El vórtice de un tornado es la parte inferior del embudo, en forma de cono truncado, la que entra en contacto con la tierra.
El vórtice es la parte más destructiva del torna-do, pues es esta punta la que posee el menor diámetro del tornado, y por tanto la mayor ace-leración del aire, y la que contacta directamente con la superficie terrestre, arrancando árboles, levantando casas y arrastrando la mayor parte de los desechos que va aspirando. Aunque en la mayoría de las ocasiones un tornado posee un único vórtice, no es raro que aparezcan varios vórtices de succión.
12.2.1. Definiciones básicas
12.2.1A. Superficie cónica
Se llama superficie cónica, a aquella superficie en-gendrada por la rotación de una recta que se mueve en el espacio pasando siempre por un punto fijo «V» y apoyándose en una línea curva plana. La recta que gira se llama generatriz y la curva plana ABC que sirve de guía se llama directriz. La curva que sirve de directriz puede ser abierta o cerrada.
Asimismo el punto «V» recibe el nombre de vértice de la superficie cónica.
Obsérvese que la superficie cónica se compone de dos partes llamadas hojas o mantos las cuales son opuestas por el vértice.
12.2.1B. Cono
Se llama cono al sólido comprendido entre un manto de superficie cónica de directriz cerrada y un plano que la intersecta.
12.2.3. Desarrollo Lateral de un Cono
El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono recto y cuyo arco tiene la misma longitud de la circunferencia de la base del cono. Si enrollamos un papel en la superficie lateral de un cono, de modo que la cubra por completo una sola vez, y lo extendemos luego sobre una mesa, obtendremos un sector circular cuyo radio es precisamente la generatriz del cono y cuyo arco tiene la misma longitud que la circunferencia de la base, con la que antes coincidía.
12.2.4. Área del Desarrollo
12.2.4A. Área lateralEl área lateral, denotada como AL, de un cono recto está dado por el producto del semiperí-metro de su base y su generatriz.
Puesto que la superficie lateral del cono y el sector circular determinado representan la misma superficie, concluimos que sus áreas son iguales, es decir:
AL = A( AOB) AL1g l AB
2 . . . (1) donde: lAB 2R Y reemplazando en (1), se tiene: ALgR . . . (2)
Finalmente haciendo una regla de tres simple entre el área del sector y el área del círculo, se tiene: g A 2 L 360º L 2 360º A g 360ºR g
Donde a «» se le llama ángulo de desarrollo. 12.2.4B. Área total
El área total de un cono recto es igual a su área lateral aumentado en el área de su base. {Área total} {Área lateral} {Área de la base}
Reemplazando la fórmula de cada área, se tiene:
2 T
A RgR ATR g
R
12.2.1C. Elementos del ConoC1. Vértice
Es el punto «V» de la superficie cónica en donde ésta se divide en dos mantos opuestos.
C2. Base
Es la sección (ABC) determinada por el plano se-cante y la superficie cónica.
C3. Altura
Es el segmento perpendicular (VH) que se traza desde el vértice del cono a la base o al plano que la contiene.
C4. Generatriz
Es cualquier segmento (VA) que une el vértice con un punto de la directriz.
Cuando la directriz es una circunferencia entonces el cono y la superficie cónica se llaman cono circular y superficie cónica circular respectivamente.
12.2.2. Cono Circular Recto
Se llama cono circular recto, o también cono recto, al cono cuya base es un círculo y sus generatrices son congruentes.
En un cono recto el pie (H) de la altura VH cae en el centro de la base y sus generatrices (g) forman ángulos congruentes con ella.
En el ejemplo de la figura: VABVBA. La sección axial de un cono recto es la región que se determina al intersectar el cono recto con un plano secante que pasa por el vértice y el centro de la base. Esta región está limitada por un triángulo isósceles que en el ejemplo de la figura es el AVB.
En un cono recto a la recta VH
que pasa por el vértice y centro de la base se llama eje del cono.A la superficie cónica, que limita al cono recto, se le llama superficie lateral del cono. Un cono recto se llama cono equilátero si su sección axial es un triángulo equilátero.
Ejemplo.- Con un semicírculo de papel de área 18 se construye un cono circular recto, calcular el volumen de dicho cono.
Por dato conocemos que: 2
18 6
2 g
g Por propiedad, el cono obtenido es equilátero en consecuencia:
R 3 h3 3
Luego el volumen «V» del cono estará dado por: 2 3 3 3
3
V V9 3
12.2.7. Conos Semejantes
Al trazar un plano paralelo a la base de un cono y que intersecta su superficie lateral, la sección producida, llamada sección transversal es la base de un cono, el cual resulta ser semejante al cono total, cumpliéndose que todos sus elementos homólogos son proporcio-nales entre sí, la razón de sus áreas es igual a la razón de los cuadrados de sus elementos homólogos y la razón de sus volúmenes es igual a la razón de los cubos de estos elementos. En la figura adjunta se cumplen las siguientes relaciones:
VA' VA = VO' VO = VB' VB = r R (V-A'B') (V-AB) Área Área = (VA' ) (VA) 2 2 = .... = r R 2 2 (V-A'B') (V-AB) Volumen Volumen = (VA' ) (VA) 3 3 = .... = r R 3 3
12.2.8. Tronco de Cono
12.2.8A. DefiniciónLlamamos cono truncado o tronco de cono a la parte de un cono recto comprendida entre la base y una sección paralela a la base, como se muestra en la figura.
- Área de la superficie lateral (AL):
L
A g R r
- Área de la superficie total (AT):
2 2
T A g R r R r - Volumen (V):
2 2
3 h V R r Rr12.2.5. Volumen
El volumen de un cono recto es igual a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura.
V = R2 h/3
Ejemplo.- El radio de la base y la generatriz de un cono de revolución miden 3 y 9
respecti-vamente. Calculemos el volumen y el ángulo de desarrollo. Calculemos primeramente la altura (h) del cono.
h2 32 92 h272 h6 2
Luego el volumen (V) estará dado por:V 3 26 2 /3 V54 2 /3 V18 2
Finalmente el ángulo de desarrollo () será: 360º
39 120º12.2.6. Propiedades Relativas al Cono
12.2.6A. 1ra Propiedad
El cono circular recto o cono de revolución, se engendra por un triángulo rectángulo ABC, que gira 360º alrededor de uno de sus catetos AB.
La hipotenusa AC, es la que genera la superficie lateral del cono, de ahí el nombre de generatriz y el cateto BC al girar genera la base circular del cono. Fig. (a)
12.2.6B. 2da Propiedad
El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo. Fig. (b)
12.2.6C. 3ra Propiedad
Todo plano que contiene una tangente (L) a la base y la generatriz (VA) que pasa por el punto de contacto es, tangente al cono.
Todo plano tangente corta a la base según una tangente a dicha base. Fig. (c)
12.2.6D. 4ta Propiedad
Volumen de un cono oblicuo: 1 3
01.- Para un cono circular recto, completar el
si-guiente cuadro.
02.- El gráfico muestra un cono circular recto y el
desarrollo de su superficie lateral.
Complete el siguiente cuadro:
03.- En el gráfico se muestra un cono circular
recto cuya generatriz forma con el plano de la base un ángulo de 60º.
Escribir (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una de las siguientes proposiciones. I. El área lateral del cono mide 18. ... ( ) II. El diámetro de la base mide 12. ... ( ) III. El ángulo central del desarrollo de la superfi-cie lateral mide 120º... ( ) IV. El desarrollo de la superficie lateral resulta ser un semicirculo. ... ( ) V. Su volumen mide 9 3 . ... ( ) VI. La distancia del centro de la base a la gene-ratriz mide 2 3 . ... ( )
04.- En el cono circular recto mostrado, se van a
trazar planos secantes que determinen varios ti-pos de secciones.
Completa los espacios en blancos con el tipo de sección que se formaría.
a. Si el plano secante contiene el vértice «P», la sección es un ... b. Si el plano secante es paralelo a la base, en-tonces la sección es un ... c. Si el plano secante corta la superficie lateral del cono y no es paralelo a la base, entonces la sección es una ...
12.2.8B. Propiedades Relativas a Conos Truncados B1. 1ra Propiedad
La sección axial de un tronco de cono recto es un trapecio isósceles ABCD. (Fig. a)
B2. 2da Propiedad
Si un tronco de cono está circunscrito a una esfera (Fig. b), entonces su generatriz es igual a la suma de los radios de las bases. En efecto, considerando la figura adjunta se cumple que la generatriz y el área lateral AL vienen dados respectivamente por:
g R r ; ALg2 B3. 3ra Propiedad
El volumen del tronco de cono de segunda especie (Fig. c) está dado por:
Prob. 01
Calcular el área de la superficie lateral de un cono circular recto, si el radio básico mide 3 y su altura mide 4.
Graficando y considerando datos:
Se sabe que: SL = Rg . . . (1)
En el VOA: g 3242 5 En (1): SL = (3)(5)
SL = 15
Prob. 02
La altura de un cono equilátero mide 6. Calcu-lar el área lateral.
Graficando y considerando datos:
Si el cono es equilátero, entonces el trián-gulo AVB es equilátero.
En el VOB de 30º y 60º: 6 2 3
3
R y g2R4 3
Luego el área lateral será: L (2 3)(4 3) S
SL = 24
Prob. 03
Calcular el volumen de un cono circular recto, sabiendo que dos generatrices diametralmente opuestas miden 6 2 y son perpendiculares.
Graficando y considerando datos:
En el AOB de 45º: H = R = 6 Como: Vc13R H2 c 1 (6) (6)2 3 V Vc = 72
05.- En el gráfico se ha trazado un plano paralelo
a la base del cono, determinando un cono parcial.
Completa el siguiente cuadro:
06.- Completa las siguientes proposiciones:
I. Las generatrices de un cono circular recto son: ... II. La sección producida en un cono de
revolu-ción por un plano paralelo a la base es: ... III. La sección axial de un tronco de cono circular recto es ... IV. El desarrollo de la superficie lateral de un cono
de revolución es ...
07.- Escribir (V) si es verdadero o (F) si es falso
en cada una de las siguientes proposiciones. I. La base de un cono siempre es un círculo.
( ) II. En un cono de revolución, las generatrices tiene mayor longitud que la altura. ( ) III. En un cono oblicuo, las generatrices tienen
igual longitud. ( )
IV. El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo. ( )
08.- Se muestra un tronco de cono circular recto.
Graficamos y ubicamos los datos:
a) Del dato: 2R = 12 R = 6 También: SL = 60Rg = 60
· 6 · g = 60 g = 10 En el BOC: H2 + 62 = 102 H = 8 b) El volumen (V) del cono está dado por:
1 2 3 V R H 1 (6) 8 2 3 V = 96 V Prob. 08
Calcular el volumen de un cono circular recto cuyo radio de su base mide 3 y se encuentra inscrito en una esfera de radio igual a 5.
Elaboramos el gráfico teniendo en cuenta las condiciones del problema:
La altura VH del cono de revolución, con-tiene al centro «O» de la esfera, entonces:
OV = OB = 5 En el OHB: (OH)2 + 32 = 52
OH = 4 El volumen (V) del cono será:
1 2 3 V R H 1 (3) 9 2 3 V V = 27 Prob. 09
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de radio 6 y ángulo central de 120º. Calcular el radio de la base del cono.
Elaboramos el gráfico tendiendo en cuen-ta los datos del problema:
Por propiedad: Rg 360º Donde: = 120º y g = 6 Luego: 120º 6 360º R R = 2 Prob. 10
Calcular el área de la superficie lateral de un cono circular recto si el desarrollo de su super-ficie lateral es un semicírculo de radio 4. Prob. 04
En un cono circular recto la suma de la gene-ratriz con el radio de la base es 8. Si su altura es 4, calcular su volumen.
Graficando y considerando datos:
Por dato: g + R = 8 g = 8 – R En el VOA: g2 = 42 + R2
(8 – R)2 = 16 + R2 Resolviendo: R = 3
Luego el volumen será: V1 (3) 43 2
V = 12
Prob. 05
El volumen de un cono circular recto es 320. Si el radio de la base mide 8, calcular la gene-ratriz del cono.
Graficando y ubicando los datos, tenemos:
Ya que el volumen es: V = 320 De la fórmula del volumen:
2 (8) 320 3 H H = 15 En el AOV: g2 = H2 + 82 = 152 + 82 g2 = 289 g = 17 Prob. 06
Calcular el volumen de un cono circular recto cuya generatriz mide 6 y su altura forman 60º con la generatriz.
Graficamos y ubicamos datos:
En el AOV de 30º y 60º: H = 3 y R3 3 Luego: 2 2 (3 3 ) 3 3 3 R H V V = 27 Prob. 07
En un cono circular recto, el área de su super-ficie lateral mide 60 y la longitud de la circun-ferencia que limita al círculo de su base es igual a 12.
a) Calcula la generatriz y la altura del cono. b) Calcula el volumen del cono
Del dato: Tronco Cilindro Cono 5 3 V V 2 2 5 2 2 2 (1) 3 H x x H Efectuando: x2 + 2x – 1 = 0 = 2 - 1 x Prob. 14
Calcular el volumen del cono construido con un sector circular de 60º y radio 6.
Graficamos y ubicamos los datos del pro-blema: Se sabe que: Rg 360º R6 360º60º R = 1 En el AOV: H2 = 62 – R2 = 36 – 1 H 35
Luego el volumen del cono será:
2 2 1 1 (1) 35 3 3 V R H = 35 3 V Prob. 15
El desarrollo de las superficies laterales de dos conos circulares rectos con vértice en común y tangentes exteriores son dos semicírculos cuyos radios miden 8 m y 4 m. Calcular la dis-tancia entre los centros de las bases de los conos.
Esquematizamos el problema según sus condiciones y ubicamos los datos:
Recordemos que el desarrollo de la super-ficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo cuyo radio es igual a la gene-ratriz, entonces podemos deducir que los conos son equiláteros de generatrices 8 m y 4 m.
En el ABO de 30º y 60º: BO4 3
En el BQE de 30º y 60º: BQ2 3 En el OBQ aplicamos el teorema de cosenos:
2
2
24 3 2 3 2 4 3 2 3 cos 60º
x
Efectuando tenemos que: x = 6 Graficamos y ubicamos datos:
Se sabe que el área de la superficie lateral de un cono circular es igual al área del se-micírculo de radio igual a su generatriz cuando éste es equilátero. En tal situación:
SL = S 2 L (4) 2 S SL = 8 Prob. 11
Calcular el volumen del tronco de cono de re-volución, sabiendo que los radios de sus ba-ses miden 1 y 3; y su altura mide 6.
Construimos el gráfico correspondiente y ubicamos los datos del problema:
3
Sea «VT» el volumen pedido, luego:
2 2 T H3( ) V r R Rr Donde: H = 6 ; r = 1 y R = 3 Luego: T 6 (1 3 (1)(3))2 2 3 V VT = 26 Prob. 12
La altura de un cono circular recto mide 2. ¿A qué distancia del vértice se debe trazar un pla-no paralelo a la base del copla-no de modo que éste produzca dos sólidos parciales equivalentes?
El paralelismo entre las bases nos lleva a aplicar la semejanza de conos; se sabe que: Volumen del cono menor: V
Volumen del cono mayor: 2V
3 3 2 2 V x V x= 43 Prob. 13
Un tronco de cono de revolución y un cilin-dro de revolución tienen la misma altura, sien-do el volumen del tronco los 5/3 del volumen del cilindro. Si el radio de la base mayor del tronco mide 2 m y el radio de la base del cilin-dro mide 1 m. Calcular el radio del a base me-nor del tronco.
Elaboramos los gráficos correspondientes a los dos sólidos:
común 2 1 2 3 V r h
2 común 2 13 R2 H2 V común 2 12 R H V Reemplazando (1): Vcomún = 10 u3 Prob. 18En un cono recto de revolución de vértice «O» y diámetro AB , en la base, se trazan AP y BQ cuerdas secantes que forman un ángulo de 45º. Si la altura del cono es igual al radio de la base:
a) ¿Cuánto mide el arco PQ? b) Si el radio mide «R», calcular PQ. c) ¿Cuánto mide el ángulo POQ?
Graficamos y ubicamos los datos del pro-blema:
a) En la base del cono, por ángulo interior:
AQ PB 45 2 m m AQ PB 90 m m Y como: mAB 180 (semicircunferencia) Entonces: mPQ90
b) Deducimos que PQ es el lado del cua-drado inscrito en el círculo de la base, en-tonces: PQ R 2 c) Del dato: H = R En el OTB: OBR 2 Además tenemos: OQ OP OB R 2 (generatrices) El OQP resulta ser equilátero.
POQ = 60° m
Prob. 19
En un tronco de cono de revolución, los ra-dios de sus bases miden 2 m y 8 m; por el centro de la esfera inscrita en el tronco se traza un plano paralelo a las bases.
a) Calcular el área de la sección determinada por dicho plano en el cono.
b) Calcular el radio de la esfera inscrita. c) Calcule el volumen del tronco de cono
for-mado por dicho plano y el plano de la base menor.
Construimos el tronco de cono circunscri-to a la esfera:
Prob. 16
Calcular el área lateral de un cono de revolu-ción cuya altura es igual a 10 m y en el que la mediatriz de su generatriz limitada por la altura mide 4 m.
Construimos el gráfico correspondiente se-gún las condiciones del problema y ubica-mos los datos:
Sea MN parte de la mediatriz de BC , en-tonces: NM = 4 (Dato).
Y el área lateral del cono (SL) está dado por:
SL = Rg . . . (1) Del gráfico: NBM ~ BOC
4 2 10 g R De donde: Rg = 80 . . . (2) Reemplazando (2) en (1): SL = 80m2 Prob. 17
En un cilindro de revolución de 120 u3 de
volu-men, se construyen 2 conos interiores cuyas bases son cada una de las bases del cilindro y su vértice el centro de la base opuesta.
a) Determinar la relación entre el área de la base del cilindro y el área del círculo que resulta de la intersección de los conos. b) Calcular el volumen común a ambos conos.
Elaboramos el gráfico que corresponde a las condiciones del problema:
a) Sea «R» el radio de la base del cilindro y «r» el radio de la base del cono parcial de-terminado: 2 R r (Base media) Se pide: 2 2 M R r
2 2 M 2 R R M = 4b) Sea ahora «h» la altura del cono parcial y «H» la altura del cilindro, entonces:
H = 2h
Del dato: R2H = 120 . . . (1)
El volumen común será el volumen forma-do por los forma-dos conos parciales determina-dos, entonces:
Elaboramos un esquema que represente las condiciones del problema y ubicamos los datos correspondientes:
La intersección entre las superficies de los sólidos genera un círculo paralelo a la base del cono, lo que a su vez trae como conse-cuencia la semejanza de conos.
Sea «S» el área de las regiones parciales determinadas en el cono, luego tendremos que: OL2 2 2 S S R OLR2 2 En el OLN, tenemos: x = 45º Prob. 22
Calcular el volumen de un cono recto de revo-lución, de altura 3 m, conociendo que el plano que pasa por el vértice determina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120º y que la sección determinada por dicho plano es un triángulo rectángulo.
Elaboramos el equema del problema y ubi-camos los datos según corresponde:
Por condición del problema, la sección de-terminada es el triángulo rectángulo AVB donde:
AB g 2
Por otro lado en el AOB: ABr 3 Luego resulta que: g 2r 3
6 2 r g En el AOV: g2 = r2 + 9
2 2 6 9 2 r r Desarrollando tenemos: 3 2 29 2r r 2 9 2 r r3 2 Entonces el volumen «V» del cono será:V = r2· 3
V
3 2 · 3
2 V = 54
a) En el trapecio rectángulo OABQ:
2 8 2
R (Base media) R = 5 La sección determinada es un círculo de radio R = 5 cuya área «S» será:
S = (5)2 S = 25 b) Trazamos AFQB, de donde:
AF = 2r y FB = 6 En el AFB: (AF)2 + (FB)2 = (AB)2
(2r)2 + 62 = 102 r = 4
c) El volumen del tronco de cono superior (VT) está dado por:
2 2 T 3r 2 2 V R R 2 2 T 34 2 5 10 V T= 52 V Prob. 20
El desarrollo del área lateral de un cono recto de revolución es un sector circular de 60º, en el cual se puede inscribir una circunferencia de 1 m de radio.
a) Calcular la generatriz del cono. b) Calcular la altura del cono. c) Calcular el volumen del cono.
Elaboramos el gráfico que se ajuste a las condiciones del problema:
a) El desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular.
En el AQN de 30º y 60º: AQ = 2 De donde: AT = 3
Deducimos entonces que: g = 3
b) Ya que la generatriz tiene igual longitud que el radio del sector circular.
Por propiedad: 360 R g Donde: = 60º g = 3 Luego: 60 1 3 360 2 R R En el AOC: 2
1 232 35 2 2 H H c) Finalmente como: C1 2 3 V R H
2 C 1 1 35 3 2 2 V C 35 24 V Prob. 21Calcular la medida del ángulo que forman la altura y la generatriz de un cono circular recto, cuya superficie lateral está dividida en dos re-giones equidistantes mediante la linea de in-tersección con una superficie esférica cuyo centro está situado en el vértice del cono y su radio es la altura de este.
13.- Siendo el área de la base del cono, la mitad del área lateral, calcular «»
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
14.- Calcula el volumen de un cono de revolu-ción sabiendo que la altura es igual a la gene-ratriz disminuido en 1 y es igual al diámetro aumentado en 2.
A) 75 B) 50 C) 100 D) 125 E) 150
15.- Calcular el volumen de un cono de revolu-ción, si el desarrollo de la superficie lateral es un semicírculo de 182 de área.
A) 9 3 3 B) 6 3 3 C) 12 3 3 D) 10 3 3 E) 7 3 3
16.- La altura de un cono mide 20 cm y la razón del radio de la base a la generatriz es 3/5. Indi-car el área total del cono.
A) 1882 cm2 B) 1884 cm2 C) 1885,4 cm2 D) 1886,4 cm2 E) 1883,4 cm2
17.- Un cono circular recto cuya altura mide 10, está circunscrito a una esfera cuyo radio mide 4. Determinar el volumen del cono.
A) 40 3 B) 20 3 3 C) 8003 D) 400 9 E) 4603
18.- Calcular el volumen de un cono equilátero en función del radio «r» de la esfera inscrita. A) r3 B) 2r3 C) 3r3 D) 4r3 E) 5r3
19.- Calcular el área de la superficie lateral de un tronco de cono circular recto circunscrito a una esfera, sabiendo que su generatriz mide 6. A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 45
20.- Calcular el volumen del cono de revolu-ción si el volumen del cilindro de revolurevolu-ción es 21. A) 21 B) 24 C) 27 D) 28 E) 32
21.- Sobre la base superior de un cilindro de 4 cm de radio y 5 cm de altura se construye un cono circular de altura triple que el cilindro. Determinar el volumen del cuerpo formado. A) 502,4 cm3 B) 504 cm3 C) 501 cm3 D) 505 cm3 E) 503 cm3
22.- Calcular el volumen generado por un trián-gulo rectántrián-gulo isósceles al girar alrededor de uno de sus catetos, si el perímetro del triángulo es 63 2.
A) 6 B) 12 C) 9 D) 18 E) 3
23.- El volumen de un cono es 27 m3, se trazan dos planos paralelos a la base que dividen a la altura en tres partes congruentes. Calcular el volumen del sólido intermedio.
A) 4 m3 B) 5 m3 C) 6 m3 D) 5 2 m3 E) 7 m3
24.- El volumen de un cono es 16, si por el punto medio de su altura se traza un plano pa-ralelo a la base, calcular el volumen del cono pequeño formado.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
01.- De la figura, calcula el área de la base del cono circular recto, si AB es diámetro de la base, VA = 15 y VO = 12. A) 64 B) 72 C) 56 D) 96 E) 81
02.- Calcular el área lateral de un cono recto cuyo radio básico mide 5 y su altura mide 12. A) 65 B) 60 C) 58 D) 50 E) 48
03.- Determina el área de la superficie lateral de un cono, si el desarrollo de ella es un sector circular de radio 6 y ángulo central 60º. A) 6 B) 3 C) 12 D) 18 E) 9
04.- De la figura calcular el área de la superficie total del cono circular, si altura mide 4 3 . A) 36
B) 48 C) 72 3 D) 72 E) 36 3
05.- La generatriz de un cono mide 13, el radio de la base mide 5. Calcular el volumen. A) 50 B) 75 C) 100 D) 125 E) 150
06.- Calcular el volumen de un cono equilátero cuya generatriz mide 6.
A) 9 3 B) 9 C) 3 3 D) 6 E) 6 3
07.- Calcula el área lateral de un cono que se puede construir con un semicírculo de radio 6. A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 14
08.- Calcula el volumen de un cono circular recto cuya generatriz mide 10 y forma con la altura 37º.
A) 48 B) 96 C) 60 D) 72 E) 84
09.- El volumen de un cono circular recto es 100. Si el radio de la base mide 5, calcula la longitud de su generatriz.
A) 18 B) 13 C) 15 D) 14 E) 17
10.- La suma de la generatriz y el radio de la base de un cono es 25. Si la altura mide 15, calcular su área lateral.
A) 130 B) 132 C) 134 D) 136 E) 148
11.- La generatriz de un cono mide 5 y el radio de su base 3. Calcula la medida del ángulo cen-tral del sector que se obtiene al desarrollo de su superficie lateral.
A) 180º B) 90º C) 120º D) 200º E) 216º
12.- El volumen de un cono circular recto es 324. Si el diámetro de la base mide 18, calcular la generatriz del cono.
A) 2 2 2 2 r h r h B) 3 2 2 rh r h C) 2 2 2 r h r h D) 2 rh E) 3 2 2 hr r h
36.- En un tronco de cono recto cuyas bases tienen por radios «a» y «b» respectivamente (a > b), si la suma de las áreas de las bases es igual al área lateral del tronco de cono. Calcular la longitud de la altura del tronco.
A) ab ab B) 3ab a b C) 2ab a b D) 3ab a b E) 2ab ab
37.- Dados dos conos de revolución cuyas ba-ses se encuentran en una mesa y tiene como radios 9 y 12 y de alturas 12 y 8 respectivamen-te. Un plano paralelo a la superficie de la mesa intersecta a los conos en 2 secciones equiva-lentes. Se desea calcular el área de dicha sec-ción.
A) 32 B) 36 C) 42 D) 25 E) 24
38.- La generatriz «a» de un tronco de cono forma 60º con la base inferior y es perpendicu-lar a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Cal-cular su área lateral.
A) 3 a2 B) a2 C) 2 a2
D) 3 2 2 a
E) 2
2a
39.- En un cono recto de altura «H», se traza un plano secante y paralelo a la base y sobre la sección determinada por el plano se forma un cilindro recto cuya base superior pasa por el vértice del cono, calcular la altura del cilindro para que su volumen sea la mitad del tronco de cono formado. A) 2 H B) 3 H C) 37 H D) 36 H E) 35 H
40.- De un disco de aluminio de radio «r» se va a cortar un sector circular de ángulo «». Si con el resto del disco se forma un cono circular recto, calcula el valor de «» (en radianes) para que el área de la base del cono sea un tercio del área de la superficie lateral del mismo cono. A) 2 3 B) C) 4 3 D) 5 6 E) 7 6
41.- Calcular el volumen de un cono equilátero en (), sabiendo que un punto ubicado en el diámetro de su base dista de las generatrices que tienen por extremos a los extremos de di-cho diámetro; 4 cm y 2 cm respectivamente. A) 18 B) 24 C) 16 D) 30 E) 36
42.- Una esfera cuyo radio mide 3 cm, está ins-crita en un cono circular recto. Se traza un pla-no tangente a la esfera y perpendicular a una generatriz del cono. Si el plano dista 1 cm del vértice del cono, determinar (en cm2) el valor de la superficie total del cono.
A) 90 B) 96 C) 92 D) 98 E) 94 01 E 09 B 17 C 25 C 33 B 02 A 10 D 18 C 26 E 34 B 03 A 11 E 19 A 27 C 35 B 04 B 12 B 20 D 28 E 36 C 05 C 13 A 21 A 29 C 37 B 06 A 14 C 22 C 30 B 38 D 07 B 15 A 23 E 31 C 08 B 16 B 24 B 32 D
CLAVES
39 C 40 C 41 B 42 B 25.- En la superficie lateral de un cono se tomaun punto «P» distante 6; 16 y 10 de la altura, base y vértice del cono respectivamente. Cal-cula el área total del cono.
A) 854 B) 824 C) 864 D) 834 E) 844
26.- En un tronco de cono circular recto, la ge-neratriz forma con la base mayor un ángulo de 53º, si el radio de la base menor mide 2; la gene-ratriz tiene igual longitud que el radio de la base mayor y el área de la superficie lateral mide 35, calcular su volumen.
A) 36 B) 39 C) 42 D) 54 E) 52
27.- ¿A qué distancia del vértice debe cortarse un cono de 10 cm del altura y 4 cm de radio básico por un plano paralelo a la base para que resulten dos partes equivalentes?
A) 4 4 cm3 B) 3 4 cm3 C) 5 4 cm3 D) 2 4 cm3 E) 6 4 cm3
28.- Un cono recto de revolución tiene una al-tura que mide 3, la suma de la generatriz y el radio de la base es 9. Calcular la medida del ángulo central del sector circular.
A) 216º B) 180º C) 240º D) 270º E) 288º
29.- Si el volumen del cilindro de revolución es 18, calcular el volumen del cono.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12
30.- En un cono de revolución, la distancia del centro de la base hacia una de sus generatrices es igual a 2 cm. Si el área de la superficie lateral es igual a 9 cm2, calcular (en cm3) el volumen de dicho cono.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
31.- Una cuerda trazada en el círculo de la base de un cono recto mide 8. El centro dista de la cuerda 2. Calcular el área lateral si la altura mide 4. A) 8 5 B) 10 5 C) 12 5 D) 14 5 E) 16 5
32.- La altura y el diámetro de la base de un cono recto miden 9 y 8 respectivamente. En el cono se inscribe un cilindro recto cuya área lateral es 10 y del radio básico x. Calcular «x», si x > 1.
A) 1/3 B) 7/3 C) 5/3 D) 10/3 E) 6/3
33.- Determinar el volumen de un cono sabien-do que una cuerda de longitud «a» trazada en el círculo de la base subtiende un arco de 60º y la altura del cono forma 30º con la generatriz. A) 3 3 2 a B) 3 3 3 a C) 3 3 a D) 3 3 4 a E) 3 3 a
34.- Se tiene un cono y una esfera inscritas en un cilindro. Al sumergir completamente la esfe-ra en un recipiente cilíndrico con agua, el nivel del agua sube 6 cm. ¿Cuántos centímetros su-birá el nivel del agua, al sumergir completamen-te a la vez la esfera y el cono?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
35.- Se tiene dos conos rectos iguales tangen-tes por sus generatrices y cuyos vértices coin-ciden, si sus alturas son «h» y el radio de las bases es «r», determinar el área del triángulo cuyos vértices son los centros de las bases y el vértices común de los conos.
