Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE

VARIABLE COMPLEJA

CON APLICACIONES A LA TEOR´ IA DE N ´ UMEROS

El camino m´ as corto entre dos verdades del an´ alisis real pasa por el an´ alisis complejo.

Jacques Hadamard

´ Indice General

Introducci´ on ix

Cap´ıtulo I: El plano complejo 1

1.1 Funciones de variable compleja . . . . 3

1.2 Transformaciones de M¨ obius . . . . 8

1.3 Las funciones trigonom´etricas inversas . . . . 12

1.4Arcos . . . . 17

1.5 ´Indices de arcos cerrados . . . 21

Cap´ıtulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivaci´ on de funciones complejas . . . . 26

2.2 La integral curvil´ınea . . . . 32

2.3 El teorema y las f´ ormulas de Cauchy . . . . 41

Cap´ıtulo III: Series de Taylor 49 3.1 Series . . . . 50

3.2 Convergencia casi uniforme . . . . 56

3.3 Series de potencias . . . . 62

3.4Consecuencias de los desarrollos de Taylor . . . . 68

Cap´ıtulo IV: Productos infinitos 79 4.1 Productos num´ericos . . . . 80

4.2 Productos de funciones . . . . 84

4.3 Factorizaci´ on de funciones holomorfas . . . . 91

4.4 N´ umeros de Bernoulli . . . . 99

4.5 La f´ ormula de Stirling . . . 106

Cap´ıtulo V: El teorema de Cauchy 111 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . 111

5.2 Abiertos simplemente conexos . . . 116

5.3 Series de Laurent . . . 120

5.4Clasificaci´ on de singularidades aisladas . . . 126

5.5 Funciones peri´ odicas . . . 133

5.6 El teorema de Runge . . . 139

v

Cap´ıtulo VI: La funci´ on factorial 145

6.1 Construcci´ on de la funci´ on factorial . . . 146

6.2 Otras expresiones para la funci´ on factorial . . . 149

6.3 El teorema de Wielandt . . . 152

Cap´ıtulo VII: Series de Dirichlet 159 7.1 Convergencia de las series de Dirichlet . . . 160

7.2 Funciones aritm´eticas . . . 169

7.3 Permutaciones circulares . . . 181

7.4El teorema de Dirichlet . . . 184

7.5 La distribuci´ on de los n´ umeros primos . . . 194

Cap´ıtulo VIII: El teorema de los residuos 217 8.1 Residuos . . . 217

8.2 Aplicaciones al c´ alculo de integrales . . . 220

8.3 El teorema de Rouch´e . . . 236

8.4Sumas de Gauss cuadr´ aticas . . . 244

Cap´ıtulo IX: Funciones Harm´ onicas 255 9.1 Relaci´ on con las funciones holomorfas . . . 256

9.2 Propiedades de las funciones harm´ onicas . . . 259

9.3 Funciones subharm´ onicas . . . 267

9.4El problema de Dirichlet . . . 272

Cap´ıtulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . 280

10.2 El teorema peque˜ no de Picard . . . 290

10.3 El teorema grande de Picard . . . 295

Cap´ıtulo XI: La funci´ on dseta de Hurwitz 299 11.1 Definici´ on y prolongaci´ on anal´ıtica . . . 299

11.2 La ecuaci´ on funcional . . . 305

11.3 Los ceros de la funci´ on dseta . . . 310

11.4Funciones L . . . 317

Cap´ıtulo XII: Transformaciones conformes 325 12.1 Transformaciones de M¨ obius . . . 327

12.2 Dominios simplemente conexos . . . 332

12.3 El teorema de Jordan . . . 342

Cap´ıtulo XIII: Funciones multiformes 361 13.1 Prolongaci´ on anal´ıtica . . . 361

13.2 Funciones multiformes meromorfas . . . 365

13.3 Singularidades aisladas . . . 368

13.4Superficies de Riemann . . . 376

13.5 Superficies de g´ermenes . . . 381

13.6 Planos tangentes y diferenciales . . . 387

´INDICE GENERAL vii

Cap´ıtulo XIV: Funciones algebraicas 393

14.1 Singularidades algebraicas . . . 394

14.2 La configuraci´ on anal´ıtica de una funci´ on algebraica . . . 397

14.3 Ra´ıces de polinomios . . . 401

14.4 Superficies de Riemann compactas . . . 410

14.5 Funciones harm´ onicas en superficies de Riemann . . . 413

Bibliograf´ıa 427

´ IndicedeMaterias 428

Introducci´ on

Los n´ umeros complejos son una creaci´ on esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fue- ran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez m´ as evidencias de que los n´ umeros ima- ginarios resultantes de admitir al n´ umero i como si fuera un n´ umero real m´ as eran suficientes para resolver cualquier ecuaci´ on polin´ omica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostr´ o en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ra´ıces en C: ´este es el teorema fundamental del ´ algebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho m´ as simple, pero no menos importante, fue que la aritm´etica de los n´ umeros complejos, introducida formalmente a partir de la relaci´ on i = √

−1, tiene una interpretaci´ on geom´etrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretaci´ on puede considerarse como el punto de par- tida del estudio anal´ıtico de los n´ umeros complejos. En t´erminos modernos C recibe la topolog´ıa de R

y la relaci´ on de esta topolog´ıa con su aritm´etica es la misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresi´on

z l´ım →z

f (z) − f(z

) z − z

para cualquier funci´ on compleja f definida en un entorno del punto z

. Se abre as´ı una teor´ıa de derivaci´ on de funciones complejas similar a su an´ aloga real.

Sus s´ olidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos art´ıculos que dedic´ o a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades b´ asicas con demostraciones pr´ acticamente id´enticas (se trata de las propiedades que dependen directamente de la topolog´ıa y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teor´ıa pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el an´ alisis real es esencialmente geom´etrico, en el sentido de la mayor´ıa de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretaci´ on geom´etrica de la derivada, la geometr´ıa apenas interviene en el an´ alisis complejo.

Existe ciertamente una interpretaci´ on geom´etrica de la derivada compleja (o, m´ as precisamente, del m´ odulo y del argumento de la derivada), pero normal- mente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes:

ix

• Si una funci´on real derivable tiene un m´aximo relativo en un punto enton- ces su derivada es nula en dicho punto.

• Si una funci´on compleja derivable tiene un m´aximo relativo (en m´odulo) en un punto entonces es constante.

El primero es geom´etricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no hemos de pensar por esto que la derivaci´ on compleja es una mera abstracci´ on formal de la derivaci´ on real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teor´ıa descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geom´etricas sencillas, la deri- vaci´ on compleja combina las t´ecnicas anal´ıticas con la est´etica y la profundidad del ´ algebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios f´ aciles de enunciar, pero abstractos y l´ ogicamente distantes de las definiciones.

Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teor´ıa y as´ı, mientras la gu´ıa del an´ alisis real es que las funciones derivables son las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es ´ util pensar que las funciones derivables son como “polinomios de grado infinito”, hecho nada evidente a partir de la definici´ on, pero que vuelve naturales los teoremas b´ asicos.

He aqu´ı un ejemplo :

• Si el conjunto de puntos donde una funci´on derivable compleja se anula tiene un punto de acumulaci´ on (en el dominio de la funci´ on) entonces dicha funci´ on es id´enticamente nula.

Se trata del an´ alogo infinito al hecho de que si un polinomio se anula en un conjunto infinito de puntos entonces es id´ enticamente nulo. El caso infinito es un resultado profundo en el sentido de que no es evidente a partir de la definici´ on de derivada, ni a´ un de los hechos b´ asicos sobre funciones derivables, pero es natural a partir de la analog´ıa con los polinomios que acabamos de explicar.

Este car´ acter algebraico-anal´ıtico de la teor´ıa se refleja en sus aplicaciones.

Aunque muchas de ellas pertenecen al an´ alisis real, an´ alisis de Fourier o incluso a la f´ısica (mec´ anica de fluidos, electricidad, etc.), una parte importante corres- ponde a la teor´ıa de n´ umeros, y lo m´ as notable es que no s´ olo permite probar resultados anal´ıticos del tipo de relaciones asint´ oticas, como el teorema de los n´ umeros primos, sino tambi´en profundos teoremas de enunciados estrictamente aritm´eticos o algebraicos.

De hecho, muchos de los problemas en que se puede aplicar con ´exito la teor´ıa

de funciones de variable compleja no muestran en principio relaci´ on alguna con

los n´ umeros complejos. Pongamos un ejemplo sencillo pero ilustrativo de este

fen´ omeno.

xi Consideremos la funci´ on f : R −→ R dada por f(x) = 1/(1 + x

). Es una funci´ on infinitamente derivable, luego podemos investigar la convergencia de su serie de Taylor alrededor de 0. Si intentamos calcular sus derivadas sucesivas obtenemos expresiones cada vez m´ as complicadas, pero podemos observar que si |x

| < 1 entonces 1/(1 + x

) es la suma de la serie geom´etrica de raz´ on −x

. Por lo tanto

1 1 + x

=

 ∞ n=0

( −1) ⁿ x

.

Una serie de potencias es siempre su serie de Taylor, luego hemos encontrado el desarrollo de Taylor de la funci´ on f . Es inmediato que la serie converge s´ olo cuando |x| < 1. Surge entonces la pregunta de por qu´e la convergencia se interrumpe en −1. O tal vez no surge. Podr´ıa pensarse que esto es as´ı, como acabamos de probar, y que no tiene sentido buscar un porqu´ e m´ as alla de la prueba anterior u otra similar. Sin embargo, la teor´ıa de funciones de variable compleja aporta una explicaci´ on m´ as profunda.

Consideremos la funci´ on f : C \ {±i} −→ C dada por f(z) = 1/(1 + z

), la extensi´ on natural de la funci´ on de partida. El mismo argumento de antes prueba que

f (z) =

 ∞ n=0

( −1) ⁿ z

, para |z| < 1.

Las series de potencias convergen siempre en discos a funciones continuas, y ahora est´ a claro por qu´e no puede convergen m´ as all´ a del disco unidad: porque f presenta discontinuidades en los puntos ±i, luego no existe ninguna extensi´on continua de f a un disco abierto mayor que |z| < 1.

La funci´ on original f ten´ıa un problema (o mejor dicho, dos problemas), pero fuera de la recta real. Considerar su restricci´ on a R oscurece la situaci´on, a pesar de que f puede aparecer al abordar un problema que s´ olo involucre n´ umeros reales.

Similarmente, las t´ecnicas complejas se aplican al c´ alculo de l´ımites, in- tegrales, suma de series de funciones, c´ alculo de series de Fourier, y muchos otros problemas de planteamiento estrictamente real. En este libro veremos muchos ejemplos de este tipo, pero a la hora de mostrar aplicaciones menos sencillas nos hemos inclinado hacia la teor´ıa de n´ umeros por dos razones. Por una parte es m´ as f´ acil exponer de forma “casi autocontenida” y motivada pro- blemas aritm´eticos, a menudo de planteamiento elemental, y por otro lado las aplicaciones a la teor´ıa de n´ umeros muestran el sorprendente papel de “bisagra”

que juega la derivaci´ on compleja entre el ´ algebra y el an´ alisis, que es, a nuestro juicio, una de las caracter´ısticas m´ as notables de la teor´ıa.

Tambi´en debemos recordar que la derivaci´ on compleja est´ a relacionada con la

geometr´ıa deferencial. La memoria de Riemann sobre variedades diferenciables

que dio origen a la geometr´ıa diferencial moderna estuvo motivada en parte por

sus investigaciones sobre la materia que nos ocupa. Veremos algo acerca de esto

en los ´ ultimos cap´ıtulos. Tambi´en daremos una demostraci´ on del teorema de la

curva de Jordan basada en las propiedades de los logaritmos complejos.

La mayor parte de este libro est´ a dedicada a exponer los resultados b´ asicos de la teor´ıa, acompa˜ nados de numerosas aplicaciones que muestren su potencia.

Para seguirla adecuadamente el lector debe conocer los resultados topol´ ogicos b´ asicos: propiedades de los espacios compactos, conexos, topolog´ıa producto, funciones continuas, l´ımites, etc. (por lo general en R ⁿ ), los resultados ele- mentales sobre espacios de funciones: convergencia puntual y uniforme, etc.

(tambi´en para funciones en R ⁿ , especialmente en R

, aunque una cierta fami- liaridad con el caso de R puede ser suficiente), as´ı como los resultados funda- mentales del an´ alisis real: diferenciabilidad, integrales, series, etc. (incluyendo la teor´ıa b´ asica de la integral de Lebesgue). Algunas aplicaciones a la teor´ıa de n´ umeros requieren la aritm´etica elemental (n´ umeros primos, divisores, etc.) y un m´ınimo de ´ algebra (no m´ as all´ a de saber qu´e es un grupo o un anillo cociente).

Para acabar debo hacer constar que la primera versi´ on de los ocho prime-

ros cap´ıtulos del libro (aproximadamente) fue elaborada conjuntamente con mi

amiga Pilar Rueda, y a ella le deben mucho de lo que son. Sin duda, en los

cap´ıtulos posteriores se echar´ a de menos su buen criterio y su eficiencia pues, en

contra de lo que ambos hubi´ eramos deseado, tuvimos que descomponer nuestro

proyecto com´ un en dos proyectos independientes, uno de los cuales termina en

este libro.

Cap´ıtulo I

El plano complejo

Dedicamos este primer cap´ıtulo a introducir los conceptos b´ asicos relacio- nados con los n´ umeros complejos junto con algunos resultados anal´ıticos y to- pol´ ogicos que vamos a necesitar m´ as adelante. Recordemos que los n´ umeros complejos son de la forma z = a + bi, donde a y b son n´ umeros reales e i es la unidad imaginaria, caracterizada por que i

= −1. Esta ecuaci´on, junto a las leyes de cuerpo, determina la suma y el producto de los n´ umeros complejos, pues

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi)(c + di) = ac + bdi

+ adi + bci = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Los n´ umeros reales a y b de la expresi´ on bin´ omica anterior est´ an un´ıvocamen- te determinados por el n´ umero complejo z. Se llaman respectivamente parte real (Re z) y parte imaginaria (Im z) de z. Esta unicidad nos permite identificar el cuerpo C de los n´umeros complejos con el espacio R

, asociando a cada n´ umero a + bi el par ordenado (a, b). Esto nos da una interpretaci´ on geom´etrica de C como el conjunto de todos los puntos de un plano coordenado, de modo que los n´ umeros reales ocupan el eje horizontal (eje real) mientras que el eje vertical (eje imaginario) est´ a ocupado por los n´ umeros de la forma bi, llamados tambi´en imaginarios puros.

1 i

b

a a + bi

Con esta identificaci´ on, las funciones Re : C −→ R e Im : C −→ R son simplemente las proyecciones de R

en R.

1

Existe un ´ unico automorfismo de C que fija a los n´umeros reales (y no es la identidad), llamado conjugaci´ on y que viene dado por z = a + bi = a − bi.

Geom´etricamente se trata de la simetr´ıa respecto al eje real. Como ya hemos dicho, la conjugaci´ on es un automorfismo, es decir, cumple

z

+ z

= z

+ z

, z

z

= z

z

. Adem´ as z = z y z = z si y s´ olo si z ∈ R.

La norma eucl´ıdea en R

se corresponde con el m´ odulo de un n´ umero com- plejo

|z| = |a + bi| = 

a

+ b

= √ zz.

De las propiedades de la conjugaci´ on se deduce inmediatamente que |z

z

| =

|z

||z

|. Notemos que el m´odulo extiende al valor absoluto en R, por lo que usamos la misma notaci´ on. Puesto que zz = |z|

, para z = 0 se cumple z

= z/|z|

.

Consideraremos a C como espacio topol´ogico con la topolog´ıa usual de R

, que es la topolog´ıa dada por el m´ odulo, o tambi´en la topolog´ıa producto inducida por R.

Es costumbre usar llamar discos a lo que en la teor´ıa general de espacios m´etricos se llaman bolas. Usaremos la notaci´ on

D(z

, ) = {z ∈ C | |z − z

| < }.

Los discos cerrados los expresaremos como las clausuras de los discos abier- tos:

D(z

, ) = {z ∈ C | |z − z

| ≤ }.

Conviene extender el plano complejo C a˜nadi´endole un punto infinito, con lo que obtenemos el espacio compacto C

= C∪{∞}, donde los entornos abiertos de ∞ son los complementarios de los subconjuntos compactos de C.

La proyecci´ on estereogr´ afica nos da un homeomorfismo entre C

y una es- fera, por lo que a C

se le llama esfera de Riemann. Formalmente no necesita- remos este hecho.

θ cos θ sen θ

z

|z|

Adem´ as de la representaci´ on bin´ omica a + bi, todo n´ umero complejo admite la representaci´ on polar, de la forma z = |z|(cos θ + i sen θ).

Si z = 0, el n´umero real θ est´a determinado por z salvo m´ ultiplos enteros de 2π y se llama argumento de z. As´ı, todo n´ umero complejo z = 0 est´a un´ıvocamen- te determinado por su m´ odulo y por uno cualquiera de sus argumentos. Llamaremos Arg z al conjunto de los argumentos de z. Tenemos que si θ es un argumento de z entonces

Arg z = {θ + 2kπ | k ∈ Z}.

1.1. Funciones de variable compleja 3

1.1 Funciones de variable compleja

Las funciones de variable real m´ as importantes admiten una extensi´ on natu- ral a funciones de variable compleja. El caso m´ as simple es el de los polinomios.

Cada polinomio con coeficientes reales define una funci´ on sobre C que extiende a la funci´ on que define sobre R. Claramente se trata de una funci´on continua.

M´ as a´ un, todo polinomio p(z) ∈ C[z] define una funci´on continua en C ^∞ si admitimos que p(∞) = ∞.

Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precauci´ on de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en ∞ se extienden con el valor del l´ımite, finito o infinito, y el resultado es siempre una funci´ on continua). Por ejemplo, la funci´ on

f (z) = 1 z

+ 1 toma el valor ∞ en ±i y toma el valor 0 en ∞.

Quiz´ a la funci´ on real m´ as importante sea la funci´ on exponencial. ´ Esta ad- mite una extensi´ on al plano complejo que es sin duda la funci´ on m´ as importante de variable compleja. La definici´ on que vamos a dar puede parecer muy arti- ficial, pero veremos enseguida que as´ı se conservan las muchas propiedades de la funci´ on real, y m´ as adelante probaremos que es la ´ unica extensi´ on posible derivable en todo punto en el sentido de derivabilidad compleja que definiremos en el cap´ıtulo siguiente.

Definici´ on 1.1 Definimos la funci´ on exponencial e ^z : C −→ C mediante e ^x+iy = e ^x cos y + ie ^x sen y. (1.1) El teorema siguiente recoge las propiedades b´ asicas de la exponencial com- pleja. Todas ellas se demuestran sin ninguna dificultad a partir de las propie- dades de la exponencial real y las funciones trigonom´ etricas.

Teorema 1.2 La funci´ on exponencial compleja es continua y extiende a la ex- ponencial real. Adem´ as verifica

a) e ^z

= e ^z

e ^z

, b) e ^z = e ^z ,

c) |e ^a+bi | = e ^a , d) e ^z = 0, e) e ^−z = 1/e ^z .

Las funciones complejas presentan el inconveniente de que no pueden ser

representadas gr´ aficamente, ya que su gr´ afica tiene cuatro dimensiones. Para

hacernos una idea del comportamiento de la exponencial podemos fijarnos en

c´ omo transforma las rectas.

Por ejemplo, si fijamos x, al variar y la expresi´ on (1.1) describe un c´ırculo de centro 0 y radio e

, luego la funci´ on exponencial biyecta el conjunto de las rectas horizontales con el de los c´ırculos de centro 0.

Si por el contrario fijamos la variable y, entonces (1.1) recorre todos los m´ ultiplos positivos del vector unitario (cos y, sen y), es decir, la imagen de una recta horizontal es una semirrecta.

En el caso de una recta oblicua, resulta que a medida que “avanzamos” por la recta aumentan tanto el m´ odulo como el argumento de las im´ agenes, por lo que el resultado es una espiral, lo que se conoce como una espiral logar´ıtmica.

-10 -5 5 10

-10 -5 5 10

x = 1

y = 10 y = 4x

La figura muestra las im´ agenes por la funci´ on exponencial de las rectas x = 1, y = 10 e y = 4x.

Centr´emonos en las rectas horizontales. Si lla- mamos S

= {e

| x ∈ R}, es decir, la semi- rrecta formada por todos los n´ umeros complejos de argumento α, hemos visto que S

es la ima- gen por la funci´ on exponencial de la recta y = α.

Una banda de anchura menor que 2π, esto es, un conjunto de la forma

{x + iα | x ∈ R, a < α < b} con b − a < 2π

es la uni´ on de las rectas horizontales de altura a < α < b, luego su imagen por la funci´ on exponencial ser´ a la uni´ on de las semirrectas S

con a < α < b, o sea, un ´ angulo de b − a radianes:

a b

e

As´ı pues, la funci´ on exponencial biyecta las bandas con los ´ angulos. La mayor banda que podemos tomar sin perder la biyectividad es la de anchura 2π, siempre que la tomemos abierta (o al menos semiabierta).

Teorema 1.3 Si α ∈ R, la funci´on exponencial biyecta la banda abierta {x + iy | x ∈ R, α < y < α + 2π}

con el abierto H

= C \ (S

∪ {0}), es decir, con el complementario de la

semirrecta cerrada de argumento α.

1.1. Funciones de variable compleja 5

α α + 2π

e

Demostraci´ on: Si un n´ umero complejo z = 0 no tiene argumento α, tiene un argumento y de manera que α < y < α + 2π. Si |z| = e

, entonces z = e

, luego la funci´ on exponencial entre los conjuntos considerados es suprayectiva.

Para probar la inyectividad vemos primero que e

= 1 si y s´ olo si e

(cos y + i sen y) = 1, si y s´ olo si e

= 1, cos y = 1 y sen y = 0,

si y s´ olo si x = 0 e y = 2kπ para cierto k ∈ Z.

Por lo tanto e

= e

si y s´ olo si e

= 1, si y s´ olo si z

− z

= 2kπi para un k ∈ Z.

Si tomamos z

y z

en una banda abierta de anchura 2π, esta condici´ on equivale a z

= z

, luego la funci´ on exponencial es biyectiva sobre estas bandas.

Definici´ on 1.4 Un n´ umero complejo L es un logaritmo de otro n´ umero z si cumple e

= z. Llamaremos Log z al conjunto de todos los logaritmos de z.

Del teorema anterior se deduce que todo n´ umero complejo no nulo tiene infinitos logaritmos, aunque vamos a verlo directamente:

Si L = a + bi es un logaritmo de z, entonces z = e

= e

(cos b + i sen b), luego |z| = e

y por lo tanto a = log |z|. Por definici´on, b es un argumento de z.

Rec´ıprocamente, es obvio que si θ es un argumento de z, entonces L = log |z|+iθ es un logaritmo de z. As´ı pues, hay una biyecci´on entre los logaritmos de z y los argumentos de z dada por

Log z −→ Arg z

L → Im L

Arg z −→ Log z θ → log |z| + iθ

En particular, si L

y L

son logaritmos de z, entonces L

= L

+ 2kπi, con k ∈ Z y, si L

es un logaritmo de z, entonces Log z = {L

+ 2kπi | k ∈ Z}.

Para cada α ∈ R definimos la funci´on log

: H

−→ C como la inversa de la restricci´ on de la funci´ on exponencial a la franja α < Im z < α + 2π.

Equivalentemente, si z ∈ H

entonces log

z es el ´ unico logaritmo de z cuya

parte imaginaria est´ a en ]α, α + 2π[. Con m´ as detalle, log

z = log |z|+i arg

z,

donde arg

z es el ´ unico argumento de z en el intervalo ]α, α + 2π[.

A las funciones log _α y arg _α se las llama ramas uniformes

del logaritmo y el argumento en H _α .

Teorema 1.5 Para cada n´ umero real α, las ramas uniformes arg _α : H α −→ R y log _α : H α −→ C son continuas.

Demostraci´ on: Dada la relaci´ on log _α z = log |z| + i arg α z, basta probar que arg _α es continua.

Si z ∈ H α , entonces z = |z|e ^iθ , donde θ = arg _α z ∈ ]α, α + 2π[. Por lo tanto e ^−iα z = |z|e ^i(θ−α) tiene argumento θ − α ∈ ]0, 2π[, es decir, e ^−iα z ∈ H

. Adem´ as arg

(e ^−iα z) = θ − α, luego arg α z = α + arg

(e ^−iα z). Por consiguiente basta probar que arg

es continua.

Llamemos S = {e ^iθ | 0 < θ < 2π}. La funci´on f : H

−→ S dada por f (z) = z/ |z| es continua y conserva los argumentos, es decir, arg

z = arg

f (z).

Por lo tanto basta probar la continuidad de la restricci´ on a S de arg

, es decir, de la inversa de la funci´ on g : ]0, 2π[ −→ S dada por g(θ) = cos θ + i sen θ.

A su vez ´esta es consecuencia de la continuidad de las funciones arccos : ]−1, 1[ −→ ]0, π[ , arcsen : ]−1, 1[ −→ 

− π 2 , π

2

 ,

pues sobre el conjunto {z ∈ S | Im z > 0} se cumple g ⁻¹ (z) = arccos Re z, sobre {z ∈ S | Im z < 0} es g ⁻¹ (z) = 2π − arccos Re z y sobre {z ∈ S | Re z < 0}

tenemos g ⁻¹ (z) = π − arcsen Im z, y estos tres conjuntos son abiertos en S y cubren todos sus puntos.

En la pr´ actica no usaremos la notaci´ on log _α , sino que diremos que log es el logaritmo que toma argumentos entre α y α + 2π. Si no se indica lo contrario, log representar´ a al logaritmo con argumentos entre −π y π. De este modo, si r ∈ R, su argumento es 0, luego log r ∈ R y as´ı log extiende a la funci´on logaritmo real.

Observar que no es cierto en general que log _α (z

z

) = log _α z

+ log _α z

. El segundo miembro es, en efecto, un logaritmo de z

z

, pero su parte imaginaria no tiene por qu´e estar entre α y α + 2π.

Ahora vamos a extender las funciones seno y coseno. Partiremos del hecho de que si x ∈ R, entonces e ^ix = cos x + i sen x, luego cos x = Re e ^ix , sen x = Im e ^ix . Nos interesa definir que las extensiones sean derivables en el sentido que definiremos en el cap´ıtulo siguiente, pero veremos all´ı que las funciones parte real y parte imaginaria no son derivables, por lo que si defini´ eramos cos z = Re e ^iz y sen z = Im e ^iz no obtendr´ıamos funciones derivables. Esto se resuelve observando que en general Re z = (z + z)/2, Im z = (z − z)/2i.

1

La palabra “uniforme” no est´ a relacionada con su uso en otros contextos, como en “con-

vergencia uniforme” o “funci´ on uniformemente continua”. Aqu´ı “funci´ on uniforme” se opone

a “funci´ on multiforme”, que es una funci´ on que asigna a cada z un conjunto de valores, como

ocurre con las funciones Arg yLog. En general, una rama uniforme de una funci´ on multiforme

F es una funci´ on f tal que f (z) ∈ F (z) para todo z.

1.1. Funciones de variable compleja 7 Definici´ on 1.6 Llamaremos funciones seno y coseno a las dadas por

sen z = e ^iz − e ^−iz

2i cos z = e ^iz + e ^−iz

2 .

Con esta definici´ on la derivabilidad ser´ a obvia a partir de la derivabilidad de la funci´ on exponencial. La prueba del teorema siguiente no presenta ninguna dificultad.

Teorema 1.7 Las funciones seno y coseno complejas extienden a las corres- pondientes funciones reales. Adem´ as cumplen:

a) sen

z + cos

z = 1.

b) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a.

c) cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b.

d) Si k ∈ Z entonces sen(z + 2kπ) = sen z, cos(z + 2kπ) = cos z.

e) cos(−z) = cos z, sen(−z) = − sen z.

Sin embargo, no es cierto que | sen z| ≤ 1, | cos z| ≤ 1. Por ejemplo, para todo n´ umero real x se cumple

cos ix = e ^x + e ^−x

2 sen ix = i e ^x − e ^−x

2 ,

y estas funciones no est´ an acotadas.

Ahora tenemos definida de forma natural la funci´ on tangente compleja, dada por tan z = sen z/ cos z. Esta funci´ on est´ a definida en el plano complejo salvo en los puntos donde el coseno se anula que, como vemos a continuaci´ on, son exactamente los n´ umeros reales donde el coseno se anula.

Teorema 1.8 Los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mis- mos que los de las funciones reales correspondientes, es decir,

cos z = 0 si y s´ olo si z = π

2 + kπ, sen z = 0 si y s´ olo si z = kπ, con k ∈ Z.

Demostraci´ on: Ve´ amoslo para el coseno. cos z = 0 si y s´ olo si e ^iz = −e ^−iz , si y s´ olo si e

= −1 = e ^iπ , si y s´ olo si 2iz = iπ + 2kπi, si y s´ olo si z = π/2 + kπ.

El caso del seno es an´ alogo.

A partir de la exponencial y el logaritmo se pueden definir otras funciones de inter´es. Por ejemplo, podemos definir exponenciales de base arbitraria no nula:

a ^z = e ^{z log a} ,

donde log a es un logaritmo cualquiera de a. Podemos considerar a ^z como una

funci´ on multiforme, aunque es mejor pensar que tenemos infinitas funciones

independientes definidas sobre todo el plano complejo, una para cada logaritmo posible de la base. La exponencial usual se obtiene como caso particular al tomar log e = 1.

Tambi´en tenemos las funciones potenciales:

z ^a = e ^{a log z} .

Estas son funciones multiformes, de las que podemos separar ramas unifor- ´ mes continuas (es decir, funciones continuas que asignan a cada z una de sus potencias z ^a ) en los abiertos donde el logaritmo las tiene, en particular en los abiertos H _α y, por consiguiente, en un entorno de cada punto no nulo. No obstante, si a ∈ Z entonces z ^a = (e

) ^a , donde las exponenciales del segundo miembro son la funci´ on exponencial usual y la exponenciaci´ on respecto a ente- ros, definida algebraicamente en cualquier cuerpo, es decir, z ^a es simplemente la exponenciaci´ on usual, es una funci´ on uniforme y est´ a definida en todo el plano complejo.

De entre las funciones potenciales con exponente no entero, las m´ as im- portantes son las de exponente 1/n, donde n es un n´ umero natural no nulo.

Entonces escribimos z

= √

z, pues claramente  √

z  n

= z, pero debemos recordar que √

z es una funci´ on multiforme, pues cada n´ umero complejo no nulo tiene exactamente n ra´ıces n-simas distintas.

Ejercicio: Probar que dos logaritmos log

z y log

z de un n´ umero complejo z
= 0 determinan una misma ra´ız n-sima e

= e

si y s´ olo si sus partes imaginarias se diferencian en un m´ ultiplo entero de 2nπ.

Cada rama uniforme continua del logaritmo determina una rama uniforme continua de la ra´ız n-sima. En particular todo n´ umero complejo no nulo tiene en un entorno una rama uniforme continua de la ra´ız n-sima. De hecho es f´ acil ver que en un entorno suficientemente peque˜ no tiene exactamente n ramas distintas (las que hemos descrito).

1.2 Transformaciones de M¨ obius

Las transformaciones de M¨ obius son una familia muy importante de funcio- nes de variable compleja, por lo que les dedicamos esta secci´ on. Son los cocientes no triviales de polinomios de primer grado:

Definici´ on 1.9 Llamaremos transformaciones de M¨ obius a las funciones M (z) = az + b

cz + d ,

donde a, b, c, d son n´ umeros complejos tales que ad − bc = 0.

Notar que si fuera ad − bc = 0 entonces M(z) ser´ıa simplemente una cons-

tante. Tal y como hemos comentado en la secci´ on anterior para el caso de

1.2. Transformaciones de M¨ obius 9 funciones racionales arbitrarias, el dominio de una transformaci´ on de M¨ obius es todo C ^∞ si convenimos en que

M (∞) = l´ım

z →∞ M (z) = a

c ∈ C ^∞ , M (−d/c) = ∞.

Claramente M : C ^∞ −→ C ^∞ es una funci´ on continua y tiene inversa M ⁻¹ (z) = dz − b

−cz + a ,

que, como vemos, es tambi´en una transformaci´ on de M¨ obius.

En consecuencia las transformaciones de M¨ obius resultan ser homeomorfis- mos de C ^∞ en s´ı mismo. Un c´ alculo directo muestra que la composici´ on de dos transformaciones de M¨ obius es de nuevo una transformaci´ on de M¨ obius, luego

´estas forman un grupo con la composici´ on de aplicaciones.

Comenzamos el estudio de estas funciones con una propiedad geom´etrica:

Teorema 1.10 La imagen de una recta o de una circunferencia por una trans- formaci´ on de M¨ obius es una recta o una circunferencia.

Demostraci´ on: El teorema no afirma que la imagen de una recta sea una recta y la imagen de una circunferencia sea una circunferencia, sino que las rectas pueden ser transformadas en circunferencias y viceversa.

La circunferencia de centro un punto (a, b) y radio r > 0 est´ a formada por los puntos (x, y) que cumplen la ecuaci´ on (x − a)

+ (y − b)

− r

= 0.

Operando y multiplicando por un n´ umero real A = 0 arbitrario queda:

A(x

+ y

) − 2Aax − 2Aby + A(a

+ b

− r

) = 0,

luego las circunferencias son los conjuntos de puntos que cumplen una ecuaci´ on del tipo

A(x

+ y

) + 2Bx + 2Cy + D = 0, (1.2) donde A = 0 y B

+ C

− A D > 0 (ya que B

+ C

− AD = A

r

). Rec´ıproca- mente, el conjunto de los puntos que cumple una ecuaci´ on en estas condiciones es una circunferencia.

Por otra parte si A = 0 la ecuaci´ on se reduce a 2Bx + 2Cy + D = 0 que, ad- mitiendo (B, C) = (0, 0), es la ecuaci´on de una recta, y toda recta est´a formada por los puntos que cumplen una ecuaci´ on de este tipo.

En resumen, las rectas y las circunferencias son los conjuntos de puntos (x, y) que cumplen una ecuaci´ on del tipo (1.2), donde A = 0 y B

+ C

− A D > 0 o bien A = 0 y (B, C) = (0, 0).

Si consideramos (x, y) como un n´ umero complejo z, entonces (1.2) equivale a

Azz + Ez + Ez + D = 0, (1.3)

donde E = B + Ci, y las condiciones sobre los coeficientes son A = 0 y E = 0

o bien A = 0 y EE − A D > 0.

Convendremos en que ∞ pertenece a cualquier recta y no pertenece a nin- guna circunferencia, luego una recta es un conjunto de n´ umeros complejos deter- minados por una ecuaci´ on de tipo (1.3) con A = 0 m´ as el punto ∞ y una circun- ferencia es un conjunto de n´ umeros complejos determinados por una ecuaci´ on de tipo (1.3) con A = 0.

Consideremos en primer lugar la funci´ on M (z) = 1/z. El conjunto de los n´ umeros complejos z = 0 que cumplen la ecuaci´on (1.3) se transforma en el conjunto de los n´ umeros complejos no nulos que cumplen

A 1 zz + E 1

z + E 1

z + D = 0 o, equivalentemente,

Dzz + Ez + E z + A = 0.

Si A = 0 y D = 0 (con lo que z = 0 no cumple (1.2)) tenemos que el conjunto inicial era una circunferencia y su imagen tambi´ en. Si A = 0 pero D = 0 entonces el conjunto inicial era una circunferencia y el final es una recta.

El 0 pertenec´ıa a la circunferencia y su imagen es ∞, que pertenece a la recta.

Si A = 0 y D = 0 tenemos una recta que no pasa por 0 y se transforma en una circunferencia. El 0 est´ a en la imagen porque es la imagen de ∞, que estaba en la recta. Finalmente si A = D = 0 tenemos una recta que pasa por 0 y que se transforma en otra recta que pasa por 0 (de modo que 0 e ∞ se intercambian).

As´ı pues, el teorema es cierto para la funci´ on 1/z. An´ alogamente se puede comprobar que es v´ alido para una funci´ on del tipo M (z) = az + b, aunque tambi´en se puede probar geom´etricamente teniendo en cuenta que en tal caso M (z) consiste en la homotecia z → |a|z, seguida del giro de ´angulo arg z y seguida de la traslaci´ on z → z + b, y todas estas operaciones conservan rectas y circunferencias.

En el caso general (si c = 0) expresamos M (z) = az + b

cz + d = a

c + bc − ad c(cz + d) ,

con lo que M se expresa como composici´ on de tres transformaciones de M¨ obius que ya sabemos que conservan o intercambian rectas y circunferencias, a saber, z → cz + d, seguida de z → 1/z, seguida de

z → bc − ad c z + 1

c . El caso c = 0 es claro.

Con m´ as precisi´ on, si M es una transformaci´ on de M¨ obius y M (z

) = ∞,

entonces las im´ agenes de las rectas y circunferencias que pasan por z

han

de contener a ∞, luego han de ser rectas, y las im´agenes de las rectas y cir-

cunferencias que no pasan por z

no han de contener a ∞, luego han de ser

circunferencias.

1.2. Transformaciones de M¨ obius 11 Por otra parte, tanto las rectas como las circunferencias dividen a C ^∞ en dos componentes conexas (dos semiplanos o el interior y exterior de la circunfe- rencia) y es obvio que si una funci´ on M transforma una recta/circunferencia A en una recta/circunferencia B, entonces M es un homeomorfismo entre C ^∞ \ A y C ^∞ \ B, luego biyecta sus dos componentes conexas, es decir, si por ejemplo M transforma una recta en una circunferencia, entonces M env´ıa los puntos de uno de los semiplanos definidos por la recta al interior de la circunferencia y los puntos del otro semiplano al exterior.

Teorema 1.11 Toda transformaci´ on de M¨ obius M deja fijo al menos a un punto de C ^∞ y si M no es la identidad entonces tiene a lo sumo dos puntos fijos.

Demostraci´ on: Sea

M (z) = az + b cz + d .

Supongamos primero que c = 0 (luego d = 0, a = 0). Entonces se cumple M ( ∞) = ∞, luego M tiene un punto fijo. En el plano finito M(z) = z tiene a lo sumo la soluci´ on b/(d −a) (siempre que a = d), luego en total hay a lo sumo dos puntos fijos. Ahora supongamos c = 0, con lo que M(∞) = a/c = ∞, luego ∞ no es un punto fijo. Tampoco lo es el punto −d/c, pues su imagen es ∞. Entre los puntos restantes, la ecuaci´ on M (z) = z equivale a cz

+ (d − a)z − b = 0, que tiene una o dos soluciones en C.

En la prueba anterior hemos usado el teorema fundamental del ´ algebra.

Daremos una prueba de este resultado en el cap´ıtulo III (la cual, por supuesto, no usar´ a el teorema anterior).

Una consecuencia del teorema anterior es que si una transformaci´ on de M¨ obius tiene tres puntos fijos entonces es la identidad. El teorema siguiente generaliza considerablemente este hecho.

Teorema 1.12 Si z

, z

, z

son tres puntos distintos de C ^∞ y w

, w

, w

son tambi´ en distintos entre s´ı(aunque no necesariamente distintos de los anterio- res) existe una ´ unica transformaci´ on de M¨ obius M que cumple M (z

) = w

, M (z

) = w

, M (z

) = w

.

Demostraci´ on: La unicidad es consecuencia del teorema anterior: si dos transformaciones M y N cumplen estas condiciones entonces M N ⁻¹ deja fijos a z

, z

, z

, luego es la identidad y por lo tanto M = N .

Supongamos que z

, z

, z

son finitos y que w

= 0, w

= ∞, w

= 1. Para que una transformaci´ on

M (z) = az + b cz + d .

cumpla M (z

) = 0 se ha de cumplir que az

+b = 0, o sea, que az +b = a(z−z

).

Del mismo modo la condici´ on M (z

) = ∞ equivale a cz + d = x(z − z

). As´ı pues,

M (z) = a c

z − z

z − z

.

La condici´ on M (z

) = 1 determina el cociente a

c = z

− z

z

− z

y el resultado es

M (z) = z

− z

z

− z

z − z

z − z

. Es claro que esta transformaci´ on cumple lo pedido.

Si uno de los puntos z es infinito es f´ acil ver que la funci´ on que resulta de tomar l´ımites en la expresi´ on anterior cumple lo buscado. Concretamente sirven las funciones

M (z) = z

− z

z − z

, M (z) = z − z

z

− z

, M (z) = z − z

z − z

, seg´ un sea z

= ∞, z

= ∞ o z

= ∞.

En general podemos obtener dos transformaciones M y N tales que M (z

) = 1, M (z

) = ∞, M(z

) = 1,

N (w

) = 1, N (w

) = ∞, N(w

) = 1, y entonces M N ⁻¹ es la transformaci´ on buscada.

Teniendo en cuenta que por tres puntos no alineados pasa una ´ unica circun- ferencia es claro que dadas dos rectas/circunferencias existe una transformaci´ on de M¨ obius que transforma una en otra.

1.3 Las funciones trigonom´ etricas inversas

Las ´ ultimas funciones de variable compleja que vamos a presentar en este cap´ıtulo son las funciones trigonom´ etricas inversas:

Arcsen z, Arccos z, Arctan z.

Definimos el arco seno Arcsen z como el conjunto de todos los n´ umeros com- plejos w tales que sen w = z. Similarmente se definen el arco coseno y el arco tangente. Se trata, pues, de funciones multiformes, y vamos a estudiar la exis- tencia de ramas uniformes continuas. Ante todo, observamos que la relaci´ on sen(w + π/2) = cos w hace que Arcsen z = Arccos z + π/2, en el sentido de que cualquier arco coseno de z se convierte en un arco seno sum´ andole π/2 y cualquier arco seno se convierte en un arco coseno rest´ andole π/2. Esto permite traducir todas las propiedades del arco coseno a propiedades del arco seno, por lo que s´ olo nos ocuparemos de las funciones Arccos z y Arctan z.

Teniendo en cuenta la definici´ on que hemos dado de la funci´ on coseno, con- viene que estudiemos primero la funci´ on racional

w = λ(z) = z + z ⁻¹

2 = z

+ 1

2z .

1.3. Las funciones trigonom´etricas inversas 13 Observemos que λ toma el valor ∞ exactamente en los puntos 0 e ∞. Dado w ∈ C, un n´umero z cumplir´a w = λ(z) si y s´olo si z

− 2wz + 1 = 0, lo que a su vez equivale a que z = w + √

w

− 1, donde √

w

− 1 es cualquiera de las ra´ıces cuadradas de w

− 1.

As´ı, si w = ±1, ∞ entonces w

−1 es un n´umero complejo no nulo y tiene dos ra´ıces cuadradas distintas, con lo que w tiene exactamente dos antiim´ agenes por λ (esto ´ ultimo tambi´en vale para w = ∞). Los puntos w = ±1 son los ´unicos que tienen una ´ unica antiimagen por λ, a saber, λ(1) = 1, λ( −1) = −1.

Para comprender con m´ as detalle el comportamiento de λ estudiaremos en primer lugar c´ omo transforma las circunferencias de centro 0. La circunferencia unitaria |z| = 1 es un caso especial. Sus puntos son de la forma z = e ^it , con t ∈ R, y se transforman en

λ(z) = e ^it + e ^−it

2 = cos t.

Por consiguiente la circunferencia unitaria se transforma en el segmento [−1, 1]. Geom´etricamente, λ “aplasta” la circunferencia sobre el segmento, de modo que todos los puntos de ´este salvo sus extremos tienen dos antiim´ agenes por λ, una en el semiplano superior y otra en el inferior.

Consideremos ahora una circunferencia de radio r > 0, r = 1. Sus puntos son de la forma z = re ^it , con t ∈ R. Al aplicar λ obtenemos

w = λ(z) = re ^it + r ⁻¹ e ^−it

2 = r ⁻¹ + r

2 cos t − i r ⁻¹ − r

2 sen t. (1.4) Por lo tanto, la circunferencia de radio r se trans-

forma en la elipse cuyos ejes son el eje real y el eje ima- ginario y cuyos semiejes miden

a = r ⁻¹ + r

2 y b = r ⁻¹ − r

2 .

La distancia focal c est´ a determinada por la relaci´ on

a

= b

+ c

, luego es c = 1, es decir, los focos son ±1. En realidad, son dos las circunferencias cuya imagen por λ es dicha elipse, las de radios r y r ⁻¹ . Cada punto de la elipse tiene exactamente una imagen en cada una de las circunferencias. Es f´ acil ver que las elipses de focos ±1 cubren todo el plano complejo menos el intervalo [−1, 1]. Por consiguiente λ biyecta tanto el disco abierto D(0, 1) como el complementario del disco cerrado D(0, 1) con C\[−1, 1].

La observaci´ on siguiente tendr´ a importancia un poco m´ as abajo: Si r > 1 entonces −(r ⁻¹ −r)/2 > 0, luego la f´ormula (1.4) muestra que z y λ(z) est´an en el mismo semiplano respecto al eje real. As´ı, los puntos de la semicircunferencia Im z > 0 se transforma en la semielipse Im z > 0. Por el contrario, si r < 1 entonces la semicircunferencia Im z > 0 se transforma en la semielipse Im z < 0.

Como consecuencia, los puntos |z| < 1, Im z > 0 se transforman en el semiplano

Im z < 0, mientras que los puntos |z| > 1, Im z > 0 se transforman en el

semiplano Im z > 0.

Estudiemos ahora la forma en que λ transforma las semirrectas de origen en 0, es decir, de la forma z = te ^iα , con α ∈ R fijo y t > 0. De forma similar a (1.4) obtenemos que

w = λ(z) = t ⁻¹ + t

2 cos α − i t ⁻¹ − t 2 sen α.

Si suponemos cos α = 0 = sen α y llamamos w = u + iv, podemos despejar

t ⁻¹ + t = 2u

cos α , t ⁻¹ − t = − 2v sen α . Elevando al cuadrado y restando queda

u

cos

α − v

sen

α = 1.

Esto implica que la imagen de la semirrecta est´ a contenida en la hip´ erbola cuyos ejes son el eje real y el eje imaginario y sus semiejes miden a = cos α, b = sen α. De nuevo los focos son ±1.

Con m´ as detalle, cuando t var´ıa entre 0 y 1 la ex- presi´ on (t ⁻¹ + t)/2 var´ıa entre +∞ y 1, y cuando t var´ıa entre 1 y +∞ vemos que (t ⁻¹ + t)/2 var´ıa entre 1 y +∞. Por otra parte, el signo de (t ⁻¹ − t)/2 permanece constante en cada uno de los dos casos. La conclusi´ on es que λ transforma la semirrecta t > 1 en el cuarto de hip´erbola (media rama) situado en el mismo cuadrante que la semirrecta, y el segmento 0 < t < 1 en el cuarto

de hip´erbola situado en el cuadrante conjugado al del segmento. Las cuatro semirrectas exceptuadas se estudian aparte sin dificultad.

Todo esto se aplica claramente a la funci´ on coseno. En efecto, cos z puede obtenerse componiendo la funci´ on z → iz, con la funci´on z → e ^z y luego con la funci´ on λ.

Consideremos la banda vertical 0 < Re z < π. La funci´ on iz la transforma

en la banda horizontal 0 < Im z < π, la funci´ on exponencial la transforma en el

semiplano Im z > 0 (cada recta horizontal se transforma en una semirrecta de

argumento entre 0 y π) y por ´ ultimo la funci´ on λ transforma el semiplano en

todo el plano complejo menos las semirrectas ] −∞, −1] y [1, +∞[ (el semic´ırculo

unitario abierto se transforma en el semiplano inferior, la semicircunferencia en

el segmento ] −1, 1[ y el complementario del semic´ırculo cerrado se transforma

en el semiplano superior). Si llamamos G a este abierto, tenemos que el coseno

biyecta la banda 0 < Re z < π con el conjunto G. Si precisamos el argumento

veremos que la parte superior de la banda, Re z > 0, se transforma en el semi-

plano superior y la parte inferior Re z < 0 en el semiplano inferior, mientras que

el segmento ]0, π[ se transforma en ]−1, 1[.

1.3. Las funciones trigonom´etricas inversas 15

0 π −1 1

Las semirrectas Re z = 0, Im z > 0 y Re z = 0, Im z < 0 se transforman ambas en ]1, +∞[, e igualmente las semirrectas Re z = π, Im z > 0 y Re z = π, Im z < 0 se transforman ambas en ]−∞, −1[.

Ejercicio: Determinar c´ omo transforma el coseno una recta vertical y una recta horizontal.

El comportamiento de la funci´ on coseno en la banda π < Re z < 2π se sigue f´ acilmente de la relaci´ on cos z = − cos(z − π). Es f´acil ver que la semibanda superior se transforma ahora en el semiplano inferior y viceversa. Como el coseno tiene periodo 2π, ya sabemos su comportamiento sobre todas las bandas kπ < Re z < (k + 1)π, para todo entero k.

0 π 2π 3π 4π

Sobre el eje real, el coseno se comporta como es conocido, y toma im´ agenes en el intervalo [ −1, 1]. Las zonas sombreadas (abiertas) se transforman biyectiva- mente en el semiplano superior y las zonas blancas en el inferior. Las semirrectas verticales que separan las bandas se transforman unas en la semirrecta ]1 + ∞[

y otras en ]−∞, −1[.

Esto muestra la existencia de ramas uniformes sencillas de la funci´ on arco

coseno. Por ejemplo, la inversa de cos z restringida a la banda 0 < Re z < π es

una rama uniforme de la funci´ on arco coseno definida sobre el abierto G, pero

tenemos otras posibilidades. Tambi´en podemos restringir cos z a la semibanda

0 < Re z < 2π, Im z > 0, y entonces obtenemos una rama uniforme del arco

coseno definida sobre C menos la semirrecta [−1, +∞[. Similarmente podemos

definir una rama uniforme del arco coseno sobre C menos la semirrecta ]−∞, 1].

Vamos a probar que todas estas ramas uniformes son continuas. M´ as en general, vamos a ver que si la funci´ on coseno restringida a un abierto de C que no contenga m´ ultiplos de π es inyectiva, entonces su inversa en una rama uniforme continua del arco coseno.

Para ello basta ver que si cos z

= w

(con w

= ±1) existe una rama uniforme continua del arco coseno definida en un entorno de z

y que tal que arccos w

= z

.

En efecto, admitamos esto y sea f : A −→ B la inversa de la restricci´on de la funci´ on coseno a un abierto B, de modo que A ⊂ C \ {±1}. Sea w

∈ A y z

= f (w

). Entonces w

= cos z

y podemos tomar un entorno V de w

en el que est´e definida una rama uniforme continua g del arco coseno tal que g(w

) = z

. Restringi´endolo podemos suponer V = g ⁻¹ [B]. As´ı, si w ∈ V se cumple f (w), g(w) ∈ B y cos f(w) = cos g(w) = w, luego f(w) = g(w). Por lo tanto f y g coinciden en V y as´ı f es continua en w

.

Para probar la existencia de ramas uniformes continuas del arco coseno las construiremos a partir de logaritmos y ra´ıces cuadradas. Notemos que si

w = cos z = e ^iz + e ^−iz

2 ,

despejando resulta que (e ^iz )

− 2we ^iz + 1 = 0, luego e ^iz = w + 

w

− 1, y en conclusi´ on

z = 1 i log 

w + 

w

− 1 

, (1.5)

donde hay que entender que elegimos una ra´ız cuadrada y un logaritmo. Rec´ıpro- camente, cualquier n´ umero de la forma (1.5) es un arco coseno de w. Si partimos de un n´ umero complejo w = ±1 entonces w

− 1 = 0, luego podemos tomar una rama uniforme continua de la ra´ız cuadrada en un entorno, y w + √

w

− 1 = 0 (pues en caso contrario elevar´ıamos al cuadrado y resultar´ıa 1 = 0), con lo que podemos tomar una rama uniforme continua del logaritmo en un entorno. En definitiva, todo w = ±1 tiene en un entorno una rama uniforme continua del arco coseno dada por (1.5), donde el logaritmo y la ra´ız cuadrada son ahora ramas uniformes continuas de estas funciones, elegidas adecuadamente.

Esto es lo que quer´ıamos probar, pero se cumple m´ as. Localmente, toda rama uniforme continua es de esta forma. En efecto, si f (w) es una rama uniforme continua del arco coseno definida alrededor de un punto w

= ±1, entonces podemos tomar otra de la forma (1.5) definida en un entorno conexo Ω de w

contenido en el dominio de f . Entonces

f (w) = 1 i log 

w +  w

 w

− 1 

+ 2k w π,

2

En realidad esto es consecuencia inmediata del teorema de la funci´ on inversa 8.15.

1.4. Arcos 17

donde 

= ±1 y k

∈ Z. La funci´on

e

= w + 

 w

− 1

es continua, lo que obliga a que 

sea continua, y por tanto constante, en Ω. De aqu´ı se sigue que k

tambi´en es continua y tambi´en es constante. Cam- biando √

w

− 1 por  √

w

− 1 obtenemos otra rama uniforme continua de la ra´ız cuadrada y cambiando log 

w + 

√ w

− 1 

por log  w + 

√ w

− 1  + 2kπi obtenemos otra rama uniforme continua del logaritmo con las cuales f tiene la forma (1.5).

M´ as sencillo es el caso del arco tangente. Si w = tan z = 1

i

e

− e

e

+ e

= 1

i

e

− 1 e

+ 1 , entonces

z = 1

2i log 1 + iw 1 − iw ,

para una elecci´ on adecuada del logaritmo. Rec´ıprocamente, esta expresi´ on de- termina un arco tangente de w para cualquier elecci´ on del logaritmo. Puesto que la expresi´ on dentro del logaritmo es una transformaci´ on de M¨ obius M , con- cluimos que la funci´ on multiforme Arctan tiene las mismas propiedades que la funci´ on logaritmo con las variaciones obvias que exige M . As´ı, al igual que el logaritmo tiene ramas uniformes continuas en un entorno de cada punto dis- tinto de 0 (y de ∞), la funci´on arco tangente tiene ramas uniformes continuas en un entorno de cada punto distinto de ±i. Al igual que el logaritmo tiene ramas uniformes continuas en C

menos las semirrectas que conectan 0 e ∞, la funci´ on arco tangente tiene ramas uniformes continuas menos en los arcos de circunferencia que conectan a i con −i, incluyendo el segmento de extremos ±i y las dos semirrectas verticales de extremos ±i.

1.4 Arcos

Una importante herramienta topol´ ogica en el estudio del plano complejo es el concepto de arco, que estudiaremos en esta secci´ on.

Definici´ on 1.13 Un arco es una aplicaci´ on continua φ : [a, b] −→ C. Llamare- mos rango del arco φ al conjunto φ

= φ 

[a, b]

, que es un subconjunto compacto de C. Los puntos φ(a) y φ(b) se llaman extremos de φ. Concretamente φ(a) es el punto inicial de φ y φ(b) es el punto final. Diremos que φ es un arco cerrado si φ(a) = φ(b).

φ(a)

φ(b)

φ(a) φ(b)

Arco Arco cerrado