73
4. Un contratista mezcló dos lotes de concreto que tenían 9.3% y 11.3% de cemento para obtener 4500 lb de concreto que contiene 10.8% de cemento. ¿Cuántas libras de cada tipo de concreto utilizó?
Tema 3 Potencias y radicales Introducción:
En muchos contextos, por ejemplo en Física o en Álgebra, aparecen expresiones que indican que una misma cantidad será multiplicada varias veces por si misma. Por ejemplo 24 o 105, las cuales significan realizar las multiplicaciones siguientes: 2x2x2x2 y 10x10x10x10x10, trabajar con estos significados resulta tedioso. Pero esto puede resolverse de una forma económica.
Para ello definiremos el concepto de Potencia entera positiva de un número y las operaciones que se pueden realizar con ellas. Posteriormente generalizaremos el concepto y sus operaciones
Aprendizajes Operarás correctamente con potencias y radicales con la misma base
Sub – tema 1
Definición de potencia entera positiva de un número y las operaciones de multiplicación, división y potencia de una potencia
Aprendizajes
Comprenderás el concepto de potencia entera de un número.
Operarás con potencias enteras con la misma base
Actividad 1 Definición de potencia entera positiva de un número
Propósitos Comprenderás el concepto de potencia entera de un número
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El concepto de potencia entera positiva de un número: Las multiplicaciones:
a) 3x3x3x3x3x3 b) (2/3)x(2/3)x(2/3) c) (√ ) √ √
Se sintetizan mediante los símbolos: 36, (2/3)3 y √ respectivamente
Tomando en cuenta lo anterior, sintetiza mediante un símbolo las multiplicaciones siguientes: 1. (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) (.2) = 2. (21/4) (21/4) (21/4) (21/4) = 3. (3.1416) (3.1416) (3.1416) = 4. (4) (4) (4) = 5. (a)(a)(a)(a)(a) = 6. (a)(a)(a)…(a)(a) = Definiciónes:
1. Se llama “Potencia n – ésima de un número real “a” y se simboliza como (a)n a la multiplicación siguiente:
(a)(a)(a)(a)…(a), esto es, la multiplicación de a, n veces.
Tomando en consideración la anterior definición, escribe el significado de los símbolos siguientes:
1. (-3)4 = 2. (-5)3 = 3. (√ )7 = 4. (6)5 =
2. En la potencia (a)n , a recibe el nombre de Base de la Potencia y n Exponente de la Potencia.
Tomando en consideración las definiciones anteriores, identifica las bases y los exponentes de las potencias siguientes:
75
1. (-6)4 , su base es___, su exponente es______ 2. (2)4 , su base es___, su exponente es______ 3. (- )4 , su base es_____, su exponente es______
4. √ 3, su base es________, su exponente es ________
Actividad 2 Operaciones con potencias de la misma base
Propósitos
En esta actividad veremos que las potencias de un número se pueden multiplicar, dividir y elevar a un exponente obteniendo como resultado otra potencia del mismo número Desarrollo de la actividad
Multiplicación entre potencias enteras positivas con la misma base Considera las multiplicaciones siguientes:
1. (3)4(3)2, según el significado de los símbolos: (3)4(3)2= (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) = (3)6
2. − 3 − 5 = − − − − − − − − = − 8
3. Generalización, escribe el resultado de la multiplicación siguiente en forma de una potencia
(a)n(a)m = Conclusión:
La multiplicación de dos potencias con la misma base es igual: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
División de dos potencias con la misma base y el exponente del divisor menor que el del dividendo
76 1. ( )
( ) Considerando las definiciones de los símbolos: ( )
( ) =
( )( )( )( )( ) ( )( )( )
y por definición de multiplicación de fracciones:
( ) ( ) =
( )( )( )( )( )
( )( )( ) = = ( )( )( )( )( ) =
2. ( ) considerando la definición de los símbolos:
(− ) (− ) =
(− )(− )(− )(− ) (− )(− )
y por definición de multiplicación de fracciones:
(− ) (− ) = (− )(− )(− )(− ) (− )(− )(− ) = − − − − − − − − = ( )( )( )(− )(− ) = (− ) 3. √
√ Considerando las definiciones de los símbolos: √
√
= √ √ √ √ √
√ √
y por definición de multiplicación de fracciones:
√ √ = √ √ √ √ √ √ √ = √ √ √ √ √ ( ) √ ( ) √ ( ) = ( )( ) √ √ √ = √
Considerando los 3 casos anteriores di a que es igual
>
Respuesta individual: ______________________________________________ Respuesta consensuada: ___________________________________________
77
La división entre potencias de la misma base cuando el exponente del dividendo es mayor que el del divisor, es igual a:
__________________________________________________________________ __________________________________________________________________
Potencia de una potencia
Considera las potencias siguientes elevadas a los exponentes indicados y exprésalas como una potencia de la misma base
1. ((2)5)3 = ((2)(2)(2)(2)(2))3 = (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) = (2)15
2. − = − − − =
= − − − − − − − − − = −
Considerando los dos ejercicios anteriores: 3. ¿A qué es igual (an)m?
Respuesta individual: _______________________________________________ Respuesta consensuada: ____________________________________________
Conclusión:
Cuando una potencia se eleva a un exponente entero positivo, el resultado es otra potencia con _______________________________________________
Sub – tema 2 Definición de potencia entera negativa de un número.
Aprendizajes Comprenderás el concepto de potencia entera negativa de un número
78
Actividad 1 Definición de potencia entera negativa de un número
Introducción a la actividad
En el subtema anterior hemos definido potencia entera positiva de un número como el símbolo que representa una multiplicación repetida con ese número.
¿Tendrá sentido definir una potencia cuando el exponente es negativo?, esto es ¿qué significaría 2-3?.
Obviamente, el significado de tal expresión ya no puede ser el multiplicar el 2, menos tres veces por si mismo. No obstante, se le puede dar significado a potencias de ese tipo como lo veremos en seguida
79 primero veamos que significaría a0:
Consideremos la división entre las potencias ap y ap donde p es un entero positivo y a un número real, esto es:
Tomando en cuenta la propiedad general de una división aritmética: = 1
Ahora considerando las reglas vistas para operar potencias con la misma base y exponente positivo:
= =
Entonces: a0 = 1
Ahora veamos qué significaría a-p , donde a es un número real y p entero positivo y por lo tanto – p un entero negativo:
Tomando en cuenta las reglas para operar con potencias con exponente entero positivo ahora incluyendo el exponente 0, ¿A qué es igual ?
Por lo visto anteriormente:
= = =
Luego entonces:
=
Cierre de la actividad: Ejercicios de significación:
Escriba el significado de las potencias siguientes: 1) 2-3 =
2) √ =
3) =
80
Sub - tema 3 Potencia de un número con exponente fraccionario.
Propósito Comprenderás el significado de una potencia cuando el exponente es una fracción
Introducción a la actividad
En los dos sub – temas anteriores hemos dado significado a la potencia an cuando a es un real y n es un entero (positivo o negativo)
¿Tendrá sentido ahora hablar de una potencia de la forma , donde a es un real, p y q dos enteros?. La respuesta a ello es afirmativa pero excepto en el caso siguiente:
Si a es negativo, p impar y q cualquier número entero positivo par.
Desarrollo de la actividad Consideremos la pregunta siguiente:
¿Es posible expresar el resultado de la raíz q – ecima, de una potencia como una potencia con la misma base de la potencia del sub - radicando?
Demos respuesta a la pregunta considerando la definición de la raíz q – ecima y la condición de que el resultado pueda expresarse como una potencia con la misma base que la potencia que aparece en el sub - radicando en los casos siguientes: 1) √ ¿es posible de ser expresado como ?, esto es:
¿es posible que √ = ?.
Si esto fuera posible, por definición de raíz cúbica, deberíamos tener:
( ) =
ahora, suponiendo que sigue siendo válida la regla para elevar a un exponente una potencia, tendríamos:
=
de donde concluiríamos que 3x debe ser igual a 4 o 3x = 4, y por lo tanto: x debería ser 4/3, si todo lo anterior es aceptado, entonces podemos definir que:
81
=
lo que le da sentido aritmético a la potencia . En general se define:
= √ , para todos los casos excepto para a negativo p impar y q
número entero positivo par. ……… Ejercicios de comprensión del concepto:
Escribe el significado aritmético de las siguientes potencias y calcula con calculadora su valor: 1) Respuesta individual: = Respuesta consensuada: = 2) (− ) Respuesta individual: (− ) = Respuesta consensuada: (− ) = 3) Respuesta individual: = Respuesta consensuada: =
¿Existe como número real la potencia siguiente?, Argumenta aritméticamente tu respuesta:
(− )
82 Respuesta consensuada:
Sub – tema 4
Multiplicación y división entre potencias de la misma base y potencia de una potencia, con exponentes enteros o fraccionarios
Aprendizajes Operarás con potencias de la misma base sin importar que el exponente sea entero o fraccionario.
Introducción a la actividad
Por cuestiones de tiempo, te presentaremos las reglas para operar con potencias sin justificación a lo que seguirá una serie de ejercicios para lograr que las retengas.
Desarrollo de la actividad Convención:
La multiplicación, división y potencia de una potencia cuando los exponentes son enteros o fraccionarios deben seguir las mismas reglas que cuando los exponentes son enteros positivos.
Así:
Regla para la multiplicación entre potencias de la misma base y exponentes enteros o fraccionarios:
Si a es un número real, n y m son números enteros o fraccionarios, entonces:
( )( ) =
Regla para la división entre potencias de la misma base y exponentes enteros o fraccionarios:
Si a es un número real, n y m son números enteros o fraccionarios, entonces:
=
Regla para obtener una potencia de una potencia cuando los exponentes son enteros o fraccionarios:
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Si a es un número real, n y m son números enteros o fraccionarios, entonces:
( ) =
Ejercitación para la comprensión de las reglas:
Efectúa las operaciones siguientes aplicando las reglas para operar con potencias de la misma base
Operación Respuestas individuales y consensuadas
1) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 2) ( )( ) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 3) ( ) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 4) (− ) ((− ) ) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 5) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 6) ( ) ( ) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 7) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 8) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 9) Respuesta individual: Respuesta consensuada: 10) Respuesta individual: Respuesta consensuada:
