7. Tema 7: Aproximación de números. Errores. Notación científica... 1

7. Tema 7: Aproximación de números. Errores. Notación científica.

Índice

7. Tema 7: Aproximación de números. Errores. Notación científica. ... 1

7.1. Introducción ... 1

7.2. Aproximación y estimación de números ... 2

7.3. Error absoluto y cifras exactas ... 2

7.4. Error relativo ... 3

7.5. Problema directo y problema inverso de la teoría de errores ... 4

7.6. Operaciones con números aproximados ... 4

7.7. Notación científica ... 7

7.8. Resumen ... 8

7.9. Conclusión ... 8

7.10. Bibliografía ... 8

Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)

7. Tema 7: Aproximación de números. Errores. Notación científica.

7.1. Introducción

LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene determinado por el siguiente marco legislativo estatal y autonómico:

• Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre.

• Decreto 48/2015 de 14 de mayo del Consejo de Gobierno.

• Decreto 52/2015, de 21 de mayo, del Consejo de Gobierno.

CURRÍCULO

El redondeo es una actividad habitual que los estudiantes deben comprender y realizar con soltura. Ya desde 1ESO es importante el tratamiento de la aproximación de números en el currículo. Se comienza estudiando los redondeos realizados con números enteros y, después, redondeos de números decimales que aparecen de forma natural en el quehacer diario: mediciones con la cinta métrica, redondeo a los metros o a los decímetros; mediciones con la regla, redondeo a los centímetros;

manejo de dinero, redondeo al euro y al céntimo.

Es en 2ESO donde se introduce el concepto de error cometido en el redondeo y la cota de error, que tendrá su transferencia a otras materias científicas y que les enseñará a ser conscientes del alcance y consecuencias de los redondeos que cometemos voluntariamente.

En 3ESO se introduce la distinción entre el concepto de cifra significativa, error relativo y error absoluto: el tratar con números de muchas cifras decimales nos lleva a hablar de cifras significativas, de aproximaciones y de errores. Debe quedar clara la idea de que en el redondeo, el error cometido es menor que media unidad perteneciente al orden de unidades al que se redondea. Ahí hablamos de error absoluto. Finalmente, comparando el error absoluto y el valor de la cantidad aproximada, aparece la idea de error relativo.

Estos conceptos formarán la base para la comprensión de la necesidad y el alcance de la aproximación de números decimales en todas las ciencias.

O.D.

Las competencias expresan finalidades educativas a largo plazo, que han de desarrollarse paulatinamente a lo largo de varios cursos y etapas, y mediante el trabajo en diferentes temas de matemáticas. En ambos casos, las actuaciones de los escolares ante determinadas tareas permiten observar el grado de consecución de esas expectativas. Estos conceptos se pueden aplicar de forma clara y contundente a infinidad de ejemplos de la vida cotidiana y que, además, podremos trabajar con el Proyecto Gauss como apoyo a los ejercicios que se realicen en el aula.

HISTORIA

Las causas más importantes de operar con números aproximados son las siguientes:

a) La imperfección de nuestros sentidos y de los aparatos de medida a la hora de medir ciertas magnitudes, o datos de una investigación científica.

b) La imposibilidad de expresar en fracción de números enteros el resultado de algunas operaciones.

c) Cuando los números exactos tienen muchas cifras y la naturaleza del problema no requiere obtener el resultado con completa exactitud.

d) Las limitaciones físicas de los ordenadores.

El método científico se lleva a cabo en medio de una constante interacción entre las leyes científicas (teoría) y las mediciones empíricas, que se comparan entre sí en forma permanente.

La aproximación también se refiere a simplificar este proceso, facilitando la realización de predicciones. Las posturas más comunes de filosofía de la ciencia aceptan que las mediciones empíricas constituyen siempre aproximaciones — no representan de manera perfecta lo que está siendo medido.

A continuación, desarrollaremos el tema siguiendo el índice anteriormente expuesto.

7.2. Aproximación y estimación de números

Estimación es un juicio de valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de circunstancias individuales del que lo emite. En consideraciones realizadas sobre el concepto de estimación aparece implicado el término “aproximación”. “Aproximación” es la búsqueda de un dato numérico suficientemente preciso para un determinado propósito. En este sentido, la Aproximación es una parte importante de la Estimación, pero no la agota.

Las aproximaciones y su grado de proximidad (errores) permiten elaborar una Aritmética particular a la que se conoce por Cálculo Aproximado y que desarrolla cálculos con valores numéricos que son aproximados.

Todo número real admite una expresión decimal, es decir, que puede escribirse con los dígitos 0,1,2, …,9 y la coma decimal. En el caso de los números irracionales y de los racionales periódicos, el desarrollo decimal es infinito, tiene infinitas cifras. El truncamiento y el redondeo son dos métodos que nos permiten obtener un valor aproximado de un dato numérico expresado en forma decimal.

7.2.1. Truncamiento y redondeo

• Truncamiento: Truncar un desarrollo decimal infinito es cortar la expresión decimal en un lugar concreto e ignorar las cifras que han quedado a la derecha.

• Redondeo: Redondear un número es suprimir todas sus cifras a partir de la n-ésima. Si la primera cifra suprimida es menor que 5, las n primeras se mantienen igual, pero si ésta es mayor o igual que 5, la cifra n-ésima se aumenta en una unidad.

Ejemplo: El número π truncado con 4 cifras decimales es 3´1415. El error cometido (al considerar esta aproximación) en valor absoluto es menor que 10^-4.

Si redondeamos π a 4 cifras decimales obtenemos 3´1416, puesto que la quinta cifra decimal es 9 (≥5). En este caso podemos asegurar que el valor absoluto del error cometido es menor que .

Cuando el valor aproximado es mayor que el valor real se dice que la aproximación es por exceso. Cuando el valor aproximado es menor que el valor verdadero la aproximación es por defecto.

El truncamiento es una aproximación por defecto. El redondeo es por defecto cuando mantenemos las cifras originales y es por exceso cuando aumentamos la última cifra.

7.2.2. Definición de número aproximado

Se llama “número aproximado” de otro número A dado (al que llamamos número exacto) a todo número A´ A y que difiere relativamente poco de A.

Si A´ > A, A´ se dice que es aproximado por exceso. Si A´ < A, A´ se dice que es aproximado por defecto.

7.3. Error absoluto y cifras exactas

Se llama error absoluto de un dato numérico x1 al valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto x y el valor aproximado x1: .

El error absoluto, tal y como se ha definido, suele ser desconocido en su verdadero valor puesto que en la mayoría de los casos se empieza por desconocer el verdadero valor de x. Por tanto, en lugar de hablar del error absoluto de una aproximación se suele dar una cota de dicho error.

La cota de error es una unidad de orden, tal que el error cometido no llegue nunca a valer una unidad de ese orden. Suelen adoptarse como límites de error las sucesivas potencias de 10: 10^-1, 10^-2, …, 10, 10²,…

Se llama orden o grado de aproximación al orden decimal o entero al que corresponde la cota de error absoluto.

Por ejemplo, si elegimos 2.23 como aproximación del número irracional √5, podemos asegurar que el error absoluto cometido es menor que 10^-2, es decir, la cota de error es 10^-2 y el grado de aproximación es de las centésimas.

10 4

2

-

¹

x x x1

D = -

7.3.1. Cifras exactas de un número aproximado

Se llaman cifras exactas de un número aproximado a las que tiene enteras o decimales desde la primera cifra significativa hasta la que da el grado de aproximación. Es decir, un número tiene exactas todas sus cifras cuando su error absoluto es inferior a una unidad del orden de la última de ellas.

Se llaman cifras decimales exactas de un número aproximado a las cifras existentes a partir de la coma decimal hasta la que da el grado de aproximación.

Hay que señalar que si un número aproximado tiene todas sus cifras exactas no significa que todas ellas coincidan con las del número al que aproxima. Por ejemplo, la aproximación 3´1416 de π tiene todas sus cifras exactas, pero el 6 no coincide con la cifra de π del orden de las diezmilésimas.

7.3.2. Obtención de valores aproximados con todas sus cifras exactas

Sea E.a1a2…ak la expresión decimal de la aproximación de un cierto dato numérico con un error absoluto menor que 10^-n (n ≤ k). Distinguimos dos casos:

• La aproximación es por defecto. En este caso podemos suprimir las cifras a partir de la de orden n. El decimal así obtenido, E.a1a2…an, sigue teniendo un error absoluto menor que 10^-n y además tiene todas sus cifras exactas.

• La aproximación es por exceso. Entonces suprimimos, igual que en el caso anterior, las cifras que siguen a la de orden n. A la última cifra conservada se le suma una unidad, obteniendo así E.a1a2…an-1bn, con bn= an+1, que tiene todas sus cifras exactas y el error absoluto cometido es menor de 10^-n.

7.4. Error relativo

Se llama error relativo de un número aproximado x1 al cociente entre el error absoluto y el valor exacto:

. El error relativo es, por lo tanto, el error absoluto por unidad, y, así, nos sirve para comparar medidas hechas con distintas unidades.

Como ocurría antes, el verdadero valor del error relativo es desconocido. Por tanto, es necesario establecer una cota de error relativo. Por comodidad del cálculo, se adopta como denominador un número sencillo, que sea menor que x, para obtener así una cota superior del error relativo.

Es inmediato comprobar que si un número aproximado y su correspondiente exacto se multiplican por una cantidad constante, el error relativo no varía, mientras que el error absoluto queda multiplicado por la cantidad.

Por tanto, en los números que tienen exactas todas sus cifras, lo más cómodo es suprimir la coma decimal, resultando que ∆x < 1.

Como el valor aproximado x1, una vez suprimida la coma, es siempre de la forma , siendo a su primera cifra significativa, resulta que si p ≥ 1, y en el caso excepcional en que p=0, será

.

En general, tenemos que , esto es:

“El error relativo de un número aproximado que tiene todas sus cifras exactas es menor que la unidad dividida por la primera cifra significativa seguida de tantos ceros como cifras exactas siguen a aquella”.

A los números así obtenidos los llamaremos cotas prácticas de error. Si el número aproximado tiene una sola cifra significativa, adoptaremos como cota práctica el cociente redondeado por exceso, para superar con toda seguridad el error relativo.

7.4.1. Obtención de valores aproximados con todas sus cifras exactas conociendo la cota de error relativo

Veamos ahora cómo calcular el número de cifras exactas de una aproximación cuando conocemos una cota del error relativo cometido.

x e = ^Dx

1 10ⁿ , 0

x =a + p p³ 10ⁿ

x a>

1 10ⁿ

x =a

1 10ⁿ x

x a e =^D <

Supongamos que hemos aproximado un dato numérico con un error relativo no mayor que . Tal aproximación será de la forma (suponemos que el número y su aproximación tienen n cifras enteras). El error relativo es , luego .

• Si fuera b ≤ a, entonces , de donde ∆x < 0.1 y por tanto, aseguramos que la aproximación tiene n+1 cifras exactas.

• Si es a<b, entonces y por tanto, ∆x < 1; luego la aproximación cuenta con n cifras exactas.

7.5. Problema directo y problema inverso de la teoría de errores

En la teoría de aproximación, podemos considerar dos problemas:

El problema directo del cálculo aproximado tiene por objeto la determinación del orden de aproximación del resultado de una operación conocido el error que se comete (absoluto o relativo) al aproximar sus datos.

El problema inverso del cálculo aproximado tiene por objeto la determinación del orden de aproximación con que deben tomarse los datos de una operación para que su resultado aparezca con un límite de error prefijado.

Ejemplo: Si queremos que el error relativo cometido correspondiente a un número aproximado sea , vamos a calcular el número mínimo de cifras exactas que hay que tomar.

Llamando m a dicho número, podemos asegurar que . Como queremos que sea , exigimos que . De aquí se deduce:

Si a ≤ b , basta tomar m−1= n ⇒ m = n +1.

Si b < a, hay que tomar al menos m−1= n +1 ⇒ m = n + 2

Conclusión: Si a ≤ b tendremos que tomar n+1 cifras exactas y si b < a, habrá que tomar n+2.

Este resultado se aplicará, en las distintas operaciones, cuando hayamos calculado cómo afectan los errores a aquéllas.

7.6. Operaciones con números aproximados

Sean números aproximados con respectivos errores absolutos . Si llamamos Δ al error absoluto de la suma de estos n números, se tendrá que, por la propiedad triangular del valor absoluto,

.

Como siempre, lo que nos interesa es conocer un límite del error absoluto. Si son cotas de respectivamente, entonces, es inmediato comprobar que ∆<na, donde . Si el número de sumandos es menor que 10, una cota del error absoluto es ∆<10a; si está comprendido entre 10 y 100, entonces ∆< 100a; etc.

Como consecuencia de esta regla se deducen los problemas directo e inverso de la suma.

- Problema directo: Si tenemos varios sumandos aproximados con órdenes distintos, y el que menos tiene n cifras exactas, la suma tiene n-1 cifras exactas si el número de sumandos es inferior a 10; n-2 si está comprendido entre 10 y 100; y así sucesivamente.

1 10ⁿ a

1 2 3... 10ⁿ bx x =b ^- +p

x e =^Dx

10ⁿ x x x

e a D = <

10ⁿ x a£

10ⁿ x a<

2 3...

bx x 1

10ⁿ x

x a e = ^D <

1

1 10^m

e <b _- 1

10ⁿ e <a

1

1 1

10^m 10ⁿ b ^- £ a

1, ,...,2 _n

x x x D Dx₁, x₂,...,Dx_n

1 2 ... _n

x x x

D £ D + D + + D

1, ,...,2 _n

a a a

1, 2,..., _n

x x x

D D D a=max

{

}

- Problema inverso: Para obtener la suma de varios sumandos con un error absoluto menor que 10-n, se tomará cada sumando con n+1 cifras exactas si el número de sumandos es menor que 10; con n+2 cifras exactas si el número de sumandos está comprendido entre 10 y 100; y así sucesivamente.

(Nota: La resta de números aproximados es un caso particular de la suma).

7.6.2. Multiplicación Distinguimos varios casos:

Producto de un número exacto por otro aproximado

Sean x +∆x e y los números aproximado y exacto respectivamente. Entonces el error absoluto del producto

es: y el error relativo .

Por tanto, el error relativo del producto coincide con el error relativo del factor aproximado. Como consecuencia se deduce que un límite del error relativo del producto de un número exacto por uno aproximado es el mismo que el del factor aproximado.

Entonces, en este caso ya sabemos cómo se resuelven los problemas directo e inverso.

Producto de dos números aproximados

Sean x + ∆x, y +∆y los dos números aproximados. Si Δ es el error absoluto del producto se tiene que

y el error relativo

donde α y β son los errores relativos de las aproximaciones de x e y respectivamente.

Por tanto, el error relativo del producto es la suma de los errores relativos de los factores y del producto de ambos. Como consecuencia, si a1 es una cota de α y a2 es una cota de β, tendremos que una cota del error relativo es ε < a1 + a2 + a1a2

Supongamos ahora que y son cotas prácticas de α y β respectivamente. Entonces

tendremos: y por tanto, .

Deducimos que en este caso podemos asegurar que puesto que al suprimir el factor

desaparecen unidades de órdenes decimales muy inferiores a α y β.

Conclusión: El error relativo del producto de dos números aproximados es siempre inferior a la suma de las cotas prácticas del error de los factores.

Problema directo

Sean , , factores aproximados con n y m cifras exactas respectivamente. Entonces, si ε es el error

relativo del producto hemos visto que: .

Si la primera cifra significativa del producto es c, tendremos que donde k es el número de cifras exactas del producto. Para calcularlas, bastará plantear la inecuación y despejar convenientemente k:

(x x y xy) x y·

D = + D - = D x y· x

xy xy x

e = ^D = ^D = ^D

(x x y)( y) xy x y y x x y D = + D + D - = D + D + D D

x y y x x y x y x y

xy xy x y x y

e = ^D = D + D + D D = D +D +D D = + +a b ab

1

1 10ⁿ

a = a ₂ 1

10^m a =b

1 1

10ⁿ, 10^m

a b

a< b < 1

10^{n m} ab <ab ₊

1 1

10ⁿ 10^m

a b

e < + 1

10^{n m} ab ⁺

ax x2 3 bx x_{2 3}

{ } { }

1 1 1

min a,

1 1 1

, min n, m

10ⁿ 10^m 10^p

d b

donde p

a b d

e < _- + _- £ _- ^ìïí =ïî ⁼

1

1 10^k e <c _-

1 1

2 1

10^p 10^k d ^- £ c ^-

- Si (es decir, ), k = p; por tanto el número de cifras exactas del producto es el número de cifras exactas que posee el factor peor aproximado.

- Si (es decir, ), tomamos k = p-1; en este caso el número de cifras exactas del producto es una menos que el número de cifras exactas del factor peor aproximado.

Problema inverso

Sean , , los factores aproximados. Queremos que el producto, cuya primera cifra significativa es c, tenga n cifras exactas, es decir: . Si llamamos m al número de cifras exactas con que debemos tomar los factores aproximados y d = min{a,b} , entonces sabemos que con la inecuación

deducimos que:

- Si , tomaremos los factores con n cifras exactas.

- Si , tomaremos los factores con n+1 cifras exactas.

Producto de varios factores aproximados

El producto de varios factores aproximados es análogo a cuando solamente hay dos factores, ya que inicialmente se hace el producto de dos de ellos, el resultado se multiplica por otro factor, y así hasta el final.

Así, la potencia k-ésima será un caso particular donde se realiza el producto de k factores iguales.

Se deduce que un límite superior del error relativo de la potencia k-ésima de un número aproximado con n cifras exactas es .

La raíz k-ésima es la potencia de índice . Entonces, la raíz k-ésima de un número aproximado con n cifras

exactas , tiene como límite del error relativo .

En estos casos, para el problema inverso basta con plantear la inecuación correspondiente y despejar.

7.6.3. División

Los casos posibles que se plantean son:

i.

ii.

iii.

Este caso iii) se deduce de ii) y de la multiplicación, que ya la hemos estudiado.

Por tanto, consideramos sólo el caso ii). Además, podemos restringirnos al caso en el que el número exacto es la unidad. Luego nuestro problema será realmente estudiar el inverso de un número aproximado.

2 1

d £c

2 c£ d

2 1

d >c

2 c> d

ax x2 3 bx x_{2 3}

1

1 10ⁿ e <c _-

1

1 10^m

e < d _- 2 ₁ 1 ₁

10^m 10ⁿ d ^- £c ^-

2 1

d £ c

2 1

d >c

ax x2 3

10ⁿ 1

k e <a _-

1 k

ax x2 3 ^{1 1} ₁

10ⁿ e < k a _-

1 aproximado

aproximado visto

exacto = exactoÞ

exacto aproximado

1 1

2 1 2

aproximado

aproximado

aproximado = aproximado

Sea x + ∆x un número aproximado. El error relativo del inverso es

donde α es el error relativo de la aproximación de x.

Sea un número aproximado con n cifras exactas. Entonces, una cota práctica del error relativo de esta aproximación .

Como deducimos que una cota práctica del error relativo de un número aproximado es también un límite del error relativo del inverso de dicho número.

Así, los problemas directo e inverso de la división de la unidad por un número aproximado ya los tenemos resueltos.

Ejemplos:

Sean 3.1416 y 1.41 aproximaciones de π² y √2 respectivamente. ¿Cuántas cifras exactas tiene π² + √2 usando estas aproximaciones?

3.1416 ⇒ 5 cifras exactas.

La primera cifra de (3.1416)² es 9; como deducimos que π² con esta aproximación posee 5 - 1 = 4 cifras exactas.

1.41 ⇒ 3 cifras exactas.

Como el número de sumandos de π² + √2 es 2<10, se tiene que el número de cifras exactas de la suma es al menos 2 (2 = min{3,4} −1) .

¿Cuál debe ser el número mínimo de cifras exactas que debemos tomar para hallar √2 ⋅ √3 con al menos de 4 cifras exactas?

La primera cifra de una aproximación de √2 es 1, igual que la primera cifra del producto aproximado es 2.

Como 2 > 1, deducimos que el número de cifras exactas de cada factor debe ser al menos 5 (= 4 + 1).

7.7. Notación científica

La notación es el simbolismo empleado para expresar una idea de modo breve y preciso. Dos son, pues, las funciones que un símbolo desempeña: designar con precisión y claridad, y abreviar.

Una notación importante en la aproximación es la de las distintas potencias enteras de 10. Cuando el exponente es positivo (10⁰,10¹,10²,...) representan los sucesivos órdenes del sistema decimal de numeración:

unidades, decenas, centenas… Los exponentes negativos (10^-1,10^-2,10^-3...) representan los sucesivos órdenes de los números decimales: décima, centésima, milésima…

Las potencias de 10 dan lugar a una forma particular de escribir valores exactos o aproximados de los números, denominada notación científica. La notación científica de un número consiste en escribir ese número como el producto de un número decimal cuya parte entera tiene sólo un dígito (el de mayor orden) por la potencia de 10 correspondiente.

Por ejemplo, el conocido número de Avogadro es 6.023·10²³.

La notación científica muestra el orden de magnitud y las cifras significativas. Además, facilita considerablemente la comparación entre números. También el producto y el cociente resultan más sencillos ya que basta multiplicar o dividir las potencias de 10 y hacer una buena estimación del producto o el cociente de dos números comprendidos entre 1 y 9.

1 1

1

1 1 1

x x

x x x

x x x x

x x

e a

a

- + D D D

= = = =

+ D +D +

ax x2 3

1

1 10ⁿ a ^-

1

1

1 a10ⁿ

a a

a ^{< < -} +

9 3

> 2

7.8. Resumen

En el análisis numérico se trata el estudio de métodos para resolver problemas a partir de datos numéricos.

Los datos constituyen la información de entrada, los resultados requeridos son la información de salida, y el método de cálculo se conoce con el nombre de algoritmo. Con frecuencia se encuentra que hay varios tipos de algoritmos para resolver un problema, debiendo escoger en cada caso el más adecuado. Dos criterios importantes de elección son la rapidez y la exactitud. Un método rápido es desde luego más conveniente que uno lento. Hay que señalar que la información de salida se ve afectada por errores debido a que la información de entrada suele no ser exacta, pues proviene de ciertos mecanismos de medida, y el algoritmo usado introduce también un cierto tipo de errores.

El cálculo del error que se comete en un resultado cuando los datos se han tomado con una cierta aproximación, constituye el problema directo de la teoría de errores. Recíprocamente, calcular la aproximación con que hay que tomar los datos que intervienen en un problema para que error del resultado no sea superior a una cantidad prefijada constituye el problema inverso de la teoría de errores. Al estudio de dichos casos se ha dedicado este tema.

7.9. Conclusión

DESARROLL O TEMA La teoría de errores nos permite estudiar el error que se ha cometido en un resultado a la hora de llevar a cabo una medición o en una aproximación. Se estudia el error absoluto y el error relativo, así como el problema inverso a partir del cual se puede establecer un error máximo en la medición o aproximación de un resultado y tenerlo en cuenta en su cálculo.

APLICACI ONES En nuestra vida diaria estamos rodeados de números por todas partes. Tareas tan rutinarias como hacer la compra se simplifican dominando los números aproximados y siendo conocedores de las cotas de error con el fin de establecer cifras más cercanas a la cifra significativa.

7.10. Bibliografía

GIAMBERNARDINO: Teoría de los errores. Ed. Reverté Venezolana.

FERNÁNDEZ VIÑA: Análisis Matemático I. Ed. Tecnos.

ORTEGA: Introducción al Análisis Matemático. Ed. Labor.

TEMARIO DEIMOS TEMARIO GAMBOA

TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS TEMARIO CLAUSTRO