VII. OPERADORES NO ACOTADOS EN ESPACIOS DE HILBERT

VII. OPERADORES NO

ACOTADOS EN ESPACIOS

DE HILBERT

La teor´ıa de operadores no acotados surge como necesidad de establecer los fundamentos matem´aticos de la Mec´anica Cu´antica y fue desarrollada en los a˜nos 1920-1930 por von Neumann y Sto-ne. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mec´anica Cu´ anti-ca, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirva este cap´ıtulo para mostrar las propiedades fundamentales de los operadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas difi-cultades que aparecen al eliminar la condici´on de acotaci´on en los operadores, en especial el problema de extensi´on que aqu´ı apa-rece.

SECCIONES

1. Introducci´on. Operadores sim´etricos y autoadjuntos.

2. Propiedades espectrales de operadores sim´etricos y autoadjuntos. 3. Teorema espectral de operadores unitarios.

4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 5. Ejercicios.

1. INTRODUCCI ´ON. OPERADORES SIM ´ETRICOS Y AUTO-ADJUNTOS.

Los dos ejemplos b´asicos de operadores no acotados son el operador multipli-caci´on M f (x) = x · f (x) y el operador derivaci´on Df (x) = _dxdf (x), definidos en L2(R), operadores para los que se cumple la relaci´on de conmutaci´on DM − M D = I, f´ormula en la que se basa el principio de incertidumbre de la Mec´anica Cu´antica. Se puede probar adem´as que la relaci´on anterior no se da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al final del cap´ıtulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con los anteriores.

El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas del An´alisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el pro-blema de extensi´on del mismo juegan un importante papel en la cuesti´on de su acotaci´on.

1.1.- Teorema (Hellinger-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supon-gamos que T : H → H es un operador lineal definido en todo H y sim´etrico, es decir tal que hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ H. Entonces T es acotado. En particular, como el operador multiplicaci´on verifica

hM f, gi = Z

R

xf (x) g(x)dx = hf, M gi y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio.

Demostraci´on. Supongamos por el contrario que existe una sucesi´on de Cau-chy (yn)n∈Nen H con kynk = 1 y kT ynk → ∞. Definimos la sucesi´on (fn)n∈N

de funcionales lineales en H por fn(x) = hT x, yni = hx, T yni, ∀n.

Por la desigualdad de Schwarz, |fn(x)| = |hx, T yni| ≤ kT ynk · kxk, de modo

que cada fn est´a acotado.

Adem´as, de |fn(x)| = |hT x, yni| ≤ kT xk de deduce que (fn(x))n∈Nes una

su-cesi´on acotada. Por el principio de acotaci´on uniforme (cap´ıtulo IV, teorema 4.2), (kfnk)n∈Nest´a acotada, por lo que kfnk ≤ k, ∀n. As´ı

|f_n(x)| ≤ kfnk · kxk ≤ kkxk.

En particular, para x = T yn resulta que

kT ynk2= hT yn, T yni = |fn(T yn)| ≤ kkT ynk =⇒ kT ynk ≤ k

lo que es absurdo. ♦

Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema de determinar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos.

Utilizaremos la notaci´on S ⊂ T para indicar que T es extensi´on de S, es decir D(S) ⊂ D(T ) y T |D(S)= S. Es claro que S ⊂ T si y s´olo si G(S) ⊂ G(T ),

donde G representa el grafo del operador. 2) Si un operador lineal es acotado, es decir

∃k > 0 : kT xk ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ),

puede extenderse a D(T ) por continuidad. Si D(T ) no fuera denso en H, se puede extender T m´as all´a de D(T ), haciendo por ejemplo T x = 0, ∀x ∈ D(T )⊥, y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extensi´on es-tar´a tambi´en acotada y tendr´a la misma norma de T . Esto sugiere suponer que los operadores lineales acotados est´an siempre definidos en todo H, de modo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio.

A continuaci´on vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en el caso de operadores no acotados.

1.2.- Definici´on. Dado un operador lineal T con dominio D(T ) ⊂ H, se define

D(T∗) = {x0 ∈ H : ∃y0, hT x, x0i = hx, y0i, ∀x ∈ D(T )} y se llama adjunto de T al operador T∗ definido por

∀x0∈ D(T∗) : T∗x0 = y0.

1.3.- Proposici´on. T∗ est´a bien definida (es decir y0 es ´unico) si y s´olo si D(T ) es denso en H.

Demostraci´on. Si D(T ) 6= H, existe y1 ∈ H con y1 6= 0 tal que y1⊥D(T ).

As´ı hx, y0i = hx, y0i + hx, y1i.

Rec´ıprocamente, si D(T ) = H e y1 = T∗x, y2= T∗x, entonces

hy1, zi = hy2, zi, ∀z ∈ D(T ) =⇒ y1− y2⊥D(T ) =⇒ y1− y2⊥H =⇒ y1 = y2.

Observaciones. De la definici´on se deducen tambi´en las propiedades corres-pondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular: 1) ∀x ∈ D(T ), x0 ∈ D(T∗) : hT x, x0i = hx, T∗x0i.

2) Si T ∈ L(H), entonces T∗∈ L(H) y kT∗_{k = kT k.}

3) Si T ∈ L(H), entonces T∗∗= T . 4) Si S, T ∈ L(H), T∗S∗= (ST )∗.

5) Si α ∈C y T tiene dominio denso en H, entonces (αT )∗= αT∗.

Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferencias como se muestra a continuaci´on.

1.4.- Proposici´on. Sean S y T dos operadores lineales con dominio denso en el mismo espacio de Hilbert H.

a) Si S ⊂ T , entonces T∗ ⊂ S∗_.

b) T∗+ S∗⊂ (T + S)∗.

c) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T∗S∗ ⊂ (ST )∗_{. Si adem´as}

S ∈ L(H), entonces T∗S∗= (ST )∗.

Demostraci´on. a) Si x ∈ D(T∗), entonces existe y ∈ H tal que hx, T zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ⊂ T , hy, zi = hx, T zi = hx, Szi, ∀z ∈ D(S). Esto implica que x ∈ D(S∗) y S∗x = y, o bien que T∗ ⊂ S∗.

b) Si x ∈ D(T∗+ S∗), entonces x ∈ D(T∗) y x ∈ D(S∗). Por tanto, ∃y1, y2 ∈ H : h x, T zi = hy1, zi, ∀z ∈ D(T )

h x, Szi = hy2, zi, ∀z ∈ D(S)

=⇒ h x, (T + S)zi = hy₁+ y2, zi, ∀z ∈ D(T ) ∩ D(S) = D(T + S).

Esto implica que x ∈ D(T + S)∗ y (T + S)∗x = y1+ y2= (T∗+ S∗)x.

c) Si x ∈ D(T∗S∗) =⇒ x ∈ D(S∗), S∗x ∈ D(T∗). Por tanto, ∃y1 ∈ H : hx, Szi = hy1, zi, ∀z ∈ D(S),

∃y2 ∈ H : hS∗x, T ui = hy2, ui, ∀u ∈ D(T ),

Ahora bien, si u ∈ D(ST ), entonces u ∈ D(T ) y z = T u ∈ D(S). Teniendo en cuenta que y1 = S∗x, tenemos:

hx, ST ui = hx, Szi = hy1, zi = hS∗x, T ui = hy2, ui

lo que implica que x ∈ D((ST )∗) y (ST )∗x = y2 = T∗S∗x.

Por ´ultimo, si S ∈ L(H), veamos que D((ST )∗) ⊂ D(T∗S∗).

Sea pues x ∈ D((ST )∗). Entonces ∃y ∈ H : hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(ST ). En particular hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ∈ L(H), S∗ ∈ L(H) y hx, (ST )zi = hS∗x, T zi, lo que implica que S∗x ∈ D(T∗). Como adem´as D(S∗) = H, tambi´en x ∈ D(S∗); por tanto x ∈ D(T∗S∗). ♦

Una generalizaci´on del concepto de operadores sim´etricos para operadores no acotados es la siguiente:

1.5.- Definici´on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H es sim´etrico si hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ D(T ).

Un operador sim´etrico es maximal si no tiene extensiones sim´etricas pro-pias.

Observaci´on. A veces se exige que un operador sim´etrico tenga dominio denso y, en caso de no cumplir esta condici´on, recibe el nombre de operador herm´ıtico.

Las siguientes caracterizaciones de los operadores sim´etricos son ´utiles. 1.6.- Proposici´on. Si D(T ) = H, son equivalentes:

i) T es sim´etrico. ii) T ⊂ T∗.

iii) hT x, xi ∈R, ∀x ∈ D(T ).

Demostraci´on. i) =⇒ ii). Sea x ∈ D(T ). Existe entonces y = T x tal que hT z, xi = hz, yi, para todo z ∈ D(T ). Esto implica que x ∈ D(T∗) y que T∗x = y = T x.

ii) =⇒ iii). Si x ∈ D(T ), hT x, xi = hT∗x, xi = hx, T xi = hT x, xi. Esto implica que hT x, xi ∈R.

iii) =⇒ i). Sea α ∈C. Entonces

hT (x + αy), x + αyi = hT x, xi + αhT y, xi + αhT x, yi + α αhT y, yi hx + αy, T (x + αy)i = hx, T xi + αhy, T xi + αhx, T yi + α αhy, T yi. Teniendo en cuenta que hT (x + αy), x + αyi = hx + αy, T (x + αy)i, resul-ta:

Para α = 1, hx, T yi+hT x, yi = hT x, yi+hx, T yi =⇒ ImhT x, yi = Imhx, T yi. Para α = i, hx, T yi+hx, T yi = hT x, yi+hT x, yi =⇒ Rehx, T yi = RehT x, yi. De las dos igualdades se deduce que hT x, yi = hx, T yi. ♦

1.7.- Definici´on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H con dominio denso en H es autoadjunto si T = T∗.

Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es sim´etrico y si D(T ) = H, el rec´ıproco tambi´en es cierto.

De la definici´on se deduce tambi´en que todo operador sim´etrico T que verifica D(T ) = D(T∗) es autoadjunto.

Ejemplos. 1) Sea H = L2(R) y D = i · _dxd el operador definido en el conjunto de funciones que tienen l´ımite cero en los infinitos (que es denso en H). Entonces D es sim´etrico.

2) Sea H = L2[0, 1] y se define Tkf = i · f0, (k = 1, 2, 3), con

D(T1) = {f ∈ H : f absolutamente continua y f0 ∈ H},

D(T2) = {f ∈ D(T1) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1),

dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibran-te.

Se observa en primer lugar que T3 ⊂ T2 ⊂ T1. Tenemos adem´as que T1∗ =

T3, T2∗ = T2, T3∗ = T1. Resulta pues que T2 es extensi´on autoadjunta del

operador sim´etrico T3 y T1 es una extensi´on no sim´etrica de T2. Esto indica

en particular que los conceptos de operador sim´etrico y autoadjunto no coinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos adem´as que el c´alculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no basta la definici´on formal del mismo.

En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicaci´on U : H × H → H × H, definida por U (x, y) = i(y, −x), llamado operador de conjugaci´on, es un operador unitario tal que U2 _{= I; adem´as tenemos lo siguiente:}

1.8.- Proposici´on. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con D(T ) = H.

a) Si G(T ) = {(x, T x) : x ∈ D(T )} es el grafo de T , entonces U (G(T ))⊥ = G(T∗).

b) Si T admite una clausura, entonces su adjunto T∗ tiene dominio denso en H y U (G(T∗))⊥= G(T∗∗).

Demostraci´on. a) Supongamos que (x, y) ∈ U (G(T ))⊥. Entonces, ∀(u, v) ∈ U (G(T )), h(x, y), (u, v)i = 0.

Como (u, v) = U (a, T a) = (iT a, −ia) para alg´un a ∈ D(T ), resulta: 0 = h(x, y), (u, v)i = hx, ui + hy, vi = hx, iT ai + hy, −iai

= −ihx, T ai + ihy, ai =⇒ hx, T ai = hy, ai. Esto implica que x ∈ D(T∗) y que y = T∗x.

Rec´ıprocamente, si (x, y) ∈ G(T∗), x ∈ D(T∗), y = T∗x. Por tanto, para todo a ∈ D(T ),

h(x, y), (iT a, −ia)i = −ihx, T ai + ihy, ai = −ihT∗x, ai + ihy, ai = 0.

b) Supongamos que D(T∗) 6= H, es decir ∃y0 6= 0 : y0⊥D(T∗). Entonces

hy₀, xi = 0, ∀x ∈ D(T∗), de donde

h(y0, 0), (x, T∗x)i = 0, ∀x ∈ D(T∗) =⇒ (y0, 0) ∈ G(T∗)⊥.

Debido al apartado (a),

Por tanto, ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que (y0, 0) = l´ımnU (xn, T xn), de

don-de

y0= l´ım

n iT xn, 0 = l´ımn −ixn.

Por ser T clausurable, si l´ımnixn = 0, l´ımniT xn = y0, entonces y0 = 0, lo

que contradice la suposici´on inicial.

La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo T por T∗. ♦

La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuen-cias que de ´el se derivan.

1.9.- Corolario. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H.

1) T∗ es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados. 2) Si D(T∗) es tambi´en denso en H, T ⊂ T∗∗.

3) Si T es clausurable, entonces ( T )∗ = T∗, T = T∗∗. En particular, si T es cerrado, T = T∗∗.

4) N (T∗) = R(T )⊥ y, si T es cerrado, N (T ) = R(T∗)⊥. 5) Si T es sim´etrico, es clausurable y T es tambi´en sim´etrico. 6) H × H = G(T∗) ⊕ U G(T ).

7) Si T es cerrado, el sistema−T x + y = a

x + T∗y = b siempre tiene soluci´on (x, y) ∈ D(T ) × D(T∗).

8) Si T es inyectiva y R(T ) es denso en H, entonces T∗ es inyectiva y (T∗)−1 = (T−1)∗.

Demostraci´on. 1) G(T∗) es cerrado por ser el complemento ortogonal de un subespacio de H × H. 2) Como U (G(T ))⊥= G(T∗), resulta U (G(T )) = G(T∗)⊥ =⇒ U (G(T )) ⊂ G(T∗)⊥ =⇒ G(T ) ⊂ U (G(T∗)⊥) = G(T∗∗) =⇒ T ⊂ T∗∗. 3) Si T es la clausura de T , G( T ) = G(T ). Entonces U (G( T )) = U (G(T )) =⇒ G(T∗) = U (G(T ))⊥= U (G( T ))⊥= G( T∗). Por otra parte, de G(T∗) = U (G(T ))⊥ deducimos que

y de aqu´ı,

G(T∗∗) = U (G(T∗))⊥= U (G(T∗)⊥) = U2(G( T )) = G( T ). Esto prueba que T∗∗= T .

4) De lo anterior se deduce

x ∈ N (T∗) ⇐⇒ (x, 0) ∈ G(T∗) ⇐⇒ h(x, 0), (u, v)i = 0, ∀(u, v) ∈ U (G(T )) ⇐⇒ h(x, 0), (iT a, −ia)i = 0, ∀a ∈ D(T )

⇐⇒ hx, T ai = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ x ∈ R(T )⊥.

5) Si T es sim´etrico, T∗ es extensi´on de T y T∗ es cerrado. Adem´as, ∀x, y ∈ D( T ), ∃(xn)n∈N, (ym)m∈N⊂ D(T ) tales que xn→ x, T xn→ T x, ym → y, T ym→ T y. As´ı pues, h T x, yi = l´ım n,mhT xn, ymi = l´ımn,mhxn, T ymi = hx, T yi. 6) Es evidente pues G(T∗)⊥= U (G(T )). 7) Sea (a, b) ∈ H × H arbitrario. Tenemos:

(a, b) = f + g, f ∈ G(T∗), g ∈ U (G(T )) = U (G(T )) (a, b) = (y, T∗y) + U (x0, T x0), y ∈ D(T∗), x0 ∈ D(T )

=⇒ (a, b) = (y, T∗y) + i(T x0, −x0) = (y, T∗y) + (−T x, x), y ∈ D(T∗), x ∈ D(T ). 8) Por el apartado (4), N (T∗) = R(T )⊥ = R(T )⊥ = {0}. Teniendo en

cuenta ahora la proposici´on 1.4, como D(T ) y D(T−1) = R(T ) son densos en H, entonces

(T−1)∗T∗ ⊂ (T T−1)∗= I =⇒ (T−1)∗ = (T∗)−1. ♦

Observaci´on. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un ope-rador sim´etrico es cerrado.

La siguiente propiedad ser´a tambi´en ´util en el estudio de los operadores autoadjuntos.

1.10.- Proposici´on. Sea T un operador sim´etrico con dominio denso en H. Entonces:

b) T = T∗ y T inyectivo =⇒ R(T ) = H y T−1= (T−1)∗. c) R(T ) = H =⇒ T inyectivo.

d) R(T ) = H =⇒ T = T∗ y T−1 ∈ L(H).

Demostraci´on. a) Por ser T sim´etrico, T ⊂ T∗. Como D(T ) = H, T = T∗. Por el teorema del gr´afico cerrado, como T es cerrado y D(T ) = H, T es acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema de Hellinger-Toeplitz.)

b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N (T ) = R(T )⊥, de modo que, si N (T ) = 0, entonces R(T ) = H.

La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolario citado.

c) Sea v ∈ D(T ) tal que T v = 0. Entonces:

hT v, xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ hv, T xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ v ∈ R(T )⊥=⇒ v = 0. d) Si R(T ) = H, T es inyectiva y existe S = T−1 con D(S) = R(T ) = H.

Dados f, h ∈ R(T ), f = T g, h = T k, entonces

hSf, hi = hg, T ki = hT g, ki = hf, ki = hf, Shi,

es decir S es sim´etrico. Por el apartado a), S = S∗∈ L(H) y, por el apartado

b), T = S−1 es autoadjunto. ♦

Estudiaremos a continuaci´on el problema de las extensiones de operadores sim´etricos. Sabemos que, si T es un operador sim´etrico y S es una extensi´on sim´etrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S∗ ⊂ T∗_{, es decir toda extensi´on sim´etrica}

de T es restricci´on de T∗.

1.11.- Proposici´on. a) Todo operador sim´etrico tiene alguna extensi´on si-m´etrica maximal.

b) Toda extensi´on sim´etrica maximal de un operador sim´etrico es cerra-da.

c) Todo operador autoadjunto es sim´etrico maximal.

El apartado a) es una simple aplicaci´on del lema de Zorn y los otros dos son consecuencia de los resultados anteriores.

1.12.- Teorema. Sean T un operador sim´etrico y λ = a + ib con a, b ∈R. Entonces:

b) Si b 6= 0, N (T − λI) = {0}, es decir T − λI es inyectivo. c) Si b 6= 0 y T es cerrado, entonces R(T − λI) es cerrado. d) Si adem´as R(T − λI) = H, T es sim´etrico maximal. Demostraci´on. Observamos en primer lugar que

k(T −λI)xk2= k(T −aI)x−ibxk2 = k(T −aI)xk2+b2kxk2+2 Re ih(T −aI)x, bxi donde h(T − aI)x, bxi = bhT x, xi − abkxk2 ∈R. Esto demuestra el apartado a).

De aqu´ı tambi´en se deduce que (T − λI)x = 0 =⇒ b2kxk2 _{= 0 =⇒ x = 0, lo}

que prueba el apartado b).

Para probar c) elegimos una sucesi´on (xn)n∈N⊂ D(T ) tal que (T − λI)xn→

y. Entonces (xn)n∈N es de Cauchy porque

b2kx_n−x_mk2 ≤ k(T −aI)(x_n−x_m)k2+b2kx_n−x_mk2 = k(T −λI)(xn−xm)k2→ 0.

Por ser H de Hilbert, existe x = l´ımnxn. De este modo, por ser T − λI

cerrado, debe ser x ∈ D(T − λI) y (T − λI)x = y, es decir y ∈ R(T − λI).

Por ´ultimo, para probar d) suponemos que existe un operador sim´etrico S tal que T ⊂ S. Entonces H = R(T − λI) ⊂ R(S − λI). Si consideramos un elemento u ∈ D(S) \ D(T ), aplicando el resultado de b) al operador S, tenemos:

∃u0 ∈ D(T ) : (S − λI)u = (T − λI)u0= (S − λI)u0 =⇒ u = u0

lo que es absurdo a no ser que T = S. ♦

El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operador positivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados.

1.13.- Teorema. Sea T cerrado con dominio denso; se define Q = I + T∗T . Entonces:

a) Q : D(Q) → H es biyectivo y existen B, C ∈ L(H), con kBk ≤ 1, kCk ≤ 1, tales que C = T B y BQ ⊂ QB = I. Adem´as B ≥ 0 y T∗T es autoadjunto.

b) Sea T0= T |D(T∗_{T )}; entonces G(T0) es denso en G(T ).

Demostraci´on. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que T es cerrado, H × H = G(T∗) ⊕ U G(T ). Entonces, ∀h ∈ H, existen x ∈ D(T ), y ∈ D(T∗) tales que:

Quedan definidos as´ı los operadores Bh = −ix, Ch = y, que tienen dominio H y son lineales. Adem´as, debido a que la suma anterior es ortogonal, por la definici´on de norma en H × H, tenemos:

khk2 = kChk2+ kT∗Chk2+ kT Bhk2+ kBhk2 ≥ kChk2+ kBhk2. Entonces kChk ≤ khk y kBhk ≤ khk, con lo que kBk ≤ 1 y kCk ≤ 1. Adem´as,

0 = Ch − T Bh =⇒ T B = C

h = T∗Ch + Bh = Bh + T∗T Bh = (I + T∗T )Bh =⇒ QB = I. En particular, ∀y ∈ D(Q), ∃h ∈ H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh = h y BQy = Bh = y, de donde BQ ⊂ I.

La aplicaci´on Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por ser BQ ⊂ I, Q es inyectiva.

Adem´as, Q es un operador positivo pues, ∀x ∈ D(Q),

hQx, xi = hx, xi + hT∗T x, xi = kxk2+ kT xk2 ≥ 0. Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B ≥ 0:

Dado cualquier h ∈ H, sea x ∈ D(Q) tal que h = Qx; entonces hBh, hi = hBQx, Qxi = hx, Qxi ≥ 0.

Como B ∈ L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es tambi´en autoadjunto, con lo que evidentemente Q − I = T∗T es autoadjunto. Para probar b), consideremos un elemento (x, T x) ortogonal a G(T0). En-tonces ∀y ∈ D(T∗T ) = D(Q) :

0 = h(x, T x), (y, T y)i = hx, yi+hT x, T yi = hx, (I+T∗T )yi = hx, Qyi =⇒ x⊥R(Q).

Como R(Q) = H, x = 0. ♦

Observaci´on. Teniendo en cuenta que T T∗ = T∗∗T∗ (pues T es cerrado) y T∗ es cerrado, el resultado anterior tambi´en se aplica al operador T T∗. Adem´as, de la proposici´on 1.10 se deduce que los operadores (I + T∗T )−1 y (I + T T∗)−1 son acotados.

Veremos en los ejercicios al final del cap´ıtulo algunas aplicaciones de este teorema.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES SIM ´ ETRI-COS Y AUTOADJUNTOS.

Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acota-dos se conservan en el caso de operadores no acotaacota-dos. Algunas de dichas propiedades se generalizan en esta secci´on.

Observemos en primer lugar que, si T : D(T ) ⊂ H → H es un operador lineal cerrado con dominio denso, entonces T − λI : D(T ) → R(T ) es biyectiva si y s´olo si λ no es autovalor de T . As´ı pues, los autovalores son aquellos para los que, o bien T − λI no tiene inverso, o bien (T − λI)−1 no es un operador acotado definido en todo H.

Si T es adem´as un operador sim´etrico, sus autovalores son reales (teorema 1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado.

2.1.- Proposici´on. Sea T un operador autoadjunto. La condici´on necesaria y suficiente para que λ sea autovalor de T es que R(T − λI) 6= H.

Demostraci´on. Si λ es autovalor, existe x 6= 0 tal que T x = λx. Enton-ces:

hx, (T − λI)yi = h(T − λI)x, yi = 0, ∀y ∈ D(T ). Esto implica que x⊥R(T − λI) con lo que R(T − λI) 6= H.

Rec´ıprocamente, si R(T − λI) 6= H, entonces ∃x 6= 0 tal que x⊥R(T − λI). Luego

hx, (T − λI)yi = 0, ∀y ∈ D(T )

=⇒ hx, T yi = hx, λyi, ∀y ∈ D(T ) =⇒ x ∈ D(T∗), T∗x = λx. Como T es autoadjunto y λ ∈R, entonces T x = λx. ♦

2.2.- Corolario. Si T es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a un autovalor λ es R(T − λI)⊥.

El siguiente resultado es tambi´en similar al correspondiente en el caso de operadores acotados.

2.3.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : k(T − λI)xk ≥ ckxk, ∀x ∈ D(T ).

Los tres lemas siguientes ser´an ´utiles en la determinaci´on del espectro de los operadores sim´etricos.

2.4.- Lema. Sea T un operador sim´etrico cerrado y λ = a + ib un complejo, con b 6= 0. Si µ ∈C es tal que |λ − µ| < |b|, entonces N (T∗− µI) ∩ N (T∗− λI)⊥= {0}.

Demostraci´on. Supongamos por el contrario que ∃f ∈ N (T∗− µI) ∩ N (T∗− λI)⊥

y kf k = 1. Como R(T − λI) es cerrado, N (T∗ − λI)⊥ _{= R(T − λI), de}

modo que existe g ∈ H tal que (T − λI)g = f . As´ı pues, como f ∈ N (T∗− µI), 0 = h(T∗− µI)f, gi = hf, (T − µI)gi = hf, (T − λI)gi + (λ − µ)hf, gi = kf k2+ (λ − µ)hf, gi. Entonces 1 = kf k2= |λ − µ| · |hf, gi| ≤ |λ − µ| · kgk 1 = kf k = k(T − λI)gk ≥ |b| · kgk  =⇒ 1 ≤ |λ − µ| · |b|−1,

lo que contradice la hip´otesis. ♦

2.5.- Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H, tales que M ∩ N⊥ = {0}. Entonces dim M ≤ dim N .

Demostraci´on. Llamamos P : H → H a la proyecci´on ortogonal sobre N y T : M → N a la restricci´on de P a M , T f = P f , ∀f ∈ M . Es evidente que T es inyectiva. Por tanto, si L ⊂ M es un subespacio arbitrario con dim L = k, entonces dim T L = k ≤ dim N , lo que implica que dim M ≤ dim N .♦

2.6.- Lema. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces dim N (T∗−λI) es constante para cualquier λ con Im λ > 0.

Demostraci´on. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, se deduce que dim N (T∗ − µI) ≤ dim N (T∗− λI) si |λ − µ| < b. Tomando |λ − µ| < b/2, tambi´en |λ − µ| < Im µ, de modo que la desigualdad contraria tambi´en es cierta.

Se prueba as´ı que la funci´on λ 7→ dim N (T∗− λI) es localmente constante. Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, se

obtiene la tesis. ♦

2.7.- Teorema. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces una y s´olo una de las siguientes posibilidades es cierta:

i) σ(T ) =C.

ii) σ(T ) = {λ ∈C: Im λ ≥ 0}. iii) σ(T ) = {λ ∈C: Im λ ≤ 0}. iv) σ(T ) ⊂R.

Demostraci´on. Sea H± = {λ ∈ C: ± Im λ > 0}. Por la proposici´on 1.12, si λ ∈ H±, T − λI es inyectiva y tiene rango cerrado. Tenemos dos

- Si T − λI no es sobre, entonces λ ∈ σ(T ).

- Si T − λI es sobre, por la proposici´on 1.10(d), λ ∈ ρ(T ).

Como N (T∗− λI) = R(T − λI)⊥, del lema anterior resultan las siguientes opciones (observando adem´as que σ(T ) es cerrado, lo que se prueba como en el caso de operadores acotados):

i) H+⊂ σ(T ), H−⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) =C.

ii) H+⊂ σ(T ), H−∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) = H+= {λ ∈C: Im λ ≥ 0}. iii) H+∩σ(T ) = ∅, H−⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = H−= {λ ∈C: Im λ ≤ 0}. iv) H+∩ σ(T ) = ∅, H−∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) ⊂R. ♦

2.8.- Proposici´on. Si T es un operador sim´etrico cerrado, son equivalen-tes:

i) T es autoadjunto. ii) σ(T ) ⊂R.

iii) N (T∗− iI) = N (T∗+ iI) = {0}.

Demostraci´on. Por ser T sim´etrico, sus autovalores son reales.

i) =⇒ ii): Sea T autoadjunto y tomemos λ ∈C\R. Teniendo en cuenta los apartados b) y c) del teorema 1.12,

{0} = N (T − λI) = N (T∗− λI) = [R(T − λI)]⊥=⇒ R(T − λI) = H y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce que el espectro de T es real.

ii) =⇒ iii): Como ±i ∈ ρ(T ),

N (T∗± iI) = [R(T ∓ iI)]⊥= H⊥= {0}.

iii) =⇒ i): Por hip´otesis, R(T − iI) = R(T + iI) = H. Veamos que adem´as T ± iI son inyectivas:

Sea x ∈ D(T ) tal que (T ± iI)x = 0. Por ser T∗ extensi´on de T , ∀z ∈ H resulta:

hx, zi = hx, (T ∓iI)yi = h(T∗±iI)x, yi = h(T ±iI)x, yi = h0, yi = 0 =⇒ x = 0. Esto quiere decir que existe (T ± iI)−1 ∈ L(H). Como [(T ± iI)−1]∗ = (T∗∓ iI)−1_{, tambi´en (T}∗_{∓ iI)}−1 _{∈ L(H).}

Sea h ∈ D(T∗). Entonces existe f ∈ D(T ) tal que (T + iI)f = (T∗+ iI)h. Pero (T + iI)f = (T∗+ iI)f , de modo que f = h y T = T∗. ♦

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS.

A fin de lograr una representaci´on espectral de operadores autoadjuntos, utilizaremos la transformada de Cayley y la representaci´on espectral de operadores unitarios, que son acotados. En esta secci´on se deduce dicha representaci´on espectral. Utilizaremos el enfoque cl´asico, inigualable en su alcance al enfoque actual v´ıa la teor´ıa de ´algebras de Banach, transforma-da de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero m´as pr´oximo a quienes est´en orientados a las aplicaciones.

En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario est´a en la circunferencia unidad.

3.1.- Teorema. Sea U : H → H un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo H; entonces |λ| = 1, ∀λ ∈ σ(U ).

Demostraci´on. Basta observar que,

si |λ| < 1, k(U − λI)xk ≥ kU xk − |λ| · kxk = (1 − |λ|)kxk, si |λ| > 1, k(U − λI)xk ≥ |λ| · kxk − kU xk = (|λ| − 1)kxk,

y, en ambos casos, ∃(U − λI)−1 ∈ L(H). ♦

Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios, desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone (1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955).

En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbert con dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe una base ortonormal {v1, . . . , vn} de H formada por vectores propios de U , con

U vj = λjvj, j = 1, . . . , n y |λj| = 1. Si llamamos Ej al subespacio propio

asociado a λj,

Ej = {v ∈ H : U v = λjv},

y Pj a la proyecci´on ortogonal de H sobre Ej (j = 1, . . . , m con m ≤ n), el

teorema espectral dice que i) H = E1⊕ · · · ⊕ Em;

ii) I = P1+ . . . Pm;

iii) U = λ1P1+ · · · + λmPm.

Una posible generalizaci´on en dimensi´on infinita puede producir la descom-posici´on U = P∞

k=1λkPk o bien U =

R

TλdP , siendo T= {λ ∈ C: |λ| = 1}

Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una corresponden-cia entre la σ-´algebra Ω de subconjuntos de Borel en Ty el espacio L(H) de los operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de una medida. De ah´ı que debamos introducir la siguiente definici´on.

3.2.- Definici´on. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-´algebra de sub-conjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogo-nal en (X, Ω, H) es una correspondencia E : Ω → L(H) con las propieda-des

i) E(∆) es una proyecci´on ortogonal, ∀∆ ∈ Ω. ii) E(X) = I, E(∅) = 0.

iii) Si {An}n∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos y x ∈ H arbitrario, entonces

E(S

n∈N

An)x = P n∈N

E(An)x.

iv) E(A ∩ B) = E(A)E(B), ∀A, B ∈ Ω.

De la definici´on se deduce inmediatamente el siguiente resultado.

3.3.- Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y x, y ∈ H, entonces la funci´on de conjuntos Ex,y : Ω → C definida por Ex,y(∆) = hE(∆)x, yi

es una medida numerablemente aditiva en Ω con variaci´on total kEx,yk ≤

kxk · kyk.

El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a una medida espectral.

3.4.- Proposici´on. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y φ : X →C una funci´on Ω-medible acotada, existe un ´unico operador A ∈ L(H) tal que para cualesquiera ε > 0 y {∆1, . . . , ∆n} Ω-partici´on de X con

sup{|φ(x) − φ(x0)| : x, x0 ∈ ∆_k} < ε (1 ≤ k ≤ n), entonces A − n X k=1 φ(xk)E(∆k) < ε, ∀xk∈ ∆k.

Dicho operador se llama integral de φ respecto a E y se denota por A = R

XφdE. Del resultado anterior se deduce que hAx, yi =

R

XφdEx,y.

Demostraci´on. A cada funci´on simple s =Pn

k=1αkχ∆k le asociamos el

ope-rador As=Pnk=1αkE(∆k).

Como cada E(∆k) es autoadjunto, entonces

A∗_s =

n

X

k=1

Si t =Pm

j=1βjχ∆0

j es otra funci´on simple, entonces

AsAt= X k,j αkβjE(∆k)E(∆0j) = X k,j αkβjE(∆k∩ ∆0j) = Ast.

De estas igualdades se deduce que

A∗_sAs= AsAs= Ass= A|s|2.

Si tomamos x, y ∈ H arbitrarios, obtenemos: hA_sx, yi = n X k=1 αkhE(∆k)x, yi = n X k=1 αkEx,y(∆k) = Z X sdEx,y, de modo que kA_sxk2 = hA∗_sAsx, xi = hA|s|2x, xi = Z X |s|2dEx,x≤ ksk2∞kEx,xk ≤ ksk2∞·kxk2, es decir kAsxk ≤ ksk∞· kxk.

Por otra parte, es claro que, si x ∈ R(E(∆i)), entonces Asx = αiE(∆i)x =

αix; de esta igualdad y eligiendo i de manera que |αi| = ksk∞, resulta

que

(∗) kA_sk = ksk∞.

Sea ahora φ : X →C una funci´on Ω-medible y acotada y (s(i))i∈N una

su-cesi´on de funciones simples medibles que converge a φ. De la f´ormula (∗) deducimos que la sucesi´on (A_s(i))i∈Nes de Cauchy en L(H); por tanto,

con-verge a un operador A ∈ L(H). Dicho operador no depende de la elecci´on de la sucesi´on (s(i))i∈N. As´ı pues, dados ε > 0 y {∆1, . . . , ∆n} con las

con-diciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de la

sucesi´on (A_s(i))i∈N al operador A. ♦

Con esta notaci´on, si consideramos la σ-´algebra Ω = {∆ ⊂T: ∆ de Borel enT},

el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma:

3.5.- Teorema. Si U ∈ L(H) es unitario, entonces existe una ´unica medida espectral E en (T, Ω, H) tal que Un=R_TzndE(z), ∀n ∈Z.

Observaci´on. Debido a que todo punto z ∈ T puede representarse como z = eit_{, con t ∈ [0, 2π), podemos escribir U}n₌R2π

0 eintdE(t).

1) Buscaremos una familia de medidas {µx, x ∈ H} tal que

hUnx, xi = Z

T

zndµx(z), ∀n ∈Z.

Fijado x ∈ H, consideramos la sucesi´on num´erica {cn(x)}n∈Z, definida por

cn(x) = hUnx, xi. De la definici´on es claro que c−n= cn.

Como la medida espectral debe verificar que Un=R

Tz

n_{dE(z), ∀n ∈}

Zy, en particular, hUnx, xi = R

Tz

n_{dhE(z)x, xi, ∀x ∈ H, la medida escalar}

positi-va µx definida por µx(∆) = hE(∆)x, xi debe verificar cn(x) =

R

Tz

n_dµ x(z),

∀n ∈_Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema tri-gonom´etrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona el teorema de representaci´on de Herglotz:

Dicha medida µ existe (y es ´unica) si y s´olo si la sucesi´on {cn}n∈Zes definida

positiva, es decir

N

X

j,k=1

cj−kλjλk ≥ 0, ∀N ∈N, ∀λ1, . . . , λN ∈C.

En este caso la sucesi´on {hUnx, xi}n∈Z es definida positiva, pues

N X j,k=1 cj−k(x)λjλk = N X j,k=1 hUj−k_{x, xiλ} jλk = N X j,k=1 hλjUjx, λkUkxi = N X j=1 λjUjx 2 ≥ 0.

2) A continuaci´on queremos encontrar una familia de medidas µx,y(∆) para

las que hUnx, yi =R

Tz

n_dµ

x,y(z), ∀n ∈Z.

Para ello utilizamos la identidad de polarizaci´on hUnx, yi = 1

4[hU

n_{(x + y), x + yi − hU}n_{(x − y), x − yi]}

+i 4[hU

n_{(x + iy), x + iyi − hU}n_{(x − iy), x − iyi] ,}

por lo que basta definir µx,y(∆) = 1 4µx+y(∆) − 1 4µx−y(∆) + i 4µx+iy(∆) − i 4µx−iy(∆). 3) Fijado ∆ de Borel en T, la funci´on β(∆) : H × H → C definida por

β(∆)(x, y) = µx,y(∆) es una forma sesquilineal: hUn(αx1+ x2), yi = Z T zndµαx1+x2,y(z), αhUnx1, yi + hUnx2, yi = α Z T zndµx1,y(z) + Z T zndµx2,y(z) = Z T znd[αµx1,y(z) + µx2,y(z)], de modo que Z T f (z)dµαx1+x2,y(z) = Z T f (z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

∀f exponencial trigonom´etrica. Por linealidad, tambi´en es cierta para poli-nomios trigonom´etricos y, por el teorema de aproximaci´on de Weierstrass, tambi´en para toda funci´on continua o continua a trozos. En particular,

Z T χ∆(z)dµαx1+x2,y(z) = Z T χ∆(z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)], o bien µαx1+x2,y(∆) = αµx1,y(∆) + µx2,y(∆).

An´alogamente, debido a la igualdad hx, Unyi = hU−nx, yi = Z T z−ndµx,y(z) = hUn_{y, xi =} Z T z−nd µy,x(z), ∀n ∈Z,

y razonando como en el caso anterior, se deduce que µx,y(∆) = µy,x(∆).

4) Veremos a continuaci´on que F : C(T) → L(H), definida por F (g) = g(U ), es una representaci´on de C(T) (espacio de las funciones continuas en Tcon la norma del supremo), es decir es un homomorfismo de ´algebras que cumple F (g∗) = F (g)∗, donde definimos g∗(x) = g(x).

Definimos en primer lugar F : P → L(H) por F (p) = p(U ), donde denota-mos por P = {p :T→C: p(z) =PNn=N2 1anz

n_{} al espacio de los polinomios}

trigonom´etricos con la norma del supremo. Resultan de la definici´on las siguientes propiedades:

i) F es lineal, F (α1p1+ α2p2) = α1F (p1) + α2F (p2).

ii) F es multiplicativa, F (p1p2) = F (p1)F (p2).

iv) p(U ) = p(U )∗: hx, p(U )∗yi = hp(U )x, yi = Z T p(z)dµx,y(z) = Z T p(z)d µx,y(z) = Z T

p(z)dµy,x(z) = h p(U )y, xi = hx, p(U )yi.

v) Si p(z) ≥ 0, ∀z, entonces p(U ) ≥ 0:

Por el teorema de Fej´er-Riesz, si p ∈ P es positivo, ∃q ∈ P : p = |q|2. Entonces

hp(U )x, xi = h( qq)(U )x, xi = h q(U )q(U )x, xi = hq(U )∗q(U )x, xi = kq(U )xk2 ≥ 0. vi) kF k = 1:

kp(U )xk2 = hp(U )x, p(U )xi = hp(U )∗p(U )x, xi ≤ kpk2∞· kxk2

⇐⇒ h[kpk2

∞I − p(U )∗p(U )]x, xi ≥ 0.

Como kpk2_∞I − p(U )∗p(U ) = F (q) con q(z) = kpk2_∞− |p(z)|2 _{≥ 0, la}

desi-gualdad anterior se deduce de v). En definitiva,

kp(U )xk ≤ kpk∞· kxk =⇒ kp(U )k ≤ kpk∞=⇒ kF k ≤ 1.

Por otra parte, tomando p(z) = 1, ∀z, entonces p(U ) = I de modo que kF k ≥ kp(U )k/kpk∞= 1 =⇒ kF k = 1.

Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el es-pacio C(T) de las funciones continuas con la norma del supremo, donde se mantienen las propiedades anteriores; en particular,

(∗) hF (g)x, yi = hg(U )x, yi = Z

T

g(z)dµx,y(z), ∀g ∈ C(T).

5) Debido a la equivalencia entre el dual de C(T) y el espacio de las medidas de Borel finitas enT, dada por µ 7→ l ∈ C(T)0, con l(f ) =R_Tf dµ, ∀f ∈ C(T), podemos probar la acotaci´on de µx,y como sigue:

kµ_x,yk = sup     Z T f dµx,y     : f ∈ C(T), kf k∞≤ 1  = sup{|hf (U )x, yi| : f ∈ C(T), kf k∞≤ 1}

≤ sup{kf (U )k · kxk · kyk : f ∈ C(T), kf k ≤ 1} ≤ kxk · kyk. 6) El siguiente paso es extender la representaci´on F a la C∗-´algebra B(T) de las funciones medibles Borel y acotadas enT.

Fijamos ahora g ∈ B(T) y definimos βg(x, y) =

R

Tg(z)dµx,y(z). Debido a

que βg es un forma sesquilineal acotada con kβgk ≤ kgk∞, por el teorema

de representaci´on de Riesz para formas sesquilineales (cap´ıtulo III, teorema 6.5), existe un ´unico operador Ag ∈ L(H) tal que βg(x, y) = hAgx, yi y

kAgk ≤ kgk∞. La nueva aplicaci´on F : B(T) → L(H) definida por F (g) = Ag est´a bien definida, kF (g)k ≤ kgk∞ y

(∗∗) hF (g)x, yi =

Z

T

g(z)dµx,y(z), ∀x, y ∈ H.

Debemos probar a continuaci´on que F es una representaci´on de B(T) que extiende a la correspondiente representaci´on de C(T).

i) Es inmediato de (∗) y (∗∗) que se trata de una extensi´on. ii) Es tambi´en evidente que F es lineal y tiene norma 1. iii) F ( g) = F (g)∗ pues, ∀x, y ∈ H: hF (g)∗x, yi = hA∗_gx, yi = hAgy, xi = Z T g(z)dµy,x(z) = Z T g(z)dµx,y(z) = hAgx, yi = hF ( g)x, yi.

iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (f g) = F (f )F (g) con f ∈ C(T) y g ∈ B(T), pero debido a las equivalencias

F (f g) = F (f )F (g) ⇐⇒ hF (f g)x, yi = hF (f )F (g)x, yi = hF (g)x, F (f )∗yi ⇐⇒ Z T (f g)(z)dµx,y(z) = Z T g(z)dµx,F (f )∗_y(z),

la igualdad anterior ser´a cierta si y s´olo si f dµx,y = dµx,F (f )∗_y, ∀f ∈ C(_T),

o bien R

Tϕf dµx,y =

R

Tϕdµx,F (f )∗y, ∀ϕ ∈ C(T), lo que equivale a la

multi-plicatividad de F en C(T) que ya fue probada. Queda as´ı probado que R

Tf (z)(g(z)dµx,y(z)) =

R

Tf (z)dµx,g(U )∗y(z), ∀f ∈

C(T), g ∈ B(T), de donde gdµx,y = dµx,g(U )∗_y.

Sean ahora g, g1 ∈ B(T); entonces hF (gg1)x, yi = Z T (gg1)(z)dµx,y(z) = Z T g1(z)dµx,g(U )∗_y(z)

= hg1(U )x, g(U )∗yi = hg(U )g1(U )x, yi = hF (g)F (g1)x, yi.

7) Definimos ahora, para cada ∆ de Borel enTel operador E(∆) = F (χ∆) ∈ L(H).

De la definici´on se deduce directamente que hE(∆)x, yi = µx,y(∆). Veamos

i) E(∆) es un proyector ortogonal:

E(∆)2 = F (χ∆) · F (χ∆) = F (χ∆· χ∆) = F (χ∆) = E(∆);

E(∆)∗ = F (χ∆)∗= F ( χ∆) = F (χ∆) = E(∆).

ii) E(T) = F (χT) = F (1) = I, E(∅) = F (χ∅) = F (0) = 0.

iii) Si ∆1, ∆2 ∈ Ω,

E(∆1∩∆2) = F (χ∆1∩∆2) = F (χ∆1χ∆2) = F (χ∆1)F (χ∆2) = E(∆1)E(∆2).

iv) Si {∆j}j∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos, es f´acil probar la aditividad

finita. Si llamamos Hn=Sk>n∆k, para todo x ∈ H tenemos:

E( [ j∈N ∆j)x − m X j=1 E(∆j)x 2 = E(Hm)x, E(Hm)x  = E(Hm)x, x = F (χHm)x, x  = Z T χHm(z)dµx,x(z) = X j>m µx,x(∆j),

expresi´on que tiende a cero si m → ∞. 8) Por ´ultimo veamos que F (g) =R

Tg(z)dE(z), ∀g ∈ C(T):

Dado ε > 0, sea {∆1, . . . , ∆n} una partici´on de Tmediante elementos de Ω tal que

sup{|g(x) − g(x0)| : x, x0 ∈ ∆_k} < ε, (1 ≤ k ≤ n).

Entonces, para cualquier elecci´on xk ∈ ∆k, kg −Pk=1n g(xk)χ∆kk∞ < ε.

Como kF k = 1, kF (g) −Pn

k=1g(xk)E(∆k)k < ε, lo que implica que F (g) =

R

Tg(z)dE(z), ∀g ∈ C(T).

En particular, si g(z) = zn, entonces F (g) = Un, de donde Un=R

Tz

n_dE(z),

lo que completa la demostraci´on. ♦

La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional. 3.6.- Proposici´on. Si U ∈ L(H) es un operador unitario y A ∈ L(H) es un operador que conmuta con U , entonces A conmuta con E(∆), para todo ∆ de Borel en T. Adem´as µx,A∗_y = µ_Ax,y.

Demostraci´on. En primer lugar se comprueba que Ap(U ) = p(U )A, para cualquier polinomio trigonom´etrico p. A continuaci´on, si aproximamos toda funci´on continua f ∈ C(T) mediante polinomios trigonom´etricos (aplican-do el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af (U ) = f (U )A. Por ´

continuas tal que gn → χ∆. Por el teorema de la convergencia mon´otona,

∀x, y ∈ H se tiene:

hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗yi = µx,A∗_y(∆)

= Z T χ∆(z)dµx,A∗_y(z) = l´ım n Z T gn(z)dµx,A∗_y(z) = l´ım n hgn(U )x, A ∗ yi = l´ım

n hAgn(U )x, yi = l´ımn hgn(U )Ax, yi = hE(∆)Ax, yi.

Para la segunda parte, de AU = U A se deduce que:

hE(∆)Ax, yi = hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗yi =⇒ µx,A∗_y = µ_Ax,y. _♦

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS NO ACOTADOS.

Es natural preguntarse si existe una descomposici´on espectral de todo ope-rador sim´etrico an´aloga a la que existe en el caso de operadores acotados. Trabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuaciones integrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una comple-ta analog´ıa. Fue E. Schmidt quien observ´o que es necesario restringirse a operadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposici´on an´aloga. El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferen-tes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituy´o el punto de partida de la nueva teor´ıa de operadores lineales en espacios de Hilbert. En esta secci´on ilustramos una demostraci´on de von Neumann que hace uso de la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposici´on espectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones pueden verse en los distintos textos de An´alisis Funcional (ver por ejemplo [BN], [RN], [Fu], [Ru]).

Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert como generalizaciones de los n´umeros complejos, se encuentra que muchos resulta-dos sencillos en relaci´on a los n´umeros complejos tienen an´alogos no triviales en el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada de M¨obius. Si en el espacio C definimos el conjunto T = {z ∈ C : |z| = 1}, la transformaci´on de M¨obius w = z−i_z+i es una aplicaci´on biyectiva de R en T\ {1} cuya inversa es z = i(1+w)_1−w . Una adaptaci´on de esta transforma-ci´on al caso de operadores permitir´a aplicar operadores autoadjuntos no

acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores sim´etricos sobre isom´etricos. Esto permitir´a establecer una analog´ıa entre operadores lineales y n´umeros complejos. Mediante esta analog´ıa los operadores autoadjuntos jugar´an el papel de n´umeros reales, los operadores positivos corresponder´an a los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de m´ odu-lo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operador autoadjunto es real y el de un operador unitario est´a contenido en T. El pa-ralelismo es m´as acusado si tenemos en cuenta que T es autoadjunto en un espacio complejo si y s´olo si hT x, xi ∈R, ∀x. El siguiente ejemplo muestra que lo anterior no es cierto si el espacio es real:

En el espacio X = R2 definimos el operador T (x1, x2) = (x1 + 2x2, x2).

Entonces hT x, xi = 2|x2| ∈Rpero T∗(x1, x2) = (x1, 2x1+ x2).

La relaci´on entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por el siguiente resultado.

4.1.- Proposici´on. Sea T un operador autoadjunto en H. Entonces los operadores T ± iI tienen inversas acotadas definidas en todo H y el opera-dor

U = (T − iI)(T + iI)−1

es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de T . Demostraci´on. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y de las igualdades N (T ± iI) = R(T ∓ iI)⊥.

Para ver que U es unitario, sea x ∈ H y llamamos y = (T + iI)−1x. Enton-ces:

kU xk2 = h(T − iI)y, (T − iI)yi = hT y, T yi − ihy, T yi + ihT y, yi + hy, yi = hT y, T yi − ihT y, yi + ihy, T yi + hy, yi

= h(T + iI)y, (T + iI)yi = kxk2. ♦

Rec´ıprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto, se puede extraer este como sigue.

4.2.- Proposici´on. Si U es la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto T en H, entonces I − U es inyectiva y T = i(I + U )(I − U )−1. Demostraci´on. Si (I − U )x = 0 y llamamos y = (T + iI)−1x, tenemos:

x = U x =⇒ x = (T − iI)y =⇒ (T + iI)y = (T − iI)y =⇒ y = 0 =⇒ x = 0. La segunda parte se obtiene por c´alculo directo. ♦

4.3.- Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoad-junto T . Entonces 1 no es autovalor de U . Adem´as 1 est´a en la resolvente de U si y s´olo si T es acotado.

El rec´ıproco del resultado anterior tambi´en es cierto: si 1 no es autovalor de un operador unitario U , entonces U es la transformada de Cayley de alg´un operador autoadjunto.

Los dos ´ultimos teoremas, con los que concluimos el cap´ıtulo y el curso, permiten establecer una correspondencia biun´ıvoca entre las medidas espec-trales enR y los operadores autoadjuntos.

4.4.- Teorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea T : D(T ) → H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces existe una medida espectral P en R tal que T =R_RλdP (λ).

Demostraci´on. Sea U = (T − iI)(T + iI)−1 la transformada de Cayley de T ; como ya se ha probado, U es unitario, I − U es inyectivo y T = i(I + U )(I − U )−1 con D(T ) = (I − U )(H).

Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectral en Ttal que U =R_TzdE(z).

Por ser I − U inyectivo, 1 no es valor propio de U . De aqu´ı se deduce que E({1}) = 0.

En efecto, supongamos por el contrario que H0= E({1})H 6= {0}. Entonces

existe x 6= 0 tal que x = E({1})x de donde U x = U E({1})x. Como E({1}) es el operador asociado a la funci´on caracter´ıstica χ{1}, tenemos:

U x = U E({1})x = Z

T

λ · χ{1}(λ)dE(λ)x = 1 · E({1})x = x,

lo cual contradice que I − U es inyectivo.

Como la funci´on ϕ :T\ {1} →Rdefinida por ϕ(z) = i ·1+z_1−z es biyectiva, la funci´on P (∆) = E(ϕ−1(∆)), ∀∆ de Borel enR, es una medida espectral en R(como E({1}) = 0, E(T) = E(T\ {1}) = I).

Debido a la f´ormula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente, obtenemos: T = i(I + U )(I − U )−1 = Z T i ·1 + z 1 − zdE(z) = Z T ϕ(z)dE(z); si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta

T = Z ∞ −∞ λdE(ϕ−1(λ)) = Z ∞ −∞ λdP (λ). ♦

Veamos el sentido de la expresi´on R∞

−∞f (λ)dP (λ), con f : R → R funci´on

4.5.- Teorema. Sea P una medida espectral en R y f : R → R una fun-ci´on medible. Existe entonces un ´unico operador autoadjunto T con domi-nio D(T ) = {x ∈ H : Z R f2(λ)dhP (λ)x, xi < ∞} tal que T =R Rf (λ)dP (λ) y kT xk 2₌R Rf 2_{(λ)dhP (λ)x, xi, ∀x ∈ D(T ).}

Demostraci´on. Haremos la demostraci´on en dos pasos. 1) Si f es acotada,R∞

−∞f (λ)dP (λ) es un operador acotado sim´etrico:

En efecto, la aplicaci´on β(x, y) =R∞

−∞f (λ)dhP (λ)x, yi es un funcional

ses-quilineal acotado pues |β(x, y)| ≤ kf k∞

Z ∞

−∞

d|hP (λ)x, yi| ≤ kf k∞· kxk · kyk.

Por tanto, existe un operador T ∈ L(H) tal que β(x, y) = hT x, yi, ∀x, y ∈ H. Adem´as T es autoadjunto pues

hx, T yi = hT y, xi = β(y, x) = Z ∞ −∞ f (λ)d hP (λ)y, xi = Z ∞ −∞ f (λ)dhP (λ)x, yi = β(x, y) = hT x, yi. Escribiremos en este caso T =R_−∞∞ f (λ)dP (λ).

2) Si f es medible, llamamos ∆n = f−1[n, n + 1), ∀n ∈ Z; por definici´on, R = Sn∈Z∆n y la uni´on es disjunta. Si llamamos ahora ϕn = χ∆n, Pn =

P (∆n) y Hn = PnH, entonces 1 =P_n∈Zϕn, I =P_n∈ZPn, H = L_n∈ZHn

(donde la suma es ortogonal por ser {Pn}n∈Z una familia ortogonal de

pro-yecciones).

Como ahora f (λ)ϕn(λ) son funciones acotadas para todo n, existen, seg´un

el apartado anterior, T_n0 operadores sim´etricos y acotados tales que T_n0 =

Z ∞

−∞

f (λ)ϕn(λ)dP (λ).

Veamos ahora que T_n0H ⊂ Hn, para lo cual basta probar que PnTn0 =

T_n0:

Como T_n0 = R

∆nf (λ)dP (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemann

del tipo T_n0 ∼Pk

j=1f (λj)P (Fj), siendo {F1, . . . , Fk} una partici´on de ∆n y

λj ∈ Fj (j = 1, . . . , k). Entonces PnTn0 ∼ k X j=1 f (λj)P (∆n)P (Fj) = k X j=1 f (λj)P (∆n∩ Fj) = k X j=1 f (λj)P (Fj).

Como ambas sumas de Riemann coinciden, T_n0 = PnTn0 y, en consecuencia,

R(T_n0) ⊂ Hn.

Lo anterior permite definir los operadores Tn=

Z ∞

−∞

f (λ)ϕn(λ)dP (λ)|Hn : Hn→ Hn

y probaremos a continuaci´on que existe un ´unico operador autoadjunto T en H tal que T |Hn = Tn (teorema de Riesz-Lorch):

Definimos pues T x =P

n∈ZTnPnx cuyo dominio es

D = {x ∈ H :X

n∈Z

kT_nPnxk2< ∞}

(ver teorema 4.7, cap´ıtulo III). As´ı x ∈ D si y s´olo si P

n∈[−k,k]TnPnx

converge cuando k → ∞.

As´ı definido se cumplen las siguientes propiedades: i) D ⊃ Hn, ∀n ∈Z.

ii) T est´a bien definido pues, si x ∈ D, T x = T X n∈Z Pnx  =X n∈Z T (Pnx) = X n∈Z TnPnx.

iii) D es denso en H. En efecto, por i), Hn⊂ D =⇒ h [ n∈Z Hni ⊂ D =⇒ h [ n∈Z Hni ⊂ D =⇒ H = M n∈Z Hn⊂ D. iv) D = {x ∈ H :R∞ −∞f2(λ)dhP (λ)x, xi < ∞} pues kTnPnxk2 = Z ∞ −∞ f2(λ)ϕ2_n(λ)dhP (λ)x, xi = Z ∆n f2(λ)dhP (λ)x, xi =⇒ X n∈Z kTnPnxk2 = Z ∞ −∞ f2(λ)dhP (λ)x, xi.

v) T es sim´etrico pues, ∀x, x0 ∈ H, hT x, x0i = X n∈Z hTnPnx, x0i = X n∈Z hTnPnx, Pnx0i = X n∈Z hP_nx, TnPnx0i = X n∈Z hx, T_nPnx0i = hx, T x0i.

vi) T es autoadjunto, para lo cual basta probar que D(T∗) ⊂ D(T ). Sea y ∈ D(T∗); entonces existe y∗ tal que hT x, yi = hx, y∗i, ∀x ∈ D. Veamos que Pny∗= TnPny: hT_nPny, xi = hTnPny, Pnxi = hPny, TnPnxi = hy, TnPnxi = hy, T Pnxi = hy∗, Pnxi = hPny∗, xi, ∀x ∈ H. EntoncesP n∈ZkTnPnyk 2 ₌P n∈ZkPny ∗_k2 _{= ky}∗_k2 _{< ∞ =⇒ y ∈ D.}

vii) T es ´unico. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjunto S tal que S|Hn = Tn, ∀n ∈N. Veamos que S = T .

Si x ∈ D(T ), debido a que X n∈N kSPnxk2 = X n∈N kTnPnxk2 < ∞, se deduce queP n∈NSPnx converge.

Por otro lado, como las sumas parciales de P

n∈NPnx (que est´an en

D(S)) convergen a x y S es cerrado, x ∈ D(S) y adem´as Sx =X n∈N SPnx = X n∈N TnPnx = T x.

Esto implica que T ⊂ S.

Rec´ıprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposici´on 1.4

deduci-mos que S = S∗ ⊂ T∗ = T , de donde S = T . ♦

Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposici´on espectral de un operador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del caso acotado. Sin embargo aqu´ı los l´ımites de integraci´on en la representaci´on no son finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado, aun siendo real, no es acotado.

2) De la descomposici´on espectral de un operador autoadjunto T se puede obtener tambi´en una f´ormula para la resolvente Rz= (T −zI)−1(ver

propie-dades de la misma en los ejercicios al final del cap´ıtulo). M´as precisamente, si P es la medida espectral de T , Rz= Z R 1 λ − zdP (λ)

para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Esta f´ormula se puede generalizar a operadores sim´etricos arbitrarios y propor-cionar as´ı diversas aplicaciones de la teor´ıa de operadores.

3) Algunas notas hist´oricas con respecto al teorema espectral pueden consul-tarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1].

EJERCICIOS.

1. a) Probar que los operadores M f (x) = xf (x), Df (x) = f0(x) defi-nidos en L2(R)son operadores sim´etricos no acotados y verifican la relaci´on de conmutaci´on DM − M D = I.

b) Probar que no existe ning´un par de operadores acotados A, B que cumplan la relaci´on AB − BA = I.

Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadores son sim´etricos no acotados. Adem´as

DM f (x) = D(xf (x)) = xf0(x) + f (x) = (I + M D)f (x), es decir DM − M D = I (en esta f´ormula se basa el principio de incertidumbre en Mec´anica Cu´antica).

b) Supongamos que existen A, B ∈ L(H) tales que AB − BA = I. Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos:

A2B − ABA = A y ABA − BA2= A. Al sumar miembro a miembro, resulta que A2_{B − BA}2 _{= 2A.}

Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general AnB − BAn= nAn−1.

Entonces nkAn−1k ≤ kAn_{Bk + kBA}n_{k ≤ kA}n−1_{k · kABk + kBAk ·}

kAn−1_k.

Si suponemos que A 6= 0, entonces kAn−1k 6= 0, ∀n, y de lo anterior se deduce que n ≤ kABk + kBAk ≤ 2kAk · kBk, lo cual contradice el hecho de que A y B son operadores acotados.

_

2. Sean T1, T2, T3 tres operadores arbitrarios.

a) Probar que (T1T2)T3 = T1(T2T3).

b) Probar que T1 ⊂ T2 =⇒ T3T1 ⊂ T3T2 y T1T3 ⊂ T2T3.

En efecto,

x ∈ D((T1T2)T3) ⇐⇒ x ∈ D(T3), T3x ∈ D(T1T2)

⇐⇒ x ∈ D(T₃), T3x ∈ D(T2), T2T3x ∈ D(T1)

⇐⇒ x ∈ D(T2T3), T2T3x ∈ D(T1) ⇐⇒ x ∈ D(T1(T2T3)).

Por otra parte, es evidente que, si x ∈ D((T1T2)T3), entonces (T1T2)T3x =

T1(T2T3)x.

b) Como, por hip´otesis, T1 ⊂ T2, entonces D(T1) ⊂ D(T2) y T1x =

T2x, ∀x ∈ D(T1). Resulta as´ı:

x ∈ D(T3T1) =⇒ x ∈ D(T1), T1x ∈ D(T3)

=⇒ x ∈ D(T2), T2x ∈ D(T3) =⇒ x ∈ D(T3T2).

Adem´as, ∀x ∈ D(T3T1):

(T3T1)x = T3(T1x) = T3(T2x) = (T3T2)x,

lo que prueba que T3T1 ⊂ T3T2.

Con el otro caso se procede de la misma forma. _

3. Sea H = L2(R) y llamamos D = {f ∈ L2(R) : x · f (x) ∈ L2(R)}. Probar que el operador T : H → H definido por T f (x) = xf (x) con dominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posici´on en Mec´anica Cu´antica.]

Resp.: Veamos que D es denso en L2(R). Para ello, basta observar que D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto y que este conjunto es denso en L2(R).

Veamos a continuaci´on que T es sim´etrico: hT f, gi = Z R xf (x) g(x)dx = Z R f (x) · xg(x)dx = hf, T gi, ∀f, g ∈ D. Esto implica que T ⊂ T∗ (ver proposici´on 1.6).

Por ´ultimo, comprobaremos que D(T∗) ⊂ D(T ):

Sea g ∈ D(T∗) y llamemos g∗ = T∗g. Por definici´on de adjunto, ∀f ∈ D(T ), Z R xf (x) g(x)dx = Z R f (x) g∗_(x)dx.

Si tomamos f (x) = χ[α,x0], la igualdad anterior queda Z x0 α x g(x)dx = Z x0 α g∗(x)dx

y, derivando, x0g(x0) = g∗(x0) para casi todo x0. Esto implica que

g ∈ D y T∗g(x) = xg(x).

De lo anterior se deduce que T es autoadjunto. _

4. Sea H = L2(R) y D = {f ∈ L2(R) : f es absolutamente continua en todo intervalo finito y f0 ∈ L2₍

R)}. Probar que el operador T : H → H definido en D por T f (x) = −if0(x) es autoadjunto. [Este es el operador momento en Mec´anica Cu´antica.]

Resp.: Definimos para cada n la funci´on continua

fn(x) =      1 si x ∈ [α, x0] 0 si x ≤ α − 1/n ´o x ≥ x0+ 1/n recta en el resto.

Las combinaciones lineales de funciones de la forma de fncon

diferen-tes valores de α, x0 y n son densas en L2(R). Por tanto, D es denso en H.

Para probar que T es sim´etrico, sea g ∈ D. Entonces, ∀f ∈ D, inte-grando por partes obtenemos:

Z b a −if0(x) g(x)dx = −if (x) g(x) b a+ Z b a f (x)[ −ig0_(x)]dx.

Como f (x) g(x) es integrable enR, se deduce que l´ım

a→−∞,b→∞f (x) g(x)   b a= 0 y hT f, gi = Z R −if0(x) g(x)dx = Z R f (x)[ −ig0_{(x)]dx = hf, T gi.}

Esto implica que g ∈ D(T∗) y T∗g(x) = −ig0(x), es decir T ⊂ T∗. S´olo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D(T∗) ⊂ D. Sea para ello g ∈ D(T∗) y llamemos g∗ = T∗g. Como sabemos,

Z R −if0(x) g(x)dx = Z R f (x) g∗_{(x)dx, ∀f ∈ D.}

Eligiendo las funciones fn anteriores, la igualdad anterior se escribe como: n Z α α−1/n −i g(x)dx − n Z x0+1/n x0 −i g(x)dx = Z R fn(x) g∗(x)dx. Haciendo n → ∞, obtenemos: −i g(α) − g(x0)
= Z x0 α

g∗(x)dx para casi todos α y x0.

Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g∗ es integrable sobre cualquier intervalo finito. Entonces g(x0) es absolutamente continua

en x0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, −ig0(x0) = g∗(x0)

para casi todo x0. Esto implica que g ∈ D y T∗g(x) = −ig0(x).

_

5. Probar que el operador T1f (x) = if0(x) es sim´etrico en D(T1) =

{f ∈ L2_{[0, 1] : f es absolutamente continua, f (0) = f (1) = 0, f}0 _∈

L2_{[0, 1]} pero no es autoadjunto.}

Resp.: Veamos que T₁∗ = T2 donde T2f (x) = if0(x) tiene dominio

D(T2) = {f ∈ L2[0, 1] : f es absolutamente continua y f0∈ L2[0, 1]}.

Debido a que D(T1) = L2[0, 1], existe el adjunto T1∗. Si g ∈ D(T1∗) y

llamamos g∗= T₁∗g, entonces ∀f ∈ D(T1) : Z 1 0 if0(x) g(x)dx = Z 1 0 f (x) g∗_(x)dx.

Si integramos por partes,R1

0 f (x) g∗(x)dx = − R1 0 f 0_{(x) G}∗_{(x)dx, donde} G∗(x) =R₀xg∗(s)ds. Como f (1) =R1 0 f 0_{(x)dx = 0, entonces} Z 1 0 f0(x)[ G∗_{(x) + i g(x) + c]dx = 0, ∀f ∈ D(T} 1), ∀c.

Por otra parte, ∀h ∈ L2[0, 1], la funci´on H(x) =R₀xh(s)ds−xR₀1h(s)ds est´a en D(T1). Para esta funci´on se tiene:

Z 1 0 n h(x) − Z 1 0 h(s)ds o  G∗_{(x) + i g(x) + cdx = 0.}

Eligiendo c de modo queR1

0[G

R1

0 h(x) G∗(x) + i g(x) + cdx = 0. Al ser h arbitrario, G

∗_{(x) =}

Rx 0 g

∗_{(s)ds = ig(x) − c. Por tanto, g ∈ D(T}

2) y T2g = g∗, lo que

prueba que T₁∗⊂ T₂.

Es claro tambi´en, integrando por partes, que T2⊂ T1∗, lo que completa

la prueba.

_

6. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H. Probar la siguiente equivalencia:

i) T es clausurable ii) D(T∗) = H.

Resp.: La implicaci´on i) =⇒ ii) corresponde a la proposici´on 1.8.b). El rec´ıproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observar que T ⊂ T∗∗ y que T∗∗ es cerrado).

_

7. A la ecuaci´on diferencial f00 − f = g, siendo g ∈ L2_{[0, 1] una}

funci´on conocida, se le asocian los tres problemas de contorno siguientes:

a) f (0) = f (1) = 0. b) f0(0) = f0(1) = 0.

c) f (0) = f (1) y f0(0) = f0(1).

Mostrar que los tres problemas tienen soluci´on ´unica f tal que f0 es absolutamente continua y f00 ∈ L2_{[0, 1].}

Resp.: En el espacio de Hilbert H = L2[0, 1] definimos los operadores Tkf = if0 (k = 1, 2, 3), con dominios

D(T1) = {f ∈ H : f es absolutamente continua y f0∈ H}

D(T2) = {f ∈ D(T1) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1)

D(T3) = {f ∈ D(T2) : f (0) = f (1) = 0} ⊂ D(T2).

Entonces T3 ⊂ T2 ⊂ T1 y adem´as T1∗ = T3, T2∗ = T2 y T3∗ = T1 (como

a) Sea f ∈ D(T₃∗T3); entonces (I + T3∗T3)f = f + T1T3f = f − f00.

Como T3 es cerrado (pues T3 = T1∗), y D(T3) = H, entonces I + T3∗T3 :

D(T₃∗T3) → H es biyectivo (teorema 1.13). As´ı pues, ∀g ∈ H, existe

un ´unico f ∈ D(T₃∗T3) tal que (I + T3∗T3)f = −g, es decir f00− f = g.

Ahora bien, por ser f ∈ D(T₃∗T3), f ∈ D(T3) y T3f ∈ D(T3∗), es decir

f (0) = f (1) = 0, f0 es absolutamente continua y f00 ∈ H, lo que resuelve el problema a).

b) Sea ahora f ∈ D(T₁∗T1); nuevamente, (I + T1∗T1)f = f + T3T1f =

f − f00. El teorema 1.13 prueba tambi´en que el operador I + T₁∗T1 :

D(T₁∗T1) → H es biyectivo. As´ı pues, ∀g ∈ H, existe un ´unico f ∈

D(T₁∗T1) tal que (I + T1∗T1)f = −g, es decir f00− f = g. Dicha soluci´on

verifica ahora que f ∈ D(T1) y T1f ∈ D(T1∗), lo que corresponde a las

condiciones f0(0) = f0(1) = 0, f0 absolutamente continua y f00 ∈ L2[0, 1].

c) Consideramos en este caso f ∈ D(T₂∗T2). Repitiendo el proceso

seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de soluci´on para este problema.

_

8. Dada g ∈ L2(R), probar que la ecuaci´on diferencial f00− f = g tiene soluci´on ´unica f ∈ L2(R) tal que f0, f00 ∈ L2(R) y f, f0 son absolutamente continuas.

Mediante c´alculo directo, encontrar la f´ormula f (x) = −1 2 Z x −∞ et−xg(t)dt −1 2 Z ∞ x ex−tg(t)dt para determinar la soluci´on de la ecuaci´on.

Resp.: Consideramos el operador T f = if0 con dominio el conjunto de funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado deR y cuya derivada est´a en L2(R).

Como dicho dominio es denso en L2(R) y T es autoadjunto, el teorema 1.13 prueba que I + T2 _{: D(T}2_{) → L}2₍

R) es biyectivo. As´ı pues, dado g ∈ L2(R), existe un ´unico f ∈ D(T2) tal que (I + T2)f = −g, es decir f00 − f = g. Como f ∈ D(T ) y f0 ∈ D(T ), la soluci´on f es absolutamente continua y f0 ∈ L2₍

R), as´ı como tambi´en f0 es absolutamente continua y f00 ∈ L2₍

R).

Para resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on f00 − f = g, buscamos en primer lugar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada

f00− f = 0, lo que da el conjunto y = C1ex + C2e−x, con C1, C2

constantes arbitrarias.

A continuaci´on aplicamos el m´etodo de variaci´on de constantes para resolver la ecuaci´on no homog´enea, es decir resolvemos el sistema

C₁0(x)ex+ C₂0(x)e−x = 0 C₁0(x)ex− C₂0(x)e−x = g(x)

el cual tiene como soluci´on C₁0(x) = (1/2)g(x)e−x, C₂0(x) = −(1/2)g(x)ex. La soluci´on general de la ecuaci´on queda pues de la forma indicada en el enunciado.

_

9. Sea E una medida espectral arbitraria (ver definici´on 3.2). Pro-bar que |Ex,y(∆)|2 ≤ Ex,x(∆)Ey,y(∆), ∀x, y ∈ H.

Resp.: Teniendo en cuenta que E(∆) es una proyecci´on ortogonal, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos:

|hE(∆)x, yi|2 = |hE(∆)x, E(∆)yi|2

≤ kE(∆)xk2· kE(∆)yk2 = hE(∆)x, E(∆)xi · hE(∆)y, E(∆)yi = hE(∆)x, xi · hE(∆)y, yi.

_

10. Sea T un operador sim´etrico con dominio denso. Probar que el operador U : R(T + iI) → R(T − iI) definido por

U = (T − iI)(T + iI)−1

(llamado tambi´en transformada de Cayley de T ) es isom´etrico. Resp.: Veamos en primer lugar que existe (T + iI)−1 y es acotado (como operador definido en R(T + iI)). Para ello basta observar la siguiente desigualdad, que es consecuencia de la proposici´on 1.12:

k(T + iI)xk2 = kT xk2+ kxk2 ≥ kxk2, ∀x ∈ D(T ).

Para probar que U es isom´etrico, sean x, y ∈ D(U ). Entonces ∃f, g ∈ D(T ) tales que x = (T + iI)f , y = (T + iI)g. As´ı pues,

hU x, U yi = h(T − iI)f, (T − iI)gi

= hT f, T gi + hT f, −igi + h−if, T gi + h−if, −igi = hT f, T gi + ihf, T gi − ihT f, gi + hif, igi

_

11. En el espacio `2 se define el operador V por V (α1, α2, . . . ) =

(0, α1, α2, . . . ). Probar que V es la transformada de Cayley de

un operador sim´etrico T con ´ındices de defecto 0 y 1, donde, por definici´on, los ´ındices de defecto de un operador sim´etrico T son las dimensiones de R(T + iI)⊥ y R(T − iI)⊥. Hallar una expresi´on de T .

Resp.: (•) Veamos en primer lugar que V es isometr´ıa: ∀α ∈ `2 _{: kαk}2 2= X n∈N |α_n|2 _{y kV αk}2 2= X n∈N |α_n|2 _{= kαk}2 2.

Sin embargo, V no es unitario pues el elemento α = (1/n)n∈Nest´a en

`2 pero no est´a en el rango de V .

(•) Probaremos a continuaci´on que I − V es inyectiva. En efecto, si α ∈ N (I − V ), entonces α = V α, es decir α1= 0, αn+1= αn, ∀n ∈N, de donde α = 0.

(•) De las condiciones anteriores se deduce la existencia de un operador sim´etrico T cuya transformada de Cayley es V , T = i(I + V )(I − V )−1, y D(T ) = R(I − V ).

(•) Calcularemos a continuaci´on los ´ındices de defecto de T : Como D(V ) = `2, R(T + iI) = `2 de donde dim R(T + iI)⊥= 0. Por otra parte, como R(V ) = {(0, α1, α2, . . . ) : P_n∈N|αn|2 < ∞},

entonces R(V )⊥ est´a generado por el elemento (1, 0, 0, . . . ). Teniendo en cuenta que R(V ) = R(T − iI), es evidente que dim R(T − iI)⊥ = 1. (•) Para obtener una expresi´on expl´ıcita de T , observemos que (I − V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α2− α1, . . . ). Por tanto, (I − V )−1(α1, α2, . . . ) = (α1, α1+ α2, . . . , n X k=1 αk, . . . ) (I + V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α1+ α2, . . . , αn−1+ αn, . . . ) =⇒ T (α1, α2, . . . ) = i(I + V )(I − V )−1(α1, α2, . . . ) = i(α1, α2+ 2α1, . . . , αn+ 2 n−1 X k=1 αk, . . . ), con D(T ) = {(αn)n∈N: |α1| 2_+|α 1+α2|2+· · ·+|Pn_k=1αk|2+. . . < ∞}. _

12. Sea T un operador autoadjunto con dominio denso en H y Rz =

(T − zI)−1 el operador resolvente definido en el conjunto de va-lores {z ∈C: ∃(T − zI)−1, R(T − zI) = H}. Probar:

a) kRzxk ≤ (1/|β|)kxk si β = Im z 6= 0.

b) Rz2 − Rz1 = (z2− z1)Rz2Rz1, ∀z1, z2 ∈ ρ(T ).

c) (Rz)∗ = Rz.

Resp.: a) A partir de la igualdad

k(T − zI)xk2 = β2kxk2+ k(T − αI)xk2, ∀x ∈ D(T ), z = α + iβ, si hacemos y = (T − zI)x, resulta kyk2≥ β2_{k(T − zI)}−1_yk2_.

b) Es evidente que

Rz2− Rz1 = Rz2(T − z1I)Rz1 − Rz2(T − z2I)Rz1

= Rz2[(T − z1I) − (T − z2I)]Rz1 = (z2− z1)Rz2Rz1.

De esta relaci´on se deduce la conmutatividad Rz1Rz2 = Rz2Rz1, ∀z1, z2 ∈

ρ(T ).

c) Como D(Rz) = H, existe (Rz)∗. Adem´as, ∀x ∈ D(Rz), y ∈ D(Rz):

hRzx, yi = hRzx, (T − zI)Rzyi = h(T − zI)Rzx, Rzyi

= hx, Rzyi =⇒ Rz = (Rz)∗.

TEMAS COMPLEMENTARIOS.

1. Operadores de multiplicaci´on y derivaci´on ([AG], [Kr]). 2. Semigrupos de operadores ([Ru]).

3. Operadores no acotados en Mec´anica Cu´antica ([Kr]).

4. Operadores cerrados y clausurables. Teorema de la aplicaci´on abierta para operadores no acotados ([CC]).