Tema 10: Funciones. Ejemplo 2 El precio que cuesta aparcar en un parking es función del tiempo que estemos aparcados en él.

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Tema 10: Funciones.

Es muy importante entender bien este concepto, ya que todas las matem´aticas posteriores se van a apoyar, de una u otra manera, en ´el.

1. Definici´

on y estudio de funciones.

Definici´on 1 Seanxeydos magnitudes escalares. Una funci´on es una regla que nos permite obtener el valor de

y a partir del valor de x. Esta relaci´on entre las dos magnitudes la escribiremos y=f(x)dondef es la funci´on entre las dos magnitudes.

Ejemplo 1 El ´area de un cuadrado es funci´on del lado, en efecto, si un cuadrado tiene lado l, entonces tiene ´

areal2_{. Esta relaci´}_{on la escribiremos}_A₍_l_{) =}_l2_.

Ejemplo 2 El precio que cuesta aparcar en un parking es función del tiempo que estemos aparcados en él. Observación : Para quef sea una regla es necesario que asocie a cada valor de xun sólo valor de y. Si ahora pintamos en los ejes coordenados los pares de puntos (x, f(x)) obtenemos un dibujo que llamamosgráfica de la función f y que la caracteriza. De hecho la gráfica nos da muchos datos acerca de la función de una manera muy sencilla. En cursos posteriores os dedicaréis a ver cómo dibujar gráficas de funciones a partir de la expresión algebraica. En este cursos nos vamos a dedicar a estudiar las gráficas de unas cuantas funciones sencillas y a familiarizarnos con algunas caracter´ısticas de las funciones.

1.1. Dominio y recorrido de una funci´

on.

1.1.1. Dominio.

Definici´on 2 Dada una funci´onf, llamamos dominio def, escritoDom(f)al conjunto de todos losxpara los cuales existef(x).

Dom(f) ={x∈R| ∃y∈R, y=f(x)} (1)

Hay tres factores que pueden restringir el dominio de una funci´on:

1. Que para algunosxrealicemos una operaci´on prohibida.

Ejemplo 3 En el dominio de la funci´on f(x) = _x2x₋2₁ no pueden estar ni x= 1ni x=−1 ya que para

esos dos valores estar´ıamos dividiendo entre cero.

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2. Que en el problema que esté representando la función no tenga sentido considerar determinadosx. Ejemplo 4 En la función que representaba el área del cuadrado en función del lado no tiene sentido que consideremos lados negativos.

3. Que al que defina la funci´on le apetezca definirla restringiendo el dominio.

Ejemplo 5 Yo puedo definir, sin ningún problema, la función f(x) =x2₋₁ _{diciendo que la}_x_∈_[₋₂_,_1]. De estos tres motivos nosotros estudiaremos sólo el primero, ya que es el más ”matemático”.

1.1.2. Operaciones que van a restringir el dominio.

Cuando nos den una funci´on, consideraremos que su dominio es el m´as general posible, es decir, consideraremos que el dominio es todo _Rmenos los puntos para los cuales realicemos operaciones prohibidas. Las operaciones prohibidas son las siguientes (por ahora):

1. xpara los cuales se anule alg´un denominador. 2. xpara los cuales alguna ra´ız cuadrada sea negativa.

3. xpapa los cuales lo de dentro de un logaritmo sea menor o igual que cero.

4. xpara los cuales lo de dentro de una tangente sea de la forma π₂ +kπconk∈R1.

Ejemplo 6 Vamos a estudiar el domindio de las siguientes funciones:

1. f(x) =₃_x2₋x₅

Esta función tiene un denominador, luego hemos de ver qué números lo anulan 3x−5 = 0 ⇒ x= 5/3 luego Dom(f) =R− {5/3}

2. f(x) =√x2₋₂

En este caso lo que tenemos es una ra´ız cuadrada, luego tendremos que quitar del dominio los x que hagan que lo de dentro sea negativo, es decir hay que resolver x2−2 <0 ⇒ x2 < 2 ⇒ x ∈ (−√2,√2) luego

Dom(f) =R−(−

√

2,√2). 3. f(x) =ln(x2₋_x₎

Ahora tenemos un logaritmo, luego hemos de cuidar que lo de dentro sea positivo, vamos a ver qu´e n´umeros cumplen x2₋_x_≤₀_⇒_x_∈_[0_,_1]_luego _Dom₍_f_{) =}

R−[0,1].

Ejercicio 1 Halla el dominio de las siguientes funciones: 1. f(x) =_x24₋x₅+1_x₊₆

2. f(x) =x_x

1_{Esta regla esta inclu´ıda en las primera, ya que tg}_x₌ senx

cosxy los ceros del denominador son los puestos m´as arriba, pero la pongo

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1 DEFINICI ´ON Y ESTUDIO DE FUNCIONES. 3 3. f(x) =√x2₋₉ 4. f(x) = ln(x2−5x+ 4) 5. f(x) =_cossen_x₋x₁ 6. f(x) = tgx2 7. f(x) =₁₋x√2 x 8. f(x) =pln(1 +x2₎ 1.1.3. Recorrido.

Definición 3 Llamamos recorrido de una función al conjunto de losy que son imagen de algún x.

R(f) ={y∈R| ∃x∈R, y=f(x)} (2)

En general es mucho m´as dif´ıcil hallar el recorrido que el dominio, por lo que no vamos a hallarlo aqu´ı.

1.2. Simetr´ıas.

Hay dos simetr´ıas importantes, la simetr´ıa respecto al ejeY y la simetr´ıa respecto alO, origen de coordenadas.

1.2.1. Funciones pares.

Recuerda que el sim´etrico respecto del eje Y de un punto (a, b)es el punto(−a, b).

Teorema 1 La gráfica de una función es simétrica respecto al ejeY si y sólo si

f(−x) =f(x) (3)

DEMOSTRACI ÓN :Que una función sea simétrica respecto al ejeY quiere decir que si un punto(x, f(x))está en la gráfica también está su simétrico, el (−x, f(x)), lo cual quiere decir que la imagen del−xha de serf(x), ya quef es una función, luegof(−x) =f(x). Es inmediato comprobar la otra implicación.

Definici´on 4 Diremos que una funci´onf es par si cumple quef(−x) =f(x).

Claramente, por lo visto antes, las funciones pares son las que son sim´etricas respecto del ejeY.

1.2.2. Funciones impares.

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Teorema 2 La gráfica de una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si y sólo si

f(−x) =−f(x) (4)

DEMOSTRACI ÓN :Que una función sea simétrica respecto al origen de coordenadas quiere decir que si un punto (x, f(x))está en la gráfica también está su simétrico, el (−x,−f(x)), lo cual quiere decir que la imagen del−x

ha de ser−f(x), ya quef es una funci´on, luegof(−x) =−f(x). Es inmediato comprobar la otra implicaci´on.

Ejercicio 2 ¿Por qué no puede haber funciones simétricas respecto del ejeX? Ejercicio 3 Sif es una función impar ¿Cuánto vale f(0)?

Ejercicio 4 Halla las simetr´ıas de las siguientes funciones (caso de que las tengan): 1. f(x) = x x2₋₁ 2. f(x) =_1+cossenx_x2 3. f(x) =x6−4x2−5 4. f(x) = senxcosx 5. f(x) = tgx 6. f(x) = x x3₋₅_x

1.3. Crecimiento.

Definición 5 Diremos que una función f es creciente si x1 < x2 ⇒f(x1)< f(x2). Es decir, si a medida que crecen losxtambién crecen losy. En la gráfica esto quiere decir que si recorremos el ejeX en el sentido normal, la gráfica va subiendo.

Una funci´on puede ser creciente en (−∞,0) y (0,+∞) y no serlo en (−∞,∞).

Ejercicio 5 Pon un ejemplo de una tal función (dibuja cómo podr´ıa ser su gráfica).

Definición 6 Diremos que una función f es creciente si x1 < x2 ⇒f(x1)> f(x2). Es decir, si a medida que crecen losxlosy decrecen. En la gráfica lo que veremos es que la gráfica baja.

Definición 7 Llamamos extremode una función a un punto en el cual la función cambia su crecimiento: 1. Si pasa de ser creciente a decreciente diremos que es un máximo.

2. Si pasa de ser decreciente a creciente diremos que es un m´ınimo.

Ejercicio 6 1. Si f es una función par que es creciente en el (0,4) ¿Qué comportamiento tiene en el (−4,0)?¿Qué tiene enx= 0?

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1 DEFINICI ´ON Y ESTUDIO DE FUNCIONES. 5

1.4. Curvatura.

La curvatura lo que estudia es la posici´on relativa de la curva con respecto a su tangente.

Definición 8 1. Diremos que una función f es cóncava en un punto x0 si alrededor de x0 la gráfica de la función queda por encima de la gráfica de la tangente.

2. Diremos que una funciónf es convexa en un puntox0si alrededor de x0 la gráfica de la función queda por debajo de la gráfica de la tangente.

3. Diremos que una funci´on f es c´oncava (respec. convexa) en un intervalo si lo es en todos los puntos de intervalo.

4. Diremos que un punto x=x0 es un punto de inflexión de una curva si la tangente atraviesa a la gráfica en ese punto. En un punto de inflexión la función pasa de ser cóncava a ser convexa (o al revés).

Ejercicio 7 1. Si f es una funci´on par, convexa en el (2,6) ¿qu´e podemos decir de su curvatura en el (−6,−2)?

2. Sif es una función impar, cóncava en el (−4,0) ¿Qué podemos decir de su curvatura en el(0,4)?¿Qué es el puntox= 0?

3. Si una función cóncava tiene un extremo ¿De qué tipo tiene que ser dicho extremo? 4. Si una función convexa tiene un extremo ¿De qué tipo puede ser dicho extremo? 5. ¿Una función convexa en todoRpuede ser par?¿E impar?

6. ¿Cu´antos extremos puede tener una funci´on que sea convexa en todoR?

Ejercicio 8 Dibuja una funci´on que sea: 1. creciente y c´oncava.

2. creciente y convexa. 3. decreciente y c´oncava. 4. decreciente y convexa.

1.5. Continuidad.

Definición 9 Diremos que una función es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel2_{. Si en} algún punto tenemos que levantarlo diremos quef es discontinua en ese punto. Hay tres tipos de discontinuidades (4 para algunos, pero los matemáticos no nos matamos por esto):

Evitable: Cuando cambiando la definición de la función en dicho punto la función nos sale continua.

2_{La definici´}_{on matem´}_{atica es que una funci´}_{on es continua en un punto}_x0_si

∃ l´ım

x→x0

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De salto: Cuando en el punto en el que es discontinua nos acercamos a algo por los dos lados, pero nos acercamos a sitios distintos. En particular podemos estar acerc´andonos a±∞en alguno de los dos sentidos (en este caso se puede hablar de un salto infinito).

Esencial : Si en alguno de los dos sentidos ”no nos acercamos a nada en concreto”.

1.6. Periodicidad.

Definición 10 Diremos que una función f es periódica de periodoT si

f(x+T) =f(x)∀x∈R (5)

1.7. Ramas infinitas y As´ıntotas.

Definición 11 Llamaremos rama infinita de una función a aquélla que se nos salga fuera del papel.

Definici´on 12 Llamamos as´ıntota a cualquier curva que aproxime tanto como queramos a la funci´on en una rama infinita. Normalmente al referirnos a as´ıntotas estaremos hablando de rectas. Las rectas as´ıntotas son de tres tipos:

1. Horizontales.Son de la formay=b. 2. Verticales. Son de la forma x=a. 3. Oblicuas. Son de la forma y=mx+b.

Hacemos esta clasificaci´on porque cada una de estos tres tipos de as´ıntotas se halla de formas distintas.

1.7.1. Procedimiento para hallar las as´ıntotas.

Verticales : Nuestros candidatos a as´ıntotas van a ser lasx=adonde losason los ceros de los denominadores (inclu´ıda la tangente) y los puntos que anulen lo de dentro de las funciones logaritmo. En el curso siguiente hay que comprobar que realmente son as´ıntotas, para lo cual hay que probar que:

l´ım

x→af(x) =±∞

Horizontales : Nuestros candidatos son las rectas de la formay=b dondeb es el número al que se aproxima la función cuandox→ ∞. El próximo año tendrás que hallar

l´ım

x→±∞f(x) =b

Obliculas : Son las m´as complicadas, a t´ıtulo informativo compentar´e que son de la formay=mx+bdonde

m= l´ım x→±∞ f(x) x b= l´ım x→±∞f(x)−mx

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2 FUNCI ´ON INVERSA. 7

Ejercicio 9 ¿Cuántas as´ıntotas oblicuas puede tener una función?¿Cuántas horizontales?¿Una función puede tener una oblicua y una horizontal?¿Cuántas oblicuas y horizontales puede tener en total?¿Cuántas as´ıntotas verticales puede tener en total?

Ejercicio 10 Una función es cóncava y se aproxima a una as´ıntota horizontal cuandox→+∞ ¿Puedes decir algo acerca del crecimiento o decrecimiento de la función?

2. Funci´

on inversa.

Definición 13 Diremos que una función es inyectiva si cualquier recta horizontal la corta sólo una vez. Dicho de otra manera, si no hay dos puntosa6=b tales quef(a) =f(b) 3

Ejemplo 7 1. f(x) = 1 x es inyectiva, ya quef(a) =f(b)⇒ 1 a = 1 b ⇒a=b. 2. f(x) =x2 _{NO es inyectiva, ya que} _f₍_a_{) =}_f₍_b₎_⇒_a2₌_b2_→_a₌_±_b_.

Esto es importante, ya que, si una funci´on es inyectiva, podemos definir una funci´on que la ”deshace”:

Definición 14 Dada una funciónf inyectiva, llamaremos función inversaf−1_{a la funci´}_{on definida por}_f−1₍_b_{) =}

a ⇐⇒ f(a) =b. Es decir, a la funci´on que sirve para despejarf.

Ejercicio 11 ¿Por qué hemos tenido que pedir que f sea inyectiva en la definición anterior? Ejercicio 12 ¿Qué dominio tiene la funciónf−1_?¿Cu´_{al es su recorrido?}

Ejercicio 13 ¿Puede una funci´on par tener inversa?¿Y una funci´on impar?

Ejemplo 8 1. Sea f(x) = ex,f(a) = ea = b ⇐⇒ a = lnb luego f−1(x) = lnx (la inversa de la funci´on exponencial es la funci´on logar´ıtmica)

2. Sea g(x) =_x1,g(a) = 1_a =b ⇐⇒ 1 =ab ⇐⇒ a= 1_b luego g−1₍_x_{) =} 1

x.

F´ıjate que para hallar la inversa de una funci´on lo ´unico que tienes que hacer es ponery=f(x) y despejar lax

en funci´on de lay y luego intercambiarlas.

Ejemplo 9 Queremos hallar la inversa de la funci´on f(x) = √1 + lnx luego y = √1 + lnx ⇐⇒ y2 ₌ 1 + lnx ⇐⇒ y2₋_{1 = ln}_x _⇐⇒ _ey2−1₌_x_luego _f−1₍_x_{) =}_ex2−1_.

Ejercicio 14 Halla las inversas de las siguientes funciones: 1. f(x) = x

1−x

2. f(x) =√x

(8)

3. f(x) = lnx

4. f(x) = ln(1−√x) 5. f(x) = ln_x2₊₁x

6. f(x) =sh(x) = ex−₂e−x (Ojo, es de nota)

2.1. Gr´

afica de

y

=

f

−1

₍

_x

₎

_{conocida la gr´}

_{afica de}

_y

₌

_f

₍

_x

₎

F´ıjate que si un punto (x0, f(x0)) está en la gráfica def entonces el punto (f(x0), x0) está en la gráfica def−1 ¿Qué relación tienen los puntos (a, b) y (b, a)?¿Son simétricos?¿Respecto de qué?

Tenemos el siguiente resultado (Que se demuestra f´acilmente a partir de lo anterior de una manera muy parecida a lo que hicimos en el tema de simetr´ıa):

Teorema 3 La gráfica dey=f−1(x)es la simétrica respecto de la recta y=xde la gráfica dey=f(x). Ejercicio 15 Demuestra el teorema anterior (La entrega de este ejercicio es voluntaria y se valorará muy posi-tivamente).

Ejercicio 16 Si una función cumple que f−1₍_x_{) =} _f₍_x₎ _{¿Podemos encontrar alguna simetr´ıa en dicha} fun-ción?¿Cuál?

Ejercicio 17 1. Una funciónf, inyectiva, cumple que es creciente y cóncava en el intervalo (2,5)y f(2) = 3, f(5) = 4 ¿Podemos decir algo del crecimiento y la curvatura de f−1 en algún intervalo?¿En cuál y qué podemos decir?

2. Si además sabemos quef tiene un punto de inflexión en x= 0 y que f(0) = 1 ¿Qué dato nos da eso de

f−1_?

3. Supongamos ahora que f tiene un extremo (m´aximo o m´ınimo) enx=−1 y f(−1) =−3 ¿Qu´e dato nos da eso de f−1 _{?(Piensa bastante la respuesta)}

4. Si sabemos que f tiene una as´ıntota horizontal y= 7 ¿Qu´e dato nos da eso def−1_? 5. ¿Y si la as´ıntota es una vertical x=−2?

6. Por último, supón quef tiene una as´ıntota oblicua y= 2x+ 3 ¿Qué podemos asegurar def−1_?

Ejercicio 18 A partir de las gr´aficas de las funciones del Ejercicio 14 dibuja las gr´aficas de sus inversas.

2.2. Funciones que no tienen inversa global

Hay casos en los que una funci´on no tiene una inversa cuando su dominio es todo R, pero s´ı lo tiene cuando

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3 DIBUJO DE LAS GR ´AFICAS DEF(X+A),F(X) +A,F(AX)YAF(X)A PARTIR DE LAS DEF(X).9

Ejemplo 10 Como vimos más arriba f(x) = x2 _{no tiene inversa global, ya que tanto} _a _como ₋_a _{tienen la} misma imagen, sin embargo, si consideramos que Dom(f) = [0,+∞) automáticamente f en su dominio s´ıes inyectiva y podemos considerar su inversa, que en este caso es la funciónf−1(x) =√x. En cursos anteriores nos defin´ıan√acomo el número que elevado al cuadrado dabaa. Ahora vemos que eso es inexacto (−√atambién lo cumple), por lo que la definición deber´ıa ser ”De los dos números que cumplen que al cuadrado dana √a es el positivo. Del mismo modo pod´ıamos haber considerado que el dominfio def era el (−∞,0](¿Por qué?)...¿Cuál hubiera sido la inversa de f en ese intervalo?

Ejercicio 19 Dadas las siguientes funciones halla un intervalo máximo en el cual sean inyectivas y dibuja la gráfica de la función inversa que tienen cuando restringimos el dominio a dicho intervalo. Por último di cuál es el dominio y el recorrido de la función inversa.

1. f(x) = senx(af−1₍_x₎_{la llamaremos} _sen−1_x_o_{arc sen}_x₎ 2. f(x) = cosx(af−1(x)la llamaremos cos−1xoarc cosx) 3. f(x) = tgx(af−1(x)la llamaremostg−1xoarc tgx)

3. Dibujo de las gr´

aficas de

f

(

x

+

a

)

,

f

(

x

) +

a

,

f

(

ax

)

y

af

(

x

)

a partir

de las de

f

(

x

)

.

A partir de la gráfica dey =f(x) podemos pintar sin mucha dificultad las gráficas de las demás funciones del t´ıtulo. Vamos a ver cómo se puede deducir fácilmente.

3.1. y

=

f

(

x

) +

a

Si el punto (x0, f(x0)) está en la gráfica dey=f(x) entonces el punto (x0, f(x0) +a) está en la dey=f(x) +a. Luego todos los puntos dey =f(x) +a estánaunidades verticales separados de los dey =f(x) (hacia arriba caso de quea >0 y hacia abajo sia <0).

3.2. y

=

f

(

a

+

x

)

Ahora tenemos que fijarnos que si (x0, f(x0)) es un punto dey =f(x) entonces (x0−a, f(x0)) es un punto de

y = f(x+a). Luego la gr´afica de y = f(x+a) es la misma que la dey = f(x) pero desplazada a unidades horizontalmente (hacia la izquierda sia >0 y hacia la derecha si a <0).

3.3. y

=

af

(

x

)

Si el punto (x0, f(x0)) está en la gráfica de y = f(x) entonces el punto (x0, af(x0)) está en la de y = af(x). Luego todos los puntos de y = af(x) sona veces más grandes (verticalmente hablando) que los de de los de

y=f(x), por lo que la gr´afica de y=af(x) es como la dey =f(x) pero estirada verticalmenteaveces (queda distorsionada).

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3.4. y

=

f

(

ax

)

Ahora tenemos que fijarnos que si (x0, f(x0)) es un punto de y = f(x) entonces (x_a0, f(x0)) es un punto de

y=f(ax). Luego la gr´afica dey=f(ax) es la misma que la dey=f(x) pero contra´ıdaaveces horizontalmente.

Ejercicio 21 ¿Qu´e pasa ahora si a <1?¿Y si a <0?

3.5. Resumen.

Como resumen podemos decir que si la operación es sumar la tranformación es una translación y si es un producto es una dilatación. Si la operación se hace fuera de los paréntesis, la tranformación es vertical y si es dentro la operación es vertical.

Ejercicio 22 ¿Cómo es la gráfica de y=af(ax) en función de la de y=f(x)?¿Y la dey =af(x+a)?¿Y la dey=f(x+a) +a?¿Y la dey=af(x

a)?

4. Estudio de funciones especiales.

4.1. Funciones de primer grado.

Este tipo de funciones tiene la formaf(x) =mx+b. Como hemos estudiado en el tema anterior la gráfica de estas funciones es una recta que corta en el punto (0, b) al ejeY y que tiene pendientem(es decir, cada unidad que aumente la x, la y aumentarám). En el tema anterior también vimos quem= tgθdondeθes el ángulo que forma la recta con el ejeX+ _{(es decir, el semieje positivo del eje).}

Sim= 0 diremos que la funcióny=bes unafunción constante. La gráfica de las funciones constantes son rectas horizontales.

4.2. Funciones de segundo grado.

Las funciones de segundo grado son de la forma y =ax2₊_bx₊_c_{. Todas las funciones de segundo grado son} parábolas que podemos dibujar dando 3 valores a lax, pero hay una forma un poco más matemética de hacerlo. Para ello tenemos que entender un poco mejor qué significan cada uno de los tres parámetrosa, byc.

a : El valor de adetermina la abertura de la parábola. Cuanto mayor seaamás abierta estará la parábola. b : Hasta la siguiente sección no entenderemos bien el valor de b, pero para no dejar este apartado en blanco,

podemos decir quebse relaciona con translaciones en sentido horizontal de la par´abola. c : cse ocupa de subir a bajar la par´abola (la translada en sentido vertical).

Podr´ıamos pintar la par´abola a partir estos valores igual que hicimos con las rectas, pero ser´ıa muy complicado, por lo que para pintar una par´abola vamos a hacer lo siguiente:

1. Hallaremos los puntos de corte con los ejes. El punto de corte con el eje Y es muy sencillo, no hay m´as que hacer x= 0, lo cual da el punto (0, c). Para hallar el punto de corte con el eje X tenemos que hacer

(11)

4 ESTUDIO DE FUNCIONES ESPECIALES. 11

y = 0, que, como ya sabemos, tiene como soluciones x1 = −b+

√ b2₋₄_ac

2a yx2=

−b−√b2₋₄_ac

2a . Con esos tres

puntos ya podr´ıamos pintarla, pero será mejor hallar cuáles son las coordenadas del vértice (ya que este es el único punto especial que tiene la parábola).

2. La coordenadaxdel v´ertice esxv=−₂b_a 4. Para pintar la par´abola adecuadamente esIMPRESCINDIBLE

hallar dicha coordenada.

3. Sólo en el caso en el que no haya puntos de corte con el ejeX tenemos que usar el valor deapara pintar la parábola. Cuanto mayor sea este más abierta estará 5_.

4.3. Funciones de proporcionalidad inversa.

Las funciones de proporcionalidad inversa son de la formay = ax_cx₊+_db. Todas ellas son hipérbolas equiláteras que tienen como as´ıntota verticalx= −_cd (¿Por qué?) y como as´ıntota horizontaly = a_c. Puedes ver por dónde van las ramas dando algún valor o estudiando el signo def(x) cuando nos acercamos a la as´ıntota vertical.

4.4. Funciones exponenciales.

Todas ellas se pueden pintar sin problema a partir de la gr´afica def(x) =ex_{(que ya debemos conocer). En efecto,}

si queremos pintar la gr´afica deg(x) = 2x_{no hay m´}_{as que ver que}_g₍_x_{) = 2}x₌ _eln 2x

=e(ln 2)x₌_f_{(ln 2}_x_{) que}

podemos pintar a partir de la secci´on anterior.

4_{Para hallar las coordenadas del v´}_{ertice vamos a ver qu´}_{e pasar´ıa en el caso en el que hubiera puntos de corte con el eje}_X_{. Si}

los dos puntos de corte sonx1 yx2, como la recta que pasa por el vértice es un eje de simetr´ıa de la parábola, los dos puntos han de ser simétricos respecto de dicha recta, luego la xv (coordenada x del vértice) es el punto medio de los dos, con lo que

xv= x1+₂x2 = −b+ √ b2−4ac 2a + −b− √ b2−4ac 2a 2 = −2b 2a 2 = −b 2a.

5_{Aunque en realidad existe un resultado seg´}_{un el cual}_{todas las par´}_{abolas son semejantes}_{, es decir, la par´}_{abola que vemos m´}_as