CUERPOS ORDENADOS

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Facultad

de

Ciencias

CUERPOS ORDENADOS

(Ordered Fields)

Trabajo de Fin de Grado

para acceder al

GRADO EN MATEMÁTICAS

Autor: Midwar Eduardo López Huapaya

Director: Luis Felipe Tabera Alonso

Diciembre - 2018

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Resumen

Esta memoria recoge un estudio de los cuerpos ordenados, ordenables y formalmente reales. También se estudian los cuerpos reales cerrados, un caso particular de los cuerpos ordenados. Uno de los propósitos del trabajo es en-contrar similitudes entre los cuerpos reales cerrados y el cuerpo de los números reales.

Se construye la clausura real de un cuerpo ordenado y se estudian algunas de sus caracter´ısticas. Por ´ultimo, se demuestra una caracterizaci´on de los cuerpos reales cerrados dada por Artin y Schreier.

Palabras clave: Cuerpo ordenado, Cono positivo, Cuerpo real cerrado, Clausura real, Teorema de Artin-Schreier.

Abstract

This report is focused on the study of ordered, orderable and formally real fields. Real closed fields, a particular case of ordered fields, are studied. One purpose of this work is to discuss similarities between real closed fields and the field of real numbers.

The real closure of a ordered field is built. Finally, the report concludes with a proof of a characterization of real closed fields, given by Artin and Schreier. Key words: Ordered field, Positive cone, Real closed field, Real closure, Artin-Schreier’s theorem.

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Introducci´on 5

1. Cuerpos Ordenados 7

1.1. Cuerpos Formalmente Reales . . . 16

2. Cuerpos Reales Cerrados 21 2.1. Caracterizaciones de los Cuerpos Reales Cerrados . . . 24 2.2. Teorema de Sturm . . . 29

3. Clausura Real 32

4. Teorema de Artin-Schreier 37

A. Primer Teorema de Sylow 42

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El cuerpo R se define como el único cuerpo ordenado, arquimediano y completo. Una propiedad fundamental de R es que todo conjunto acotado su-periormente tiene supremo. El orden nos define la topolog´ıa usual, con la cual se cumplen teoremas como el del Valor Intermedio o el de Rolle. Propiedades más algebraicas pueden ser que los ´_{unicos polinomios irreducibles de R[x]} tie-nen grado 1 o 2 debido a que C = R(√−1) es algebraicamente cerrado, o que un elemento es mayor o igual que cero si y sólo si es un cuadrado.

En este trabajo estudiaremos los cuerpos ordenados, es decir, cuerpos en los cuales está definida una relación de orden total y compatible con la suma y el producto. Un ejemplo de cuerpo ordenado es Q, donde está definido el orden usual. Por el contrario, el cuerpo de los n´_{umeros complejos C carece de} un orden compatible con las operaciones de suma y producto. Los cuerpos de caracter´ıstica positiva tampoco admiten un orden. No deber´ıa resultar extraño que no se pueda definir un orden en caracter´ıstica positiva, debido a que no puede ocurrir que 0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + . . . < 0.

Primero, compararemos los conceptos de cuerpo ordenado, cuerpo ordena-ble y cuerpo formalmente real. Analizaremos los distintos ´ordenes que admite un cuerpo y los relacionaremos con los conos positivos del cuerpo (Definici´on 1.3) y las sumas de cuadrados.

En el segundo cap´ıtulo estudiaremos los cuerpos reales cerrados, cuerpos ordenados en los cuales todo elemento positivo posee una ra´ız cuadrada y to-do polinomio de grato-do impar tiene una ra´ız en el cuerpo. A partir de esta definici´on, podemos probar que un cuerpo real cerrado R comparte muchas propiedades con R. Tales como el Teorema del Valor Intermedio para polino-mios, que R(√−1) es algebraicamente cerrado o que se cumpla el Teorema de Sturm para el conteo de ra´ıces en un intervalo. Adem´as, veremos algunas caracterizaciones de un cuerpo real cerrado.

En el siguiente cap´ıtulo introduciremos la noción de clausura real. Para cualquier cuerpo ordenado R, esta clausura se trata de una extensión algebraica que es real cerrado y además conserva el orden de R. Se probará además la unicidad, salvo isomorfismo, de esta clausura.

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Por último, se demostrará un resultado dado por los matemáticos Emil Artin y Otto Schreier, una caracterización de los cuerpos reales cerrados. Este resultado tiene cierta belleza dentro del Álgebra, debido a que caracteriza de una forma muy general (y básica al mismo tiempo) a los cuerpos reales cerrados.

Teorema 4.1 (Teorema de Artin-Schreier) Sea C un cuerpo algebraica-mente cerrado. Si R es un subcuerpo propio de C con [C : R] finito, entonces R es real cerrado y C = R(i).

Respecto al desarrollo para este trabajo, se ha de decir que se hace uso de la teor´ıa de Galois y, por tanto, de la teor´ıa de grupos; en particular, del Primer Teorema de Sylow, cuya demostración está incluida en el Apéndice A. También se ha de mencionar que la referencia principal de este trabajo han sido los clásicos libros “Basic Algebra”de Nathan Jacobson. Partiendo de ah´ı, hemos reestructurado la introducción de los conceptos, incluido ejemplos y completado las demostraciones.

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Cuerpos Ordenados

Definición 1.1. Diremos que un cuerpo R es totalmente ordenado (o tan sólo ordenado) si en él está definida una relación de orden ≤ y, además, para cualesquiera a, b ∈ R, se cumple lo siguiente:

≤ es total: a ≤ b o b ≤ a.

≤ es compatible con la suma y el producto:

• Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c para cualquier c ∈ R. • Si a ≤ b entonces ac ≤ bc para cualquier 0 ≤ c.

Denotaremos por (R, ≤) a un cuerpo ordenado R con relación de orden total ≤. Diremos que un cuerpo es ordenable si es posible definir en él una relación de orden total y compatible con la suma y el producto.

Dado un cuerpo, nos referiremos por relaci´on de orden a una relaci´on de orden total y compatible con la suma y el producto.

Ejemplo 1.2. El cuerpo de los números racionales y el cuerpo de los números reales, Q y R respectivamente, son totalmente ordenados con la relación de orden usual.

Como es usual, escribiremos a < b para referirnos a que a ≤ b, con a y b distintos. A aquellos elementos que cumplan 0 < a (a < 0) los llamaremos elementos positivos (negativos). De igual manera, diremos que un elemento no nulo tiene signo positivo o negativo. Otras veces, también podemos escribir a ≥ b para referirnos a b ≤ a. También utilizaremos otra notación muy fa-miliarizada: diremos que x ∈ (a, b) si se cumple que a < x < b. Asimismo se usará la notación conocida para intervalos cerrados e intervalos semiabiertos.

En cualquier cuerpo totalmente ordenado se cumple que si 0 < a, entonces −a < 0, debido a que ≤ es compatible con la suma. Con esto, también se cumple que si a < b, entonces −b < −a. Otra propiedad de todo cuerpo ordenado es que siempre 0 < 1. Si tuviésemos lo contrario, también tendr´ıamos que 0 < −1. Y como ≤ es compatible con el producto, 0 · (−1) < (−1) · (−1)

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y con ello 0 < 1; lo que es absurdo con lo que hemos supuesto. Ahora, como aa−1 = 1 > 0, para cualquier a no nulo, a y a−1 tienen el mismo signo. Si a es un elemento positivo, (−a)−1 = (−1)−1(a)−1 = −a−1.

También podemos definir el valor absoluto, |a|, como el máximo entre a y −a. Tal y como ocurre en el cuerpo R, el valor absoluto también es siempre no negativo y además, se cumplen muchas otras propiedades, como por ejemplo: |a + b| ≤ |a| + |b| o |a · b| = |a||b|.

Ahora introduzcamos una noci´on, en principio, distinta a la de cuerpo ordenado.

Definici´on 1.3. Dado cualquier cuerpo R, un subconjunto P ⊆ R se dice que es un cono positivo de R si cumple lo siguiente:

0 /∈ P .

P es cerrado para la suma y el producto, es decir, si a, b ∈ P , entonces a + b, ab ∈ P .

Si a es un elemento no nulo de R, o bien a ∈ P o bien −a ∈ P . Es decir, R se puede escribir como uni´on disjunta: −P ∪ {0} ∪ P ,

donde −P se refiere al subconjunto {a ∈ R : −a ∈ P }.

Denotaremos por (R, P ) a un cuerpo R con cono positivo P .

Ejemplo 1.4. Se puede definir un cono positivo en R y Q. Este cono positivo es P = {x : x > 0} en ambos casos, donde > es la relaci´on de orden usual.

Sea R un cuerpo con cono positivo P . El conjunto −P es cerrado para la suma, pero no para el producto. Dados a, b ∈ P , −a + (−b) = −(a + b) ∈ −P , pero (−a)(−b) = ab /∈ −P . Por otra parte, como P s´ı es cerrado para el producto, para cada a ∈ R no nulo, a2 _{∈ P . Es decir, todos los elementos}

cuadrados no nulos de R est´an en P . En particular, 1 = 12 ∈ P .

A partir de que P es cerrado para la suma, cualquier suma finita de ele-mentos cuadrados no nulos de R est´a en P . Es decir, dados unos elementos a1, a2, ..., ande R no nulos,P a2i ∈ P . En particular, 1+1+. . .+1 ∈ P y nunca

se anula. Por tanto, todo cuerpo con cono positivo tiene caracter´ıstica 0.

Además, dado que −1 /∈ P , no es posible encontrar una ra´ız cuadrada de −1 en cualquier cuerpo con cono positivo, ya que entonces −1 estar´ıa en P . Por ello, no es posible definir un cono positivo en un cuerpo que contiene una ra´ız cuadrada de −1. En particular, el cuerpo de los números complejos, C, no posee ningún cono positivo.

Teorema 1.5. Un cuerpo es ordenable si y s´olo si tiene un cono positivo.

Demostraci´on. Sea (R, ≤) un cuerpo ordenado. Veamos que el conjunto P = {a ∈ R : 0 < a} cumple las condiciones para ser cono positivo de R:

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0 /_{∈ P , debido a que 0 ≮ 0.}

P es cerrado para la suma y el producto. Sean a, b ∈ P :

• Dado que 0 < a y ≤ es compatible con la suma, 0 + b < a + b. Como 0 < b y b < a + b, por la propiedad transitiva de ≤, 0 ≤ a + b. No puede ocurrir que a+b sea 0; si fuese as´ı, como 0 < b y b < a+b, por la propiedad antisim´etrica de ≤, b tendr´ıa que ser 0. Como 0 < b, concluimos que a + b ∈ P .

• A partir de que 0 < a, b y ≤ es compatible con el producto, 0 ≤ ab. Como R es cuerpo, y en particular dominio, ab 6= 0. Llegamos a que ab ∈ P .

Sea a un elemento no nulo de R. Como ≤ es total, a es mayor o menor que 0. Por tanto, a ∈ P ∨ a ∈ −P . Si tuviésemos que a ∈ P ∩ −P , también tendr´ıamos que −a ∈ P . Como P es cerrado para la suma, 0 = a + (−a) tendr´ıa que pertenecer a P , pero ya hemos visto que no puede ocurrir. Por tanto, se cumple la unión disjunta: R = −P ∪ {0} ∪ P .

Supongamos ahora, que R es un cuerpo con cono positivo P . Definimos la siguiente relaci´on ≤:

a ≤ b ⇐⇒ (a = b ∨ b − a ∈ P ). Veamos que esta relaci´on es de orden. Dados a, b, c ∈ R:

Reflexiva: Por la definici´on de ≤, est´a claro que a ≤ a, ∀a ∈ R.

Transitiva: Supongamos que a ≤ b y b ≤ c. Tenemos dos casos:

• Si a = b, est´a claro que a ≤ c.

• Si b − a ∈ P . Tenemos que se cumple que c − a = (c − b) + (b − a). Si b = c, entonces c − a = b − a y a ≤ c. Si c − b ∈ P , como P es cerrado para la suma, llegamos a que a ≤ c.

Antisim´etrica: Supongamos que a ≤ b y b ≤ a. Si a fuese distinto de b, tendr´ıamos que b−a y a−b pertenecer´ıan a P . Y entonces (b−a)+(a−b) = 0 tambi´en estar´ıa en P , lo cual es absurdo. Por tanto, a = b.

Ahora veamos que ≤ es total y compatible con la suma y el producto. Sean a, b ∈ R cualesquiera:

≤ es total: si a b, entonces a 6= b y b−a /∈ P . Como R = −P ∪ {0} ∪ P , b − a ∈ −P . Por tanto, −(b − a) = a − b ∈ P . Entonces, b ≤ a.

≤ es compatible con la suma. Si a ≤ b, entonces b − a ∈ P ∪ {0}. Si c es cualquier elemento de R, (b + c) − (a + c) = b − a. Entonces a + c ≤ b + c.

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≤ es compatible con el producto. Si a ≤ b y 0 ≤ c, tenemos tres casos: • Si a = b, entonces ac = bc y ac ≤ bc.

• Si b − a ∈ P y 0 = c, est´a claro que ac ≤ bc.

• Si b − a ∈ P y 0 < c. Tenemos que se cumple bc − ac = (b − a)c. Entonces, bc − ac ∈ P , ya que P es cerrado para el producto. Por tanto, ac ≤ bc.

Entonces, la relaci´on ≤ dota de un orden a R.

A partir de ahora, dado que las nociones son equivalentes, nos referiremos por cuerpo ordenado tanto a un cuerpo con cono positivo, como a un cuerpo con una relación de orden. De igual manera, diremos que un cuerpo es ordenable, si en él es posible definir una relación de orden o encontrar un cono positivo. Por la misma razón, no será extraño que nos refiramos por elementos positivos tanto a los elementos mayores que 0, como a los elementos del cono positivo.

Se ha de recalcar que en ciertos cuerpos es posible definir más de un cono positivo (o ninguno). Y por ello, también es posible definir más de una relación de orden. Para ver un ejemplo de estos cuerpos, es necesario introducir la noción de orden inducido (p´_{ag. 12). Primero veamos que el orden de Q es} ´

unico. Este orden ser´a el que da la relaci´on de orden usual, mostrada en el Ejemplo 1.4.

Ejemplo 1.6. El signo de cualquier elemento a_b _{no nulo de Q est´a determinado} por el signo de a₁ y b₁; debido a que s´olo as´ı es posible que se cumpla la propiedad, de un cono positivo, de ser cerrado para el producto. Si ambos tienen el mismo signo, a_b es positivo. En cambio, si tienen distinto signo, entonces a_b es negativo. Por otra parte, cualquier elemento de Q de la forma m1, m ∈ Z, se puede

expresar: o bien m₁ = 1 + . . . + 1, o bien m₁ = (−1) + . . . + (−1), debido a que Z =< 1 > es un grupo c´ıclico. Por tanto, para cualquier orden, el signo de un elemento de la forma m₁ está determinado según si este es suma de 1 o de −1. De esta forma, el signo de un elemento no nulo a_b es el mismo en todos los ordenes de Q. Por tanto, el orden de Q es único.

Otra conclusión que se puede obtener a partir del Teorema 1.5 es que dada una relación de orden, existe un cono positivo asociado a esta relación. De igual manera, dado un cono positivo, existe una relación de orden asociada a este. El siguiente resultado nos muestra que el número de conos positivos que se pueden definir en un cuerpo es el mismo que el número de relaciones de orden que hacen al cuerpo ordenable. La forma en que se asocian relaciones de orden y conos positivos es la misma que en la demostración anterior.

Teorema 1.7. Dado un cuerpo R. Existe una biyecci´on entre los posibles conos positivos P de R, y las relaciones de orden total compatibles con la suma y el producto que pueden ser definidas en R.

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Demostraci´on. Sea R un cuerpo. Supongamos que R contiene dos conos posi-tivos distintos, P1y P2, y que estos tienen asociada la misma relaci´on de orden,

≤. Dado que los conos son distintos: o bien existe un x no nulo en P1 \ P2,

o bien existe un x no nulo en P2 \ P1. Los dos casos son id´enticos, veamos el

primero. Como x ∈ P1, entonces x > 0, y como x /∈ P2, entonces x < 0. Por la

propiedad antisim´etrica de ≤ tenemos que x = 0, lo que es absurdo ya que x es no nulo. Por tanto, no puede ocurrir que dos conos positivos distintos tengan la misma relaci´on de orden asociada.

Ahora supongamos que tenemos dos relaciones de orden distintas, ≤1 y ≤2,

y un cono positivo P asociado a estas. Como las relaciones son distintas, existe x no nulo tal que 0 ≤1 x y x ≤2 0. Por tanto, tenemos que x ∈ P a la vez

que x /∈ P , lo que es absurdo. Por tanto, los conos positivos asociados de dos relaciones de orden distintas, tienen que ser distintos.

Teorema 1.8 ([1], ejercicio 1 p. 311). Si R es un cuerpo en el cual −1 no es un cuadrado y la suma de dos cualesquiera no cuadrados es un no cuadrado, entonces R es un cuerpo ordenado.

Demostraci´on. Sea R un cuerpo con las condiciones anteriores. Llamemos P al conjunto de elementos cuadrados no nulos de R. Veamos que P cumple las condiciones para ser un cono positivo de R:

0 /∈ P por c´omo se ha definido P .

Sea a un elemento no nulo de R. Si a es un cuadrado, entonces a ∈ P . Si a no es un cuadrado, entonces −a es un cuadrado; ya que de no ser as´ı, 0 ser´ıa un no cuadrado por ser suma de no cuadrados: 0 = a + (−a). Es obvio que un elemento no puede ser cuadrado y no cuadrado a la vez, por tanto, se cumple la uni´on disjunta: R = −P ∪ {0} ∪ P .

Sean a, b ∈ P , entonces a = m2 y b = n2 para ciertos m, n ∈ R. Entonces ab = (mn)2 _{y ab ∈ P . Falta ver que la suma est´}_{a en P . Primero}

vemos que el elemento −a no puede ser un cuadrado, ya que de ser as´ı, −1 = (−a)(a−1_{) ser´ıa tambi´}_{en un cuadrado por poder expresarse como}

producto de cuadrados. Si a + b no fuese un cuadrado, tendr´ıamos que (a + b) + (−a) ser´ıa un no cuadrado por ser suma de no cuadrados. Pero como esto es igual a b, que s´ı que es un cuadrado, vemos que no puede ocurrir que a+b /∈ P . Por tanto, P es cerrado para la suma y el producto.

Hemos visto como algunas propiedades conocidas para R tambi´en se cum-plen en los cuerpos ordenados. En el siguiente teorema vamos a ver un resulta-do muy conociresulta-do en el anillo de polinomios R[x], pero aplicaresulta-do para cualquier cuerpo ordenado.

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Teorema 1.9 ([1], ejercicio 4 p. 311). Sea f (x) = xn_+a

n−1xn−1+. . .+a1x+a0

un polinomio m´onico de R[x], con R un cuerpo ordenado. Definimos M = 1 + |an−1| + . . . + |a0| ∈ R. Las ra´ıces de f (x) contenidas en R est´an en el

intervalo (−M, M ), debido a que si |t| > M , entonces |f (t)| > 0.

Este teorema puede ser aplicado a cualquier polinomio de R[x]. Dado que R es cuerpo, para cualquier polinomio g(x) ∈ R[x], existe r ∈ R de modo que rg(x) es un polinomio m´onico de R[x]. Como R es cuerpo, en particular dominio, rg(x) tiene las mismas ra´ıces que g(x).

Demostraci´on. Sean f (x) y M como en las condiciones del teorema. Supon-gamos que |t| > M . Entonces |t| > 1 por como est´a definido M . Con esto, |t|j _{≤ |t|}j+1_{, para cualquier j ∈ N ∪ {0}. As´ı, |t|}j _{≤ |t|}n−1 _(−|t|j _{≥ −|t|}n−1_),

para cada 0 ≤ j ≤ n − 1.

Para ver que |f (t)| es no nulo, vamos a usar algunas propiedades del valor absoluto. Entre ellas: |a − b| ≥ |a| − |b|. He alineado las ecuaciones.

|f (t)| = tn+ n−1 X i=0 aiti = tn− − n−1 X i=0 aiti ! ≥ |tn_{| −} − n−1 X i=0 aiti = |t|n− n−1 X i=0 aiti ≥ |t|n₋ n−1 X i=0 aiti = |t|n− n−1 X i=0 |ai||t|i ≥ |t|n− n−1 X i=0 |ai||t|n−1 = |t|n− |t|n−1 n−1 X i=0 |ai| = |t|n−1 |t| − n−1 X i=0 |ai| ! . Dado que |t| > M > n−1 X i=0

|ai|, el ´ultimo t´ermino obtenido es mayor que 0.

Y por tanto, hemos probado que si |t| > M , entonces |f (t)| > 0.

Ahora, vamos a introducir la noci´on de orden inducido. Para ello, vemos que los subcuerpos de un cuerpo ordenado tambi´en son cuerpos ordenados: Lema 1.10. Sea (R, P ) un cuerpo ordenado y F un subcuerpo de R. Tenemos que F es un cuerpo ordenado con cono positivo P ∩ F .

Demostraci´on. Es una mera comprobaci´on.

Definici´on 1.11. Dado un cuerpo ordenado (R, P ) y F un subcuerpo de R. El orden que se define en F por el cono positivo P0 = P ∩ F se llama orden inducido en F .

Si E es un cuerpo ordenado que contiene a R, diremos que el orden de E es una extensi´on del orden de R si el orden, en R, de los elementos de R se mantiene en el orden de E.

Ejemplo 1.12. Como todo cuerpo ordenado tiene caracter´ıstica 0, Q est´a contenido en todo cuerpo ordenado. Dado que Q tiene orden ´unico, el orden inducido por cualquier cuerpo ordenado sobre Q es el mismo.

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Ejemplo 1.13 ([1], ejercicio 2 p. 311). El cuerpo Q(√2) puede ordenarse de dos (y s´olo dos) formas distintas. Por lo visto en el Ejemplo 1.12 anterior, cualquier orden de Q(√2) es extensi´_{on del orden de Q.}

Supongamos que tenemos una relaci´on de orden ≤1 en Q(

√

2) y que√2 >1

0. Sea a + b√_{2 un elemento de Q(}√2). Si a + b√2 es positivo, seg´un la relaci´on ≤1, entonces se cumple que b

√

2 >1 −a. Podemos separar tres casos:

a = 0. Como √2 es positivo, b√2 >1 0 si y s´olo si b >1 0.

a 6= 0 ∧ b >1 0. Dividiendo por −b, obtenemos −

√

2 <1 a_b. Dado que

−√2 es negativo y b es positivo, esto se cumple para cualquier a positivo. Si a es negativo, s´olo se cumple si a_b2 <1 2.

a 6= 0 ∧ b <1 0. Dividiendo por −b, −

√

2 >1 a_b. Como −

√

2 es negativo, s´olo es posible que a sea positivo y se cumpla a_b2 >1 2.

Ahora supongamos que tenemos otra relaci´on de orden, ≤2, y que, en este

caso, √2 <2 0. Como antes, dado un elemento a + b

√

2 de Q(√2), podemos ver la condiciones con las que este es positivo. Haciendo lo mismo que antes, llegamos a los mismos tres casos, pero con distintos resultados:

a = 0. Como √2 es negativo, b√2 >2 0 si y s´olo si b <2 0.

a 6= 0 ∧ b >2 0. Al igual que antes, −

√

2 <2 a_b. Como esta vez −

√ 2 es positivo, s´olo es posible si a > 0 y a_b2 >2 2.

a 6= 0 ∧ b <2 0. Entonces, dividiendo por −b, −

√

2 >2 a_b. Como −

√ 2 es positivo y b negativo, se cumple siempre que a sea positivo. Si a es menor que 0, s´olo se cumple si a

b

2 <2 2.

Queda ver que estas relaciones definen un orden en Q(√2). La primera relaci´_{on es el orden inducido por R y la segunda es el orden obtenido al realizar} el automorfismo de Q(√2), √2 7→ −√2.

Definición 1.14. Sean E ⊇ R dos cuerpos ordenados donde el orden de E es una extensión del orden de R. Diremos que un elemento positivo x ∈ E es infinitamente pequeño (grande) sobre R si x es menor (mayor) que cualquier elemento positivo de R.

Está claro que si un elemento es infinitamente grande sobre un cuerpo, su inverso será infinitamente pequeño.

Dado un cuerpo ordenado R, se puede definir m´as de un orden en su cuer-po de funciones racionales en una variable, R(x). Detallaremos uno de estos ´

ordenes en el Teorema 1.15; y veremos que se pueden encontrar elementos infinitamente peque˜nos (y elementos infinitamente grandes) sobre R.

Pero antes, demos una notación que facilitará la lectura del Teorema 1.15 y su respectiva demostración. Dado un polinomio f (x) = anxn+ . . . + a0 no

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nulo con coeficientes en R, llamaremos sc(f (x)) al primer ai no nulo,

empe-zando desde a0. Dado que R es cuerpo, y en particular dominio, est´a claro

que sc(f (x)g(x)) = sc(f (x)) · sc(g(x)), para cualesquiera f (x), g(x) ∈ R[x] no nulos. Si tenemos h(x) = f (x)_g(x) ∈ R(x), tambi´en denotaremos por sc(h(x)) al correspondiente sc(f (x))/sc(g(x)). En el caso de que h(x) = 0, tomaremos sc(h(x)) = 0.

Teorema 1.15 ([4], ejercicio 2.6 p. 27). Dado un cuerpo ordenado (R, ≤R),

su cuerpo de funciones racionales en una variable, R(x), es ordenado con la siguiente relaci´on ≤:

0 < h(x) ⇐⇒ 0 <R sc(h(x))

Demostración. Sea S = {h(x) ∈ R(x) : 0 < h(x)}, donde ≤ es la relación definida en el enunciado del teorema. Por el Teorema 1.5, si probamos que S es un cono positivo, entonces la relación ≤ es de orden. Por esta razón, probemos que S es un cono positivo de R(x):

0 /_{∈ S ya que 0 ≮}R0.

Sea h(x) un elemento no nulo de R(x). Si 0 <R sc(h(x)), entonces h(x) ∈

S. Si 0 ≮R sc(h(x)), entonces 0 < −sc(h(x)) debido a que ≤R es una

relaci´on de orden en R; con ello, −h(x) ∈ S. Por otra parte, si existe h(x) ∈ −S ∩ S, entonces se tiene que 0 < h(x) y 0 < −h(x). Con esto, tendr´ıamos que existe un elemento no nulo sc(h(x)) = a ∈ R cumpliendo: (0 <Ra)∧(0 <R −a), lo que es absurdo ya que R es ordenado. Por tanto,

se cumple la uni´on disjunta: R(x) = −S ∪ {0} ∪ S.

Sean f (x) = f1(x)

f2(x), g(x) =

g1(x)

g2(x) dos elementos de S. Llamemos a, b, c y d a los respectivos sc de f1, f2, g1 y g2 ∈ R[x]. Dado que f y g pertenecen

a S, se tiene que a/b y c/d son elementos positivos de (R, ≤R).

Tenemos que f + g = f1g2+f2g1

f2g2 y sc(f + g) = sc(f1g2 + f2g1)/sc(f2g2). Como sc(f1g2+f2g1) ∈ {ad, bc, ad+bc}, sc(f +g) ∈ {a/b, c/d, a/b+c/d}.

Dado que a/b y c/d son elementos positivos, estos tres ´ultimos elementos tambi´en son positivos. Por ello, sc(f + g) >R0 y f + g ∈ S.

Por ´ultimo, como f g = f1g1

f2g2, tenemos que sc(f g) = ac/(bd). Este elemen-to tambi´en es positivo en R, debido a que es producto de dos elementos positivos. Por tanto f g ∈ S, y S es cerrado para la suma y el producto.

Según como hemos definido este orden en R(x), está claro que es una ex-tensión del orden de R. Podemos encontrar elementos infinitamente pequeños sobre R. Dado que sc(x) = 1, x es un elemento positivo de R(x). Ahora, para cualquier elemento positivo a de R, x − a < 0. Por tanto x < a, para todo

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a positivo de R; y x es infinitamente peque˜no sobre R. Con esto, tambi´en se tiene que x−1 es infinitamente grande sobre R.

Se puede ver que este es el ´unico orden de R(x) en el cual x es infinitamente peque˜no sobre R. Como x < 1, se tiene que 0 < xn_{− x}n+1_{, para todo n ≥ 0.}

As´ı, el orden de un polinomio de R[x] estará determinado por el coeficiente no nulo más pequeño.

Por otro lado, es posible definir otro orden en R(x), en el cual se tornan las situaciones entre x y x−1 sobre R. Para ello, al igual que hemos hecho para el Teorema 1.15, cada elemento h(x) = f (x)_g(x) de R(x) hemos de asociarlo al coe-ficiente director del correspondiente polinomio f (x)g(x) ∈ R[x]; lo denotamos por lt(h(x)). As´ı, la siguiente relaci´on ≤n define un orden en R(x):

0 <n h(x) ⇐⇒ 0 <R lt(h(x))

La demostración es muy similar a la del Teorema 1.15. Además, también será el único orden de R(x) en el cual x es infinitamente grande sobre R.

Por otra parte, dado un cuerpo ordenado R y un elemento trascendente sobre R, ε, como los cuerpos R(x) y R(ε) son isomorfos, los posibles ordenes de R(ε) son los mismos ordenes de R(x). Estos ordenes se trasladan mediante el isomorfismo ϕ : f (x)_g(x) 7→ f (ε)_g(ε).

Ejemplo 1.16. Aplicando esta construcci´_{on a Q y al n´umero π (trascendente} sobre Q), nos encontramos con que existe un orden en Q(π) en el cual π es infinitamente peque˜_{no sobre Q.}

Por otra parte, sabemos que la relación de orden usual define un orden en R (más adelante veremos que este orden es único en R). Dado que Q(π) es subcuerpo de R, podemos inducir la relación de orden usual sobre Q(π). Con esto, tenemos otro orden en Q(π) donde se cumple que 3 < π < 4. Por tanto, existe un orden en Q(x) donde 3 < x < 4.

Definici´on 1.17. Dados dos cuerpos ordenados (R, P ) y (R0, P0), un homo-morfismo ϕ entre R y R0 se llama homomorfismo ordenado si ϕ(P ) ⊆ P0. Si ϕ es un isomorfismo, diremos que es un isomorfismo ordenado.

Supongamos que ϕ es un isomorfismo ordenado entre los cuerpos (R, P ) y (R0, P0). Si y es un elemento de P0, sabemos que existe un (´unico) x 6= 0 ∈ R tal que ϕ(x) = y. Si este x perteneciese a −P , entonces −x ∈ P y ϕ(−x) = −y pertenecer´ıa a P0. Tendr´ıamos un elemento no nulo de R0 tal que y, −y ∈ P0, lo cual es absurdo. As´ı, en un isomorfismo ordenado se tiene que ϕ(P ) = P0.

Por otra parte, todo isomorfismo ordenado tiene dos propiedades intere-santes para este trabajo:

Conserva el orden: Si a < b, entonces b − a > 0 y ϕ(b − a) > 0. Por tanto, ϕ(b) − ϕ(a) > 0 y ϕ(b) > ϕ(a).

Para todo a ∈ R, ϕ(|a|) = |ϕ(a)|. Si a > 0, entonces ϕ(|a|) = ϕ(a) > 0 y |ϕ(a)| = ϕ(a). Si a < 0, entonces ϕ(|a|) = ϕ(−a) > 0 y |ϕ(a)| = −ϕ(a).

(18)

El concepto de isomorfismo ordenado será importante más adelante. Pri-mero, veamos otra noción que está estrechamente relacionado con los cuerpos ordenados.

1.1. Cuerpos Formalmente Reales

Definici´on 1.18. Un cuerpo R se dice formalmente real si −1 no puede escribirse como suma de elementos cuadrados de R.

Ejemplo 1.19. Los cuerpos R y Q son formalmente reales. De hecho, m´as adelante veremos que las nociones de cuerpo ordenable y cuerpo formalmente real son equivalentes. Evidentemente, cualquier cuerpo que contenga una ra´ız cuadrada de −1 no es formalmente real ya que −1 = (√−1)2_.

Teorema 1.20. Un cuerpo R es formalmente real si y s´olo en ´el se cumple:

si

n

X

i=1

a2_i = 0, con ai ∈ R, n ∈ N, entonces ai = 0 para cada i = 1, . . . , n.

Demostraci´on. Supongamos que R es un cuerpo formalmente real y que existen ai ∈ R no nulos de modo que a21+ . . . + a2n = 0. Multiplicando por a

−2 1 ∈ R, 1 + (a2 a1) 2 _{+ . . . + (}an a1)

2 _{= 0. Y entonces tendr´ıamos que −1 puede escribirse}

como suma de cuadrados, lo que contradice al hecho de que R es formalmente real. Por tanto, s´olo es posible que cada ai sea 0.

Ahora supongamos que R es un cuerpo en el que toda suma finita de ele-mentos cuadrados no nulos, es distinta de cero. Si −1 es una suma de cuadrados de R, −1 = P a2

i, encontrar´ıamos que 0 = P a2i + 12. Como esto no puede

ocurrir, R es formalmente real.

Si R es un cuerpo no formalmente real, entonces existe un n´umero finito de ai ∈ R tales que −1 = P a2i. Si adem´as, la caracter´ıstica de R es distinta de

2, podemos asegurar que todo elemento a de R se puede escribir como suma de cuadrados: a = 4a 4 = 4a + (1 + a2_{) − (1 + a}2₎ 4 = 2a + 1 + a2_{+ 2a − 1 − a}2 4 = 1 + a 2 2 − 1 − a 2 2 = 1 + a 2 2 +Xa2_i 1 − a 2 2 .

Teorema 1.21. Sea R un cuerpo de caracter´ıstica 0. Si existe a ∈ R que no es suma de cuadrados, entonces R es formalmente real.

Demostraci´on. El contra-rec´ıproco est´a probado con lo expuesto antes del enunciado.

A continuaci´on, vamos a ver que las nociones de cuerpo ordenable y cuerpo formalmente real son equivalentes en el Teorema 1.24. Pero antes, tendremos que suponer el Lema de Zorn:

(19)

Lema 1.22 (Lema de Zorn). Sea (M, ≤) un conjunto no vac´ıo parcialmente ordenado, en el cual toda cadena tiene cota superior en M . Entonces, existe un elemento maximal en (M, ≤).

Recordemos que un conjunto parcialmente ordenado (M, ≤) es un conjunto ordenado donde la relación de orden ≤ no tiene por qué ser total. Y una cadena es un subconjunto de M donde la relación de orden inducida por (M, ≤) s´ı que es total.

Adem´as del Lema de Zorn, ser´a de gran utilidad el siguiente resultado:

Lema 1.23. Sea F un cuerpo. Supongamos que P0 es un subgrupo de (F∗, ·),

cerrado para la suma y que contiene a todos los elementos cuadrados no nulos de F . Si a es un elemento no nulo de F , con −a /∈ P0, entonces el conjunto

P1 = {m + an : m, n ∈ P0} es un subgrupo de (F∗, ·) cerrado para la suma.

Adem´as, contiene a P0 y a a.

Demostraci´on. Supongamos que estamos en las condiciones del Lema. Dado que P0 es subgrupo de (F∗, ·), entonces P0tambi´en es cerrado para el producto.

Primero veamos que P1 = {m + an : m, n ∈ P0} es cerrado para la suma y

el producto. Sean m = m1+ am2, n = n1+ an2 dos elementos cualesquiera de

P1:

m + n = (m1+ n1) + a(m2+ n2)

mn = (m1n1+ a2m2n2) + a(m2n1 + m1n2).

Por las hip´otesis de P0, tenemos que a2 ∈ P0 por ser a 6= 0. Adem´as, P0 es

cerrado para la suma y el producto, por lo que m + n y mn pertenecen a P1.

Ahora veamos que P1 es subgrupo de F∗:

0 /∈ P1: si esto no fuese as´ı, tendr´ıamos que 0 = m + an, para ciertos

m, n ∈ P0. Con ello tendr´ıamos que −a = mn−1 y como P0 es cerrado

para el producto, estar´ıamos contradiciendo la hip´otesis de −a /∈ P0.

P1 es cerrado para el producto.

Si m + an ∈ P1, entonces (m + an)−1 ∈ P1: tenemos que m + an 6= 0

porque 0 no pertenece a P1. En F , (m + an)−1 se puede expresar de la

forma: (m + an)(m + an)−2 = m(m + an)−2+ an(m + an)−2. Debido a que P0 es cerrado para el producto y contiene a los elementos cuadrados

de F∗, (m + an)−1 ∈ P1.

Por ´ultimo, veamos que P0 ⊆ P1. Dado que 1 ∈ P1, existen m, n ∈ P0 de

modo que 1 = m + an. Para cualquier p ∈ P0, se tiene que: p = pm + apn.

Dado que P0 es cerrado para el producto, p ∈ P1. Se tiene tambi´en que a =

a2_{n + am ∈ P} 1.

(20)

Teorema 1.24. Un cuerpo es ordenable si y s´olo si es formalmente real.

Demostraci´on. Supongamos que R es un cuerpo ordenable. Sabemos que en todo cuerpo ordenado, 1 es siempre positivo: por tanto, −1 no puede pertenecer al conjunto de elementos positivos. Si −1 pudiese expresarse como suma de cuadrados, entonces pertenecer´ıa al conjunto de elementos positivos, lo cual es absurdo. Por tanto, cuerpo ordenable implica cuerpo formalmente real.

Supongamos ahora que R es formalmente real. Consideremos el subconjun-to de R∗: P0 = {a21 + . . . + a2n : ai ∈ R∗, n ∈ N}. Dado que R∗ es no vac´ıo,

P0 tampoco lo es. Est´a claro que este subconjunto es cerrado para la suma y

contiene a todos los elementos cuadrados de R∗. Adem´as, podemos ver que P0

es subgrupo de (R∗, ·):

0 /∈ P0: dado que R es formalmente real, en el Teorema 1.20 vimos que

ninguna suma finita de elementos cuadrados de R∗ es igual a 0.

P0 es cerrado para el producto: siP a2i y P b2j son dos elementos de P0,

P a2

i P b2j =P(aibj)2 ∈ P0.

Si a = P a2

i ∈ P0, entonces a−1 ∈ P0: el inverso de a (en R) puede

expresarse de la forma: a−1 = aa−2. Tenemos que a 6= 0 ya que 0 /∈ P0;

entonces a−2 es un cuadrado no nulo de R y pertenece a P0. Dado que

P0 es cerrado para el producto, a−1 tambi´en pertenece a P0.

Ahora llamemos A al conjunto de subconjuntos de R que sean subgrupo de (R∗, ·), cerrado para la suma y que contengan a todos los elementos cuadrados no nulos de R. Este conjunto es no vac´ıo, ya que al menos P0 pertenece a ´el.

Consideramos el contenido ⊆ como relaci´on de orden parcial en A.

Sea {Pi}i∈I una cadena en A. Por la definici´on de cadena, tenemos que si

i, j ∈ I, entonces Pi ⊆ Pj∨ Pj ⊆ Pi. Veamos que el conjunto M =

[

i∈I

Pi (que

es una cota superior de la cadena) pertenece a A:

Es subgrupo de R∗:

• 0 /∈ M porque 0 /∈ Pi, ∀i ∈ I.

• Sean m1 ∈ Pi, m2 ∈ Pj elementos de M . Sabemos que o bien

Pi ⊆ Pj, o bien Pj ⊆ Pi. Dado que todos los elementos de A son

subgrupos de (F∗, ·), m1m−12 ∈ Pk, para k = i ∨ k = j. Por tanto,

m1m−12 ∈ M .

Podemos ver que es cerrado para la suma de la misma forma que en el punto anterior.

Contiene a todos los elementos cuadrados de R∗, ya que todos estos est´an en cada Pi.

(21)

Por tanto, estamos en las condiciones para poder aplicar el Lema de Zorn, y con ello, existe al menos un elemento maximal P en A. Podemos comprobar que este conjunto dota a nuestro cuerpo R de un orden:

0 /∈ P porque 0 no pertenece a ning´un elemento de A.

Dados a, b ∈ P , a + b y ab ∈ P ya que todos los elementos de A son cerrados para la suma y subgrupos de R∗.

Queda ver si se cumpla la uni´on disjunta R = −P ∪ {0} ∪ P :

• Supongamos que existe un elemento no nulo de R, a, que no perte-nece ni a P ni a −P . Por el Lema 1.23 demostrado antes, existe un subgrupo de R∗ de la forma P1 = P + aP , cerrado para la suma y,

adem´as, se cumple que P ⊆ P1. La contenci´on es estricta; dado que

P1 es subgrupo de (R∗, ·), existen m, n ∈ P (no nulos) de modo que

1 = m + an. Multiplicando por a, tenemos que a = ma + a2_{n. Como}

P contiene a los elementos cuadrados de R∗, tenemos que a ∈ P1\P .

Ahora, como P est´a contenido en P1, este ´ultimo contiene a todos

los elementos cuadrados no nulos de R. Hemos encontrado otro ele-mento de A que contiene a P estrictamente. Pero esto no puede ocurrir ya que P es un elemento maximal de A.

Entonces se cumple que, dado a ∈ R∗: a ∈ P ∨ a ∈ −P .

• Como 0 no pertenece a P , entonces 0 tampoco pertenece a −P . • Por ´ultimo, si existiese b ∈ P ∩ −P , tendr´ıamos que −b tambi´en

estar´ıa en P ; y por tanto, 0 = b + (−b) ∈ P . Pero esto no puede pasar como ya hemos visto antes.

Con esto, cualquier cuerpo ordenado es formalmente real. Y rec´ıprocamen-te, un cuerpo donde −1 no es suma de cuadrados, puede ser dotado de un orden. Este orden vendrá determinado por los elementos maximales encontra-dos en el conjunto A de la demostración anterior. Y aplicando el Teorema 1.7, un cuerpo formalmente real tendrá tantos órdenes como maximales tenga A.

Teorema 1.25. Sea R un cuerpo formalmente real y a un elemento no nulo que no es suma de cuadrados. Existe un orden en R en el cual a es negativo.

Demostraci´on. Basta aplicar el mismo procedimiento de la demostraci´on an-terior al conjunto A de los subconjuntos de R que sean subgrupo de (R∗, ·), cerrado para la suma y que contengan a P1 = {P b2i + (−a)P c2i}.

Corolario 1.26. Un cuerpo formalmente real R admite un orden ´unico si y s´olo si para todo a 6= 0, o bien a es suma de cuadrados, o bien, −a es suma de cuadrados.

(22)

Teorema 1.27 ([2], ejercicio 1 p. 634). Sea R un cuerpo formalmente real. R(x1, . . . , xn) es formalmente real, para cualquier n ∈ N.

Demostraci´on. En el Teorema 1.15 definimos un orden en R(x). Usando el Teorema 1.15, tenemos que R(x) es formalmente real. Mediante inducci´on podemos ver que R(x1, . . . , xn) es formalmente real.

Veamos otra demostración, restringiéndonos a la definición de cuerpo for-malmente real. Sea R un cuerpo forfor-malmente real. Si R(x1, . . . , xn) no es

for-malmente real, entonces existe un n´umero finito de gi(x1, . . . , xn) ∈ R(x1, . . . , xn)

de modo que P g2

i(x1, . . . , xn) = −1. Sustituyendo en (0, . . . , 0), tendr´ıamos

queP g2

i(0, . . . , 0) = −1. Dado que gi(0, . . . , 0) ∈ R para cada i, llegar´ıamos a

que R no es formalmente real; pero esto es absurdo. Por tanto, R(x1, . . . , xn)

(23)

Cuerpos Reales Cerrados

Definici´on 2.1. Un cuerpo ordenado (R, P ) se dice real cerrado si cumple:

Para cada x ∈ P , existe una ra´ız cuadrada de x en R.

Todo polinomio de grado impar con coeficientes en R tiene al menos una ra´ız en R.

Ejemplo 2.2. El cuerpo de los n´umeros racionales no es real cerrado ya que contiene elementos positivos para los cuales no existe una ra´ız cuadrada en Q. Ejemplo de ellos son 2, 3, 2/3, . . .

En cambio, como bien sabemos, las dos propiedades de un cuerpo real ce-rrado se cumplen en R. Para ello, se usa el Axioma de Completitud, el cual dice que todo subconjunto no vac´ıo de n´umeros reales que est´a acotado supe-riormente, tiene supremo.

Por otra parte, cualquier cuerpo que contenga una ra´ız cuadrada de −1 no es real cerrado ya que ni siquiera es un cuerpo ordenado.

Teorema 2.3. El orden de un cuerpo real cerrado es ´unico. Cualquier auto-morfismo de un cuerpo real cerrado es un isoauto-morfismo ordenado.

Demostraci´on. Si R es un cuerpo real cerrado, todo elemento positivo es un cuadrado. Por tanto, si a 6= 0, o bien a es un cuadrado, o bien, −a es un cuadrado. Mediante el Corolario 1.26, el orden de R es ´unico.

Ahora supongamos que ϕ es un automorfismo de un cuerpo real cerrado R. Si a es un elemento positivo de R, sabemos que existe un b ∈ R no nulo tal que a = b2_{. Por tanto, ϕ(a) = ϕ(b)}2_{, y este elemento tambi´}_{en es positivo por ser}

un elemento cuadrado no nulo. Entonces, ϕ es un isomorfismo ordenado.

Teorema 2.4. Sea F un cuerpo ordenado. Si (E, P ) es un cuerpo real cerrado extensión de F y su orden es extensión del orden de F , entonces el subcuerpo de E formado por los elementos algebraicos sobre F también es real cerrado.

En particular, para cualquier cuerpo real cerrado, su subcuerpo de elementos algebraicos sobre Q es real cerrado.

(24)

Demostraci´on. Supongamos que estamos en las condiciones del Teorema. Sea R el subcuerpo de (E, P ) formado por los elementos algebraicos sobre F . Como vimos en el Lema 1.10, R es ordenado con cono positivo P0 = R ∩ P . Podemos comprobar que R es real cerrado:

Sea a ∈ P0. Como E es real cerrado, existe b ∈ E tal que a = b2_{. Este b}

es algebraico sobre R ya que se anula en x2_{− a ∈ R[x]; entonces, R(b)/R}

es algebraica. Como R es una extensi´on algebraica de F , b tambi´en es algebraico sobre F . Por tanto, b pertenece a R.

Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio de grado impar. Por ser E real cerrado, existe c ∈ E tal que f (c) = 0. Por el mismo motivo que antes, c ∈ R y entonces f (x) tiene una ra´ız en R.

Como hemos ido deduciendo, hay muchas similitudes entre el cuerpo R y los reales cerrados. Ahora veremos una extensi´on del Teorema Fundamental del ´Algebra, pero aplicado a los reales cerrados:

Teorema 2.5. Si R es un cuerpo real cerrado, entonces C = R(√−1) es algebraicamente cerrado.

Son conocidas muchas demostraciones de este teorema para el cuerpo de los números reales. Muchas de estas demostraciones hacen uso de resultados de Análisis; y estos a su vez, dependen del ya comentado Axioma de Completitud. La demostración que vamos a ver consistirá básicamente en ver que no existe ninguna extensión propia de C = R(√−1). Para ello, tan sólo necesitamos su-poner las dos condiciones de la Definición 2.1; esto hace que esta demostración sea una de las más débiles.

Para mayor comodidad, denotaremos1 por i al elemento √−1. Si r = a + bi es un elemento de C, el elemento a − bi diremos que es su conjugado y se denotará por r. Se cumplen dos propiedades que serán útiles más adelante:

rr = (a + bi)(a − bi) = a2_{+ b}2 _{∈ R.}

r2 _{= a}2_{− b}2 _{+ 2abi = a}2_{− b}2_{− 2abi = (a − bi)}2 _{= r}2_.

Antes de dar la demostraci´on del Teorema 2.5, primero veamos lo siguiente:

Lema 2.6. Si R es un cuerpo real cerrado, no existe ninguna extensi´on de grado 2 sobre C = R(i).

Demostración. Esta demostración se resume en ver que todo polinomio mónico de grado 2 con coeficientes en C tiene sus ra´ıces en C. Sabemos que para cualquier polinomio x2 _{+ cx + d, sus ra´ıces son (−c ±}√_c2_{− 4d)/2; as´ı, basta}

(25)

probar que todo elemento de C tiene ra´ız cuadrada en C. En lo sucesivo de esta demostraci´on, dado un elemento positivo de R, a, denotaremos por√a a la ra´ız cuadrada positiva de a.

Dado que R es un cuerpo real cerrado, existe una ra´ız cuadrada en R para todo elemento positivo de R. Si a es un elemento negativo de R, sabemos que existe b tal que b2 _{= −a; una ra´ız cuadrada de a ser´}_{a bi.}

Tomemos ahora a + bi ∈ C, con b 6= 0. Buscamos x, y ∈ R de modo que (x + yi)2 = a + bi; esto es equivalente a que estos dos elementos cumplan:

x2− y2 _{= a,} _{2xy = b.}

En la segunda ecuaci´on podemos ver que x e y son no nulos ya que b 6= 0. Despejando de la misma, tenemos que y = _2xb . Sustituyendo en la primera ecuaci´on, se cumple: 4y4_{+ 4ay}2_{− b}2 _{= 0. Como se ha dicho antes, una soluci´}_on

a esta ecuaci´on es y2 _{= (−a +}√_a2_{+ b}2_{)/2. Dado que b 6= 0 y a}2 _{+ b}2 _{> 0,}

podemos definir correctamente el elemento y2. Ahora queda ver si existe una ra´ız cuadrada de y2_{. Esta ra´ız existir´}_{a si −a +}√_a2 _{+ b}2 _{es positivo en R.}

Si tuvi´esemos lo contrario, −a +√a2_{+ b}2 _{≤ 0; como} √_a2_{+ b}2 _{es positivo,}

tendr´ıamos que a2 + b2 ≤ a2_{; pero como b 6= 0, esto no es posible. Por tanto,}

podemos encontrar x e y ∈ R cumpliendo las ecuaciones expuestas antes. Concluimos con que todo elemento de C tiene una ra´ız cuadrada en C y no existe ning´un polinomio m´onico irreducible de grado 2 con coeficientes en C.

Ahora ya podemos dar la demostración del Teorema 2.5. Hemos de saber que utilizaremos el Primer Teorema de Sylow. Su demostración está explicada en el Apéndice A.

Teorema 2.7 (Primer Teorema de Sylow). Sea G un grupo finito de orden pnm, con p primo, n ≥ 1 y (p, m) = 1. Existe un subgrupo de G de orden pi, para cada 1 ≤ i ≤ n. Adem´as, todo subgrupo de G de orden pi _{(i < n) es}

normal en alg´un otro subgrupo de orden pi+1_.

Demostración del Teorema 2.5. Supongamos que tenemos un polinomio f (x) con coeficientes en C mónico e irreducible de grado n > 1. Sea F el cuerpo de escisión de f (x) sobre C. Tenemos que [F : C] ≤ n!, y por tanto F/C es finita y algebraica. Con ello, F/R también es finita y algebraica. Además, como la caracter´ıstica es 0, F/R es separable. Ahora consideremos la clausura normal E de F/R. Tenemos que E/R es finita y de Galois; además, E contiene a C por cómo lo hemos construido.

Sea G el grupo de Galois de E/R. Tenemos que |G| = 2e_{m, con m impar.}

Por el Teorema 2.7, G contiene un subgrupo H de orden 2e_{. Sea K el cuerpo}

intermedio de E/R fijado por H. Tenemos que la extensión K/R es finita de dimensión m, y además es separable por ser la caracter´ıstica 0. Por el Teorema del Elemento Primitivo, existe u ∈ K tal que K = R(u). El polinomio m´ınimo

(26)

de u sobre R tiene grado m; pero como R es real cerrado, tan s´olo es posible que m sea 1.

Entonces, K = R y [E : R] = 2e _{= |G|. Dado que [C : R] = 2, e es como}

m´ınimo 1; supongamos que e > 1. Sea G1 el subgrupo de G que fija a C. De

nuevo, por el Teorema 2.7, G1 contiene un subgrupo D de orden 2e−2. Sea J

es el cuerpo intermedio de E/R fijado por D; este tiene dimensi´on 22 _{sobre R.}

Con ello tendr´ıamos que [J : C] = 2, pero como vimos en el Lema 2.6 esto no puede ocurrir. Por tanto, e sólo puede valer 1 y la supuesta extensión E de C es el propio C. En conclusión, el polinomio f (x) con el que comenzamos no puede ser irreducible de grado mayor que 1, por lo que C es algebraicamente cerrado.

As´ı, C = R(i) es una clausura algebraica de R y cualquier extensión alge-braica de R debe estar contenida en C/R. Como [C : R] = 2, la única extensión algebraica propia de R es C. Además, los polinomios irreducibles de R[x] tie-nen grado menor o igual que 2. Por la fórmula de resolución de ecuaciones cuadráticas, un polinomio x2_{+ ax + b ∈ R[x] tendr´}_{a sus ra´ıces en R si y s´}_olo

si a2 _{≥ 4b.}

2.1. Caracterizaciones de los Cuerpos Reales

Cerrados

A continuación, vamos a ver tres caracterizaciones de un cuerpo real cerra-do. Artin y Schreier dieron otra caracterización, pero debido a que su demos-tración es muy larga, se dejará para el último cap´ıtulo.

Todas las caracterizaciones las conocemos para R, pero veremos que se pueden aplicar para cualquier real cerrado. La primera caracterizaci´on tiene que ver con el Teorema del Valor Intermedio:

Definici´on 2.8. Se dice que un cuerpo ordenado (R, ≤) tiene la propiedad del valor intermedio, si para cualquier polinomio f (x) ∈ R[x] en el que existen a, b ∈ R con f (a)f (b) < 0, se cumple que f (c) = 0 para alg´un c ∈ R entre a y b.

Teorema 2.9. Un cuerpo ordenado es real cerrado si y s´olo si tiene la propie-dad del valor intermedio.

Para la demostraci´on de este teorema es necesario ver el siguiente Lema: Lema 2.10. Sea f (x) = anxn + . . . + a1x + a0, an 6= 0, un polinomio con

coeficientes en un cuerpo ordenado R. Si t es un elemento de R cumpliendo

|t| > 2 n X i=0 ai an ,

(27)

Demostraci´on. Supongamos las condiciones del Lema. Dado que el sumatorio del enunciado es mayor que 1, podemos concluir que |t| > 2 y que t 6= 0. Para ver que f (t) y antn tienen el mismo signo, los comparamos dividi´endolos:

f (t) antn = ant n_{+ . . . + a} 1t + a0 antn = 1 + n−1 X i=0 ai an ti−n

Ahora tan s´olo quedar ver que este valor es mayor que 0. Para ello, apro-vechando las hip´otesis y que estamos en un cuerpo ordenado, vamos a utilizar algunas de las propiedades del valor absoluto: es siempre no negativo, −|a| ≤ a, |a + b| ≤ |a| + |b|, |ab| = |a||b|, . . .

Dado que n−1 X i=0 ai an ti−n ≥ − n−1 X i=0 ai an ti−n ≥ − n−1 X i=0 ai an

|t|i−n_{, se cumple que:}

1 + n−1 X i=0 ai an ti−n ≥ 1 − n−1 X i=0 ai an |t|i−n _{≥ 1 −} n−1 X i=0 ai an n−1 X j=0 |t|j−n ≥ 1 − n X i=0 ai an (|t|−1+ . . . + |t|−n)

Como por hip´otesis tenemos que |t|₂ >

n X i=0 ai an , se cumple que: f (t) antn ≥ 1−|t| 2(|t| −1 +. . .+|t|−n) = 1−1 2(1+. . .+|t| −n+1 ) = 1+1 2 1 − |t|−n 1 − |t|−1 .

Simplificando el elemento que est´a entre par´entesis, vemos que es igual a

tn₋₁

tn_−tn−1. Este elemento es positivo ya que |t| es mayor que 2. Por tanto, podemos concluir que _af (t)

ntn > 0 y con ello, f (t) y ant

n _{tienen el mismo signo.}

Demostraci´on del Teorema 2.9. Sea R un cuerpo real cerrado y f (x) un poli-nomio con coeficientes en R. Supongamos que f es m´onico y que existen a y b ∈ R de modo que f (a)f (b) < 0. Vamos a ver que existe un elemento de R entre a y b que anula a f .

Dado que C = R(i) es algebraicamente cerrado, este contiene a todas las ra´ıces de f . Sabemos además que su factorización en irreducibles en R tan sólo tiene elementos de grado 1 o 2:

f (x) = (x − r1) . . . (x − rm)g1(x) . . . gs(x) = m Y i=0 (x − ri) s Y j=0 gj(x)

Como los gi son irreducibles en R[x], sus ra´ıces est´an en C \ R. Si c + di,

(28)

gi0(c + di) y gi0(c − di) tambi´en son conjugados. Por tanto, los gi son de la forma (x − c)2 + d2 = (x − c − di)(x − c + di). Como d 6= 0, tenemos que gi(t) > 0 para todo t ∈ R.

Ahora veamos que alguno de los ri ∈ R debe de estar entre a y b. Si

tuvi´esemos que a, b < ri, para todo i = 1, . . . , m, tendr´ıamos que f (a)f (b)

ser´ıa mayor que 0 ya que

f (a)f (b) = m Y i=0 (a − ri)(b − ri) s Y j=0 gj(a)gj(b),

pero esto no puede ocurrir porque hemos supuesto que f (a)f (b) < 0. Sucede lo mismo si suponemos que ri < a, b para todo i = 1, . . . , m. Por tanto, uno

de los ri tiene que estar entre a y b.

Por otra parte, supongamos que (R, ≤) es un cuerpo ordenado donde se cumple la propiedad del valor intermedio. Gracias al Lema 2.10, podemos ver que se cumplen las condiciones de la Definici´on 2.1 de real cerrado:

Sea 0 < a. Consideremos el polinomio p(x) = x2_{− a ∈ R[x]. Por el Lema}

2.10, existe un t ∈ R, lo suficientemente grande, tal que p(t) tiene el mismo signo que t2_{; es decir, p(t) > 0. Dado que p(0) = −a < 0, por}

la propiedad del valor intermedio existe c ∈ R entre 0 y t de modo que c2− a = 0. Hemos encontrado una ra´ız cuadrada de a en R.

Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio de grado impar. Usando el Lema 2.10 de nuevo, vemos que para un t1 lo suficientemente grande, f (t1) es positivo;

y para un t2 lo suficientemente peque˜no, f (t2) es negativo. Por tanto,

por la propiedad del valor intermedio, existe t ∈ R entre t1 y t2 de modo

que f (t) = 0.

Entonces, R es un cuerpo real cerrado, como quer´ıamos demostrar.

A partir de que en todo cuerpo real cerrado se cumple la propiedad del valor intermedio, se puede demostrar que se cumplen otras propiedades conocidas para R; tales como: Teorema de Rolle, Teorema de Weierstrass, Teorema del valor medio, . . . (v´ease [4], p. 35).

La siguiente caracterización de un cuerpo real cerrado tiene que ver con su relación con los cuerpos formalmente reales. En el Teorema 1.24, hemos demostrado que las nociones de cuerpo formalmente real y cuerpo ordenable son equivalentes; por ello, todo cuerpo real cerrado es formalmente real. El rec´ıproco no es trivial, ya que, como hemos dicho, no todo cuerpo ordenado es real cerrado. Hay que agregar otra condición, que será justificada con el siguiente Lema:

(29)

Lema 2.11. Sea F un cuerpo formalmente real y r un elemento algebraico sobre F . Si

r es ra´ız cuadrada de alg´un elemento positivo de F (en alg´un orden de F ), o si

r tiene polinomio m´ınimo sobre F de grado impar,

entonces F (r) es formalmente real.

Demostraci´on. Veamos el primer caso. Tenemos que r2 _{= a para alg´}_{un a > 0}

de F . Por reducci´on al absurdo, supongamos que F (r) no es formalmente real. Como F s´ı es formalmente real, entonces r /∈ F y [F (r) : F ] = 2. Al tener que F (r) no es formalmente real, existe un n´umero finito de ai, bi ∈ F

cumplien-do P (ai+ bir)2 = −1. Operando obtenemos: −1 = P (ai2+ b2ir2+ 2aibir);

e igualando coeficientes tenemos que −1 = P (a2

i + b2ia) = P a2i + aP b2i.

Pero esto no puede ocurrir, ya que a es un elemento positivo y, con ello, la ´

ultima suma da lugar a un elemento positivo. Por tanto, en este caso F (r) es formalmente real.

Ahora veamos el segundo caso. Sea f (x) el polinomio m´ınimo de r sobre F . Por hipótesis, el grado de f (x) es impar. Vamos a ver que F (r) es formalmente real mediante inducción en el grado de f (x), m. Si m = 1, entonces r ∈ F y F (r) = F es formalmente real. Ahora supongamos que m > 1 y F (r) no es formalmente real. Entonces, existe un número finito de gi(x) ∈ F [x] de grado

menor que m cumpliendo P gi(r) 2

= −1. Volviendo a F [x], como f (x) es el polinomio m´ınimo de r y 1 +P gi(x)2 se anula en r, se cumple que

1 +Xgi(x)2 = f (x)g(x), para alg´un g(x) ∈ F [x]. (2.1)

El coeficiente principal de cada gi(x) 2

es un cuadrado; por ello, deg(gi(x) 2

+ gj(x)2) = max{deg(gi(x)2), deg(gj(x)2)} ya que la suma de dos cuadrados no

puede ser nula (F es formalmente real y ordenado). Con esto, deg(1+P gi(x)2)

es par y menor que 2m. Y ahora, como deg(1 +P gi(x) 2

) = deg(f (x)g(x)) y el grado de f , m, es impar, es necesario que el grado de g(x) tambi´en sea impar y menor que m.

Tomemos h(x) un factor mónico e irreducible de g(x) de grado impar. Sea F (u) un cuerpo ra´ız de h(x) sobre F . Dado que deg(h(x)) < m, F (u) es formalmente real por la hipótesis de inducción. Volviendo a la ecuación (2.1) tenemos que 1 +P gi(u)

2

= f (u)g(u) = 0 y entoncesP gi(u) 2

= −1, lo que se contradice con que F (u) sea formalmente real. Por tanto, en este caso, F (r) tambi´en es formalmente real.

Entonces, la caracterizaci´on de los cuerpos reales cerrados que los relaciona con los cuerpos formalmente reales es la siguiente:

Teorema 2.12. Un cuerpo R es real cerrado si y s´olo si es formalmente real y no tiene ninguna extensi´on algebraica propia que sea formalmente real.

(30)

Demostración. Supongamos que R es un cuerpo real cerrado. Como R es orde-nado, por el Teorema 1.24, R es formalmente real. Como vimos en el Teorema 2.5, C = R(i) es algebraicamente cerrado y la única extensión propia de R es C, que no es formalmente real ya que i ∈ C.

Supongamos ahora que R es un cuerpo formalmente real y que ninguna extensi´on algebraica propia de R es formalmente real. Veamos si se cumplan las condiciones de un cuerpo real cerrado:

Sea a un elemento positivo de R, en alg´un orden de R, y b una ra´ız cuadrada de a. Por el Lema 2.11, R(b) es formalmente real. Dado que R no tiene extensiones propias formalmente reales, se tiene que cumplir que R(b) = R y por tanto b ∈ R. Con esto, podemos deducir que R tiene un ´unico orden.

Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio de grado impar. Tomemos g(x) un factor irreducible de f (x) de grado impar. Sea R(c) un cuerpo ra´ız de g(x) sobre R. Por el Lema 2.11, R(c) es formalmente real; por tanto, R(c) = R y c ∈ R. Como g(c) = 0 y g(x) es un factor de f (x), tenemos que f (c) = 0.

Por tanto, R es real cerrado.

La última caracterización que vamos a ver en este cap´ıtulo, es lo que se puede considerar: el rec´ıproco del Teorema 2.5. Pero para que se cumpla, es necesario agregar una condición obviamente necesaria:

Teorema 2.13. Un cuerpo R es real cerrado si y s´olo si √−1 /∈ R y R(√−1) es algebraicamente cerrado.

Demostración. Sabemos que un cuerpo real cerrado no puede contener una ra´ız cuadrada de −1 ya que ser´ıa una contradicción con que sea ordenado. En el Teorema 2.5 vimos que la extensión de un cuerpo real cerrado generada por i = √−1 es algebraicamente cerrado. As´ı que ya ten´ıamos la primera implicación probada. Para el rec´ıproco usaremos el Teorema 2.12 anterior.

Supongamos que R es un cuerpo que no contiene a ninguna ra´ız de −1 y que C = R(i) es algebraicamente cerrado. Para ver que R es formalmente real, primero hemos de ver que la suma finita de cuadrados en R es otro cuadrado de R. Sean a, b ∈ R; como C es algebraicamente cerrado, existe u ∈ C cumpliendo u2 _{= a + bi. Ahora:}

a2+ b2 = (a + bi)(a − bi) = u2u2 _{= (uu)}2_.

Dado que para cualquier r ∈ C, rr ∈ R, tenemos que a2 _{+ b}2 _{= (uu)}2 _es

otro cuadrado de R. Mediante inducci´on, tenemos que cualquier suma finita de elementos cuadrados de R es un cuadrado de R. Dado que i /∈ R, −1 no es un cuadrado en R; por tanto, −1 no es suma de cuadrados de R. Ya tenemos que R es formalmente real.

(31)

Por ´_{ultimo, dado que i no pertenece a R, tenemos que R ( R(i) y [R(i) :} R] = 2. Como además, R(i) es algebraicamente cerrado, la única extensión algebraica propia de R es R(i). R(i) no es formalmente real ya que contiene a i; por tanto, por el Teorema 2.12, R es real cerrado.

No debemos perder de vista a este último teorema, ya que será utilizado en la caracterización de cuerpos reales cerrados dada por Artin-Schreier, que veremos en el último cap´ıtulo. Antes de eso, en el siguiente cap´ıtulo veremos otro de los trabajos de Artin y Schreier. Se trata de la existencia y unicidad, salvo isomorfismos ordenados, de una clausura real para cualquier cuerpo or-denado. Pero para facilitar su demostración, primero tenemos que explicar el Teorema de Sturm.

2.2. Teorema de Sturm

Dado un cuerpo real cerrado R y un polinomio con coeficientes en él, el teorema de Sturm nos permite calcular el número de ra´ıces distintas que tiene en un intervalo contenido en el cuerpo R. Antes de introducir el teorema, hemos de dar la noción de sucesión de Sturm:

Definici´on 2.14. Sea f (x) un polinomio de grado positivo con coeficientes en un cuerpo real cerrado R. Diremos que una sucesi´on de polinomios de R[x]

f0(x) = f (x), f1(x), . . . , fs(x)

es una sucesi´on de Sturm de f (x) en el intervalo [a, b], si se cumple lo siguiente:

1. fs(x) no tiene ra´ıces en [a, b].

2. f0(a)f0(b) 6= 0.

3. Si c ∈ [a, b] es una ra´ız de fj(x), 0 < j < s, entonces fj−1(c)fj+1(c) < 0.

4. Si f (c) = 0 para alg´un c ∈ [a, b], existen intervalos (c1, c) y (c, c2) tales

que f0(t)f1(t) < 0 para todo t ∈ (c1, c) y f0(t)f1(t) > 0 para todo t ∈

(c, c2).

Dada una sucesi´on de Sturm f0(x), . . . , fs(x) de un polinomio f (x) en un

intervalo [a, b], para poder calcular el n´umero de ra´ıces distintas que tiene f (x) en el intervalo, hemos de calcular el n´umero de cambios de signo en las siguientes sucesiones:

f0(a), f1(a), . . . , fs(a)

f0(b), f1(b), . . . , fs(b).

Donde los cambios de signo es lo que se espera (la sucesi´on −2, 3, 0, 1, 2, −1 tiene 2 cambios de signo). Ve´amoslo en el siguiente teorema:

(32)

Teorema 2.15. Sea f (x) un polinomio de grado positivo con coeficientes en un cuerpo real cerrado R. Si f0(x) = f (x), . . . , fs(x) es una sucesi´on de Sturm

de f (x) en un intervalo [a, b] de R, el n´umero de ra´ıces distintas de f (x) contenidas en [a, b] es Va− Vb, donde Vc es el n´umero de cambios de signo de

la sucesi´on f0(c), . . . , fs(c).

Demostraci´on. Supongamos que estamos en las condiciones del teorema. He-mos de ver que el valor Va− Vb coincide con el n´umero de ra´ıces que tiene

f (x) en el intervalo [a, b]. Podemos descomponer este intervalo por las ra´ıces de todos los polinomios fj(x) de la sucesi´on de Sturm (las ra´ıces de f (x) est´an

incluidas). As´ı, obtenemos una sucesi´on a = a0 < a1 < . . . < am = b de

modo que ninguno de los fj(x) tiene una ra´ız en los subintervalos (ai−1, ai),

1 ≤ i ≤ m. Ahora, tomando un ci en cada uno de estos subintervalos, podemos

expresar Va− Vb de la siguiente forma:

Va− Vb = Va0 − Vam = (Va0 − Vc1) +

m−1

X

i=1

(Vci − Vci+1) + (Vcm− Vam). (2.2)

Hemos de ver que el valor de la derecha coincide con el n´umero de ra´ıces que tiene f (x) en el intervalo [a, b]. Podemos comprobar que el primer par´entesis vale 0. Dado que R es un cuerpo real cerrado, por el Teorema 2.9, se cumple la propiedad del valor intermedio. As´ı, como ninguno de los fj(x) se anula en

el intervalo (a0, c1), fj(a0)fj(c1) ≥ 0 para todo j. Recordemos que ninguno de

los fj(x) se anula en los ci; por tanto, si ninguno de los fj(x) se anula en a0, se

tiene que fj(a0)fj(c1) > 0 para todo j. De esta forma, todas las parejas fj(a0)

- fj(c1) tienen el mismo signo y Va0 = Vc1.

Ahora supongamos que existe un k de modo que fk(a0) = 0. Por las dos

pri-meras propiedades de una sucesi´on de Sturm (Definici´on 2.14), este k es distinto de 0 y s. Entonces, por la tercera propiedad se tiene que fk−1(a0)fk+1(a0) < 0.

Como fk−1(x) y fk+1(x) no se anulan en (a0, c1), aplicando de nuevo el Teorema

del Valor Intermedio, fk−1(a0)fk−1(c1) > 0 y fk+1(a0)fk+1(c1) > 0 (no nulos

porque fk−1(a0)fk+1(a0) < 0). Por tanto, es necesario que tambi´en se cumpla

que fk−1(c1)fk+1(c1) < 0. As´ı, las subsucesiones fk−1(a0), fk(a0), fk+1(a0) y

fk−1(c1), fk(c1), fk+1(c1) aportan un cambio de signo a Va0 y Vc1 respectiva-mente. Realizando lo mismo para cada k tal que fk(a0) = 0, tambi´en se llega

a que Va0 = Vc1.

Con un razonamiento similar, se puede ver que Vcm = Vam. Por ello, el ´

ultimo paréntesis de la ecuación 2.2 también es nulo.

Por último, veamos cuánto vale el sumatorio. Para cada i = 1, . . . , m − 1, si f (ai) 6= 0, el mismo razonamiento de antes nos hace llegar a que Vci = Vci+1 (tal y como nos interesa). Ahora veamos que si f (ai) = 0, entonces Vci− Vci+1 = 1. Por la cuarta propiedad de una sucesión de Sturm, existen intervalos [z1, ai) y

(ai, z2] (nos interesan intervalos cerrados en este caso) tales que f0(t)f1(t) < 0

para todo t ∈ [z1, ai) y f0(t)f1(t) > 0 para todo t ∈ (ai, z2]. Podemos suponer

(33)

que hay entre (ai−1, ai), entonces Vt= Vcipara todo t ∈ (ai−1, ai); en particular, Vz1 = Vci. De la misma manera, Vci+1 = Vz2.

Por tanto, por la cuarta propiedad de una sucesi´on de Sturm, f0(ci)f1(ci) <

0 y f0(ci+1)f1(ci+1) > 0. As´ı, la subsucesi´on f0(ci), f1(ci) tiene un cambio de

signo, mientras que la subsucesi´on f0(ci+1), f1(ci+1) ninguno. Con el mismo

razonamiento que se ha hecho al principio, se puede ver que las dem´as fj de

las sucesiones (fj(ci)) y (fj(ci+1)) tienen el mismo n´umero de cambios de signo.

Por tanto, Vci = Vci+1 + 1. Y concluimos que el valor Va− Vb coincide con el n´umero de ra´ıces que tiene f (x) en el intervalo [a, b].

Pero, para aplicar el Teorema anterior a un polinomio, es necesario encon-trar una sucesión de Sturm del polinomio. A continuación, vamos a dar una sucesión de polinomios que en algunos casos será una sucesión de Sturm, pero en otros no (dependiendo de si el polinomio tiene ra´ıces múltiples o no). Definición 2.16. Sea f (x) un polinomio de grado positivo con coeficientes en un cuerpo ordenado. Fijando f0(x) = f (x) y f1(x) = f0(x) (derivada formal

de f (x)), los siguientes fi(x) se obtienen mediante el algoritmo de Euclides,

pero cambiando de signo a los restos:

fi+1(x) = qi(x)fi(x) − fi−1(x), deg(fi+1(x)) < deg(fi(x)). (2.3)

Como bien sabemos, existe un s+1 tal que fs+1(x) = 0 y fs(x) es el m´aximo

común divisor de f (x) y f0(x). Esta sucesión de s polinomios la denominaremos sucesión estándar de f (x).

Los dos siguientes resultados son los que nos permiten calcular el n´umeros de ra´ıces distintas de cualquier polinomio. Sus demostraciones est´an remitidas a la bibliograf´ıa ([1]).

Teorema 2.17. Sea f (x) un polinomio de grado positivo con coeficientes en un cuerpo real cerrado. La sucesión estándar de f (x) es una sucesión de Sturm de f (x) para cualquier intervalo [a, b] que cumpla:

[a, b] no contiene ninguna ra´ız m´ultiple de f (x).

f (a)f (b) 6= 0.

Teorema 2.18 (Teorema de Sturm). Sea f (x) un polinomio de grado positivo con coeficientes en un cuerpo real cerrado R y (fi(x))i su sucesi´on est´andar. Si

[a, b] es un intervalo de R tal que f (a)f (b) 6= 0, el n´umero de ra´ıces distintas de f (x) contenidas en el intervalo es Va− Vb.

Demostraci´on. Consideremos la sucesi´on gi(x) = fi(x)fs(x)−1, i = 0, . . . , s.

Como fs(x) es el m´aximo com´un divisor de f (x) y f0(x), f (x) y g0(x) tienen

las mismas ra´ıces, pero en el caso de g0 todas las ra´ıces son simples. Mediante

el Teorema 2.17 anterior, la sucesi´on (gi(x))ies una sucesi´on de Sturm de g0(x)

para el intervalo [a, b]. Usando el Teorema 2.15 y el hecho de que fs(x) no se

anula en el intervalo [a, b], el n´umero de ra´ıces distintas de f (x) en el intervalo es Va− Vb.

(34)

Clausura Real

Teorema 3.1. Para cualquier cuerpo ordenado F , existe una extensi´on R de F cumpliendo:

R es real cerrado.

R/F es algebraica.

El orden (´unico) de R es extensi´on del orden de F .

Demostración. Sea F un cuerpo ordenado y ¯F una clausura algebraica de F . Como queremos que el orden de R sea extensión del orden de F , podemos tomar la subextensión de ¯F /F generada por las ra´ıces cuadradas de todos los elementos positivos de F . As´ı, los elementos positivos de F serán cuadrados en R. Llamemos E a esta subextensión y veamos que es formalmente real. Si no fuese as´ı, existir´ıa un número finito de ai ∈ E de modo que P a2i = −1. Cada

ai es resultado de una combinaci´on sobre F de ra´ıces cuadradas de elementos

positivos de F ; por ello, cada ai pertenece a la extensi´on de F generada por

estas ra´ıces cuadradas. Entonces, tenemos que todos los ai est´an contenidos

en una extensión, L, de F generada por un número finito de ra´ıces cuadradas de elementos positivos de F . Pero esto no puede ocurrir, ya que haciendo inducción con el Lema 2.11, tenemos que L es formalmente real y no podr´ıa cumplirse que P a2

i = −1.

Ahora, denotemos por S al conjunto de subconjuntos de ¯F que sean ex-tensiones algebraicas de E y además sean formalmente reales. Este conjunto obviamente no es vac´ıo ya que al menos E pertenece a él. Consideremos, en S, el contenido ⊆ como relación de orden parcial y veamos que podemos encontrar un maximal aplicando el Lema de Zorn (Lema 1.22, pág. 17).

Sea {Ei}i∈I una cadena en S. Podemos probar que K =

[

i∈I

Ei(cota superior

de la cadena) pertenece a S:

Dado que todo elemento de S es cuerpo intermedio de ¯F /F , se cumple que K ⊆ ¯F . Adem´as, como E est´a contenido en todo elemento de S, K

(35)

es no vac´ıo ya que al menos contiene a E. Para probar que K es cuerpo, basta con probar que si a, b ∈ K, entonces a − b ∈ K; y si c, d ∈ K∗, entonces cd−1 ∈ K∗_{. Ambas cosas se pueden probar de forma similar a}

como se hizo en la demostración del Teorema 1.24 (pág. 18), usando la definición de cadena.

K es formalmente real: si no fuese as´ı, existir´ıa un n´umero finito de ai ∈ K de modo que P a2i = −1. Tomando la misma idea que en la

demostraci´on del Teorema 1.24, existir´ıa un Ei en la cadena conteniendo

a todos los ai. Pero esto no puede ocurrir porque todos los elementos de

S son formalmente reales.

K/E es algebraica: si a ∈ K, a ∈ Ei para alg´un i ∈ I. Dado que todos los

elementos de S son extensiones algebraicas de E, a es algebraico sobre E.

Dado que estamos en las condiciones para aplicar el Lema de Zorn, podemos encontrar un maximal R en S. Entonces, este R es un cuerpo formalmente real y extensi´on algebraica de E. Adem´as, R es cuerpo intermedio de ¯F /F .

Podemos comprobar que R es real cerrado. Si no fuese as´ı, por el Teorema 2.12, R tendr´ıa al menos una extensi´on algebraica propia formalmente real, R0. Como ¯F no puede ser formalmente real por ser algebraicamente cerrado (contiene a una ra´ız cuadrada de −1), R0 es un subcuerpo propio de ¯F /F . Entonces, R0 es otro elemento de S que contiene estrictamente a R. Pero esto es absurdo ya que R es un elemento maximal. Por tanto, R es real cerrado.

Por último, el orden de R (único por el Teorema 2.3) es extensión del orden de F por como hemos construido R.

Definici´on 3.2. Dado un cuerpo ordenado F , llamaremos clausura real de F a un cuerpo extensi´on de F con las propiedades del Teorema anterior.

Ejemplo 3.3. El cuerpo R no puede ser una clausura real de Q, debido a que R/Q no es una extensión algebraica. En el Teorema 2.4 vimos que la subexten-si´_{on formada por los elementos algebraicos sobre Q, es un cuerpo real cerrado.} Dado que el orden de cualquier cuerpo ordenado es extensión del orden (único) de Q, el cuerpo de los números reales algebraicos sobre Q es una clausura real de Q.

Teorema 3.4 ([2], ejercicio 1 p. 637). Sea F un cuerpo ordenado. Si E es un cuerpo real cerrado extensi´on de F , y su orden es extensi´on del orden de F , entonces E contiene una clausura real de F .

Demostración. Supongamos que estamos en las condiciones del Teorema. Por el Teorema 2.4, el subcuerpo de E formado por los elementos algebraicos sobre F , R, es un real cerrado. También se cumple que R es una extensión algebraica de F .