FUNCIONES REALES
Licenciado- Ingeniero Mg. Rosmiro Fuentes Rocha
SITUACION PROBLEMA
Una empresa importadora de productos agrícolas ha encontrado que los costos de importación de los últimos 5 años siguen el modelo matemático dado por la expresión donde x representa las unidades importadas y C el costo en miles de dólares
a. ¿Cuál será el costo de importar 50 unidades?
b. ¿Existirán costos aún cuando no se realice importación?
c. ¿Qué sucede con C(x) la importación pasa de 70 a 80 unidades?
d. ¿Se podrá determinar el número de unidades que deben importarse para que los costos sean mínimos?, ¿Cómo lo harías?
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de R le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
Expresado en notación funcional
x: variable independiente y: variable dependiente
FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN
Mediante una tabla de valores.
Es una representación de datos mediante
pares ordenados que expresan relación entre dos variables
Mediante su expresión analítica.
Es una ecuación que relaciona
algebraicamente las variables que intervienen
Mediante su gráfica
Es un dibujo o boceto que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función.
REPRESENTACION GRAFICA
La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece al dominio de f. En la figura 1, puede observarse que x es la distancia dirigida desde el eje y, y f(x) es la distancia dirigida desde el eje x.
CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL
En el caso de una recta vertical, esta puede cortar la gráfica de la función de x a lo mucho una vez. Esta observación nos permite tener criterio visual adecuado al cual se le denomina como criterio de la recta vertical, para
funciones de x.
PUNTO DE CORTE CON LOS EJES
Los puntos de corte de la función f(x) con el eje X se obtienen al resolver
Puede haber más de un punto de corte de una función con el eje X.
El punto de corte con el eje Y es el punto .
Hay máximo un punto de corte con el eje Y, ya que si no, f(x) no es función
Punto de corte con los ejes
Identifica los puntos de corte
Punto de corte con los ejes
Identifica los puntos de corte
x y
Punto de corte con los ejes
Identifica los puntos de corte
DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES
Dominio de una función: son todos los posibles valores que puede tomar la variable independiente (x). se simboliza D(f)
Rango o conjunto de imágenes: son todos los posibles valores que puede alcanzar la variable dependiente (y).
Se simboliza R(f).
Cómo encontrar el dominio y el rango de una función
Para encontrar el dominio se despeja la variable dependiente (y) y se analizan las limitantes que pueda presentar la variable independiente x
Para encontrar el conjunto de imágenes se despeja la variable independiente (x) y se analizan las limitantes que pueda presentar la variable dependiente y.
Restricciones al momento de efectuar los despejes
1. Si al despejar las variables se obtienen variables en el denominador, se hace este igual a cero para y se resuelve la ecuación con el fin de determinar los valores que restringen al dominio o al rango
2.Si al despejar las variables se obtienen expresiones radicales, se hace la cantidad subradical mayor que cero y resuelve la inecuación para encontrar los valores restringidos.
3. Variables con logaritmos
Si al despejar las variables se obtienen funciones polinómicas no existe ningún tipo de restricciones para el dominio o el rango
1. Función Constante
Una función constante es una relación que asigna a todos los elementos del dominio una misma imagen, matemáticamente se define como f(x) = k, donde k es un número real
x -1 0 2 4
y 2 2 2 2
2. Función Lineal
Su gráfica es una línea recta, su representación matemática es
m: pendiente de la recta b: intercepto con el eje y
Ejemplo: graficar la función f(x)= 2x+1
La tabla es
x -1 0 2 3
f(x) -1 1 5 7
x y
y=2x+1
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
medida de la inclinación de la línea recta que representa a la función. Una forma de medir dicha inclinación es comparar su cambio vertical (la elevación) con el cambio horizontal (el avance) cuando se avanza a lo largo de la recta de un punto fijo hacia otro, es decir, dados dos puntos distintos y la razón de cambio en al cambio en , se expresa
3. Función Cuadrática o de segundo grado Su representación matemática:
Su gráfico es una parábola
a ≠0
Si a>0 la parábola abre hacia arriba
Si a<0 la parábola abre hacia abajo
El vértice de la parábola (h,k)
El intercepto con el eje y es (0,c)
Las raíces se obtienen
FUNCIONES POLINÓMICAS
Una función polinómica es aquella de la forma
Con y las a son constantes reales. El dominio de una función polinómica es el conjunto de los reales y el rango será un intervalo de R. La
gráfica de un polinomio es una curva suave y continua
0 1
1
1
...
)
( x a x a x a x a
f
n n
n n
y = x3 y = x5-3x2
x y
x y
FUNCIÓN RACIONAL
Una función es una función racional si donde son polinomios y .
El dominio de está formado por todos los números reales excepto los ceros del polinomio que está en el denominador
Asíntota vertical
La recta es una asíntota vertical de la
gráfica de una función racional , si tiende a o si cunado tiende a por la izquierda o por la derecha.
La recta es una asíntota vertical de porque
Asíntota horizontal
La recta es una asíntota horizontal de la
gráfica de una función racional , si cuando o cuando .
La función tiene una asíntota horizontal en , porque el
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial es una función de la forma donde es una constante positiva.
Los valores de son todos positivos, ya que la gráfica siempre se encuentra situada por encima del eje x
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1 ( es decir la curva sube de izquierda a derecha)
Decreciente si a<1.
Las curvas y son simétricas respecto del eje Y.
ax
x f ( )
a
xy
xy a
1
FUNCION LOGARITMICA
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Se define como
a>0 y a≠1.
Donde indica el único exponente y, tal que
x x
f
y ( ) log
ax a
y
a
