Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús”
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES PROPIEDADES DE LAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”
En este capítulo definiremos las razones trigonométricas llamadas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante, abreviadas de la siguiente manera: sen, cos, tg, ctg, sec y csc.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Es aquel que posee un ángulo cuya medida es igual a 90º (recto). Los lados que determinan el ángulo recto se denominan catetos y el tercer lado hipotenusa. Además los otros ángulos del triángulo son agudos.
De la figura:
α y β : Ángulos agudos b y c : Catetos a : Hipotenusa Se cumplen:
•
• c < a ; b < a Teorema de Pitágoras
“En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”
Es decir:
b
2+ c
2= a
2¿Qué es una razón trigonométrica de un ángulo agudo?
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son aquellos cocientes que se establecen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto de uno de sus ángulos agudos.
Con respecto del ángulo “α” en la figura anterior, el cateto opuesto es “c”, el cateto adyacente es “b” y la hipotenusa es “a”, así se definen:
.
cos .
. . cot .
.
sec .
csc .
ceteto opuesto a sen hipotenusa c
cateto adyacente b hipotenusa c cateto opuesto a tag cateto adyacente b
cateto adyacente b ag cateto opuesto a
hipotenusa c cateto adyacente b
hipotenusa cateto o
c
puesto
a
RECÍPROCAS
sen . csc = 1 cos . sec = 1 tg . ctg = 1
COMPLEMENTARIO
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
APLICACIÓN 1
Si: sen 2x = cos 80º.
Calcular: “x”
90º (P. Complementarios) 2x + 80º = 90º x = 5º
Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
b
a c
Siempre y cuando:
+ = 90º (Complementarios)
Siempre y cuando:
=
a
b c
a
a 45º
45º
a 2a
60º 30º
a
5a 3a
37º 53º
4a
25a 7a
16º 74º
24a
a 8º
82º
7a a 75° 15°
A 4a
B
C a a
72°
18°
4
1 5
5 2 10
70°
20°
137
4
11
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RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Propiedad:
En el triángulo ABC, se cumple:
b = a 3 De 14° y 76°
De 2
y 127 2
53
De 2
y 143 2
37
Observación:
Si en el gráfico:
BH = 2
AC y mACB = 75°
Entonces: mBAC = x = 30°
APLICACIÓN
Calcular: E = sen230º + tg37º Reemplazando valores:
1 4 E
3 4 1 4 3 2
E 12
Resolver un triángulo rectángulo en particular significa determinar todos sus lados y todos sus ángulos
CALCULO DE LADOS
I. Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo
y la hipotenusa (H) se cumple:II. Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo
y su cateto opuesto (a) se Cumple:III. Si en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo
y su cateto adyacente (a) se Cumple:IV. superficie de un triángulo
1
S 2 m n sen
ANGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos definidos en el plano vertical, formado por la línea visual (línea de mira) y la línea horizontal.
Los ángulos verticales pueden ser:
ANGULO DE ELEVACION
Es el ángulo formado por la línea horizontal y visual cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal
ANGULO DE DEPRESION
Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
A
B
C
a a
120
°
30
°
30 b °
a
14
°
76°
a
4a
a
53°/2
127°/2 a
2a
a
37°/2
143°/2 a
3a
A
B
H C
a
x° 75°
2a
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Prof. Edwin Meza Flores “Amar, adorar y servir”
1. Del triángulo rectángulo mostrado calcular todas las razones trigonométricas de .
2. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide si Sen = 8/17. calcular las otras razones trigonométricas de .
3. En un triángulo rectángulo es uno de sus ángulos agudos si Cos = 1/3. calcular el valor de
E 2 Csc Cot
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 m si es uno de sus ángulos agudos y Tan = ¾. Hallar su perímetro
a) 48 b) 96 c) 69 d) 192 e) 60
5. En un triángulo rectángulo el semiperimetro es 60 m y la Secante de uno de su ángulos es 2,6. Calcular la longitud de la hipotenusa.
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54
6. Del triángulo mostrado. Calcular el valor de: ECot 5Cos
a) 1
b) 2 c) 3
d) 4
e) 5
7. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados están en progresión aritmética.
a) 3/5 b) 4/5 c) 1/2 d) 3/2 e) 1
8. Del triángulo rectángulo mostrado calcular la tangente del menor ángulo agudo.
a) 12/13 b) 12/5 c) 3/4
d) 5/12 e) 4/3
9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: SenA = 2SenC. Si la Hipotenusa mide
5 m
. Calcular la longitud de sus catetos.a) 1 y 2 b) 3 y 4 c) 3 y 5 d) 2 y 3 e) N.A.
10. En un triángulo isósceles ABC, AB = AC y CosA = 0,6. Calcular TanB.
a) 2 b) 1 c) 3 d) 3/4 e) 4/3
11. En la figura mostrada AM = MB. Calcular Tan.
a)1/2
b) 2
2 c) 3/4 d)
3 3 e) 3
12. En la figura mostrada AB = MC. Calcular E = Cot - Tan.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. En la figura mostrada AD = 6 y DC = 3.
Calcular Cos2.
a) 3/2 b) 1/2 c) 2 d) 2/3 e) 1
14. Del gráfico mostrado calcular Tan.
a) 2 b) 3 c)
2 2 d) 5 e) 1
15. ABCD es un trapecio si AB = 4, BC = 6 y CD =13. hallar Cos
a) 13
2 b) 13
1 c) 13
3 d) 13
4 e) 13
5
16. Si: Tan2x
.
Tan80° = 1 Hallar “x”a) 5° b) |0° c) 2°
d) 1° e) 6°
17. Si: Sen(2x + 20°)
.
Sec (80° - 3x) = 1 Hallar “x”a) 5° b) 10° c) 2°
d) 1° e) 6°
18. Si: Tan(Senx )
.
Cot (Cos70°) = 1 Hallar “x”a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
19. Calcular ( + ). Si se cumplen las siguientes relaciones.
Sen = Cos2 ………(I) Sen
.
Csc4 = 1 ………(II) a) 50° b) 40° c) 30°d) 20° e) 10°
20. Si y son complementarios además 16 Sen = Sec
Hallar el valor:
Sec Tan
E 5 .
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10
21. Simplificar:
89 ...
3 2 1
89 ...
3 2 1
Cos Cos
Cos Cos
Sen Sen
Sen E Sen
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
22. Sí: Tan 2x .Tanx = 1
Calcular E = Tan2 2x + Tan2 X a) 10/2 b) 10/3 c) 11/2 d) 10/5 e) 2
13 12
5
x - 1
x + 1
x
2x + 2
c
C
5
a
A B
A
M
C
B
A
M
C B
A C
B
H D
E
o
A B
D C
A D
B C
2
EJERCICIOS DEAPLICACIÓN
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23. Si y son ángulos agudos que verifican las igualdades
Sen 5 = Cos 8 ………(I) Tan . Cot 2 = 1 ……… (II) Calcular el valor de:
E=
Sen2(4+5°)+Tan2(5+2)+Sen(3++2°) a) 5 y 6 b) 6 y 7 c) 7 y 8 d) 10 y 5 e) 5 y 5
24. Hallar el valor simplificado de:
Sen230 Sen60 Tan37 Cos30 E
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/7
25. Hallar x en el gráfico mostrado
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 3
26. En el gráfico mostrado. Hallar Cot
a) 2
3
3 b)
3 3
3 c) 3
3
d) 3
3
2 e) 1
27. En el gráfico mostrado hallar Tan
a) 1/2 b) 1 c) 1/3
d) 1/5 e) 1/4
28. En el gráfico mostrado. Hallar x si DC = 10
a) 42 b) 13 c) 22
d) 12 e) 11
29. En el gráfico mostrado hallar x si ABCD es un cuadrado y EF = 35.
a) 10 b) 13 c) 12 d) 14 e) 24
30. Sí ABCD es un cuadrado. Calcular Tan x
a) 16
13 b)
13 16 c)
4 3
d) 3
4 e) 1
31. Del gráfico mostrado el radio de la circunferencia de centro O mide 2m. Calcular Tan
a) 2 -
3
b) 2 +
3
c) 3 -3
d) 3 -
2
e) 2 -2
32. Si A; B y C son los ángulos de un triángulo rectángulo ABC recto en B. Calcular el valor de:
A Tan C Csc C Cos A Cos
E 2 2 2 2
a) 2 b) 1 c) 3
d) –1 e) –2
33. Si AB = BC y BM = MC, calcular Tan
a) 4/9 b) 3/7 c) 1/9 d) 1 e) 5/9
34. Hallar el área del triángulo.
a) K Sen Cos b) K2 Sen Cos c) k Sen Cos
2 ,
2
d) K Sen 2. Cos e) N.A:
35. Hallar x
a)aSen.Cos
b) 2aSen.Cos c)aSenCos
2 .
d) 3aSen.Cos
e) N.A.
2x
60 45°
1 3
3
B
4
A
150°
C
23° x B
A
D
37° C
E 37°
B
F
C
D A
x
B
A
C
D E F
X 37°
30°
A
B C
D 0
2
A 37°
B
C M
k
x
a
8 6
135°
A
B
C
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36. Hallar x
a)
a Cos
Sen
..Cot
b)
a Cos
Sen
..Cot
c)
a Sen Cos Cot
d) 3aSen.Cos e) N.A.
37. Hallar x/y
a) Cos2 b) Sen2
c) Tan2 d) Sec2 e) Cot2 38. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9(AB) Hallar: Tan + Cot
a) 4 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
39. Hallar Tan si AB = DE
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/5 e) 1
40. Si OA = OB = CD. Hallar Cos . Cos3
a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/7
41. Hallar X si el área del triángulo es 24u2
a) 4 b) 8 c) 3
d) 5 e) 1
42. Hallar Sen . Si AB = 3 ; BC = 10 y BM = MC
a) 15/16 b) 16/17 c) 15/17
d) 1 e) 13/14
43. Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación “”.
Cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar .
a) 15° b) 30° c) 45° d) 37° e) 53°
44. Desde un punto del suelo se observa al punto más alto de una torre con un ángulo de elevación “”, desde la mitad de la distancia que separa al punto de la torre el ángulo de elevación hacia el mismo punto es el complemento de “”. Hallar: Tan.
a) 2
2 b)
2
c) 2 1d) 2
3 e)
4 3
45. Una antena está colocada en la azotea de un edificio. A 12 m de distancia del edificio sobre el suelo. Los ángulos de elevación a la punta de la antena y a la parte superior del edificio son 53° y 37° respectivamente. Hallar la longitud de la antena.
46. Desde el pie de un poste se observa la parte alta de una torre con un ángulo de elevación de 45°, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37°. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m.
a) 30° b) 45° c) 37°
d) 53° e) 60°
47. Dos móviles A y B parten de un punto P el móvil A en el rumbo NE y el móvil B en el rumbo S2E cuando A recorre 8 m, B recorre 15 m y la distancia que los separa en ese momento es 17 m. ¿cuál es el valor de ?.
a) 30° b) 60° c) 37°
d) 53° e) 15°
48. Un móvil se desplaza 40 km según el rumbo S60°O con respecto a un punto luego se desplaza 20 km según el rumbo N60°O.
hallar el desplazamiento total con respecto a su nueva ubicación.
a) 20 7 b) 10 7 c) 5 7 d) 24 7 e) 21 7
49. Desde el centro de una pista circular un móvil se desplaza en la dirección NE hasta encontrar a la pista. Desde este punto se dirige a la parte nórdica de la pista en la dirección N70°O. Hallar .
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 70° e) 48°
50. Desde un punto al SUR de una torre se observa a su parte superior con un ángulo de elevación “”.
El observador avanza en el rumbo NE hasta ubicarse exactamente al ESTE de la torre.
Calcular el ángulo de elevación con que se observa nuevamente la parte superior de la torre esta nueva posición.
a) 45° b) 50° c) 37° d) 53° e) 30°
51. Desde un punto situado al SUR de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30° y desde otro punto situado al ESTE de la torre el ángulo de elevación es de 45°. Hallar la longitud de la torre si la distancia entre los dos puntos de observación es de 10 m.
a) 5° b) 10° c) 6°
d) 4° e) 2°
B
B A
D
C x
a
x
y
P A
R B
C
D Q
E 37°
10 37° x
D
C B
A
M
B A
D
C
o