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1

GEOMETRÍA: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

MAT II

1. ECUACIÓN DE LA RECTA.

1.1. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Una recta r en el espacio viene determinada por un punto

P

₀ y un vector no nulo

v



llamado vector director de r.

Se llama ecuación vectorial de la recta r a la expresión:

v t OP

OP 0 

Es decir, para cada valor del parámetro t obtenemos un punto P de la recta.

1.2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Si P



x,y,z



es un punto cualquiera de la recta, OP0 



x0,y0,z0



es el vector de posición del punto

P

0,



v

₁

,

v

₂

,

v

₃



v





es un vector director de la recta y tes cualquier número real, la ecuación anterior queda:



x

,

y

,

z

 



x

0

,

y

0

,

z

0

 



t



v

1

,

v

2

,

v

3



igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:





























3 0

2 0

1 0

v

t

z

z

v

t

y

y

v

t

x

x

con tR

1.3. ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

A partir de las ecuaciones paramétricas, despejando t e igualando, obtenemos la ecuación continua:

3 0

2 0

1 0

v

z

z

v

y

y

v

x

x











1.4. ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA

A partir de la ecuación continua, separando las igualdades y agrupando todos los términos en un miembro, obtenemos las ecuaciones implícitas de la recta

      

   

0 ´ ' ' '

0

D z C y B x A

D Cz By Ax

2. ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO

2.1. ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO

Un plano  en el espacio queda determinado por un punto

P

0y dos vectores

u



y

v



no nulos y no paralelos (vectores directores del plano). Se llama ecuación vectorial del plano a la expresión:

v u OP

OP 0 λμ

2 2.2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO

SiP



x,y,z



, OP0 



x0,y0,z0



es el vector de posición de

P

0,

u





u

1

,

u

2

,

u

3





y

v





v

1

,

v

2

,

v

3





son los vectores directores del plano y  y  son dos números reales cualesquiera, la ecuación anterior queda:



x

,

y

,

z

 



x

₀

,

y

₀

,

z

₀





λ





u

₁

,

u

₂

,

u

₃





μ





v

₁

,

v

₂

,

v

₃



Operando e igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas del plano:









































3 3

0

2 2

0

1 1 0

μ

λ

μ

λ

μ

λ

v

u

z

z

v

u

y

y

v

u

x

x

, con  y R

2.3. ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DEL PLANO

Si P es un punto del plano, los vectores

P

₀

P

,

u



,

v



son coplanarios, es decir, son linealmente dependientes, luego

2

)

,

,

(

P

₀

P

u

v



rang





, o lo que es lo mismo,

0

3 3 0

2 2 0

1 1 0

 

 

v u z z

v u y y

v u x x

Desarrollando este determinante obtendremos la ecuación general del plano: 0

  

By Cz D x

A con A, B, C, DR 2.3.1. Vector normal del plano

Dado el planoAxByCzD0 , el vector n(A,B,C)es perpendicular al plano.

En efecto, si P(x1,y1,z1)yQ(x2,y2,z2) son dos puntos del plano, ambos satisfacen su ecuación 0

· ·

·x1By1Cz1D

A A·x2 B·y2C·z2 D0 Restando miembro a miembro las expresiones anteriores

0 ) ,

, )·(

, , ( 0 )

·( ) ·(

)

·(x1x2 B y1y2 C z1z2 D  A B C x1x2 y1y2 z1z2 

A

)

,

,

(

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

z

₁

z

₂

QP







representa a cualquier vector contenido en el plano y es perpendicular al vector )

, ,

(A B C puesto que su producto escalar es 0. Por tanto el vector n(A,B,C) es perpendicular o normal al plano.

2.4. ECUACIÓN SEGMENTARIA DEL PLANO

Si denominamos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados como



a,0,0



,B



0,b,0



yC



0,0,c



,

A

1 :

π   

c z b y a x

es la ecuación segmentaria del plano.

2.5. ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS

Si A,ByC son tres puntos no alineados, determinan un plano. Para escribir la ecuación del plano consideramos

3

3. POSICIONES RELATIVAS

3.1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS.

Sean los planos  y

p

'

, dados por su ecuación general: 0

:    

 Ax By Cz D ':AxByCzD0

Consideramos el sistema formado por ambas ecuaciones:































0

0

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

Sea M la matriz de coeficientes y

M

* la matriz ampliada con los términos independientes.





















C

B

A

C

B

A

M

_





















D

C

B

A

D

C

B

A

M

*

Estudiamos el rango de M y

M

*. Se pueden dar los siguientes casos:

1. Si rg

 

M rg

 

M* 1nºincógnitasS.C.I. El sistema tiene infinitas

soluciones. Hay dos grados de libertad, luego las soluciones dependen de dos parámetros. Por tanto, las infinitas soluciones del sistema son los puntos de un plano, es decir, los planos son coincidentes.

2. Si rg

 

1rg

 

* 2 . .

I S M

M El sistema no tiene solución. Los dos planos

no tienen puntos en común, luego son paralelos.

3. Si rg

 

rg

 

* 2nºincógnitas . . .

I C S M

M El sistema tiene infinitas

soluciones. Hay un grado de libertad. En este caso los planos son secantes y su intersección es una recta.

Esta interpretación geométrica nos permite simplificar la obtención del vector director de la recta definida por sus ecuaciones implícitas: es fácil observar que

v



está contenido en ambos planos, 1 y 2. Por ese

motivo,

v



es perpendicular a los dos vectores normales de dichos planos, n₁ y n₂, lo que nos permite identificarlo con el producto vectorial: v n1 n2

   _{ }

3.2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO

a) Consideramos la recta r, dada por las ecuaciones implícitas, y un plano , dado por su ecuación general:































0

0

:

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

r

0 :         Ax B y C z D

Consideramos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano.

Sean M la matriz de coeficientes y

M

* la matriz ampliada con los términos independientes.



































C

B

A

C

B

A

C

B

A

M





































D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

M

*

'

4 1. Si rg

 

rg

 

* 2 . . .

I C S M

M El sistema tiene infinitas soluciones. La

recta está contenida en el plano.

2. Si rg

 

2rg

 

* 3 . .

I S M

M El sistema no tiene solución. La

recta y el plano no se cortan, por tanto son paralelos.

3. Si rg

 

M rg

 

M* 3S.C.D. El sistema tiene una única solución. La

recta y el plano son secantes y se cortan en un punto.

b) Si la recta no viene dada en su forma implícita, debemos realizar el estudio analizando su vector director y punto por el que pasa y el vector normal del plano.

















_{1 2 3} 3 2 1

,

,

,

,

:

u

u

u

u

a

a

a

A

r





:

Ax



By



Cz



D



0

)

,

,

(

A

B

C

n





 _Si

u



·

n





0

, los vectoresu y n _{no son perpendiculares}recta y plano secantes

 _Si

u



·

n





0



u





v



- Si

A





 la recta está contenida en el plano - Si

A





 la recta y el plano son paralelos.

3.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio a partir de sus ecuaciones implícitas:































0

0

:

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

r







































0

0

:

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

s

Consideramos el sistema formado por las cuatro ecuaciones:

Sean M la matriz de coeficientes y M* la matriz ampliada con los términos independientes.

   

 

   

 

  

  

   

C B A

C B A

C B A

C B A

M

   

 

   

 

   

   

    

D C B A

D C B A

D C B A

D C B A

M*

Estudiamos el rango de M y *

M . Se pueden dar los siguientes casos:

- Si rg

 

M rg

 

M* 2S.C.I. El sistema tiene infinitas soluciones, lo que implica que las dos rectas tienen infinitos puntos en común luego las rectas son coincidentes.

5 - Si rg

 

M rg

 

M* 3S.C.D.El sistema tiene una única solución. Las dos

rectas son secantes y su intersección es un punto.

- Si rg

 

M 3rg

 

M* 4S.I.El sistema no tiene solución. Las dos rectas se cruzan.

b) Si las rectas no vienen dadas en su forma implícita, debemos realizar el estudio analizando sus vectores directores y puntos por los que pasan.

















_{1 2 3} 3 2 1

,

,

,

,

:

u

u

u

u

p

p

p

P

r





_



_









_{1 2 3} 3 2 1

,

,

,

,

:

v

v

v

v

q

q

q

Q

s



Las situaciones antes estudiadas se determinan del siguiente modo:

 Si

u



//

v



, es decir son proporcionales rectas r y s son coincidentes o paralelas: Consideramos los vectores u, v y PQ

- Si u, v y PQ _{son proporcionales, es decir,} rang



u ,v ,PQ



1 las rectas son coincidentes. - Si u, v y PQ _{no son proporcionales, es decir,} rang



u ,v ,PQ



2 las rectas son paralelas.

 Si

u



_y

v



no son proporcionales, las rectas r y s son secantes o se cruzan