,0041

(190) −4 2 78977

(191) = 1 3

(192)

(193) 2 2

(194) 5

(195) 2 5

(196)

(197)

(198)

(199)

(200) 0 −1

(201)

(202)

(203) 3 0

(204) 3 −1 0

(205) −1

(206)

(207)

(208)

(209)

(210)

(211) 2 0

(212) 0 1

(213)

(214) −0,0041

(215)

(216) −4 2 78977

(217)

(218) = +78977

(219)

(220) 1 1 3

(221)

(222)

(223)

(224) 2 2

(225) 2 5 1 2

(226) 2 5

(227) 0 2 1 2. −1 0 3 5. 0 2 2. −1 0 5.

(228)

(229)

(230)

(231)

(232)

(233) 3 −1 0

(234)

(235)

(236)

(237)

(238) + 78977

(239) 1 0 1

(240)

(241)

(242)

(243)

(244)

(245) 2 1 2

(246)

(247)

(248)

(249)

(250)

(251)

(252)

(253) + 0,0041 · 78977

(254) 3 0

(255) 2 2

(256)

(257).

(258)

(259)

(260)

(261). Dem. Basta descomponer el determinante en suma de dos determinantes que tengan todas sus filas iguales excepto la i-ésima, donde está el elemento que queremos sacar. En uno de ellos ponemos cero en el lugar ij y en el otro todos los elementos de la fila son cero excepto ese elemento, y desarrollamos en este segundo determinante por el elemento aij . . 2. Regla del corazón para determinantes de orden tres Necesitamos unas definiciones previas que enunciamos en general. Dado el determinante

(262)

(263)

(264)

(265) a11 a · · · a a 12 1,n−1 1n

(266)

(267)

(268) a21 a22 · · · a2,n−1 a2n

(269)

(270)

(271)

(272)

(273) .. .. .. .. .. |A| =

(274)

(275) . . . . .

(276)

(277)

(278) an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1 an−1,n

(279)

(280)

(281)

(282) an,1 an,2 · · · an,n−1 ann

(283). llamamos coraz´ on al determinante que resulta de quitar la primera y u ´ltima. 5.

(284) fila y la primera y u ´ltima columna, es decir

(285)

(286) a22 · · · a2,n−1

(287)

(288) .. .. ... ♥=

(289) . .

(290)

(291) an−1,2 · · · an−1,n−1.

(292)

(293)

(294)

(295)

(296)

(297)

(298). y llamamos esquinas a los que resultan de quitar una fila y una columna, primeras y u ´ltimas, es decir

(299)

(300)

(301)

(302)

(303) a22 · · · a2,n−1

(304) a11 a2n

(305)

(306) a12 · · · a1,n−1

(307)

(308)

(309)

(310)

(311)

(312)

(313) a21 .. .. .. ... a22 · · · a2,n−1

(314)

(315)

(316)

(317)

(318) . . . y = p=

(319)

(320)

(321)

(322) .. .. .. ...

(323)

(324)

(325)

(326) a . · · · a a . . n−1,2 n−1,n−1 n−1,n

(327)

(328)

(329)

(330)

(331) an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1

(332)

(333) an,2 · · · an,n−1 ann

(334)

(335)

(336)

(337)

(338)

(339) a12 · · · a1,n−1

(340) a21

(341)

(342) a · · · a a 22 2,n−1 1n

(343)

(344)

(345)

(346)

(347) a22 · · · a2,n−1

(348)

(349)

(350) .. .. .. ... a 2n

(351)

(352)

(353)

(354) . . . q=

(355) x=

(356)

(357)

(358) . . . .. . . . .

(359)

(360) an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1

(361)

(362) . . . .

(363)

(364)

(365)

(366)

(367)

(368) an,1

(369) an−1,2 · · · an−1,n−1 an−1,n

(370) an,2 · · · an,n−1 Proposici´ on 2 Se verifica que. |A| · ♥ = p·y − x·q Si es ♥ = 6 0, podemos calcular el determinante en la forma |A| =. 1 (p·y − x·q) ♥. Ejemplo 3.

(371)

(372)

(373)

(374)

(375) 1 2 3

(376)

(377)

(378)

(379)

(380)

(381)

(382)

(383) 1

(384) 1 2

(385)

(386) 5 4

(387)

(388) 4 5

(389)

(390) 2 3

(391)

(392)

(393) 4 5 4

(394) =

(395)

(396)

(397)

(398)

(399)

(400)

(401)

(402)

(403)

(404)

(405) 4 5

(406) ·

(407) 2 1

(408) −

(409) 3 2

(410) ·

(411) 5 4

(412) =

(413) 3 2 1

(414) 5 1 −40 = [(−3)(−3) − (−7)(−7)] = = −8. 5 5 Más sencillo que la regla de Sarrus, pero más costoso que desarrollar por una l´ınea obteniendo tres determinantes de orden dos. Si no escribirmos los determinantes de orden dos, que podemos calcular directamente, los cálculos son muy simples:

(415)

(416)

(417) 1 2 3

(418)

(419)

(420)

(421) 4 5 4

(422) = 1 [(−3)(−3) − (−7)(−7)] = −40 = −8.

(423)

(424) 5

(425) 3 2 1

(426) 5 6.

(427) Ejemplo 4. En el caso en que el corazón sea nulo, basta intercambiar dos filas o columnas, cambiando de signo:

(428)

(429)

(430)

(431)

(432) 4 0 4

(433)

(434) 1 2 3

(435)

(436)

(437)

(438)

(439)

(440) 4 0 4

(441) = −

(442) 1 2 3

(443) = − 1 [8(−4) − (−4)(−8)] = 64 = 32.

(444)

(445)

(446)

(447) 2 2

(448) 3 2 1

(449)

(450) 3 2 1

(451). Pero también es posible utilizar un parámetro que sustituya al cero, en la forma:

(452)

(453)

(454)

(455)

(456) 1 2 3

(457)

(458) 1 2 3

(459)

(460)

(461)

(462)

(463)

(464) 4 0 4

(465) =

(466) 4 α 4

(467) = 1 [(α − 8)(α − 8) − (8 − 3α)(8 − 3α)] =

(468)

(469)

(470)

(471)

(472) 3 2 1

(473)

(474) 3 2 1

(475) α 1 2 α − 16α + 64 − 64 + 48α − 9α2 = 32 − 8α = 32. = α Dem. Es el caso particular para n = 3 de la regla de las cuatro esquinas. . 3. Regla de las cuatro esquinas Proposici´ on 3 Para cualquier determinante se verifica que |A| · ♥ = p·y − x·q Ejemplo

(476)

(477)

(478)

(479)

(480)

(481)

(482)

(483) =

(484)

(485)

(486)

(487). 5. Calculemos. 1 0 −3 −2 2 4 3 5 

(488)

(489) 1

(490) 1 

(491)

(492)

(493) −3

(494) −2 0

(495)

(496) 2 4 5

(497).

(498) 2 3

(499)

(500) 0 −1

(501)

(502) = 5 3

(503)

(504) 4 2

(505)

(506)

(507)

(508)

(509)

(510)

(511)

(512)  0 2

(513)

(514)

(515)

(516) −2 0 −1

(517)

(518)

(519)

(520) −3 −2 0

(521)

(522)

(523)

(524) 0 2 3

(525)

(526) −2 0

(527)

(528) ·

(529)

(530) 4 5 3

(531)

(532) −

(533)

(534) 2 4 5

(535)

(536) ·

(537)

(538) −2 0 −1

(539)

(540)  4 5

(541)

(542) 5 4 2

(543)

(544) 3 5 4

(545)

(546) 4 5 3

(547). En este caso hay que calcular cuatro determinantes de orden tres, lo mismo que si desarrollamos por l´ınea. En cuanto el determinante sea de orden mayor que cuatro, esta regla será mejor que el desarrollo por l´ınea. 7.

(548) Dem. Con la notación A. . 2 3 ··· n − 2 n − 1 2 3 ··· n − 2 n − 1. . indicamos el determinante de una submatriz de A, que está formada por las filas que se indican en la primera l´ınea y las columnas que se indican en la segunda. Concretamente el determinante indicado es el coraz´ on de la matriz A ∈ Mn . Si en la matriz A = (aij )ni,j=1 consideramos el menor A. . 1 2 ··· p 1 2 ··· p. . ,. 1 ≤ p < n,. formado por las p primeras filas y columnas y lo orlamos, a˜ nadiendo una fila y una columna de las n − p filas y n − p columnas restantes, formamos el menor 1 2 ··· p r · brs = A 1 2 ··· p s Con estos menores construimos la matriz de orden n − p B = (brs )nr,s=p+1 La identidad determinante de Sylvester, véase [2], nos dice que B. . p + 1 ··· n p + 1 ··· n. . n−p−1 1 2 ··· p = |A| · A · 1 2 ··· p. Si hacemos p = n − 2 en ella queda n−1 n 1 2 ··· n − 2 B = |A| · A n−1 n 1 2 ··· n − 2 y llevando la u ´ltima fila y la u ´ltima columna, con dos cambios de signo, a los primeros lugares, se tiene que

(549)

(550)

(551) b11 b1n

(552)

(553) = |A| · A 2 · · · n − 1

(554)

(555) bn1 bnn

(556) 2 ··· n − 1 8.

(557) es decir . . 2 ··· n − 1 2 ··· n − 1. =A. . 1 2 ··· n − 2 n − 1 1 2 ··· n − 2 n − 1. . −A. . 2 3 ··· n − 1 n 1 2 ··· n − 2 n − 1. . |A| · A. =. . A. . 2 3 ··· n − 1 n 2 3 ··· n − 1 n. A. . 1 2 ··· n − 2 n − 1 2 3 ··· n − 1 n. que se llama regla de las cuatro esquinas.. . , . 4. Cálculo de determinantes por bloques Proposici´ on 4 Si un determinante puede dividirse por bloques en la forma

(558)

(559)

(560) B C

(561)

(562) |A| =

(563)

(564) D E

(565) siendo B y E cuadradas y D est´ a formada por ceros, se verifica que |A| = |B| · |E| Ejemplo 6.

(566)

(567) 1 0 2

(568)

(569) 1 1 3

(570)

(571) 2 5 −1

(572)

(573) 0 0 0

(574)

(575) 0 0 0. El siguiente determinante es fácil de calcular

(576) 7 9

(577)

(578)

(579)

(580)

(581) 3 6

(582)

(583)

(584)

(585) 1 0 2

(586)

(587)

(588)

(589) 1 1

(590)

(591)

(592)

(593)

(594)

(595) 9 −8

(596) =

(597) 1 1 3

(598) ·

(599) = [1(−16) − 3(−2)]·1 = −10. 2 3

(600) 1 1

(601)

(602)

(603) 2 5 −1

(604) 2 3

(605). Dem. Es un caso particular de la regla de Laplace.. Corolario Si un determinante puede dividirse por bloques en la forma

(606)

(607)

(608) B C

(609)

(610) |A| =

(611)

(612) D E

(613) 9. .

(614) siendo B y E cuadradas y B es regular, se tiene que |A| = |B| · |E − DB −1 C| 7. El siguiente determinante puede calcularse con

(615) 0 1 0 0 1

(616)

(617) 1 0 0 2 0

(618)

(619) 0 0 1 0 2

(620)

(621) = 0 1 0 3 4

(622)

(623) 1 0 2 1 2

(624)

(625)

(626)

(627)  

(628) 0 1 0

(629)

(630) 0 1 0 0

(631)

(632) 3 4

(633) 0 1 0  1 0 0  2 =

(634)

(635) 1 0 0

(636)

(637) ·

(638)

(639) − 1 0 2

(640) 0 0 1

(641)

(642) 1 2 0 0 0 1. Ejemplo

(643)

(644)

(645)

(646)

(647)

(648)

(649)

(650)

(651)

(652).

(653)

(654)

(655)

(656)

(657)

(658) 3 4 3 0 1

(659) = (−1) ·

(660) 3 = (−1) ·

(661)

(662) −

(663) −1 −2

(664) 2 4 1 2. esta fórmula:. 

(665) 1

(666)

(667) 0 

(668)

(669) = 2

(670).

(671)

(672)

(673) = (−1) · (−6 + 3) = 3

(674). Dem. Siendo I la matriz unidad y O una matriz de ceros, de órdenes adecuados, se tiene que

(675)

(676)

(677)

(678)

(679)

(680)

(681)

(682)

(683) B C

(684)

(685)

(686) I O

(687)

(688)

(689)

(690) B C

(691)

(692)

(693)

(694) B C

(695)

(696)

(697)

(698) = =

(699) 1·

(700) =

(701) ·

(702) −1 −1 −1

(703)

(704)

(705) −DB D E D − DB B E − DB C

(706) D E I

(707)

(708) B C =

(709)

(710) O E − DB −1 C. 5. La regla de Laplace.

(711)

(712)

(713) = |B| · |E − DB −1 C|

(714). . Proposici´ on 5 Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los menores de orden k que se pueden formar con k l´ıneas paralelas fijas, por sus adjuntos complementarios. Ejemplo 8. Si en el determinante de orden cinco

(715)

(716)

(717) 1 1 −1 1 −1

(718)

(719)

(720)

(721) 1 3 2 0 3

(722)

(723)

(724)

(725) 0 0 1 1 1

(726)

(727)

(728)

(729) 2 2 2 0 3

(730)

(731)

(732)

(733) 3 3 1 1 1

(734) 10.

(735) elegimos las dos primeras columnas sólo hay tres menores no nulos, que son

(736)

(737)

(738)

(739)

(740)

(741)

(742) 1 3

(743)

(744) 1 3

(745)

(746) 1 1

(747)

(748)

(749)

(750) ,

(751)

(752) ,

(753)

(754) 3 3

(755) ,

(756) 2 2

(757)

(758) 1 3

(759). luego el determinante

(760)

(761)

(762)

(763)

(764) 1 1

(765)

(766) 1 1 1

(767) ·

(768) 2 0 3 =

(769)

(770) 1 3

(771)

(772)

(773) 1 1 1. vale

(774)

(775)

(776)

(777)

(778) 1 3

(779) −

(780)

(781)

(782) 2 2

(783).

(784)

(785)

(786)

(787) −1 1 −1

(788)

(789)

(790)

(791)

(792)

(793)

(794) ·

(795) 1 1 1

(796) +

(797) 1 3

(798)

(799) 3 3

(800)

(801)

(802) 1 1 1

(803).

(804)

(805)

(806)

(807) −1 1 −1

(808)

(809)

(810)

(811)

(812) ·

(813) 1 1 1

(814) =

(815)

(816)

(817)

(818) 2 0 3

(819). = 0 − 0 + (−6) · (−2) = 12. Dem. Todos los términos de esos productos pertenecen al desarrollo del determinante pues contienen elementos de él, uno de cada fila y uno de cada columna. Todos son distintos porque contienen elementos distintos y en consecuencia se obtienen todos, ya que el n´ umero de menores que pueden formarse con k l´ıneas de un determinante de orden n es nk y el n´ umero total de términos obtenidos será n k!(n − k)! = n!, k puesto que hay k! sumandos en el menor de orden k y (n − k)! en el de orden n − k, es decir todos los términos del determinante. Los signos se corresponden con los del desarrollo porque se tiene en cuenta el n´ umero de cambios necesarios de las filas del menor, cada una con la inmediata anterior, para llevar los menores a ser principales sin desordenar las filas del complementario. En el caso particular de elegir k = 1, tenemos la fórmula del desarrollo por l´ınea o desarrollo de Laplace, seg´ un la cual todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una l´ınea por sus adjuntos correspondientes.. 6. Bibliograf´ıa ´ [1] G. Birkhoff, S. MacLane. Algebra moderna. Ed. Vicens-Vives, Barcelona 1954. 11.

(820) [2] F.R. Gantmacher. The Theory of Matrices. Chelsea Publishing Company, New York 1959. ´ [3] S. Lang. Algebra lineal. Ed. Fondo Educativo Interamericano S.A., México 1976. ´ [4] A. Lentin, J. Rivaud. Algebra moderna. Ed. Aguilar, Madrid 1965. ´ [5] M. Queysanne. Algebra básica. Ed. Vicens-Vives, Barcelona 1971. [6] J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C.A. Trejo. Análisis matemático I. Ed. Kapelusz, Buenos Aires 1952. ´ [7] A.O. Rojo. Algebra II. Ed. El Ateneo, Buenos Aires, 1972.. 12.

(821) Cuadernos de Trabajo Escuela Universitaria de Estadística. CT01/2010. Propiedades exóticas de los determinantes Venancio Tomeo Perucha. CT05/2009. La predisposición de las estudiantes universitarias de la Comunidad de Madrid a auto-limitarse profesionalmente en el futuro por razones de conciliación R. Albert, L. Escot y J.A. Fernández Cornejo. CT04/2009. A Probabilistic Position Value A. Ghintran, E. González–Arangüena y C. Manuel. CT03/2009. Didáctica de la Estadística y la Probabilidad en Secundaria: Experimentos motivadores A. Pajares García y V. Tomeo Perucha. CT02/2009. La disposición entre los hombres españoles a tomarse el permiso por nacimiento. ¿Influyen en ello las estrategias de conciliación de las empresas? L. Escot, J.A. Fernández-Cornejo, C. Lafuente y C. Poza. CT01/2009. Perturbing the structure in Gaussian Bayesian networks R. Susi, H. Navarro, P. Main y M.A. Gómez-Villegas. CT09/2008. Un experimento de campo para analizar la discriminación contra la mujer en los procesos de selección de personal L. Escot, J.A. Fernández Cornejo, R. Albert y M.O. Samamed. CT08/2008. Laboratorio de Programación. Manual de Mooshak para el alumno D. I. de Basilio y Vildósola, M. González Cuñado y C. Pareja Flores. CT07/2008. Factores de protección y riesgo de infidelidad en la banca comercial J. Mª Santiago Merino. CT06/2008. Multinationals and foreign direct investment: Main theoretical strands and empirical effects María C. Latorre. CT05/2008. On the Asymptotic Distribution of Cook’s distance in Logistic Regression Models Nirian Martín y and Leandro Pardo. CT04/2008. La innovación tecnológica desde el marco del capital intelectual Miriam Delgado Verde, José Emilio Navas López, Gregorio Martín de Castro y Pedro López Sáez. CT03/2008. Análisis del comportamiento de los indecisos en procesos electorales: propuesta de investigación funcional predictivo-normativa J. Mª Santiago Merino. i.

(822) CT02/2008. Inaccurate parameters in Gaussian Bayesian networks Miguel A. Gómez-Villegas, Paloma Main and Rosario Susi. CT01/2008. A Value for Directed Communication Situations. E. González–Arangüena, C. Manuel, D. Gómez, R. van den Brink. ii.

(823)