Varcom

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Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE

VARIABLE COMPLEJA

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El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa por el análisis complejo.

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´Indice General

Introducci´on ix

Cap´ıtulo I: El plano complejo 1

1.1 Funciones de variable compleja . . . 3

1.2 Transformaciones de M¨obius . . . 8

1.3 Las funciones trigonom´etricas inversas . . . 12

1.4 Arcos . . . 17

1.5 ´Indices de arcos cerrados . . . 21

Cap´ıtulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivaci´on de funciones complejas . . . 26

2.2 La integral curvil´ınea . . . 32

2.3 El teorema y las f´ormulas de Cauchy . . . 41

Cap´ıtulo III: Series de Taylor 49 3.1 Series . . . 50

3.2 Convergencia casi uniforme . . . 56

3.3 Series de potencias . . . 62

3.4 Consecuencias de los desarrollos de Taylor . . . 68

Cap´ıtulo IV: Productos infinitos 79 4.1 Productos num´ericos . . . 80

4.2 Productos de funciones . . . 84

4.3 Factorizaci´on de funciones holomorfas . . . 91

4.4 N´umeros de Bernoulli . . . 99

4.5 La f´ormula de Stirling . . . 106

Cap´ıtulo V: El teorema de Cauchy 111 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . 111

5.2 Abiertos simplemente conexos . . . 116

5.3 Series de Laurent . . . 120

5.4 Clasificaci´on de singularidades aisladas . . . 126

5.5 Funciones peri´odicas . . . 133

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Cap´ıtulo VI: La funci´on factorial 145

6.1 Construcci´on de la funci´on factorial . . . 146

6.2 Otras expresiones para la funci´on factorial . . . 149

6.3 El teorema de Wielandt . . . 152

Cap´ıtulo VII: Series de Dirichlet 159 7.1 Convergencia de las series de Dirichlet . . . 160

7.2 Funciones aritm´eticas . . . 169

7.3 Permutaciones circulares . . . 181

7.4 El teorema de Dirichlet . . . 184

7.5 La distribuci´on de los n´umeros primos . . . 194

Cap´ıtulo VIII: El teorema de los residuos 217 8.1 Residuos . . . 217

8.2 Aplicaciones al c´alculo de integrales . . . 220

8.3 El teorema de Rouch´e . . . 236

8.4 Sumas de Gauss cuadr´aticas . . . 244

Cap´ıtulo IX: Funciones Harm´onicas 255 9.1 Relaci´on con las funciones holomorfas . . . 256

9.2 Propiedades de las funciones harm´onicas . . . 259

9.3 Funciones subharm´onicas . . . 267

9.4 El problema de Dirichlet . . . 272

Cap´ıtulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . 280

10.2 El teorema peque˜no de Picard . . . 290

10.3 El teorema grande de Picard . . . 295

Cap´ıtulo XI: La función dseta de Hurwitz 299 11.1 Definición y prolongación anal´ıtica . . . 299

11.2 La ecuaci´on funcional . . . 305

11.3 Los ceros de la funci´on dseta . . . 310

11.4 Funciones L . . . 317

Cap´ıtulo XII: Transformaciones conformes 325 12.1 Transformaciones de M¨obius . . . 327

12.2 Dominios simplemente conexos . . . 332

12.3 El teorema de Jordan . . . 342

Cap´ıtulo XIII: Funciones multiformes 361 13.1 Prolongaci´on anal´ıtica . . . 361

13.2 Funciones multiformes meromorfas . . . 365

13.3 Singularidades aisladas . . . 368

13.4 Superficies de Riemann . . . 376

13.5 Superficies de g´ermenes . . . 381

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´INDICE GENERAL vii

Cap´ıtulo XIV: Funciones algebraicas 393

14.1 Singularidades algebraicas . . . 394

14.2 La configuraci´on anal´ıtica de una funci´on algebraica . . . 397

14.3 Ra´ıces de polinomios . . . 401

14.4 Superficies de Riemann compactas . . . 410

14.5 Funciones harm´onicas en superficies de Riemann . . . 413

Bibliograf´ıa 427

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Introducci´

on

Los números complejos son una creación esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fue-ran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez más evidencias de que los números ima-ginarios resultantes de admitir al númeroi como si fuera un número real más eran suficientes para resolver cualquier ecuación polinómica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostró en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ra´ıces enC: éste es el teorema fundamental del álgebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relacióni=√−1, tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de _C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de par-tida del estudio anal´ıtico de los números complejos. En términos modernos _C recibe la topolog´ıa de_R2 _{y la relaci´}_{on de esta topolog´ıa con su aritmética es la}

misma que se da enR. En particular tiene sentido la expresi´on

l´ım

z→z0

f(z)−f(z0) z−z0

para cualquier funci´on complejaf definida en un entorno del puntoz0. Se abre

as´ı una teor´ıa de derivación de funciones complejas similar a su análoga real. Sus sólidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos art´ıculos que dedicó a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades básicas con demostraciones prácticamente idénticas (se trata de las propiedades que dependen directamente de la topolog´ıa y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teor´ıa pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el análisis real es esencialmente geométrico, en el sentido de la mayor´ıa de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretación geométrica de la derivada, la geometr´ıa apenas interviene en el análisis complejo. Existe ciertamente una interpretación geométrica de la derivada compleja (o, más precisamente, del módulo y del argumento de la derivada), pero normal-mente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes:

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• Si una funci´on real derivable tiene un m´aximo relativo en un punto enton-ces su derivada es nula en dicho punto.

• Si una función compleja derivable tiene un máximo relativo (en módulo) en un punto entonces es constante.

El primero es geométricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no hemos de pensar por esto que la derivación compleja es una mera abstracción formal de la derivación real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teor´ıa descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geométricas sencillas, la deri-vación compleja combina las técnicas anal´ıticas con la estética y la profundidad del álgebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios fáciles de enunciar, pero abstractos y lógicamente distantes de las definiciones. Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teor´ıa y as´ı, mientras la gu´ıa del análisis real es que las funciones derivables son las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es útil pensar que las funciones derivables son como “polinomios de grado infinito”, hecho nada evidente a partir de la definición, pero que vuelve naturales los teoremas básicos. He aqu´ı un ejemplo :

• Si el conjunto de puntos donde una función derivable compleja se anula tiene un punto de acumulación (en el dominio de la función) entonces dicha función es idénticamente nula.

Se trata del análogo infinito al hecho de que si un polinomio se anula en un conjunto infinito de puntos entonces es idénticamente nulo. El caso infinito es un resultado profundo en el sentido de que no es evidente a partir de la definición de derivada, ni aún de los hechos básicos sobre funciones derivables, pero es natural a partir de la analog´ıa con los polinomios que acabamos de explicar.

Este carácter algebraico-anal´ıtico de la teor´ıa se refleja en sus aplicaciones. Aunque muchas de ellas pertenecen al análisis real, análisis de Fourier o incluso a la f´ısica (mecánica de fluidos, electricidad, etc.), una parte importante corres-ponde a la teor´ıa de números, y lo más notable es que no sólo permite probar resultados anal´ıticos del tipo de relaciones asintóticas, como el teorema de los números primos, sino también profundos teoremas de enunciados estrictamente aritméticos o algebraicos.

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xi

Consideremos la funci´onf : R−→ Rdada por f(x) = 1/(1 +x2_{). Es una}

función infinitamente derivable, luego podemos investigar la convergencia de su serie de Taylor alrededor de 0. Si intentamos calcular sus derivadas sucesivas obtenemos expresiones cada vez más complicadas, pero podemos observar que si|x2_|_<_{1 entonces 1}_/_{(1 +}_x2_{) es la suma de la serie geométrica de raz´}_on₋_x2_.

Por lo tanto

1 1 +x2 =

∞ X

n=0

(−1)nx2n.

Una serie de potencias es siempre su serie de Taylor, luego hemos encontrado el desarrollo de Taylor de la funciónf. Es inmediato que la serie converge sólo cuando |x| < 1. Surge entonces la pregunta de por qué la convergencia se interrumpe en−1. O tal vez no surge. Podr´ıa pensarse que esto es as´ı, como acabamos de probar, y que no tiene sentido buscar un porqué más alla de la prueba anterior u otra similar. Sin embargo, la teor´ıa de funciones de variable compleja aporta una explicación más profunda.

Consideremos la funci´on f : C\ {±i} −→ C dada porf(z) = 1/(1 +z2_),

la extensi´on natural de la funci´on de partida. El mismo argumento de antes prueba que

f(z) = ∞ X

n=0

(−1)nz2n, para|z|<1.

Las series de potencias convergen siempre en discos a funciones continuas, y ahora está claro por qué no puede converger más allá del disco unidad: porque

f presenta discontinuidades en los puntos±i, luego no existe ninguna extensi´on continua def a un disco abierto mayor que |z|<1.

La función original f ten´ıa un problema (o mejor dicho, dos problemas), pero fuera de la recta real. Considerar su restricción a_Roscurece la situación, a pesar de que f puede aparecer al abordar un problema que sólo involucre números reales.

Similarmente, las técnicas complejas se aplican al cálculo de l´ımites, in-tegrales, suma de series de funciones, cálculo de series de Fourier, y muchos otros problemas de planteamiento estrictamente real. En este libro veremos muchos ejemplos de este tipo, pero a la hora de mostrar aplicaciones menos sencillas nos hemos inclinado hacia la teor´ıa de números por dos razones. Por una parte es más fácil exponer de forma “casi autocontenida” y motivada pro-blemas aritméticos, a menudo de planteamiento elemental, y por otro lado las aplicaciones a la teor´ıa de números muestran el sorprendente papel de “bisagra” que juega la derivación compleja entre el álgebra y el análisis, que es, a nuestro juicio, una de las caracter´ısticas más notables de la teor´ıa.

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La mayor parte de este libro está dedicada a exponer los resultados básicos de la teor´ıa, acompañados de numerosas aplicaciones que muestren su potencia. Para seguirla adecuadamente el lector debe conocer los resultados topológicos básicos: propiedades de los espacios compactos, conexos, topolog´ıa producto, funciones continuas, l´ımites, etc. (por lo general en Rn_{), los resultados}

ele-mentales sobre espacios de funciones: convergencia puntual y uniforme, etc. (tambi´en para funciones enRn_{, especialmente en} _R2_{, aunque una cierta}

fami-liaridad con el caso de Rpuede ser suficiente), as´ı como los resultados funda-mentales del análisis real: diferenciabilidad, integrales, series, etc. (incluyendo la teor´ıa básica de la integral de Lebesgue). Algunas aplicaciones a la teor´ıa de números requieren la aritmética elemental (números primos, divisores, etc.) y un m´ınimo de álgebra (no más allá de saber qué es un grupo o un anillo cociente).

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Cap´ıtulo I

El plano complejo

Dedicamos este primer cap´ıtulo a introducir los conceptos básicos relacio-nados con los números complejos junto con algunos resultados anal´ıticos y to-pológicos que vamos a necesitar más adelante. Recordemos que los números complejos son de la formaz = a+bi, donde a y b son números reales e i es launidad imaginaria, caracterizada por que i2 ₌ ₋_{1. Esta ecuaci´}_{on, junto a}

las leyes de cuerpo, determina la suma y el producto de los n´umeros complejos, pues

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i,

(a+bi)(c+di) =ac+bdi2+adi+bci= (ac−bd) + (ad+bc)i.

Los números realesaybde la expresión binómica anterior están un´ıvocamen-te deun´ıvocamen-terminados por el número complejoz. Se llaman respectivamenteparte real

(Rez) y parte imaginaria(Imz) de z. Esta unicidad nos permite identificar el cuerpoCde los números complejos con el espacioR2_{, asociando a cada n´}_umero a+biel par ordenado (a, b). Esto nos da una interpretación geométrica deC como el conjunto de todos los puntos de un plano coordenado, de modo que los números reales ocupan el eje horizontal (eje real) mientras que el eje vertical (eje imaginario) está ocupado por los números de la formabi, llamados también

imaginarios puros.

1

i b

a a+bi

Con esta identificaci´on, las funciones Re : _C −→ R e Im : _C −→ R son simplemente las proyecciones de_R2 _en_R_.

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Existe un único automorfismo de Cque fija a los números reales (y no es la identidad), llamado conjugacióny que viene dado por z =a+bi= a−bi. Geométricamente se trata de la simetr´ıa respecto al eje real. Como ya hemos dicho, la conjugación es un automorfismo, es decir, cumple

z1+z2=z1+z2, z1z2=z1z2.

Adem´asz=z yz=z si y s´olo siz∈R.

La norma eucl´ıdea en R2 _{se corresponde con el}_m´_odulo_{de un n´}_umero

com-plejo

|z|=|a+bi|=pa2₊_b2₌√_zz.

De las propiedades de la conjugaci´on se deduce inmediatamente que|z1z2|=

|z1||z2|. Notemos que el m´odulo extiende al valor absoluto en R, por lo que

usamos la misma notaci´on. Puesto quezz=|z|2_{, para}_z₆_{= 0 se cumple} _z−1₌ z/|z|2_.

Consideraremos a Ccomo espacio topol´ogico con la topolog´ıa usual deR2_,

que es la topolog´ıa dada por el m´odulo, o tambi´en la topolog´ıa producto inducida porR.

Es costumbre usar llamar discos a lo que en la teor´ıa general de espacios m´etricos se llaman bolas. Usaremos la notaci´on

D(z0, ≤) ={z∈C| |z−z0|< ≤}.

Los discos cerrados los expresaremos como las clausuras de los discos abier-tos:

D(z0, ≤) ={z∈C| |z−z0| ≤≤}.

Conviene extender el plano complejo_Ca˜nadi´endole un punto infinito, con lo que obtenemos el espacio compacto_C∞₌_C_{∪ {∞}}_{, donde los entornos abiertos} de∞son los complementarios de los subconjuntos compactos de_C.

La proyecci´on estereogr´afica nos da un homeomorfismo entreC∞ _{y una} es-fera, por lo que aC∞_{se le llama}_{esfera de Riemann.} _{Formalmente no} necesita-remos este hecho.

θ

cosθ

senθ

z

|z| Además de la representación binómica a+bi, todo

n´umero complejo admite la representaci´on polar, de la formaz=|z|(cosθ+isenθ).

Si z 6= 0, el n´umero real θ est´a determinado por z

salvo m´ultiplos enteros de 2π y se llama argumento de

z. As´ı, todo número complejo z 6= 0 está un´ıvocamen-te deun´ıvocamen-terminado por su módulo y por uno cualquiera de sus argumentos. Llamaremos Argz al conjunto de los argumentos dez. Tenemos que siθ es un argumento de

z entonces

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1.1. Funciones de variable compleja 3

1.1 Funciones de variable compleja

Las funciones de variable real más importantes admiten una extensión natu-ral a funciones de variable compleja. El caso más simple es el de los polinomios. Cada polinomio con coeficientes reales define una función sobreCque extiende a la función que define sobreR. Claramente se trata de una función continua. Más aún, todo polinomio p(z) ∈ C[z] define una función continua en _C∞ _si admitimos quep(∞) =∞.

Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precaución de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en∞ se extienden con el valor del l´ımite, finito o infinito, y el resultado es siempre una función continua). Por ejemplo, la función

f(z) = 1

z2_{+ 1}

toma el valor∞en±iy toma el valor 0 en ∞.

Quizá la función real más importante sea la función exponencial. Ésta ad-mite una extensión al plano complejo que es sin duda la función más importante de variable compleja. La definición que vamos a dar puede parecer muy arti-ficial, pero veremos enseguida que as´ı se conservan las muchas propiedades de la función real, y más adelante probaremos que es la única extensión posible derivable en todo punto en el sentido de derivabilidad compleja que definiremos en el cap´ıtulo siguiente.

Definición 1.1 Definimos la función exponencialez_:_C_−→_C_mediante ex+iy=excosy+iexseny. (1.1) El teorema siguiente recoge las propiedades básicas de la exponencial com-pleja. Todas ellas se demuestran sin ninguna dificultad a partir de las propie-dades de la exponencial real y las funciones trigonométricas.

Teorema 1.2 La funci´on exponencial compleja es continua y extiende a la ex-ponencial real. Adem´as verifica

a) ez1+z2₌_ez1_ez2_,

b) ez₌_ez_,

c) |ea+bi_|₌_ea_,

d) ez₆_{= 0}_,

e) e−z_{= 1}_/ez_.

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Por ejemplo, si fijamos x, al variar y la expresi´on (1.1) describe un c´ırculo de centro 0 y radioex_{, luego la funci´}_{on exponencial biyecta el conjunto de las}

rectas verticales con el de los c´ırculos de centro 0.

Si por el contrario fijamos la variable y, entonces (1.1) recorre todos los m´ultiplos positivos del vector unitario (cosy,seny), es decir, la imagen de una recta horizontal es una semirrecta.

En el caso de una recta oblicua, resulta que a medida que “avanzamos” por la recta aumentan tanto el m´odulo como el argumento de las im´agenes, por lo que el resultado es una espiral, lo que se conoce como unaespiral logar´ıtmica.

-10 -5 5 10

x= 1

y= 10 y= 4x

La figura muestra las im´agenes por la funci´on exponencial de las rectasx= 1,y= 10 e y= 4x.

Centr´emonos en las rectas horizontales. Si lla-mamos Sα ={ex+iα _| _x _∈ _R}_{, es decir, la}

semi-rrecta formada por todos los n´umeros complejos de argumento α, hemos visto que Sα es la ima-gen por la funci´on exponencial de la recta y=α. Una banda de anchura menor que 2π, esto es, un conjunto de la forma

{x+iα|x∈R, a < α < b} conb−a <2π

es la unión de las rectas horizontales de alturaa < α < b, luego su imagen por la función exponencial será la unión de las semirrectasSαcona < α < b, o sea,

un ´angulo deb−aradianes:

a b

ez

As´ı pues, la funci´on exponencial biyecta las bandas con los ´angulos. La mayor banda que podemos tomar sin perder la biyectividad es la de anchura 2π, siempre que la tomemos abierta (o al menos semiabierta).

Teorema 1.3 Siα∈R, la funci´on exponencial biyecta la banda abierta

{x+iy|x∈R, α < y < α+ 2π}

con el abierto Hα = C\(Sα∪ {0}), es decir, con el complementario de la

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α α+ 2π

ez

Demostraci´on: Si un n´umero complejoz6= 0 no tiene argumentoα, tiene un argumentoyde manera queα < y < α+ 2π. Si|z|=ex_{, entonces}_z₌_ex+iy_,

luego la funci´on exponencial entre los conjuntos considerados es suprayectiva. Para probar la inyectividad vemos primero queex+iy_{= 1 si y s´}_{olo si}

ex_(cos_y₊_i_sen_y_{) = 1, si y s´}_{olo si}_ex_{= 1, cos}_y_{= 1 y sen}_y_{= 0,}

si y s´olo six= 0 ey= 2kπpara ciertok∈Z. Por lo tantoez1 ₌_ez2 _{si y s´}_{olo si}_ez1−z2 _{= 1, si y s´}_{olo si}_z

1−z2= 2kπipara

unk∈Z.

Si tomamos z1 y z2 en una banda abierta de anchura 2π, esta condici´on

equivale az1=z2, luego la funci´on exponencial es biyectiva sobre estas bandas.

Definición 1.4 Un número complejo L es un logaritmo de otro número z si cumpleeL₌_z_{. Llamaremos Log}_z_{al conjunto de todos los logaritmos de}_z_.

Del teorema anterior se deduce que todo n´umero complejo no nulo tiene infinitos logaritmos, aunque vamos a verlo directamente:

SiL=a+bies un logaritmo dez, entoncesz=ea+bi₌_ea_(cos_b₊_i_sen_b_),

luego|z|=ea_{y por lo tanto}_a_{= log}_|_z_|_{. Por definici´}_on,_b_{es un argumento de}_z_.

Rec´ıprocamente, es obvio que si θ es un argumento de z, entonces L = log|z|+iθes un logaritmo dez. As´ı pues, hay una biyecci´on entre los logaritmos dezy los argumentos dezdada por

Logz −→ Argz

L 7→ ImL

Argz −→ Logz θ 7→ log|z|+iθ

En particular, siL1yL2son logaritmos dez, entoncesL1=L2+ 2kπi, con k∈Zy, siL1 es un logaritmo dez, entonces Logz={L1+ 2kπi|k∈Z}.

Para cada α ∈ R definimos la funci´on log_α : Hα −→ C como la inversa

de la restricción de la función exponencial a la franja α < Imz < α+ 2π. Equivalentemente, si z ∈ Hα entonces logαz es el único logaritmo de z cuya

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A las funciones log_α y arg_α se las llama ramas uniformes1 _{del logaritmo y}

el argumento enHα.

Teorema 1.5 Para cada n´umero realα, las ramas uniformes arg_α:Hα−→R

y log_α:Hα−→Cson continuas.

Demostraci´on: Dada la relaci´on log_αz = log|z|+iarg_αz, basta probar que arg_αes continua.

Si z ∈ Hα, entonces z = |z|eiθ_{, donde} _θ _{= arg}

αz ∈ ]α, α+ 2π[. Por lo

tantoe−iα_z₌_|_z_|_ei(θ−α) _{tiene argumento}_θ₋_α_∈_]0_,₂_π_{[, es decir,}_e−iα_z_∈_H 0.

Adem´as arg₀(e−iα_z_{) =}_θ₋_α_{, luego arg}

αz=α+ arg0(e−iαz). Por consiguiente

basta probar que arg₀ es continua.

Llamemos S = {eiθ _| ₀ _{< θ <} ₂_π_}_{. La funci´}_on _f _: _H

0 −→ S dada por f(z) =z/|z|es continua y conserva los argumentos, es decir, arg₀z= arg₀f(z). Por lo tanto basta probar la continuidad de la restricci´on aS de arg₀, es decir, de la inversa de la funci´ong: ]0,2π[−→S dada porg(θ) = cosθ+isenθ.

A su vez ´esta es consecuencia de la continuidad de las funciones arccos : ]−1,1[−→]0, π[, arcsen : ]−1,1[−→i−π₂,π

2 h

,

pues sobre el conjunto{z∈S|Imz >0}se cumpleg−1₍_z_{) = arccos Re}_z_{, sobre}

{z ∈ S | Imz < 0}es g−1₍_z_{) = 2}_π₋_{arccos Re}_z _{y sobre} _{_z _∈ _S _| _Re_{z <} ₀_}

tenemos g−1₍_z_{) =} _π₋_{arcsen Im}_z_{, y estos tres conjuntos son abiertos en} _S _y

cubren todos sus puntos.

En la práctica no usaremos la notación log_α, sino que diremos que log es el logaritmo que toma argumentos entreαyα+ 2π. Si no se indica lo contrario, log representará al logaritmo con argumentos entre −π y π. De este modo, si r ∈ R, su argumento es 0, luego logr ∈ R y as´ı log extiende a la función logaritmo real.

Observar que no es cierto en general que log_α(z1z2) = logαz1+ logαz2. El

segundo miembro es, en efecto, un logaritmo dez1z2, pero su parte imaginaria

no tiene por qu´e estar entreαyα+ 2π.

Ahora vamos a extender las funciones seno y coseno. Partiremos del hecho de que six∈R, entonceseix_{= cos}_x₊_i_sen_x_{, luego cos}_x_{= Re}_eix_{, sen}_x_{= Im}_eix_.

Nos interesa definir que las extensiones sean derivables en el sentido que definiremos en el cap´ıtulo siguiente, pero veremos all´ı que las funciones parte real y parte imaginaria no son derivables, por lo que si defini´eramos cosz = Reeiz _{y sen}_z _{= Im}_eiz _{no obtendr´ıamos funciones derivables. Esto se resuelve}

observando que en general Rez= (z+z)/2, Imz= (z−z)/2i.

1_{La palabra “uniforme” no est´}_{a relacionada con su uso en otros contextos, como en}

“con-vergencia uniforme” o “función uniformemente continua”. Aqu´ı “función uniforme” se opone a “función multiforme”, que es una función que asigna a cadazun conjunto de valores, como ocurre con las funciones Arg y Log. En general, una rama uniforme de una función multiforme

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Definici´on 1.6 Llamaremos funcionessenoycosenoa las dadas por senz=e

iz₋_e−iz

2i cosz=

eiz₊_e−iz

2 .

Con esta definición la derivabilidad será obvia a partir de la derivabilidad de la función exponencial. La prueba del teorema siguiente no presenta ninguna dificultad.

Teorema 1.7 Las funciones seno y coseno complejas extienden a las corres-pondientes funciones reales. Adem´as cumplen:

a) sen2_z₊_cos2_z_{= 1}_.

b) sen(a+b) = senacosb+ senbcosa. c) cos(a+b) = cosacosb−senasenb.

d) Si k∈Zentonces sen(z+ 2kπ) = senz,cos(z+ 2kπ) = cosz. e) cos(−z) = cosz,sen(−z) =−senz.

Sin embargo, no es cierto que |senz| ≤1, |cosz| ≤ 1. Por ejemplo, para todo n´umero realxse cumple

cosix= e

x₊_e−x

2 senix=i

ex₋_e−x

2 , y estas funciones no est´an acotadas.

Ahora tenemos definida de forma natural la funcióntangente compleja,dada por tanz= senz/cosz. Esta función está definida en el plano complejo salvo en los puntos donde el coseno se anula que, como vemos a continuación, son exactamente los números reales donde el coseno se anula.

Teorema 1.8 Los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mis-mos que los de las funciones reales correspondientes, es decir,

cosz= 0 si y s´olo siz= π

2 +kπ, senz= 0 si y s´olo siz=kπ,

conk∈Z.

Demostración: Veámoslo para el coseno. cosz= 0 si y sólo sieiz₌₋_e−iz_,

si y s´olo sie2iz ₌₋_{1 =}_eiπ_{, si y s´}_{olo si 2}_iz₌_iπ_{+ 2}_kπi_{, si y s´}_{olo si}_z₌_π/_{2 +}_kπ_.

El caso del seno es an´alogo.

A partir de la exponencial y el logaritmo se pueden definir otras funciones de inter´es. Por ejemplo, podemos definir exponenciales de base arbitraria no nula:

az=ezloga,

donde logaes un logaritmo cualquiera dea. Podemos consideraraz _{como una}

(20)

independientes definidas sobre todo el plano complejo, una para cada logaritmo posible de la base. La exponencial usual se obtiene como caso particular al tomar loge= 1.

Tambi´en tenemos las funcionespotenciales:

za=ealogz.

´

Estas son funciones multiformes, de las que podemos separar ramas unifor-mes continuas (es decir, funciones continuas que asignan a cada z una de sus potencias za_{) en los abiertos donde el logaritmo las tiene, en particular en los}

abiertos Hα y, por consiguiente, en un entorno de cada punto no nulo. No obstante, sia∈Zentonces za_{= (}_elogz₎a_{, donde las exponenciales del segundo}

miembro son la funci´on exponencial usual y la exponenciaci´on respecto a ente-ros, definida algebraicamente en cualquier cuerpo, es decir,za_{es simplemente la}

exponenciación usual, es una función uniforme y está definida en todo el plano complejo.

De entre las funciones potenciales con exponente no entero, las m´as im-portantes son las de exponente 1/n, donde n es un n´umero natural no nulo. Entonces escribimos z1/n ₌ √n_z_{, pues claramente} °√n_z¢n ₌ _z_{, pero debemos} recordar que √n_z _{es una funci´}_{on multiforme, pues cada n´}_{umero complejo no} nulo tiene exactamentenra´ıcesn-simas distintas.

Ejercicio: Probar que dos logaritmos log1z y log2z de un n´umero complejoz 6= 0 determinan una misma ra´ız n-sima e(1/n) log1z ₌ _e(1/n) log2z _{si y s´}_{olo si sus partes}

imaginarias se diferencian en un m´ultiplo entero de 2nπ.

Cada rama uniforme continua del logaritmo determina una rama uniforme continua de la ra´ızn-sima. En particular todo número complejo no nulo tiene en un entorno una rama uniforme continua de la ra´ızn-sima. De hecho es fácil ver que en un entorno suficientemente pequeño tiene exactamentenramas distintas (las que hemos descrito).

1.2 Transformaciones de M¨

obius

Las transformaciones de M¨obius son una familia muy importante de funcio-nes de variable compleja, por lo que les dedicamos esta secci´on. Son los cocientes no triviales de polinomios de primer grado:

Definici´on 1.9 Llamaremostransformaciones de M¨obiusa las funciones

M(z) =az+b

cz+d,

dondea,b,c,dson n´umeros complejos tales quead−bc6= 0.

(21)

1.2. Transformaciones de M¨obius 9

funciones racionales arbitrarias, el dominio de una transformaci´on de M¨obius es todoC∞ _{si convenimos en que}

M(∞) = l´ım

z→∞M(z) =

a c ∈C

∞_, _M₍₋_d/c_{) =}_∞_. ClaramenteM :_C∞_−→_C∞_{es una funci´}_{on continua y tiene inversa}

M−1(z) = dz−b −cz+a,

que, como vemos, es también una transformación de Möbius.

En consecuencia las transformaciones de Möbius resultan ser homeomorfis-mos deC∞_{en s´ı mismo. Un c´}_{alculo directo muestra que la composici´}_{on de dos} transformaciones de Möbius es de nuevo una transformación de Möbius, luego éstas forman un grupo con la composición de aplicaciones.

Comenzamos el estudio de estas funciones con una propiedad geométrica: Teorema 1.10 La imagen de una recta o de una circunferencia por una trans-formación de Möbius es una recta o una circunferencia.

Demostraci´on: El teorema no afirma que la imagen de una recta sea una recta y la imagen de una circunferencia sea una circunferencia, sino que las rectas pueden ser transformadas en circunferencias y viceversa.

La circunferencia de centro un punto (a, b) y radio r >0 est´a formada por los puntos (x, y) que cumplen la ecuaci´on (x−a)2_{+ (}_y₋_b₎2₋_r2_{= 0.}

Operando y multiplicando por un n´umero realA6= 0 arbitrario queda:

A(x2+y2)−2Aax−2Aby+A(a2+b2−r2) = 0,

luego las circunferencias son los conjuntos de puntos que cumplen una ecuaci´on del tipo

A(x2+y2) + 2Bx+ 2Cy+D= 0, (1.2) dondeA6= 0 yB2₊_C2₋_{AD >}_{0 (ya que}_B2₊_C2₋_AD₌_A2_r2_).

Rec´ıproca-mente, el conjunto de los puntos que cumple una ecuaci´on en estas condiciones es una circunferencia.

Por otra parte siA= 0 la ecuación se reduce a 2Bx+ 2Cy+D= 0 que, ad-mitiendo (B, C)6= (0,0), es la ecuación de una recta, y toda recta está formada por los puntos que cumplen una ecuación de este tipo.

En resumen, las rectas y las circunferencias son los conjuntos de puntos (x, y) que cumplen una ecuaci´on del tipo (1.2), dondeA6= 0 yB2₊_C2₋_{AD >}_{0 o}

bienA= 0 y (B, C)6= (0,0).

Si consideramos (x, y) como un n´umero complejoz, entonces (1.2) equivale a

(22)

Convendremos en que ∞pertenece a cualquier recta y no pertenece a nin-guna circunferencia, luego una recta es un conjunto de números complejos deter-minados por una ecuación de tipo (1.3) conA= 0 más el punto∞y una circun-ferencia es un conjunto de números complejos determinados por una ecuación de tipo (1.3) conA6= 0.

Consideremos en primer lugar la función M(z) = 1/z. El conjunto de los números complejos z 6= 0 que cumplen la ecuación (1.3) se transforma en el conjunto de los números complejos no nulos que cumplen

A 1 zz+E

1

z +E

1

z +D= 0

o, equivalentemente,

Dzz+Ez+E z+A= 0.

Si A 6= 0 y D 6= 0 (con lo que z = 0 no cumple (1.3)) tenemos que el conjunto inicial era una circunferencia y su imagen tambi´en. Si A 6= 0 pero

D= 0 entonces el conjunto inicial era una circunferencia y el final es una recta. El 0 pertenec´ıa a la circunferencia y su imagen es∞, que pertenece a la recta. SiA= 0 yD6= 0 tenemos una recta que no pasa por 0 y se transforma en una circunferencia. El 0 está en la imagen porque es la imagen de∞, que estaba en la recta. Finalmente siA=D= 0 tenemos una recta que pasa por 0 y que se transforma en otra recta que pasa por 0 (de modo que 0 e∞se intercambian). As´ı pues, el teorema es cierto para la función 1/z. Análogamente se puede comprobar que es válido para una función del tipo M(z) = az +b, aunque también se puede probar geométricamente teniendo en cuenta que en tal caso

M(z) consiste en la homotecia z 7→ |a|z, seguida del giro de ´angulo arga y seguida de la traslaci´onz7→z+b, y todas estas operaciones conservan rectas y circunferencias.

En el caso general (si c6= 0) expresamos

M(z) = az+b

cz+d = a c +

bc−ad c(cz+d),

con lo queM se expresa como composici´on de tres transformaciones de M¨obius que ya sabemos que conservan o intercambian rectas y circunferencias, a saber,

z7→cz+d, seguida dez7→1/z, seguida de

z7→ bc−ad

c z+

a c.

El casoc= 0 es claro.

Con más precisión, si M es una transformación de Möbius yM(z0) = ∞,

entonces las im´agenes de las rectas y circunferencias que pasan por z0 han

de contener a ∞, luego han de ser rectas, y las im´agenes de las rectas y cir-cunferencias que no pasan por z0 no han de contener a ∞, luego han de ser

(23)

1.2. Transformaciones de M¨obius 11

Por otra parte, tanto las rectas como las circunferencias dividen a C∞ _en dos componentes conexas (dos semiplanos o el interior y exterior de la circunfe-rencia) y es obvio que si una funci´onM transforma una recta/circunferenciaA

en una recta/circunferenciaB, entoncesM es un homeomorfismo entreC∞_\_A yC∞_\_B_{, luego biyecta sus dos componentes conexas, es decir, si por ejemplo}

M transforma una recta en una circunferencia, entoncesM env´ıa los puntos de uno de los semiplanos definidos por la recta al interior de la circunferencia y los puntos del otro semiplano al exterior.

Teorema 1.11 Toda transformaci´on de M¨obius M deja fijo al menos a un punto de _C∞ _{y si} _M _{no es la identidad entonces tiene a lo sumo dos puntos}

fijos.

Demostraci´on: Sea

M(z) =az+b

cz+d.

Supongamos primero que c = 0 (luegod6= 0, a6= 0). Entonces se cumple

M(∞) =∞, luegoMtiene un punto fijo. En el plano finitoM(z) =ztiene a lo sumo la soluci´onb/(d−a) (siempre quea6=d), luego en total hay a lo sumo dos puntos fijos. Ahora supongamosc6= 0, con lo queM(∞) =a/c6=∞, luego∞ no es un punto fijo. Tampoco lo es el punto−d/c, pues su imagen es∞. Entre los puntos restantes, la ecuaci´onM(z) =z equivale acz2_{+ (}_d₋_a₎_z₋_b _{= 0,}

que tiene una o dos soluciones en_C.

En la prueba anterior hemos usado el teorema fundamental del ´algebra. Daremos una prueba de este resultado en el cap´ıtulo III (la cual, por supuesto, no usar´a el teorema anterior).

Una consecuencia del teorema anterior es que si una transformaci´on de M¨obius tiene tres puntos fijos entonces es la identidad. El teorema siguiente generaliza considerablemente este hecho.

Teorema 1.12 Siz1,z2,z3 son tres puntos distintos deC∞ yw1,w2,w3 son

también distintos entre s´ı (aunque no necesariamente distintos de los anterio-res) existe una única transformación de Möbius M que cumple M(z1) = w1, M(z2) =w2,M(z3) =w3.

Demostraci´on: La unicidad es consecuencia del teorema anterior: si dos transformacionesM yN cumplen estas condiciones entoncesM N−1 _{deja fijos}

az1,z2,z3, luego es la identidad y por lo tantoM=N.

Supongamos quez1,z2, z3son finitos y que w1= 0, w2=∞,w3= 1. Para

que una transformaci´on

M(z) =az+b

cz+d.

cumplaM(z1) = 0 se ha de cumplir queaz1+b= 0, o sea, queaz+b=a(z−z1).

Del mismo modo la condici´on M(z2) = ∞equivale a cz+d=c(z−z2). As´ı

pues,

M(z) =a

(24)

La condici´onM(z3) = 1 determina el cociente a

c =

z3−z2 z3−z1

y el resultado es

M(z) = z3−z2

z3−z1 z−z1 z−z2 .

Es claro que esta transformaci´on cumple lo pedido.

Si uno de los puntos z es infinito es fácil ver que la función que resulta de tomar l´ımites en la expresión anterior cumple lo buscado. Concretamente sirven las funciones

M(z) = z3−z2

z−z2

, M(z) = z−z1

z3−z1

, M(z) = z−z1

z−z2 ,

seg´un seaz1=∞,z2=∞oz3=∞.

En general podemos obtener dos transformacionesM yN tales que

M(z1) = 1, M(z2) =∞, M(z3) = 1, N(w1) = 1, N(w2) =∞, N(w3) = 1,

y entoncesM N−1 _{es la transformaci´}_{on buscada.}

Teniendo en cuenta que por tres puntos no alineados pasa una única circun-ferencia es claro que dadas dos rectas/circuncircun-ferencias existe una transformación de Möbius que transforma una en otra.

1.3 Las funciones trigonom´

etricas inversas

Las ´ultimas funciones de variable compleja que vamos a presentar en este cap´ıtulo son las funciones trigonom´etricas inversas:

Arcsenz, Arccosz, Arctanz.

Definimos elarco senoArcsenzcomo el conjunto de todos los números com-plejos wtales que senw=z. Similarmente se definen el arco cosenoy el arco tangente. Se trata, pues, de funciones multiformes, y vamos a estudiar la exis-tencia de ramas uniformes continuas. Ante todo, observamos que la relación sen(w+π/2) = cosw hace que Arcsenz = Arccosz +π/2, en el sentido de que cualquier arco coseno de z se convierte en un arco seno sumándoleπ/2 y cualquier arco seno se convierte en un arco coseno restándoleπ/2. Esto permite traducir todas las propiedades del arco coseno a propiedades del arco seno, por lo que sólo nos ocuparemos de las funciones Arccoszy Arctanz.

Teniendo en cuenta la definición que hemos dado de la función coseno, con-viene que estudiemos primero la función racional

w=λ(z) = z+z−

1

2 =

z2_{+ 1}

(25)

1.3. Las funciones trigonom´etricas inversas 13

Observemos queλtoma el valor∞exactamente en los puntos 0 e∞. Dado

w∈ C, un número z cumpliráw=λ(z) si y sólo si z2₋₂_wz_{+ 1 = 0, lo que}

a su vez equivale a quez =w+√w2₋_{1, donde} √_w2₋_{1 es cualquiera de las}

ra´ıces cuadradas dew2₋_1.

As´ı, siw6=±1,∞entoncesw2₋_{1 es un n´}_{umero complejo no nulo y tiene dos}

ra´ıces cuadradas distintas, con lo quewtiene exactamente dos antiim´agenes por

λ(esto último también vale para w=∞). Los puntos w=±1 son los únicos que tienen una única antiimagen porλ, a saber,λ(1) = 1,λ(−1) =−1.

Para comprender con m´as detalle el comportamiento de λestudiaremos en primer lugar c´omo transforma las circunferencias de centro 0. La circunferencia unitaria|z| = 1 es un caso especial. Sus puntos son de la forma z =eit_{, con} t∈R, y se transforman en

λ(z) =e

it₊_e−it

2 = cost.

Por consiguiente la circunferencia unitaria se transforma en el segmento [−1,1]. Geométricamente, λ“aplasta” la circunferencia sobre el segmento, de modo que todos los puntos de éste salvo sus extremos tienen dos antiimágenes porλ, una en el semiplano superior y otra en el inferior.

Consideremos ahora una circunferencia de radio r > 0,r 6= 1. Sus puntos son de la formaz=reit_{, con}_t_∈_R_{. Al aplicar}_λ_obtenemos

w=λ(z) = re

it₊_r−1_e−it

2 =

r−1₊_r

2 cost−i

r−1₋_r

2 sent. (1.4) Por lo tanto, la circunferencia de radio r se

trans-forma en la elipse cuyos ejes son el eje real y el eje ima-ginario y cuyos semiejes miden

a= r−

1₊_r

2 y b=

r−1₋_r

2 .

La distancia focalcest´a determinada por la relaci´on

a2 ₌ _b2₊_c2_{, luego es} _c _{= 1, es decir, los focos son} _±_{1. En realidad, son}

dos las circunferencias cuya imagen por λ es dicha elipse, las de radios r y

r−1_{. Cada punto de la elipse tiene exactamente una imagen en cada una de las}

circunferencias. Es fácil ver que las elipses de focos ±1 cubren todo el plano complejo menos el intervalo [−1,1]. Por consiguiente λbiyecta tanto el disco abiertoD(0,1) como el complementario del disco cerradoD(0,1) con_C\[−1,1]. La observación siguiente tendrá importancia un poco más abajo: Si r > 1 entonces−(r−1₋_r₎_/₂_>_{0, luego la f´}_{ormula (1.4) muestra que}_z_y_λ₍_z_{) est´}_{an en}

(26)

Estudiemos ahora la forma en queλtransforma las semirrectas de origen en 0, es decir, de la forma z =teiα_{, con}_α_∈ _R_{fijo y} _{t >} _{0. De forma similar a}

(1.4) obtenemos que

w=λ(z) = t−

1₊_t

2 cosα−i

t−1₋_t

2 senα.

Si suponemos cosα6= 06= senαy llamamosw=u+iv, podemos despejar

t−1+t= 2u

cosα, t

−1₋_t₌₋ 2v

senα.

Elevando al cuadrado y restando queda

u2

cos2_α− v2

sen2_α= 1.

Esto implica que la imagen de la semirrecta est´a contenida en la hip´erbola cuyos ejes son el eje real y el eje imaginario y sus semiejes miden a = cosα,

b= senα. De nuevo los focos son ±1.

Con m´as detalle, cuando t var´ıa entre 0 y 1 la ex-presi´on (t−1₊_t₎_/_{2 var´ıa entre +}_∞_{y 1, y cuando}_t_var´ıa

entre 1 y +∞ vemos que (t−1 ₊_t₎_/_{2 var´ıa entre 1 y}

+∞. Por otra parte, el signo de (t−1₋_t₎_/_{2 permanece}

constante en cada uno de los dos casos. La conclusi´on es queλtransforma la semirrectat >1 en el cuarto de hip´erbola (media rama) situado en el mismo cuadrante que la semirrecta, y el segmento 0< t <1 en el cuarto

de hip´erbola situado en el cuadrante conjugado al del segmento. Las cuatro semirrectas exceptuadas se estudian aparte sin dificultad.

Todo esto se aplica claramente a la función coseno. En efecto, cosz puede obtenerse componiendo la funciónz7→iz, con la funciónz7→ez _{y luego con la}

funci´onλ.

(27)

1.3. Las funciones trigonom´etricas inversas 15

0 π −1 1

Las semirrectas Rez = 0, Imz > 0 y Rez = 0, Imz <0 se transforman ambas en ]1,+∞[, e igualmente las semirrectas Rez=π, Imz >0 y Rez=π, Imz <0 se transforman ambas en ]−∞,−1[.

Ejercicio: Determinar c´omo transforma el coseno una recta vertical y una recta horizontal.

El comportamiento de la función coseno en la bandaπ <Rez <2πse sigue fácilmente de la relación cosz = −cos(z−π). Es fácil ver que la semibanda superior se transforma ahora en el semiplano inferior y viceversa. Como el coseno tiene periodo 2π, ya sabemos su comportamiento sobre todas las bandas

kπ <Rez <(k+ 1)π, para todo enterok.

0 π 2π 3π 4π

Sobre el eje real, el coseno se comporta como es conocido, y toma im´agenes en el intervalo [−1,1]. Las zonas sombreadas (abiertas) se transforman biyectiva-mente en el semiplano superior y las zonas blancas en el inferior. Las semirrectas verticales que separan las bandas se transforman unas en la semirrecta ]1 +∞[ y otras en ]−∞,−1[.

(28)

definir una rama uniforme del arco coseno sobreCmenos la semirrecta ]−∞,1]. Vamos a probar que todas estas ramas uniformes son continuas. Más en general, vamos a ver que si la función coseno restringida a un abierto de C que no contenga múltiplos deπes inyectiva, entonces su inversa en una rama uniforme continua del arco coseno.2

Para ello basta ver que si cosz0 = w0 (con w0 6= ±1) existe una rama

uniforme continua del arco coseno definida en un entorno de z0 y tal que

arccosw0=z0.

En efecto, admitamos esto y sea f :A−→B la inversa de la restricci´on de la funci´on coseno a un abierto B, de modo que A ⊂ C\ {±1}. Sea w0 ∈ A

y z0 = f(w0). Entonces w0 = cosz0 y podemos tomar un entorno V de w0

en el que est´e definida una rama uniforme continua g del arco coseno tal que

g(w0) =z0. Restringi´endolo podemos suponer V = g−1[B]. As´ı, siw ∈V se

cumplef(w),g(w)∈B y cosf(w) = cosg(w) =w, luegof(w) =g(w). Por lo tantof yg coinciden enV y as´ıf es continua enw0.

Para probar la existencia de ramas uniformes continuas del arco coseno las construiremos a partir de logaritmos y ra´ıces cuadradas. Notemos que si

w= cosz=e

iz₊_e−iz

2 , despejando resulta que (eiz₎2₋₂_weiz_{+ 1 = 0, luego}

eiz=w+pw2₋₁_,

y en conclusi´on

z= 1

i log

°

w+pw2₋₁¢_, _(1.5)

donde hay que entender que elegimos una ra´ız cuadrada y un logaritmo. Rec´ıpro-camente, cualquier n´umero de la forma (1.5) es un arco coseno dew. Si partimos de un n´umero complejow6=±1 entoncesw2₋₁₆_{= 0, luego podemos tomar una}

rama uniforme continua de la ra´ız cuadrada en un entorno, yw+√w2₋₁₆_{= 0}

(pues en caso contrario elevar´ıamos al cuadrado y resultar´ıa 1 = 0), con lo que podemos tomar una rama uniforme continua del logaritmo en un entorno. En definitiva, todo w 6=±1 tiene en un entorno una rama uniforme continua del arco coseno dada por (1.5), donde el logaritmo y la ra´ız cuadrada son ahora ramas uniformes continuas de estas funciones, elegidas adecuadamente.

Esto es lo que quer´ıamos probar, pero se cumple m´as. Localmente, toda rama uniforme continua es de esta forma. En efecto, si f(w) es una rama uniforme continua del arco coseno definida alrededor de un punto w0 6= ±1,

entonces podemos tomar otra de la forma (1.5) definida en un entorno conexo Ω dew0 contenido en el dominio def. Entonces

f(w) = 1

i log

°

w+≤w

p

w2₋₁¢_{+ 2}_k wπ,

(29)

1.4. Arcos 17

donde≤w=±1 ykw∈Z. La funci´on eif(w)₌_w₊_≤

w

p

w2₋₁

es continua, lo que obliga a que ≤w sea continua, y por tanto constante, en Ω. De aqu´ı se sigue quekw tambi´en es continua y tambi´en es constante. Cam-biando√w2₋_{1 por}_≤√_w2₋_{1 obtenemos otra rama uniforme continua de la ra´ız}

cuadrada y cambiando log°w+≤w

√

w2₋₁¢ _{por log}°_w₊_≤_w√_w2₋₁¢_{+ 2}_kπi

obtenemos otra rama uniforme continua del logaritmo con las cualesf tiene la forma (1.5).

M´as sencillo es el caso del arco tangente. Si

w= tanz= 1

i

eiz₋_e−iz eiz₊_e−iz =

1

i

e2iz₋₁ e2iz_{+ 1},

entonces

z= 1 2i log

1 +iw

1−iw,

para una elección adecuada del logaritmo. Rec´ıprocamente, esta expresión de-termina un arco tangente de w para cualquier elección del logaritmo. Puesto que la expresión dentro del logaritmo es una transformación de MöbiusM, con-cluimos que la función multiforme Arctan tiene las mismas propiedades que la función logaritmo con las variaciones obvias que exigeM. As´ı, al igual que el logaritmo tiene ramas uniformes continuas en un entorno de cada punto dis-tinto de 0 (y de∞), la función arco tangente tiene ramas uniformes continuas en un entorno de cada punto distinto de ±i. Al igual que el logaritmo tiene ramas uniformes continuas en _C∞ _{menos las semirrectas que conectan 0 e}_∞_, la función arco tangente tiene ramas uniformes continuas menos en los arcos de circunferencia que conectan aicon−i, incluyendo el segmento de extremos±i

y las dos semirrectas verticales de extremos±i.

1.4 Arcos

Una importante herramienta topol´ogica en el estudio del plano complejo es el concepto dearco,que estudiaremos en esta secci´on.

Definici´on 1.13 Unarcoes una aplicaci´on continuaφ: [a, b]−→C. Llamare-mosrangodel arcoφal conjuntoφ∗₌_φ£_[_{a, b}_]§_{, que es un subconjunto compacto} deC. Los puntosφ(a) yφ(b) se llamanextremosdeφ. Concretamenteφ(a) es elpunto inicialdeφyφ(b) es elpunto final. Diremos queφes unarco cerrado

siφ(a) =φ(b).

φ(a)

φ(b)

φ(a) _φ₍_b₎

(30)

Es importante que un arco no es el conjunto de puntosφ∗_{, sino la aplicaci´}_on

φ, pues φ contiene m´as informaci´on que φ∗_{. Por ejemplo,} _φ _{determina sus} extremos en un orden fijo mientras queφ∗ _{no lo hace.}

Definici´on 1.14 Si φ : [a, b] −→ C es un arco, su arco opuesto ser´a el arco −φ: [−b,−a]−→Cdado por (−φ)(t) =φ(−t).

Geom´etricamente, −φ es el mismo arco que φ salvo que est´a recorrido en sentido contrario.

Consideremos dos arcosφ: [a, b]−→Cyψ: [c, d]−→C. Diremos queφy

ψ pueden unirse, o que existe su uni´on, siφ(b) =ψ(c), en cuyo caso definimos el arco (φ∪ψ) : [a, b+d−c]−→Cdado por

(φ∪ψ)(t) = Ω

φ(t) sia≤t≤b ψ(t−b+c) sib≤t≤b+d−c

Geom´etricamenteφ∪ψes el arco que se obtiene al recorrerφy seguidamente recorrer ψ. Es claro que (φ∪ψ)∗ ₌_φ∗_∪_ψ∗_{, as´ı como que el punto inicial de}

φ∪ψesφ(a) y el punto final esψ(d).

φ(a)

φ(b) =ψ(c)

ψ(d)

φ∪ψ

Los arcos m´as sencillos son los segmentos. Definimos elsegmentode extremos

z1 yz2como el arco [z1, z2] : [0,1]−→Cdado por [z1, z2](t) = (1−t)z1+tz2.

Unapoligonales una uni´on finita de segmentos. Es un hecho conocido de la topolog´ıa deR2_{que si Ω es un abierto conexo de}_C_y_z

1,z2∈Ω, entonces existe

una poligonal de extremosz1 yz2 cuyo rango est´a contenido en Ω.

Definición 1.15 Diremos que una aplicaciónf : ]c, d[−→Cesderivablesi lo es como funciónf : ]c, d[−→R2_{, es decir, si las funciones Re}_f,_Im_f _{: ]}_{c, d}_[_−→_R

son derivables en el sentido del an´alisis real. En tal caso se define la derivada

f0_{= (Re}_f₎0₊_i_(Im_f₎0_{. La funci´}_on_f _{es de clase}_C1_{si su derivada es continua.}

Diremos que un arco φ : [a, b] −→ C es derivable si se puede extender a una aplicaci´on de clase C1 _{en un intervalo abierto que contenga al intervalo}

[a, b]. Notemos que entonces que φ0 _{: [}_{a, b}_] _−→ _R _{no depende de la extensi´}_on considerada ni siquiera sobre los extremosayb.

Es conocido que los arcos derivables son rectificables, en el sentido de que se les puede asignar unalongitud. Además ésta puede calcularse por la fórmula siguiente, que nosotros adoptaremos como definición:

L(φ) = Z b

a |

φ0₍_t₎_|_dt.

Por ejemplo, para calcular la longitud de un segmento [z1, z2] observamos

que su derivada es constante y valez2−z1, por lo que su longitud es|z2−z1|,

(31)

1.4. Arcos 19

Ejemplo Consideremos los arcos φ : [0,2π] −→C yψ : [0,4π] −→C dados ambos por t 7→ eit_{. Claramente cumplen que} _φ∗ ₌ _ψ∗ _{(ambos conjuntos son} la circunferencia de centro 0 y radio 1), pero su longitud no es la misma. En efecto, φ(t) = cost+isent, luego φ0₍_t_{) =} ₋_sen_t₊_i_cos_t _{y por consiguiente} |φ0₍_t₎_|_{= 1. As´ı pues}

L(φ) = Z 2π

0

dt= 2π, L(ψ) = Z 4π

0

dt= 4π.

Lo que sucede es queφrecorre una vez la circunferencia, mientras queψda dos vueltas.

Si φ es un arco derivable lo mismo le sucede a −φ. M´as a´un, (−φ)0(t) = −φ(−t), de donde

L(−φ) = Z −a

−b |

φ0(−t)|dt=− Z a

b |

φ0(t)|dt=L(φ).

Es de esperar queL(φ∪ψ) =L(φ) +L(ψ), lo cual es esencialmente cierto, pero aparece el problema de que la unión de arcos derivables no es necesaria-mente derivable en el punto de unión. En lugar que imponer condiciones para que lo sea, conviene trabajar con una familia más amplia de arcos:

Definici´on 1.16 Diremos que un arcoφ : [a, b] −→Ces derivable a trozossi existen puntos

a=x0< x1<· · ·< xn =b

de modo que la restricci´on deφa cada intervalo [xi−1, xi] sea un arco derivable.

Por ejemplo, las poligonales son arcos derivables a trozos. Podemos definir la longitud de un arco en estas condiciones como la suma de las longitudes de los trozos donde es derivable. No es dif´ıcil probar que esta longitud no depende de la partición que se elija. La unión de arcos derivables a trozos es de nuevo un arco derivable a trozos y ahora se cumple evidentemente la relación

L(φ∪ψ) =L(φ) +L(ψ).

La definici´on de arco que hemos dado contiene algunos elementos arbitrarios de los que conviene prescindir. Por ejemplo, dados dos puntosz1yz2, si

escribi-mos expl´ıcitamente las definiciones de los segmentos [z1, z2] y−[z2, z1] veremos

que no son exactamente el mismo arco, pues el dominio del primero es [0,1] y el del segundo es [−1,0]. Por lo dem´as ambos tienen los mismos extremos en el mismo orden, el mismo rango y la misma longitud. En todos los contextos en que necesitaremos trabajar con arcos ser´a indistinto considerar uno u otro. Ello nos lleva a introducir un concepto de equivalencia de arcos.

Observemos en primer lugar que si ρ : [c, d] −→ [a, b] es una aplicaci´on continua y suprayectiva y φ: [a, b]−→ Ces un arco, entonces la composici´on

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a b

c d

ρ

entonces el arco ψ comienza en un punto intermedio deφ, retrocede hasta su punto inicial, avanza hasta su punto final y retrocede hasta otro punto inter-medio. En particular φy ψ tienen distintos extremos y (admitiendo que sean derivables) distinta longitud.

Para evitar esto debemos exigir que ρ sea biyectiva, con lo que necesaria-mente ha de ser mon´otona creciente o decreciente. En el primer caso φ y ψ

tendrán los mismos extremos. En el segundo los tendrán intercambiados, que es lo que sucede al pasar de un arco a su opuesto, donde ρ(t) = −t. Estas consideraciones nos llevan a la definición siguiente:

Definición 1.17 Diremos que dos arcos φ : [a, b] −→ C y ψ : [c, d] −→ C son equivalentes si existe una función ρ : [c, d] −→ [a, b] biyectiva, monótona creciente y continua tal queψ=ρ◦φ.

De este modo, dos arcos equivalentes tienen el mismo rango y los mismos extremos en el mismo orden. Cuando trabajemos con arcos derivables a trozos exigiremos queρsea también derivable a trozos, con lo que además se cumple que dos arcos equivalentes tienen la misma longitud. En efecto, podemos suponer queφ,ψyρson derivables, pues en general podemos restringirnos a un número finito de intervalos donde as´ı ocurra. Aplicando la regla de la cadena a las partes real e imaginaria deψobtenemos la relación

ψ0(t) = (Reφ)0(ρ(t))ρ0(t) + (Imφ)0(ρ(t))ρ0(t) =φ0°ρ(t)¢ρ0(t),

y el teorema de cambio de variable nos da

L(ψ) = Z d

c |

ψ0(t)|dt= Z d

c

Ø

Øφ0°ρ(t)¢ØØρ0(t)dt= Z b

a |

φ0(t)|dt=L(φ).

Notemos queρ0_{no necesita valor absoluto porque}_ρ_{es mon´}_{otona creciente, luego}

ρ0_>_0.