UUNNIIDDAADD 33:: EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGÉÉBBRRAAIICCAASS

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UUNNIIDDAADD33::EEXXPPRREESSIIOONNEESSAALLGGÉÉBBRRAAIICCAAS S

Se denomina variable real a un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario. Se denomina constante real a un símbolo que se usa para representar un número real fijo.

Se denomina expresión algebraica a toda combinación de constantes y variables relacionadas entre sí por los signos de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

3.1 MONOMIOS

Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador.

En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coeficiente) y el factor literal (variables y exponentes).

Por ejemplo en el monomio 6x⁷y²z el coeficiente es 6 y el factor literal es x⁷y²z. Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí.

3.1.1 Operaciones con monomios

3.1.1.1 Suma o resta de monomios semejantes

La suma o resta de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual a la suma o resta de los coeficientes y factor literal respectivamente de los monomios que se suman o restan.

Los siguientes son ejemplos de monomios:

a. ^⁶^x⁷^y²^z b.

1 3

x c. ^³⁷^abc d. ²⁵

Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios:

a. 6x b. 3

4 y x

c. ⁹^x^³^y² d. _3z²¹ Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:

a. ⁵ ⁵₃ ⁴

z y

x c. ^x⁴^y² ^³ ²^xy

b. a b b a



 d. a³ a²b^³ c^⁴

Ejemplo No. 29

Ejemplo No. 30

(2)

3.1.1.2 Multiplicación de monomios

La multiplicación de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al producto de los coeficientes y al producto de los factores literales respectivamente de los monomios que se multiplican.

3.1.1.3 División de monomios

La división de dos monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al cociente de los coeficientes y al cociente de los factores literales respectivamente de los monomios que se dividen.

Realice las siguientes operaciones:

a. 3 7

4 5

72 48

n m

n

m b. ₂²₃⁷₅

2 36

z y x

Solución:

c. ₃⁵ ₇⁴  ² ^3  3

2 72

48 m n

n m

3 2

n m

d.  ⁴ ^4 

5 3 2

7 2

18 2

36 y z

z y x

4 4

18 z y

a.  ^x ^y 6^x³^y³^z

3 5

15 2 b. 2^xy⁴³ ^x³^y ³ ^xy

7 2 4

Solución:

a. ¹⁵^x²^y³₆⁵^x³^y³^z^ ²⁵₂ ^x⁵^y⁶^z

b.    ^ 2³ ⁵ ⁶ ^

3 7 3 3

4 2

7xy 2x y 4xy 8x y 7x⁵y⁶

d.

a. 5âx^²âx^âx

2 b. 4x²y5ayx²y4ay

Solución:

a. ₅²ax2axax₅² 21ax ₅³ax

b. 4x²y^5ay^x²y^4ay ^4^1x²y^5^4ay^ 3x²yay

c.

Ejemplo No. 31

Ejemplo No. 32

Ejemplo No. 33

(3)

3.2 POLINOMIOS

Se llama polinomio a toda expresión algebraica que es monomio o una suma de monomios.

Si un polinomio está formado por la suma de dos monomios no semejantes entre si recibe el nombre de binomio. Si un polinomio está formado por la suma de tres monomios no semejantes entre si recibe el nombre de trinomio.

Un polinomio de variable x es una suma de la forma:

  1 0

1

1x a x a

a x a x

P  _n ⁿ  _n_ ⁿ^  

En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente a_k_,es un número real. Si a_n 0, se dice que el polinomio tiene grado n.

3.2.1 Operaciones con polinomios 3.2.1.1 Suma o resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, primero se eliminan los paréntesis y luego se suman los términos semejantes.

3.2.1.2 Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del segundo polinomio.

a. ^x³ ^²^x² ^⁵^x^³ ^ ⁵^x³^³^x² ^¹ b. ^x³^²^x² ^⁵^x^⁷ ^ ⁴^x³^⁵^x²^³

Solución:

a. Se eliminan los paréntesis: x³2x²5x35x³ 3x²1

Se suman términos semejantes: 15x³ 23x² 5x31 6x³ x² 5x4

b. Se eliminan los paréntesis: x³2x²5x74x³ 5x²3

Se suman términos semejantes: ¹^⁴^x³ ^²^⁵^x² ^⁵^x^⁷^³^ ^³^x³ ^⁷^x² ^⁵^x^⁴

Los siguientes son ejemplos de polinomios:

a. 3m²n c. 3ab4ac8bcabc

b. ^xy ^x 3 ^y

2 1

3 4   d. 10x

Ejemplo No. 34

Ejemplo No. 35

(4)

3.2.1.3 División de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del segundo polinomio.

Procedimiento:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma literal.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.

3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente.

4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.

3.2.1.3.1 Algoritmo de la división para polinomios

Si f(x) y p(x) son polinomios y si p(x)0, entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que:

) (

) ) (

) ( (

) (

x p

x x r

x q p

x

f   , o bien f(x)=p(x)q(x)r(x)

Donde r(x) 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo en la división de f(x) entre p(x)

Realice la siguiente operación (obtenga el cociente y el residuo):

1 3

2 3



 x

x x

Realice la siguiente operación:

2x² 3x³ 5x1

Solución:

Un método consiste usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio x³5x1 como si fuera un solo termino. Veamos:

²^x²^³^x³^⁵^x^¹^²^x²^x³^⁵^x^¹ ^³^x³^⁵^x^¹

A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se suman términos semejantes:

²^x²^³^x³^⁵^x^¹^²^x⁵^¹⁰^x³^²^x²^³^x³^¹⁵^x^³^²^x⁵ ^¹³^x³ ^²^x² ^¹⁵^x^³

Ejemplo No. 36

Ejemplo No. 37

(5)

1. Realice las siguientes operaciones:

a. 4a⁵b3a⁵b g. ^⁴^x²^^x^⁽³^x² ^⁷^x²⁾ ^ ⁽⁵^x²^^x²⁾^⁶^x

b. ^²^xy^³^xy h. (x1)  x1

c. ²⁴^a⁵^b³^³^a⁸^b i. ^³^x⁸⁵^x³^²^x² ^⁵^x^⁴

d. ³^mx²²²^m⁵^x⁴^z j. ^⁷^x⁴^⁵^x³^²^x²^³^x^¹⁶^x³^⁵^x²^⁸^x^¹⁰

e. ⁵^x³^²^x²^⁵^x^⁴ ^ ²^x³^⁴^x² ^³^x^¹ k.

2 1 2 4 3

4 5 1





 x

x x

f. ^⁷^x⁴^⁵^x³^²^x²^³^x^¹ ^ ⁶^x³^⁵^x² ^⁸^x^¹⁰ l.

x x







2 3

2

4 2 3

2. Exprese la división de x³  ²⁰₃ x² 16x10 entre 3x2como

) (

) ) (

) ( (

) (

x p

x x r

x q p

x

f  

3. En una división el divisor es x² 1, el cociente es x² 2x2 y el residuo es 4x1. Halle el dividendo.

3.3 PRODUCTOS NOTABLES

Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más conocidas de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación.

Actividad No. 9 Solución:

Se realiza la división algebraica de polinomios:

³ ³

2  x

x x1

x x 

 ² x4

^⁴^x^³ ⁴^x^⁴ ⁷ Cociente: x4

Residuo: 7

Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene:

1 4 7 1

3

2 3

 



 





x x x

x x

(6)

Nombre Fórmula Diferencia de cuadrados â^^bâ^^b^â² ^^b²

Cuadrado de una suma ab² a² 2abb² Cuadrado de una diferencia â^^b² ^â² ^²âb^^b²

Cubo de una suma ab³ a³ 3a²b3ab² b³ Cubo de una diferencia ab³ a³ 3a²b3ab² b³

Desarrolle los siguientes productos notables:

a. ^x² ^ ³^x² ^ ³ g.

2

2 3 2

3 3



 



  x x b.

2 2



 



  z

z h. ²^z² ^³^z³²

c. ³^y^²^z²³ ^i. ³^y^²^z²³

Actividad No. 10

Desarrolle los siguientes productos notables:

a. ³^x²^y^²^xy²³^x²^y^²^xy² d.

3

2 2



 



  a

b b a

b.  ²â² ^ ³â⁴² ê. 2 ³ ³

4 2

3 x 

c. ₃²^m²ⁿ³^₄⁹^m⁴ⁿ⁵²

Solución:

a. ³^x²^y^²^xy³³^x²^y^²^xy³    ^ ³^x²^y ² ^²^xy³ ²^ ⁹^x⁴^y² ^⁴^x²^y⁶

b.  ²â² ^ ⁶â⁴       ² ^ ²â² ² ^² ²â² ⁶â⁴ ^ ⁶â⁴ ² ^ ²â⁴ ^⁴ ³â⁶ ^⁶â⁸

c. ₃²^m²ⁿ³₄⁹^m⁴ⁿ⁵ ²  ₃²^m²ⁿ³ ² ² ₃²^m²ⁿ³₄⁹^m⁴ⁿ⁵  ⁹₄^m⁴ⁿ⁵²  ₉⁴m⁴n⁶ 3m⁶n⁸₁₆⁸¹m⁸n¹⁰

d.  ^



 







 







 



 



 



 



 



 



 







 



 

3

2 2

2 2 2

2 3 3

2 2

3

3 a

b a

b b a a

b b

a b

a a

b b a

6 3

2 2

3 6

3

3 a

b a

b b

a b

a   

e. ³₂⁴ ^x³ ^²    ³ ^ ³₂⁴ ^x³ ³ ^³³₂⁴ ^x³ ²^{ }² ^³ ³₂⁴ ^x³ ^{   }² ² ^ ² ³ ^ ₂¹^x⁹ ^³³ ²^x⁶ ^⁶³ ⁴^x³^⁸

Ejemplo No. 38

(7)

d. ³ ^x^¹³ ^j. ²^x⁴ ^⁵^x³³

e. xy3² k. ^pⁿ ^^qⁿ³

f. ^x^m ^^xⁿ² ^l. ^^x^^y^³^²

3.4 FACTORIZACIÓN

Factorización es una técnica que consiste en escribir una expresión matemática en forma de un producto. El objetivo es escribir una expresión matemática en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. A continuación se presentaran algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios.

3.4.1 Factorización por factor común

La factorización de polinomios por factor común consiste en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

3.4.2 Factorización por agrupación de términos

Consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante las propiedades distributivas.

Factorice:

bd ad bc

ac2 2  4

Solución:

Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera:

) 2

( ) 2 4 ( 2

2

4ac bc adbd ac b  adbd 2c(2ab)d(2ab)

 (2cd)(2ab) Factorice:

a. ²⁵^x²^y⁴ ^¹⁵^x⁴^y² ^¹⁰^x³^y³ b. 18ab 8a² 2ab² Solución:

a. 25x²y⁴ 15x⁴y² 10x³y³  ⁵^x²^y²⁵^y² ^³^x² ^²^xy

b. 18ab^ 8a² ^ 2ab² ^ ²^a³^b^²^a^^b²

Ejemplo No. 39

Ejemplo No. 40

(8)

3.4.3 Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio de la forma ab o ab. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:

Trinomio cuadrado perfecto Factorización

2

2 2ab b

a   = ab²

2

2 2ab b

a   = ab²

3.4.4 Trinomio de la forma x² bxc

Un trinomio de la forma x²bxc se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado con coeficiente uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término independiente. Se factoriza de la siguiente manera:

Trinomio de la forma x² bxc Factorización c

bx

x²  = xmxn

donde mnb y mnc

3.4.5 Trinomio de la forma ax² bxc

Un trinomio de la forma ax² bxc se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado con coeficiente distinto de uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término independiente. Se factoriza por medio de un procedimiento para expresarlo de la forma x² bxc.

Factorice:

a. x² 7x12

b. m⁴ ⁴m² ¹²

Solución:

a. x² 7x12 x⁴x³

b. ^m⁴ ^⁴^m² ^¹²^   ^m² ² ^⁴^m² ^¹²^ ^m² ^⁶^m²^²

Factorice:

a. 4x² 12x9

b. ₁₆⁹ ^m⁴ ^₃⁴^m²ⁿ^ ₈₁⁶⁴ⁿ² Solución:

a. 4x² 12x9 2x ² 2    2x 3  3 ²  2x3²

b. ₁₆⁹ m⁴ ₃⁴m²n ₈₁⁶⁴n²    ₄³m² ² 2 ₄³m²    ₉⁸n  ₉⁸n ²  ₄³^m²^₉⁸ⁿ²

Ejemplo No. 41

Ejemplo No. 42

(9)

3.4.6 Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados tiene la forma a² b² y se factoriza de la siguiente manera:

Diferencia de cuadrados Factorización

2

2 b

a  = ^a^^b^a^^b

3.4.7 Suma de cubos

Una suma de cubos tiene la forma a³b³ y se factoriza de la siguiente manera:

Suma de cubos Factorización

3

3 b

a  = â^^bâ² ^âb^^b²

Factorice:

   ³ ³

3 1 5 1

125a   a 

Solución:

   ³ ³

3 1 5 1

125a   a  ^⁵â^¹      ⁵â ² ^ ⁵â ¹ ^ ¹ ²^ ^⁵â^¹^²⁵â² ^⁵â^¹

Factorice:

a. 9a² 16

b. ¹⁶^x⁴^⁸¹^y⁸ Solución:

a. 9a² 16   3a ²  4 ²  ³a⁴³a⁴

b. ¹⁶^x⁴^⁸¹^y⁸ ^    ⁴^x² ² ^ ⁹^y⁴ ² ^ ⁴^x² ^⁹^y⁴⁴^x² ^⁹^y⁴^ ⁴^x² ^⁹^y⁴²^x^³^y²²^x^³^y²

Factorice:

12 8 4x² x

Solución:

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del término elevado al cuadrado:

 ^ ^ ^ ^{   }^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^





8 12 4 8 12 4 84 48 4 12 4 4

4x² x ₄⁴ x² x ₄¹ x ² x ¹₄ x x x³⁴x⁴

Ejemplo No. 43

Ejemplo No. 44

Ejemplo No. 45