TE Tema6 Consumidor 11

(1)

Tema 6

Teoría del consumidor

2 2

Preferencias

•• La TeLa Teoríoría del Ca del Consonsumiumidor pdor partarte dele del supuesto de que los individuos tienen supuesto de que los individuos tienen

preferencias

preferencias(gustos) sobre los bienes(gustos) sobre los bienes •• ProProbleblema: lma: las pras prefeeferenrenciacias no sos no sonn

observables. No obstante, podemos inferir observables. No obstante, podemos inferir los gustos a partir de lo que

los gustos a partir de lo que los individuoslos individuos eligen

eligen

•• Si elSi eligeiges A cuas A cuando B tndo B tambambién eién era posra posiblible,e, debe ser que te gusta más A

debe ser que te gusta más A que Bque B

3 3

Preferencias

•• LLllaammaammooss X X al conjunto de alternativas.al conjunto de alternativas. Elemento de

Elemento de X X sonson x x ,,y y ,..,..

•• Una Una relrelaciación dón de pre prefeeferenrenciacia R R es unaes una relación binaria en

relación binaria en X X

•• LLeeeemmoos s ““xRy xRy ”” ccoommo o ““x x es al menos tanes al menos tan preferido como

preferido como y y ”” (“débi(“débilmentlmente e prefepreferida”)rida”) •• A pA paarrttiir dr dee R R podemos obtener otras dospodemos obtener otras dos

relaciones binarias relaciones binarias 4 4

Preferencias

•• DDececimimos os ququee xPy xPy (“(“x x es estrictamentees estrictamente mejor que

mejor que y y ”) cuando”) cuando xRy xRy pero no espero no es cierto que

cierto que yRx yRx

•• DDececimimos os ququee xIy xIy (“(“x x es indiferente cones indiferente con y y ”)”) cuando

cuando xRy xRy y tambiény también yRx yRx

•• VaVamomos a es a exixigigir qur quee R R seasea racionalracional. Esto. Esto requiere que sea

(2)

5 5

Preferencias

•• DDececimimos os ququee R R eses completacompletasi, para todosi, para todo x,y

x,y

∈

X X , o bien, o bien xRy xRy o bieno bien yRx yRx o bieno bien ambos

ambos

•• DDececimimos os ququee R R eses transitivatransitivasi para todosi para todo x,y,z

x,y,z

∈

X X :: xRy xRy ee yRz yRz implicaimplica xRz xRz

•• EEjj. . 11:: xRy xRy sisi x x pesa al menos tanto comopesa al menos tanto como y y •• EEjj. . 22:: xRy xRy sisi x x pesa y mide al menos tantopesa y mide al menos tanto

como como y y

6 6

Utilidad

•• UUna na ffununccióiónn u u :: XX

→

R R es una función dees una función de utilidad que representa

utilidad que representa R R si, parasi, para cualquier

cualquier x,yx,y

∈

X X :: xRy

xRy

⇔

u u ((x x ))

≥≥

u u ((y y ))

•• EEjjeemmpplloo:: X X = {= {x,y,z x,y,z } y} y xRy xRy ,, yRz yRz ,, xRz xRz Podemos escribir

Podemos escribir u u ((x x )=9,)=9, u u ((y y )=4,)=4, u u ((z z )=1)=1 •• SSii u u ((x x ) representa) representa R R yy f f :: R R

→

R R es unaes una

transformación monótona creciente,

transformación monótona creciente, v v ((x x ) =) = f(u(x

f(u(x )) también representa)) también representa R R

7 7

Utilidad

•• La La utiutilidlidad ad es es una una medmedidaidaordinalordinal, no, no cardinal

cardinal

•• Un pUn probroblemlema cla clásiásico eco es el s el de lade la

representación

representaciónde las preferenciasde las preferencias

•• Es dEs decir, ecir, ¿cuá¿cuándo ndo se pse pueden ueden reprerepresentasentarr unas preferencias

unas preferencias R R mediante una funciónmediante una función de utilidad?

de utilidad?

•• QQuuee R R sea racional es una condiciónsea racional es una condición necesaria necesaria 8 8

Utilidad

•• Es taEs tambimbién suén suficficieniente sóte sólo culo cuandandoo X X eses finito o contable (numerable)

finito o contable (numerable)

•• EjeEjemplmplo (clo (clásiásico)co): sup: supongongamoamoss xRy xRy si osi o bien

bien x x ₁₁>> y y ₁₁, o bien, o bien x x ₁₁== y y ₁₁yy x x ₂₂>> y y ₂₂ •• DDececimimos os ququee R R es continua enes continua en X X si parasi para

todo

todo x x enen X X , los conjuntos de contorno, los conjuntos de contorno superior e inferior de

superior e inferior de x x son cerradosson cerrados •• El coEl conjunjunto dnto de cone contortorno suno superperior dior dee x x eses

(3)

5 5

Preferencias

•• DDececimimos os ququee R R eses completacompletasi, para todosi, para todo x,y

x,y

∈

X X , o bien, o bien xRy xRy o bieno bien yRx yRx o bieno bien ambos

ambos

•• DDececimimos os ququee R R eses transitivatransitivasi para todosi para todo x,y,z

x,y,z

∈

X X :: xRy xRy ee yRz yRz implicaimplica xRz xRz

•• EEjj. . 11:: xRy xRy sisi x x pesa al menos tanto comopesa al menos tanto como y y •• EEjj. . 22:: xRy xRy sisi x x pesa y mide al menos tantopesa y mide al menos tanto

como como y y

6 6

Utilidad

•• UUna na ffununccióiónn u u :: XX

→

R R es una función dees una función de utilidad que representa

utilidad que representa R R si, parasi, para cualquier

cualquier x,yx,y

∈

X X :: xRy

xRy

⇔

u u ((x x ))

≥≥

u u ((y y ))

•• EEjjeemmpplloo:: X X = {= {x,y,z x,y,z } y} y xRy xRy ,, yRz yRz ,, xRz xRz Podemos escribir

Podemos escribir u u ((x x )=9,)=9, u u ((y y )=4,)=4, u u ((z z )=1)=1 •• SSii u u ((x x ) representa) representa R R yy f f :: R R

→

R R es unaes una

transformación monótona creciente,

transformación monótona creciente, v v ((x x ) =) = f(u(x

f(u(x )) también representa)) también representa R R

7 7

Utilidad

•• La La utiutilidlidad ad es es una una medmedidaidaordinalordinal, no, no cardinal

cardinal

•• Un pUn probroblemlema cla clásiásico eco es el s el de lade la

representación

representaciónde las preferenciasde las preferencias

•• Es dEs decir, ecir, ¿cuá¿cuándo ndo se pse pueden ueden reprerepresentasentarr unas preferencias

unas preferencias R R mediante una funciónmediante una función de utilidad?

de utilidad?

•• QQuuee R R sea racional es una condiciónsea racional es una condición necesaria necesaria 8 8

Utilidad

•• Es taEs tambimbién suén suficficieniente sóte sólo culo cuandandoo X X eses finito o contable (numerable)

finito o contable (numerable)

•• EjeEjemplmplo (clo (clásiásico)co): sup: supongongamoamoss xRy xRy si osi o bien

bien x x ₁₁>> y y ₁₁, o bien, o bien x x ₁₁== y y ₁₁yy x x ₂₂>> y y ₂₂ •• DDececimimos os ququee R R es continua enes continua en X X si parasi para

todo

todo x x enen X X , los conjuntos de contorno, los conjuntos de contorno superior e inferior de

superior e inferior de x x son cerradosson cerrados •• El coEl conjunjunto dnto de cone contortorno suno superperior dior dee x x eses

(4)

9 9

Representación

•• Si uSi una rna relaelacióción de n de prepreferferencenciasias R R enen X

X

⊆

R R nn +

+ es completa, transitiva y continuaes completa, transitiva y continua

entonces es representable mediante una entonces es representable mediante una función de utilidad continua

función de utilidad continua

•• En geEn generneral noal nos cens centratraremremos en eos en el casl caso deo de 2 bienes

2 bienes

•• PodPodemoemos pens pensar qsar que unue uno de elo de ellos elos es uns un “bien compuesto” “bien compuesto” 10 10

Conjunto presupuestario

•• SupSupongongamoamos que el cos que el consunsumidmidor tieor tiene unane una cantidad fija de dinero para gastar

cantidad fija de dinero para gastar M M •• HaHay dy dos os bibieneneses,, X X ee Y Y , cuyos precios son, cuyos precios son

p p _X_Xyy p p _Y_Y

•• Las cLas cestestas que pas que pueduede come compraprar cumr cumpleplen:n: p

p _X_Xx x ++ p p _Y_Yy y

≤

M M

•• SuSupoponenemomos ads adememás qás queue x x

≥

0 e0 e y y

≥

00

11 11

Conjunto presupuestario

X X p p M M x x y y Y Y p p M M Recta presupuestaria Recta presupuestaria Conjunto

Conjunto presupuestaripresupuestarioo

M

y

p

x

p

_X_X

++

_Y_Y

≤≤

12 12

Conjunto presupuestario

•• La peLa pendienndiente de te de la rela recta cta presupresupuestpuestaria earia ess --p p _X_X / / p p _Y_Y

•• IndIndica a ica a cuácuánto nto de un bde un bien dien debeebemosmos renunciar si queremos más del otro renunciar si queremos más del otro •• PoPor er ejejempmplolo, s, sii p p _X_X= = 33 yy p p _Y_Y= 1, si= 1, si

queremos una unidad más de

queremos una unidad más de X X debemosdebemos renunciar a 3 unidades de

(5)

13 13

Aumento de un precio

x x y y Y Y p p M M X X p p M M 14 14

Aumento de un precio

x x y y Y Y p p M M La recta presupuestaria La recta presupuestaria pivota hacia dentro pivota hacia dentro

X X p p M M 15 15

Aumento de la renta

x x y y Y Y p p M M X X p p M M 16 16

Aumento de la renta

x x y y Y Y p p M M La recta presupuestaria La recta presupuestaria se desplaza hacia fuera se desplaza hacia fuera (la pendiente no cambia) (la pendiente no cambia)

X X p p M M

(6)

17

Conjunto presupuestario

• Si los dos precios aumentan en la misma proporción es lo mismo que si la renta M disminuye

• De hecho uno de los 3 parámetros (p _X, p _Y y M ) es redundante

• Podemos hacer p _X= 1. Entonces el bien X es elbien numerario

• El tiempo también es una restricción

18

Oferta de trabajo

• Cuando estudiamos la oferta de trabajo el tiempo es crucial

• Ofrecer trabajo significa que ese tiempo no lo podremos usar para consumir bienes • Lo que hacemos es comprar ocio

renunciando a trabajar. Es decir, el precio del ocio es el salario que dejamos de ganar por no trabajar

19

Curvas de indiferencia

• Las curvas de nivel de la función de utilidad son las curvas de indiferencia • Cada CI representa combinaciones de

cestas entre las que el consumidor está indiferente

• En general, curvas más alejadas del origen representan cestas mejores

• Si u(X,Y) = XY, las cestas (10,10), (20,5) y (5,20) están en la misma CI 20

Curvas de indiferencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y

(7)

21

Relación marginal de sustitución

• La pendiente de una curva de indiferencia

tiene la interpretación de la tasa a la que el consumidor está dispuesto a

intercambiar un bien por otro

• Lo llamamosRelación Marginal de Sustitución(RMS)

• Nos dice la cantidad de Y que está dispuesto a perder por una unidad adicional de X

22

Relación marginal de sustitución

• Para obtener la RMS partimos de la

ecuación de una CI de utilidad u ₀: u (x , y ) = u ₀

• Diferenciando, y u x u dx dy dy y u dx x u u u

∂

−

=

⇒

=

∂

+

∂

= ₀ 0 23

RMS, ejemplo

• Si u(X,Y) = XY, la RMS es –Y/X • Calculamos la RMS en tres cestas

diferentes:

– RMS(5,20) = -4 – RMS(10,10) = -1 – RMS(20,5) = -1/4

• La tasa a la que está dispuesto a cambiar X por Y depende de las cantidades que tiene de X e Y

24

Preferencias convexas

• Las preferencias son convexas si el

conjunto de contorno superior es convexo. Esto implica que se prefieren las medias a los extremos

• Supongamos que u (x ₁,y ₁) = u (x ₂,y ₂). Cualquier punto en la línea que conecta (x ₁,y ₁) y (x ₂,y ₂) es al menos tan bueno como los extremos

(8)

25

Preferencias convexas

0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 26

Preferencias convexas

0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 27

Maximización de la utilidad

• Max _{x ,y }u (x ,y ) s.a. • Max M y p x p_X

+

_Y

≤













₋

Y X

p

x

p

M

x

u ,

y

u

p

x

u

p

x

p

M

x

u

dx

d

Y X Y X

∂

−

∂

=













₋

=

,

0

28

Condición de primer orden

y u p p x u p x p M x u dx d Y X Y X

∂

−

∂

=













₋

=

, 0 RMS dx dy y u x u p p u u Y X

=

−

=

∂

=

= 0

Pendiente recta presupuestaria = pendiente de la CI

(9)

29

Condición de primer orden

• Supongamos que p _X / p _Y= 3, pero tenemos una cesta en la que la RMS es 4

• No es la cesta óptima. Por 1 unidad más de X estamos dispuestos a ceder 4 de Y • Pero sólo tenemos que dar 3!!

30

Ilustración gráfica

x y X p M Y p M 31

Condición de segundo orden

• Para más adelante: • Concavidad respecto de X 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( , ) ( 0 y u p p y x u p p x u p x p M x u dx d Y X Y X Y X ∂ ∂       + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ =       − ≥ 32

Notación

• Este es el gradiente, la dirección de máximo crecimiento de u

• La CPO implica que el gradiente es perpendicular a la recta presupuestaria













∂

=

y u x u u u , ) , ( ₁ ₂

(10)

33

Problemas

• Cuando la utilidad no es diferenciable. Por ejemplo, u (x , y ) = min{x , y }

• Cuando la condición de tangencia no es suficiente. Por ejemplo, con preferencias que no son convexas (solución esquina) • También puede ocurrir que el óptimo esté

en una esquina

34

Ejemplo Cobb-Douglas

• La proporción de gasto en cada bien es constante (

α

y 1-

α

, respectivamente)

(

x

,

y

)

=

x

α

y

1

−

α

u

. ) 1 ( 0 x y y u x u dx dy p p u u Y X α α

−

=

∂

=

−

=

= Y X p M y p M x = α , = (1−α ) 35

Complementos perfectos

• Si dos bienes son complementos

perfectos se consumen en proporciones fijas

• La utilidad es u(x , y ) = min{x , β y }

• El consumidor comprará de forma que x = β y . Si x > β y , la cantidad extra de x no le

añade utilidad

• Podemos definir un “bien compuesto”

36

Complementos perfectos

• Consiste en comprar la cantidad y de Y y la cantidad β y de X

• El precio de este bien es β p _X+p _Yy la utilidad es u = M /( β p _X+p _Y)

• Los complementos perfectos se pueden ver como un único bien

(11)

37

Punto de saciedad

• Si los dos únicos bienes son pizza y cerveza, es muy probable que exista un punto de saciedad

• Algo así como una combinación óptima, por encima de la cual ya no queremos consumir más

• También es razonable cuando hablamos de cuestiones políticas 38

Punto de saciedad

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y u=100 u=50 u=40 u=30 u=20 u=10 u=120 39

Efecto sustitución

• Supongamos que el precio de un bien sube. ¿Compraremos menos de él? • No necesariamente

• Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el coste del ocio aumenta

• Si el individuo se siente más rico, puede elegir trabajar menos y tener más ocio • También puede ocurrir con bienes de

subsistencia

40

Efecto sustitución

• La cantidad de Y puede aumentar cuando el precio de Y aumenta

x y

(12)

41

Sustitución

• Un aumento de un precio implica una reducción del poder de compra (M tiene ahora menos poder adquisitivo) más un cambio en el precio relativo

• Los efectos sustitución y renta separan estos dos efectos

• El ES aísla el efecto del cambio en el precio relativo, cambiando la renta de forma que el consumidor se mantenga en la misma curva de indiferencia

42

Efecto Sustitución

x y Elección inicial 43

Aumenta el precio de Y

x y Elección inicial pY ↑ Ahora no puede alcanzar la misma CI que en la elección inicial. Para ello necesitaría más renta

44

ES mantiene la utilidad constante

x y Elección inicial pY ↑ Demanda compensada

(13)

45

Efecto sustitución (ejemplo)

• La función de utilidad es u(x , y ) = xy • Precios p _X= 2, p _Y= 5. Renta M = 100 • El consumidor elige la cesta (25, 10) en la

que obtiene una utilidad de 250

• El precio de Y sube a p’ _Y= 6. Ya no puede comprar la misma cesta (vemos que

2×25+6×10 = 110 > 100

• ¿Cuánto debería aumentar la renta para que alcanzase la utilidad 250?

46

Efecto sustitución (ejemplo)

• La nueva renta la llamamos m’

• Sabemos que elegirá x = m’ /4, y = m’ /12 • Por tanto, obtendrá una utilidad igual a

(m’ )2_/48

• Igualando a 250, obtenemos m’ = 109.54 • Por lo tanto, la renta debe aumentar en

m’ -m = 9.54

• Esta es la “compensación”

47

Efecto sustitución

• El ES de un aumento en el precio de Y siempre disminuye el consumo de Y y aumenta el de X

• Todas las cestas del conjunto

presupuestario en las que la cantidad de Y es mayor que en la elección inicial le dan una utilidad menor

48

Efecto renta

• Para niveles bajos de renta la mayoría de los bienes sonnormales

• Cuando la renta es suficientemente alta, la mayor parte de los bienes se convierten eninferiores

• La curva que representa el conjunto de las cestas óptimas para diferentes niveles de renta es la curva de Engel

(14)

49

Efecto renta

• Bienes normales x y 50

X inferior, Y normal

x y 51

Gasto en comida (USA)

Año Gasto en comida (%) 1935-39 35.4 1952 32.2 1963 25.2 1992 19.6 2000 16.3 52

Ejemplo: Cobb-Douglas

• En el caso Cobb-Douglas, las cestas óptimas son x = α M / p _X, y = (1-α )M/p _Y • Por tanto, la curva de Engel es una recta

con pendiente (1-α )p _X / α p _Y

• En general, se dice que un individuo tiene preferenciashomotéticas, si la curva de Engel es una línea recta

(15)

53

Efecto renta

• Hemos visto que el ES nos permite descomponer el efecto de un cambio en un precio en un ES y un ER

• En la figura siguiente vemos cuál es el ER

54

Descomposición en ES y ER

x y 55

Descomposición en ES y ER

x y Efecto sustitución 56

Descomposición en ES y ER

x y Efecto renta Efecto sustitución

(16)

57

Descomposición en ES y ER

x y Efecto renta Efecto sustitución ES ER ET 58

Soluciones esquina

• En ocasiones el óptimo puede estar en una de las esquinas del conjunto

presupuestario

• Por ejemplo, si en el óptimo x* = 0, se cumple que |RMS| < p _X / p _Y

• El consumidor querría reducir el consumo de x , pero no puede (ya es 0)

59

Ejemplo: preferencias

cuasilineales

• Si la función de utilidad tiene la forma u (x ,y ) = v (x )+α y , con v () cóncava, decimos que el individuo tiene preferencias cuasi-lineales

• Las curvas de indiferencia son paralelas (no necesariamente rectas) entre sí

• Por ejemplo, estudiamos el caso en el que u (x ,y ) = ln(x )+ α y

60

Preferencias cuasilineales

• Usamos la restricción presupuestaria

para eliminar y • Tenemos:

• La condición de primer orden es:













₋

+

Y X p x p m x

)

α

ln(

) 0 * 0 ( 0 * 1

>

=

≤

−

six p p x _Y X α

(17)

61

Preferencias cuasilineales

• El óptimo interior es:

x* = p _Y / α p _X; y* = (M / p _Y)-(1/ α )

• Para que el óptimo sea interior se debe cumplir que M > p _Y / α

• Si, por el contrario, M < p _Y / α , el óptimo es: x* = M / p _X; y* = 0

• Cuando M es pequeña, sólo consume X . A partir de cierto valor (p _Y / α ), consume de ambos (pero su consumo de X es fijo)

62

Oferta de trabajo

• Trabajar más horas permite consumir más bienes, pero reduce el tiempo de ocio • Llamamos x al consumo, L es el tiempo de

ocio, T-L el tiempo de trabajo y M la renta no laboral

• La restricción es px = M +w (T -L), donde p es el precio del consumo y w el salario • O también px +wL = M +wT 63

Restricción presupuestaria

T L x M/p M/p+wT/p 64

Restricción presupuestaria

T L x M/p M/p+wT/p La pendiente es –w/p La pendiente es –w/p

(18)

65

Oferta de trabajo

• La utilidad del individuo es u (x , L). Sustituyendo x podemos escribir:

• La condición de primer orden es:

• Las derivadas parciales se evalúan en el óptimo       ₊ ₋ = ≤ ≤ _p L L T w M u L h Max T L , ) ( ) ( 0 2 1 *) ( 0 u p w u L h _+      − = ′ = 66

Oferta de trabajo

• Estudiamos el efecto en L* de un aumento del salario

• Diferenciando la CPO, obtenemos:

• El signo depende del numerador (den < 0)

22 12 2 11 12 11 1 2 u p w u p w u p L T u p L T u p w p u w L +       −       − − − + = ∂ ∂ ) ( * 67

Oferta de trabajo

• En concreto,

∂

L*/

∂

w > 0, si y sólo si:

• Simplificando esta expresión:

0 12 11 1

+

−

<

p L T u p L T u p w p u ( ) 1 1 12 11

>

+

     

−

u u u p w L T ) ( 68

Oferta de trabajo

• Dado que: • Y que:

• Podemos escribir la condición:

1 12 11 1 u u u p w L u Log ₌ − + ∂ ∂ ( ) L T L L T Log − = ∂ − ∂ − ( ) 1

(19)

69

Oferta de trabajo

• O simplemente:

• En total, la condición queda: L L T Log L T L u Log

∂

−

∂

−

=

−

>

∂

( ₁) 1 ( ) 0 1

>

∂

−

∂

+

∂

L L T Log L u Log ( ) ( ) 0 1

>

∂

−

∂

L L T u Log ( ( )) 70

Oferta de trabajo

• En palabras, la condición dice que u ₁(T -L) debe ser creciente con L

• La cantidad óptima de ocio aumenta (y por lo tanto la cantidad de trabajo se reduce) cuando sube el salario si la utilidad

marginal del consumo, multiplicada por las horas trabajadas, es creciente con L

• Si el consumo y el ocio son sustitutos, esto no puede ocurrir

71

Oferta de trabajo

• La razón es que, si son sustitutos, un aumento de L reduce la utilidad marginal del consumo

• Por tanto, si el consumo y el ocio son sustitutos, un aumento del salario reducirá la cantidad de ocio y aumentará la oferta de trabajo

• ¿Y si son complementarios?

72

Oferta de trabajo

• Supongamos que u (x , L) = Min{x , L} • En este caso vemos que:

L* = (M +wT )/(p +w )

• Por tanto, el ocio crece con el salario siempre que pT > M (si M es pequeño) • En el caso Cobb-Douglas, u (x , L) = x αL1- α

• Vemos que:

(20)

73

Oferta de trabajo

• Es una función decreciente del salario • La cantidad óptima de trabajo es:

T -L = Max{0,

α

T -(1-

α

)(M / w )}

• Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral M es suficientemente pequeña

• En concreto, si M > (

α

/ (1-

α

))(Tw ), prefiere no trabajar en absoluto

74

Horas anuales trabajadas

0 500 1000 1500 2000 2500 1 9 7 1 1 9 7 3 1 9 7 5 1 9 7 7 1 9 7 9 1 9 8 1 1 9 8 3 1 9 8 5 1 9 8 7 1 9 8 9 1 9 9 1 1 9 9 3 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9 2 0 0 1 2 0 0 3 2 0 0 5 2 0 0 7 2 0 0 9 Franc e Germany S pain

75

Diferencias compensatorias

• Las diferencias compensatorias se refieren a las diferencias salariales debidas a ciertas características de los empleos

• Los trabajos difieren en muchos aspectos: duración de la jornada, riesgos físicos, el entorno del trabajo, etc.

• La teoría de las DC parte de la premisa de que no hay nada gratis (“no free lunch”)

76

Diferencias compensatorias

• En un equilibrio de mercado, los trabajos más desagradables deben ofrecer una prima salarial en relación a otros trabajos • Supongamos que la utilidad de un

trabajador depende del salario w y de cierta característica del empleo, por ejemplo la seguridad en su trabajo s • Imaginemos que hay 2 trabajos A y B, con

(21)

77

Diferencias compensatorias

• En el equilibrio, se debe cumplir: u (w _A, s _A) = u (w _B, s _B) • ¿Por qué?

• ¿Qué ocurriría si no es así? • Si s _A > s _B, entonces w _A< w _B

78

Diferencias compensatorias

• Los salarios astronómicos que ganan algunos deportistas no se deben a DC • Son pagos que reflejan la rareza del

talento

• Los mismo ocurre con los artistas. El precio de los cuadros de Picasso refleja la escasez de los mismos respecto a la demanda

79

Precio de la vivienda

• Los precios de la vivienda reflejan las valoraciones de diferentes aspectos • Para mucha gente es mejor vivir en el

centro, cerca de su trabajo, que en las afueras. Vemos un modelo

• El bien cuya oferta está limitada en la ciudad no es la vivienda, sino el suelo • Los costes de construcción son muy

similares en diferentes ciudades

80

Precio de la vivienda

• La diferencia está en el precio del suelo • Es decir, la diferencia de precio entre el centro de Madrid y las afueras se debe a la diferencia en los precios del suelo • Imaginemos una ciudad plana en la que

todos trabajan en (0,0), el centro

• Los costes de llegar al centro, en tiempo, son c (t ), donde t = λ r y r es la distancia al centro (λ es

(22)

81

Precio de la vivienda

• Si una persona paga por su vivienda un precio p (r ) a la distancia r , en total pagará por la combinación de vivienda y

transporte:

c (λ r )+p (r )

• Todos tratarán de buscar la alternativa menos costosa

• Si todos tienen idénticas preferencias, los precios de las casas dependerán de r

82

Precio de la vivienda

• Estarán determinados por la ecuación: c (λ r )+p (r ) = constante

• Los individuos estarán indiferentes

respecto a la distancia: un menor tiempo de llegar al centro se compensa exacta-mente con un mayor precio

• Vemos cuál es la constante. La población total es N y cada individuo ocupa un área unitaria

83

Precio de la vivienda

• El tamaño de la ciudad r _maxdebe cumplir N =

π

(r _max)2

• Por lo tanto:

• En los límites de la ciudad, el precio de la tierra viene dado por otro uso diferente de la construcción, por ejemplo por la

agricultura

• Supongamos que ese precio es v por el tamaño de una vivienda

π N r _max=

84

Precio de la vivienda

• Por lo tanto, en el límite de la ciudad se debe cumplir que p (r _max) = v

• Con esto obtenemos todos los precios:

• De ahí obtenemos: v N c v r c r p r c r p r c +         = + = = + = + π λ λ λ λ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( max max max ) ( ) (r c N v c r p λ π λ _+ −       =

(23)

85

Precio de la vivienda

• Los precios son mayores cuanto más cerca del centro

• El precio más caro es p(0). El más barato es p(r _max)

• También aumentan con N y con v

• En equilibrio no hay “chollos”. Los precios reflejan las características del bien que interesan a los consumidores (la distancia al centro)

86

Precio de la vivienda

87

Elección intertemporal

• El consumo tiene lugar en diferentes momentos de tiempo

• Llamamos x ₁al consumo en el periodo 1 y x ₂al consumo en el periodo 2

• Podemos pensar en 2 años o en dos periodos más largos, como vida laboral y retiro

• El valor del consumo es: u (x ₁, x ₂) = v (x ₁) +

δ

v (x ₂)

88

RMS intertemporal

• El parámetro

δ

es la tasa individual de descuento

• La RMS entre x ₁y x ₂nos dice a qué tasa está dispuesto el consumidor a cambiar consumo entre periodos

• En particular:

( )

₂ 1) ( x v x v RMS

′

−

=

δ

(24)

89

RMS intertemporal

• La RMS nos dice a cuántas unidades de consumo futuro está dispuesto a renunciar por una unidad más de consumo hoy

• Por ejemplo, si x ₁= x ₂ la RMS es -1/

δ

• Si

δ

= 0.5, quiere decir que está dispuesto

a renunciar a 2 unidades de consumo mañana por una unidad más hoy • Normalmente,

δ

< 1

90

Restricción intertemporal

• El consumidor espera ganar M ₁ en el primer periodo y M ₂ en el segundo • La restricción presupuestaria es:

(1+r )(M ₁-x ₁) = x ₂ - M ₂

• El término (M 1-x 1) representa lo que

ahorra el primer periodo

• Aquí r es el tipo de interés. También: (1+r )x ₁+ x ₂ = (1+r )M ₁+ M ₂

91

Restricción intertemporal

• Esta restricción se llama restricción presupuestaria intertemporal

• Vemos que el precio del consumo en el periodo 2 en términos del consumo en el periodo 1 es (1+r )

• La renta relevante es la “renta

permanente”, no la renta de cada periodo • La renta permanente es (1+r )M ₁+ M ₂ 92

Restricción intertemporal

x 1 x2 (M 1,M 2) M 2+ (1+r )M 1 M 1+ M 2 /(1+r )

(25)

93

Restricción intertemporal

x 1 x2 (M 1,M 2) M 2+ (1+r )M 1 M 1+ M 2 /(1+r ) La pendiente de la RP es –(1+r ) 94

Restricción intertemporal

x 1 x2 (M 1,M 2) Ahorra Pide prestado (desahorra) 95

Elección intertemporal

• La CPO en el óptimo interior es:

• El parámetro

δ

mide lo que el consumidor valora el futuro

• El término 1/(1+r ) indica lo que el mercado valora el futuro

• Si

δ

< 1/(1+r ), valora el consumo en el

periodo 1 más de lo que lo hace el mercado

( )

(1 ) ) ( 2 1 _r x v x v

+

=

′

δ 96

Elección intertemporal

• Entonces, v’ (x ₁) < v’ (x ₂) por lo que x ₁> x ₂ • Decimos que el consumidor es más

“impaciente” que el mercado

• Si

δ

(1+r ) = 1, consume lo mismo en los dos periodos

• Si

δ

(1+r ) > 1, es que valora el consumo en el periodo 1 menos que el mercado, por lo que querrá consumir más en el periodo 2

(26)

97

Elección intertemporal

• El que un individuo sea ahorrador o pida prestado no depende sólo de sus

preferencias, también depende de sus ingresos

• Por ejemplo, si sus ingresos son mucho mayores en el segundo periodo es posible que su ahorro en el periodo 1 sea

negativo 98

Optimización intertemporal

x 1 x2 (M 1,M 2) En el periodo 1 pide prestado Devolución del préstamo 99

Aumento del tipo de interés

• Si el tipo de interés aumenta, la recta pivota alrededor del punto (M ₁, M ₂) • La razón es que ese punto siempre es

factible

• El efecto dependerá de si el individuo es un prestamista o un prestatario

• En la figura vemos un prestatario que decide pedir prestado menos dinero

100

Aumento del tipo de interés

x ₁ x2

(27)

101

Aumento del tipo de interés

• No está claro el efecto en el consumo del periodo 2

• Por un lado tiene menos renta, pero por otro lado el precio relativo del consumo en el periodo 2 ha bajado

• Un aumento del tipo de interés es positivo para los prestamistas netos. Consumirá más en el periodo 2. ¿Y en el periodo 1?

102

Aumento del tipo de interés

La renta del prestamista aumenta

(M 1,M 2)

x 1 x2

103

Diferentes tipos de interés

x 1 x2 (M 1,M 2) La pendiente es -(1+r 2) Aquí es -(1+r ₁) 104

Efecto de un aumento

transitorio de la renta

• Ahora un aumento transitorio de la renta puede tener un efecto importante en el consumo

• Esto explica por qué los individuos no ahorran mucho cuando reciben una cantidad inesperada de dinero, o por qué sufren una gran pérdida puntual en lugar de una pérdida pequeño durante un periodo largo, cuando les surgen gastos inesperados

(28)

105

Propensión a consumir del 100%

x 1 x2 (M 1,M 2)

Decisión con

incertidumbre

107

Estadística básica

• Sea x una variable aleatoria que toma los valores x ₁, x ₂,.., x _ncon probabilidades p ₁, p ₂,.., p _n

• Si las alternativas son exhaustivas y mutuamente excluyentes:

p ₁+p ₂+..+p _n= 1

• Definimos la mediade x (o el valor esperado) como:

E (x ) = p ₁x ₁+p ₂x ₂+…+p _nx _n

108

Estadística básica

• La media nos da información sobre el valor central de la variable aleatoria

• Lavarianza de x nos mide la dispersión de la variable alrededor de la media:

Var (x ) = p ₁(x ₁-E (x ))2_+…+p

n(x n-E (x ))2

• En la práctica se usa más la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza

(29)

109

Decisión con incertidumbre

• Ahora los individuos deben elegir entre diferentes alternativas con incertidumbre (“loterías”)

• Ejemplo de lotería: lanzamos una mone-da al aire. Si sale cara ganas 100 euros. Si sale cruz no ganas nada

• Cada lotería es una distribución de proba-bilidad sobre cantidades de dinero

110

Decisión con incertidumbre

• En ausencia de incertidumbre todos preferimos más dinero

• Si x representa cantidades de dinero, cualquiera de las funciones siguientes es equivalente en términos de cómo ordenan nuestras preferencias:

– U (x ) = a +bx , con b > 0 – U (x ) = Exp(x )

– U (x ) = x 3

111

Decisión con incertidumbre

• No obstante, nosotros queremos algo más • Queremos ordenar también las loterías • Por ejemplo, considera las siguientes

loterías:

– L1: Con ½ ganas 100 euros, con ½ ganas 0 – L2: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30 • Von Neumann y Morgestern propusieron

una forma de ordenar estas loterías

112

Decisión con incertidumbre

• En concreto, prueban que bajo ciertas condiciones existe una forma de asignar números a cada posible resultado de forma que podemos comparar las loterías, comparando la “utilidad esperada”

• Esto es, a partir de U (100) = U ₁₀₀, U (70) = U ₇₀, U (30) = U ₃₀, U (0) = U ₀, la utilidad de L1 es ½U ₁₀₀+ ½U ₀y la utilidad de L2 es ½U ₇₀ + ½ U ₃₀

(30)

113

Decisión con incertidumbre

• Es decir, bajo ciertas condiciones, existe una función de utilidad sobre las cantida-des de dinero que podemos usar tanto para comparar cantidades de dinero (esta parte es trivial) como loterías sobre canti-dades de dinero (esto ya no lo es)

• Este procedimiento es muy útil

114

Decisión con incertidumbre

• En general, supongamos que los posibles resultados son x ₁, x ₂, .., x _ny sus

probabilidades respectivas son p ₁, p ₂, .., p _n

• La utilidad (esperada) es:

{

}

∑

=

+

=

n i i i n n x U p x U p x U p x U p x U E 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 115

Decisión con incertidumbre

• Volviendo a las loterías L1 y L2, ¿cuál prefieres?

• Tu preferencia dice algo sobre tu función de utilidad esperada

• Obviamente, U’ (x ) > 0, ¿no?

• Supongamos además que es lineal, es decir, U (x ) = a+bx , con b > 0

• Entonces U (0) = a, U (30) = a+ 30b, U (70) = a+ 70b y U (100) = a+ 100b

116

Decisión con incertidumbre

• Entonces resulta que:

½U (30)+½U (70) = ½U (0)+½U (100) • Si la utilidad es lineal, las loterías con

igual valor esperado son indiferentes entre sí

• Si, como es habitual, L2 es mejor que L1, la función de utilidad esperada debe ser cóncava

(31)

117

Aversión al riesgo

• Hablamos de aversión al riesgo si:

• Por ejemplo, prefieres 50 euros a otra alternativa en la que ganas 100 si una moneda sale cara y 0 si sale cruz

• Aversión al riesgo implica que la función U es cóncava (segunda derivada < 0)

) ( ) ( ) (p 1x 1 p 2x 2 p 1U x 1 p 2U x 2 U

+

≥

+

118

Aversión al riesgo

x x1 p1x1+p2x2 x2 U(p1x1+p2x2) p1U(x1)+p2U(x2) U EC 119

Aversión al riesgo

• En general, suponemos que a las personas no les gusta el riesgo

• Otra forma de ver la aversión al riesgo es la siguiente

• Si un individuo es averso al riesgo, entonces, para todo x :

U (x )

≥

EU (x +∈), donde E(∈) = 0 • Por ejemplo, 100 euros frente a una

lotería que paga 105 o 95 (ambos con ½)

120

Definiciones

• El equivalente cierto (EC) es la cantidad de dinero que el individuo valora igual que la alternativa incierta: E {U (x )} = U (EC) • Laprima de riesgo (PM) es el valor

esperado de la alternativa menos el EC • La prima del riesgo es el coste monetario

del riesgo. Es lo que pagaría el individuo por evitar el riesgo

(32)

121

Definiciones

• Por ejemplo, ¿cuál es para ti el EC de una lotería que te da 100 euros con ½ y 0 euros con ½?

• Supongamos que es 30 euros. Sería 50 euros si no te preocupa el riesgo

• Si tu EC es 30 euros, la prima del riesgo es 50-30 = 20 euros

122

Transformaciones permisibles

• Una función de utilidad esperada no es

invariante frente a una transformación arbitraria

• Si tu función de UE es U (x ) = α x entonces tú eres “neutral” frente al riesgo y sólo te preocupa el valor esperado

• Si mi función de UE es V (x ) = {U (x )}1/2_{, mi}

función es cóncava

123

Transformaciones permisibles

• Yo tengo aversión al riesgo

• Pero entonces tú y yo no evaluamos las loterías de la misma forma

• Las funciones de UE sólo son invariantes frente a transformaciones lineales

• Si tu función es U (x ) y la mía es V (x ) = a +bU (x ) con b > 0, entonces ambos ordenamos las loterías igual

124

Transformaciones permisibles

• Esto nos permite re-escalar la función de

forma que asignamos al peor resultado utilidad 0 y al mejor utilidad 1

• Si el peor resultado es -1,000 euros y el mejor resultado es +25,000 euros y tenemos U (-1000) = u ₀, U (25000) = u ₁, podemos re-escalar a V (x ) = a +bU (x ), con b = 1/(u ₁-u ₀) y a = u ₀ /(u ₁-u ₀)

(33)

125

Tu función de utilidad esperada

• Supongamos que el peor resultado

posible es -100 y el mejor es +1,000 • Queremos asignar números a todos los

valores entre -100 y 1,000

• Empezamos por asignar U (-100) = 0 y U (1000) = 1

• Para cualquier valor intermedio, contesta a la pregunta siguiente:

126

Tu función de utilidad esperada

Si tuvieras la opción de elegir entre 250 euros seguros y una lotería que da +1,000 euros con probabilidad p o -100 euros con probabilidad (1-p ), ¿para que valor de p estarías indiferente entre ambas

opciones?

127

Tu función de utilidad esperada

• Le llamamos p ₂₅₀. ¿Es mayor que .318?

• Obviamente, 0 < p ₂₅₀ < 1

• Podemos asignar a la cantidad 250 ese valor, es decir, U(250) = p ₂₅₀. ¿Por qué? • Por la definición de p ₂₅₀, tenemos:

p ₂₅₀U (1,000)+(1- p ₂₅₀)U (0) = U (250) • Como U (-100) = 0, U (1000) = 1, tenemos

que U (250) = p ₂₅₀

128

Precio de una acción

• Tienes 20 euros en el bolsillo y también una acción de una empresa

• Mañana esa acción puede valer 16 euros u 80 euros (ambas con ½)

• ¿Cuál es el precio mínimo al que estarías dispuesto a vender la acción?

• La utilidad esperada si no vendes es: ½U (36)+½U (80)

(34)

129

Precio de una acción

• La utilidad esperada si vendes al precio p es U (20+p )

• Querrás vender siempre que: U (20+p ) ¥ ½U (36)+½U (80) • El precio mínimo p * cumple:

U (20+p *) = ½U (36)+½U (80) • Si U (x ) = x ½_{, p * = 44 euros}

• Sólo vende si p ¥ 44

130

Seguros

• Probamos que un averso al riesgo, si puede comprar un seguroactuarialmente justo, elegirá asegurarse completamente • Supongamos que tienes 30,000 euros

pero con una probabilidad p puedes perder 10,000 euros

• Sin seguro, tu utilidad esperada es: (1- p )U (30,000)+pU (20,000) • Sabemos que U ’ > 0 y U ’’ < 0

131

Seguros

• Una póliza de seguros te da 1 euro de

coberturasi pagas una prima

π

• Es decir, si pagas

π

euros de prima, en caso de accidente la compañía te paga 1 euro y nada en otro caso

• El valor esperado de la póliza para la compañía es (1-p )

π

+ p (

π

-1)

• Cuando esto es cero, se dice que el seguro es actuarialmente justo

132

Seguros

• Esto implica que

π

= p

• Si compras C euros de cobertura tu UE es:

Φ

(C ) = (1-p )U (30,000-

π

C )+ +pU (20,000-

π

C+C ) • La CPO (comprobar la CSO) es:

Φ

’(C ) = -

π

(1-p )U’ (30,000-

π

C )+

(35)

133

Seguros

• Comprobamos que nunca puede ocurrir C * = 0

• La CPO quedaría (dado que

π

= p ):

Φ

’(0) = -

π

(1-

π

)U’ (30,000)+ + (1-

π

)

π

U’ (20,000) = 0

• Es decir (1-

π

)

π

[U’ (20,000)-U’ (30,000)] = 0 • Esto es imposible ya que U es cóncava

134

Seguros

• Dado que

π

= p : -p (1-p )U’ (30,000-pC )+ + (1- p )pU’ (20,000+ (1- p )C ) = 0 • O también: U’ (30,000-pC ) = U’ (20,000+ (1- p )C ) • Como U ’’ < 0: 30,000-pC = 20,000+ (1- p )C 135

Seguros

• Pero entonces C = 10,000

• Variantes: Si tienes que pagar una tasa de F euros, pero aún

π

= p , puedes probar que si se asegura, se asegura por

completo. No obstante, puede que no se asegure (si F es suficientemente grande) • Si

π

> p , el individuo no se asegura

completamente

136

Defraudar

• Un contribuyente tiene una renta y . El tipo marginal del impuesto es t (0 < t < 1) • Debe elegir la renta x que declara, con lo

que paga tx

• Ser honrado significa x = y

• No ser honrado significa 0

≤

x < y • Llamamos z = y-x a la renta que oculta • La AT revisa la declaración con

(36)

137

Defraudar

• Si le revisan y ha defraudado le pillan • Debe pagar lo que ocultó mas una multa

θ z

• Con probabilidad p su renta es: y-tx- θ z-tz = y(1-t)- θ z • Con 1-p su renta es:

y-tx = y(1-t)+tz

• Maximiza la utilidad esperada

138

Defraudar

• Su objetivo es elegir z

∈

[0, y ] para: Max U (z ) = (1-p )U (y(1-t)+tz )+

+pU (y(1-t)- θ z ) • La primera derivada es:

U ’(z ) = t (1-p )U’ (y(1-t)+tz )-θ pU’ (y(1-t)- θ z ) • Evaluando en z = 0:

U ’(0) = [t (1-p )-θ p ]U’ (y(1-t))

139

Defraudar

• Vemos que para que U ’(0) > 0 debe ocurrir que:

• Esta condición garantiza que z * > 0. Es decir, que decide defraudar

• También obtenemos

∂

z */

∂

p < 0 y que

∂

z */

∂

θ < 0. El signo de

∂

z */

∂

t es ambiguo

θ

p p t

−

>

1 140

Búsqueda (“search”)

• En el mundo real encontramos una gran variación de precios de los productos • Pero entonces, esto significa que los

consumidores podrían ganar si buscan el mejor precio

• La teoría de búsqueda parte de la idea de que el precio es, desde el punto de vista del consumidor, una variable aleatoria

(37)

141

Búsqueda (“search”)

• Supongamos que la función de densidad del precio es f (p )

• El coste de obtener información de un precio (visitar una tienda) es c

• El individuo usa un precio de reserva. Comprará si p

≤

p *

• Coste esperado (fórmula recursiva):

∫

+

∞

+

=

* * ) ( *) ( ) ( *) ( p p dp p f p J dp p pf c p J 0 142

Búsqueda

• Obtener información de un precio cuesta c y puede resultar en un precio menor que p*

• El segundo término es el valor medio del precio, dado que es menor que p*

• El tercer término es el valor de

continuación, en términos esperados

143

Coste esperado de comprar

• CPO: *) ( ) ( *) ( * p F c dp p pf p J p

+

=

∫

0 2 * 0 *) ( ) ( *) ( *) ( *) ( * *) ( p F c dp p pf p f p F p f p p J p + − = ′

∫

( * ( *)) *) ( *) ( *) ( ) ( * *) ( *) ( * p J p p F p f p F c dp p pf p p F p f p − =           ₊ − =

∫

0 144

Solución

• La solución es J (p *)=p *

• Consiste en fijar un precio de reserva igual al coste total esperado de comprar el bien • La regla es comprar siempre que

encontremos un precio por debajo de dicho precio de reserva

• No tiene sentido esperar por un precio menor de lo que esperamos pagar en promedio

(38)

145

Ejemplo

• Si el precio p sigue una distribución

uniforme en el intervalo [a ,b ], obtenemos:

• Aplicando la CPO, obtenemos:

• A medida que c

→

0, p *

→

a a p a b c a p p J

−

+

=

* ) ( ) * ( *) ( 2 1 ) ( * a c b a p

=

+

2

−

146

Ejemplo

• Cuando el coste es muy bajo sólo compramos si el precio está cerca del mínimo

• Sea a = 200, b = 500 y c = 20 • Calculamos p * = 309.5 euros

• Si el coste sube a c ’ = 40 euros, entonces p * = 355 euros

147

Ejemplo

• Además, p * < b siempre que 2c < (b -a ) • Según esto, si lo más que podemos

ahorrar buscando otro precio es menos que el doble del coste, no merece la pena buscar más precios

• Lo óptimo es comprar ya

• Cuanto menor es la dispersión, menor es el precio de reserva

148

Equilibrio general

• Los individuos poseen unas dotaciones iniciales de los bienes

• Van al mercado donde observan precios, intercambian bienes a esos precios para maximizar su utilidad

• Un equilibrio es unvector de precios

(uno para cada bien) yuna asignación tal que todos los mercados se vacían

(39)

149

Equilibrio general

• Los mercados se vacían cuando en cada uno de ellos la oferta es igual a la

demanda • Cuestiones:

– ¿Es algo bueno el equilibrio? – ¿Existe?

– ¿Es único?

– ¿Puede ocurrir? ¿Cómo se determina?

150

Economías de Edgeworth

• Dos individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y) • Cesta del 1: (x ₁, y ₁)

• Cesta del 2: (x ₂, y ₂)

• Dotaciones iniciales: (_x ₁,_y ₁) y (_x ₂,_y ₂) • Una asignación {(x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂)} es

factiblesi se cumple: – x ₁+x ₂ ≤ _x ₁+_x ₂=_x – y ₁+y ₂ ≤ _y ₁+_y ₂=_y

151

Economías de Edgeworth

• Además vamos a suponer que no se desperdician los bienes. Es decir: – x ₁+x ₂= _x ₁+_x ₂=_x

– y ₁+y ₂= _y ₁+_y ₂=_y

• Entonces las asignaciones se pueden representar en una caja, llamada caja de Edgeworth

152

Caja de Edgeworth

• Las dotaciones iniciales determinan el tamaño de la caja:

1

2

y 1 y 2

(40)

153

Preferencias

1 2 u 1 154

Eficiencia de Pareto

1 2 u 1 2 155

Curva de contrato

1 2 156

Ejemplo

• Los dos individuos tienen preferencias Cobb-Douglas y la cantidad total de cada bien es 1. Por tanto, x ₂= 1 – x ₁

• Las funciones de utilidad son u ₁= x αy 1-α_,

u ₂ = (1-x )β(1-y )1-β

• Las asignaciones PE cumplen:

) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 1 x y y u x u y u x u x y − β − − β = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = α − α

(41)

157

Ejemplo

• Podemos resolver para y:

• Sólo depende del parámetro

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x y

−

     

−

+

=

−

+

−

=

1 1 1 1 1 β α α β α β α β β α β α − α β − ) 1 ( ) 1 ( 158

Curva de contrato, caso CD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 159

Dotaciones iniciales

• Las dotaciones iniciales representan las combinaciones de bienes que los

individuos poseen inicialmente • Es un punto en la caja

• Las curvas de indiferencia que pasan por las dotaciones iniciales representan un nivel mínimo de utilidad que los individuos se pueden garantizar (no comerciando)

160

Asignaciones eficientes e

individualmente racionales