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Independencia lineal y rango Ejemplos. Rango. Rango y matriz inversa Teorema de Rouché-Frobenius revisitado

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(1)

Independencia lineal y rango

Ejemplos.

Rango.

Rango y matriz inversa

(2)

Independencia lineal

Si el sistema

x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn = O

(3)

Independencia lineal

Si el sistema

x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn = O

tiene una única solución, entonces decimos que los vectores

{A1, A2, . . . , An}

(4)

Independencia lineal

Si el sistema

x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn = O

tiene una única solución, entonces decimos que los vectores

{A1, A2, . . . , An}

son linealmente independientes (L.I.)

(5)

Ejemplo 1

El conjunto

{O}

(6)

Ejemplo 1

El conjunto {O} siempre es L.D. En efecto, α.O = O ∀α 6= 0

(7)

Ejemplo 2

Estudiar la dependencia lineal de

        1 1 1    ,    −1 0 1    ,    0 1 1        

(8)

Ejemplo 2

Veamos: x1    1 1 1    + x2    −1 0 1    + x3    0 1 1    =    0 0 0   

(9)

Ejemplo 2

Veamos:    x1 −x2 x1 +x3 x1 +x2 +x3    =    0 0 0   

(10)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x1 +x3 = 0 x1 +x2 +x3 = 0

(11)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 x1 +x2 +x3 = 0

(12)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +2x2 +x3 = 0

(13)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +x3 = 0

(14)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +x3 = 0 ⇒ x3 = 0

(15)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +x3 = 0 ⇒ x3 = 0 x2 = 0

(16)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +x3 = 0 ⇒ x3 = 0 x2 = 0 x = 0

(17)

Ejemplo 2

Veamos:      x1 −x2 = 0 x2 +x3 = 0 +x3 = 0 ⇒ x3 = 0 x2 = 0 x1 = 0 ⇒ son L.I.

(18)

Ejemplo 3

Estudiar la dependencia lineal de

        1 1 1    ,    −1 0 1    ,    1 2 3        

(19)

Ejemplo 3

Veamos: x1    1 1 1    + x2    −1 0 1    + x3    1 2 3    =    0 0 0   

(20)

Ejemplo 3

Veamos:    x1 −x2 +x3 x1 +2x3 x1 +x2 +3x3    =    0 0 0   

(21)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 +x3 = 0 x1 +2x3 = 0 x1 +x2 +3x3 = 0

(22)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 +x3 = 0 x2 +x3 = 0 x1 +x2 +3x3 = 0

(23)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 +x3 = 0 x2 +x3 = 0 +2x2 +2x3 = 0

(24)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 +x3 = 0 x2 +x3 = 0 0.x2 +0.x3 = 0

(25)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3

(26)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3 ⇒ x3 cualquiera

(27)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3 ⇒ x3 cualquiera x2 = −x3

(28)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3 ⇒ x3 cualquiera x2 = −x3 x = −2x

(29)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3 ⇒ x3 cualquiera x2 = −x3 x1 = −2x3

(30)

Ejemplo 3

Veamos:      x1 −x2 = −x3 x2 = −x3 ⇒ x3 cualquiera x2 = −x3 x = −2x

(31)

Independencia lineal - observación

{A1, A2, . . . , Am} es L.I. m el sistema AX = O

(32)

Proposición

Una familia de vectores de Km

{A1, A2, . . . , Al} es L.I.

m

ninguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes.

(33)

Proposición equivalente

Una familia de vectores de Km

{A1, A2, . . . , Al} es L.D.

m

alguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes.

(34)

Proposición equivalente

Una familia de vectores de Km

{A1, A2, . . . , Al} es L.D.

m

alguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes.

(35)

OJO!!!

que {A1, A2, . . . , Al} L.D. NO implica que

(36)

vectores L.D.

¿cómo determinamos cuáles vectores se pueden escribir como C.L. de los restantes, y cuáles no?

(37)

vectores L.D.

¿cómo determinamos cuáles vectores se pueden escribir como C.L. de los restantes, y cuáles no?

(38)

Rango

Dado un conjunto de vectores

A = {A1, A2, . . . , An} ⊂ K m

(39)

Rango

Dado un conjunto de vectores

A = {A1, A2, . . . , An} ⊂ K m

llamamos

(40)

Rango

Dado un conjunto de vectores

A = {A1, A2, . . . , An} ⊂ K m

llamamos

rango(A)

a la máxima cantidad de vectores L.I. que podemos encontrar dentro de A

(41)

Ejemplo

Calcular el rango del conjunto

A =               1 −1 1 1 1      ,      2 −2 2 2 2      ,      1 1 1 1 1      ,      0 1 2 0 4      ,      1 0 5 1 9      ,      1 −1 3 3 3              

(42)

Ejemplo

Planteamos la ecuación de dependencia lineal:

x1          1 −1 1 1 1          +x2          2 −2 2 2 2          +x3          1 1 1 1 1          +x4          0 1 2 0 4          +x5          1 0 5 1 9          +x6          1 −1 3 3 3          =          0 0 0 0 0         

(43)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 −x1 −2x2 +x3 +x4 −x6 = 0 x1 +2x2 +x3 +2x4 +5x5 +3x6 = 0 x1 +2x2 +x3 +x5 +3x6 = 0 x1 +2x2 +x3 +4x4 +9x5 +3x6 = 0

(44)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 +2x3 +x4 +x5 = 0 +2x4 +4x5 +2x6 = 0 +2x6 = 0 +4x4 +8x5 +2x6 = 0

(45)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 +2x3 +x4 +x5 = 0 +2x4 +4x5 +2x6 = 0 +2x6 = 0 −2x6 = 0

(46)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 +2x3 +x4 +x5 = 0 +2x4 +4x5 +2x6 = 0 +2x6 = 0

(47)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 +2x3 +x4 +x5 = 0 +2x4 +4x5 +2x6 = 0 +2x6 = 0

(48)

Ejemplo

             x1 +2x2 +x3 +x5 x6 = 0 +2x3 +x4 +x5 = 0 +2x4 +4x5 +2x6 = 0 +2x6 = 0 ⇒ rango(A) = 4

(49)

Rango de una matriz por columnas

Dada una matriz A ∈ Mm×n llamamos rango por

columnas de A

(50)

Rango de una matriz por columnas

Dada una matriz A ∈ Mm×n llamamos rango por

columnas de A

rangoC(A)

(51)

Rango de una matriz por filas

Dada una matriz A ∈ Mm×n(K) llamamos rango

por filas de A

(52)

Rango de una matriz por filas

Dada una matriz A ∈ Mm×n(K) llamamos rango

por filas de A

rangoF(A)

(53)

Proposición

Si A ∈ Mm×n(K), entonces

(54)

Proposición

Si A ∈ Mm×n(K), entonces

rangoC(A) = rangoF(A) = e

donde e es la cantidad de escalones de

(55)

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema m × n. Entonces: I AX = B es compatible ⇔

(56)

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema m × n. Entonces: I AX = B es compatible ⇔

rango(A) =rango(A|B)

(57)

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema m × n. Entonces: I AX = B es compatible ⇔

rango(A) =rango(A|B)

I Si AX = B es compatible, entonces:

(58)

Rango e inversa (I)

Dada A ∈ Mn(K), tenemos

(59)

Rango e inversa (I)

Dada A ∈ Mn(K), tenemos

rango(A) = n m

(60)

Rango e inversa (I)

Dada A ∈ Mn(K), tenemos

rango(A) = n m

(61)

Rango e inversa (II)

Dada A ∈ Mn(K), tenemos

rango(A) = n m

(62)

Corolario

Referencias

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