La fila 2 corresponde a la restricción 2, referente a la disponibilidad del recurso B , para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso B se utilizan 18 unidades, de las 18 disponibles, por ello la holgura o sobrante de dicho recurso es de 0 unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso B, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $2,50 siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 0 ≤ b2 ≤ ∞ ; que son los valores que hacen que la solución actual per- manezca factible. También se puede asegurar que, lo máximo a pagar por una unidad adicional del recurso B es $2,50; si pagamos más de $2,50 se perderá utilidad en una cantidad igual a la diferencia entre el precio de compra y $2,50, si pagamos menos de
$2,50 obtendremos un incremento en la utilidad igual a la diferencia entre $2,50 y el valor pagado por la unidad adicional de recurso B; si pagamos justamente $2,50 no incrementamos ni disminuimos el beneficio total.
e. Haga un análisis de sensibilidad para cada uno de los Cj de las variables de decisión.
f. Si datos más recientes, establecen que la función objetivo es: Zx = -X1 + 3X2 + X3
¿Es la solución actual todavía óptima? Si no, encuentre la nueva solución óptima.
g. Suponga que queremos investigar el efecto de cambiar la función objetiva a: Zx
= -X1 + X2 – 2X3 ¿Aún será óptima la solución actual? Si no, encuentre la nueva solución óptima.
h. Haga un análisis de sensibilidad para cada uno de los bi
i. Si solo hay disponibles 10 unidades del recurso B, ¿El óptimo será el mismo? Si no, encuentre la nueva solución óptima.
j. ¿Cambia la solución óptima si añadimos la restricción: X1 + X2 + X3 ≤ 8? Si cambia,
¿Cuál es la nueva solución óptima?
k. Suponga que se desea activar una cuarta actividad (X7), y que el nuevo modelo matemático es:
Maximizar Zx = -X1 + 3X2 – 2X3 + X7
c.s.r.
3X1 - X2 + 2X3 + X7 ≤ 7 Recurso A -2X1 + 4X2 - 2X7 ≤ 12 Recurso B -4X1 + 3X2 + 8X3 - X7 ≤ 10 Recurso C Xj ≥ 0; j = 1, 2, 3
¿Es la solución actual con X7 = 0 aún óptima? Si no, encuentre la nueva solución óptima.
Solución:
a. X1* = 4; X2* = 5; X3* = X4* = X5* = 0; X6* = 11; Zx* = 11 b.
c. Y1* = 1/5; Y2* = 4/5; Y3* = Y4* = Y5* = 0; Y6* = 12/5; Zy* = 11 d. Y1* = 1/5; Y2* = 4/5; Y3* = 0
e. -1,5 ≤ C1 ≤ ∞; 2 ≤ C2 ≤ ∞; -∞ ≤ C3 ≤ 0,4
f. X1* = 3,12; X2* = 4,56; X3* = 1,10; X4* = X5* = X6* = 0; Zx* = 11,66; Y1* = 0,26; Y2*
= 0,77; Y3* = 0,06; Y4* = Y5* = Y6* = 0; Zy* = 11,66
g. X1* = 0; X2* = 3; X3* = 0; X4* = 10; X5* = 0; X6* = 1; Zx* = 3; Y1* = 0; Y2* = 0,25; Y3*
= 0; Y4* = 0,5; Y5* = 0; Y6* = 2; Zy* = 3 Minimizar Zy = 7Y1 + 12Y2 + 10Y3
c.s.r.
3Y1 - 2Y2 - 4Y3 ≥ -1 -Y1 + 4Y2 + 3Y3 ≥ 3
2Y1 + 8Y3 ≥ -2
Yj ≥ 0; j = 1, 2, 3
h. -3 ≤ b1 ≤ ∞; -4,6 ≤ b2 ≤ 34; -1 ≤ b3 ≤ ∞
i. X1* = 3,8; X2* = 4,4; X3* = X4* = X5* = 0; X6* = 12; Zx* = 9,4; Y1* = 0,2; Y2* = 0,8; Y3*
= Y4* = Y5* = 0; Y6* = 2,4; Zy* = 9,4
j. X1* = 3,3; X2* = 4,6; X3* = 0; X4* = 1,6; X5* = 0; X6* = 9,3; X7* = 0; Zx* = 10,6; Y1* = 0; Y2* = 0,6; Y3* = 0; Y4* = 0,3; Y5* = 0; Y6* = 0; Y7* = 2,3; Zy* = 10,6
k. X1* = 0; X2* = 8,5; X3* = 0; X7* = 15,5; X4* = 0; X5* = 9; X6* = 0; Zx* = 41; Y1* = 3; Y2*
= 0; Y3* = 2; Y4* = 2; Y5* = 0; Y6* = 24; Y7* = 0; Zy* = 41
4.2 Se ha concedido licencia a una nueva empresa de turismo para realizar vuelos entre Bogotá y las Islas de San Andrés y Providencia e Interinsulares (Vuelos entre las islas del archipiélago). Para ello, debe comprar turborreactores con los que cubrir los vuelos entre Bogotá y las Islas, así como Aviones de Hélice y/o helicópteros con los que servir los vuelos interinsulares. El presupuesto de compra es de $2.800’000.000.
Las características de los aparatos que puede comprar la empresa de turismo son:
Tipo de aparato Costo por unidad
(en millones de $)
Mantenimiento por unidad
($/día)
Requerimientos de tripulación Capacidad
Pasajeros/
Pilotos Copilotos Azafatas mes
Turborreactores 300 120.000 2 - 2 4.000
Aviones de Hélice 100 60.000 1 1 1 300
Helicópteros 50 30.000 1 - - 100
Se pueden contratar como máximo 10 pilotos y 16 azafatas. Se desea contratar al menos 3 copilotos. El tráfico entre Bogotá y las Islas de San Andrés se estima en 8.000 pasajeros por mes; y el interinsular en 500 pasajeros por mes. El permiso concedido requiere que el número mínimo de aparatos sea de 15. La empresa de turismo desea operar con costos de mantenimiento mínimos.
a. Formular un modelo de programación Lineal que proporcione el plan óptimo de compra que minimice el costo del mantenimiento diario.
b. Resolver e interpretar la solución, manualmente y con el Software WinQsb.
c. Si existe la posibilidad de contratar 10 pilotos más, ¿Cuál será la nueva solución?
d. Adicionalmente, un cambio en el contrato reduce el número mínimo de aparatos a 14, ¿Cuál es el efecto económico a esta modificación?
Solución
b. No tiene solución
c. X1* = 2 Turborreactores; X2* = 3 Aviones de hélice; X3* = 10 Helicópteros; X4* = 1.400; X5* = 3; X6* = 9; X7* = X8* = 0; X9* = 1.400; X10* = 0; Zx* = $720.000; Y1* = Y2* = Y3* = 0; Y4* = 30.000; Y5* = 22,5; Y6* = 0; Y7* = 30.000; Y8* = Y9* = Y10* = 0;
Zy* = $720.000
d. X1* = 2 Turborreactores; X2* = 3 Aviones de hélice; X3* = 9 Helicópteros; X4* = 1.450; X5* = 4; X6* = 9; X7* = X8* = 0; X9* = 1.300; X10* = 0; Zx* = $690.000; Y1* = Y2* = Y3* = 0; Y4* = 30.000; Y5* = 22,5; Y6* = 0; Y7* = 30.000; Y8* = Y9* = Y10* = 0; Zy*
= $690.000. Disminuyen los costos totales de mantenimiento diarios a $690.000;
una disminución de: $30.000 por día.
4.3 Una editorial dispone para impresión de 4.500 horas y para encuadernación de 4.000 horas. La tabla que sigue suministra los tiempos, en horas, empleados en ambas tareas para cuatro libros Li ; i = 1,2,3,4 así como su beneficio por unidad en miles de pesos.
Tipo de libro L1 L2 L3 L4
Impresión (horas/unidad) 0,1 0,3 0,8 0,4
Encuadernación (horas/unidad) 0,2 0,1 0,1 0,3
Beneficio por unidad (en miles de pesos) 1 1 4 3
a. Formule un modelo de programación lineal que proporcione el máximo beneficio y resuélvalo empleando el software WinQsb.
b. Suponga que el departamento comercial de la editorial no encuentra la solución razonable, y cree que, a lo sumo, se podrá vender 5.000 copias del libro L4 a ese precio. Para vender 10.000, su beneficio deberá bajar en $2.000 por copia. ¿Qué consecuencias tiene ésta hipótesis?. Obtener la mejor solución.
c. Al director de la editorial le gustaría imprimir el libro L2 . Desearía saber las con- secuencias sobre el beneficio, así como la producción de los libros L1 y L4 si se producen 2.000 copias de L2.
Nota: Asuma que las variables son del tipo enteras.
Solución:
a. X1* = 5.000; X2* = X3* = X5* = X6* = 0; X4* = 10.000; Zx* = $35’000.000; Y1* = 6.000;
Y2* = 2.000; Y3* = Y6* = 0; Y4* = Y5* = 1.000; Zy* = 35’000.000
b. Lo mejor es asumir una venta máxima de 5.000 libros tipo L4 con un beneficio de $3.000 por unidad, para un beneficio total es $33’333.000
c. Por cada unidad de L2 que produzca, el beneficio disminuye en $1.000, luego, si produce 2.000 unidades de L2 el beneficio disminuye en $2’000.000; la nueva solución es: X1* = 7.000; X2* = 2.000; X3* = 0; X4* = 8.000; X5* = X6* = X7* = 0; Zx*
= 33’000.000
4.4 Del problema principal, sabemos que una unidad de X1 contribuye con $6 por unidad a la utilidad, requiere 2 horas en el departamento A y 1 hora en el departa- mento B. Una unidad de X2 contribuye con $7 por unidad a la utilidad y requiere 1 hora en el departamento A y 3 horas en el departamento B. La capacidad máxima para cada departamento es de 40 horas.
Formule el dual e indique el valor que se incrementa la utilidad por cada hora adicional, en cada departamento.
Solución: $2,20 y $1,60 por hora adicional en los departamentos A y B respectiva- mente.
4.5 Un taller de artesanías fabrica dos productos en dos departamentos. El producto X1 contribuye con $6 por unidad a la utilidad y toma 6 horas en el departamento 1 y 6 horas en el departamento 2. El producto X2 contribuye con $14 por unidad a la utilidad y toma 8 horas en el departamento 1 y 2 horas en el departamento 2.
Los departamentos 1 y 2 tiene capacidad de producción durante 38 y 42 horas por semana, respectivamente. Indique el número máximo de producción en unidades para maximizar la utilidad y muestre la diferencia en la contribución a la utilidad por cada hora adicional en los departamentos 1 y 2 respectivamente.
Solución: X1* = 0; X2* = 4,75; Zx* = $66,50; Y1* = $1,75; Y2* = $0
4.6 He aquí la función objetivo de beneficio, las restricciones por departamento y la tabla simplex óptima para un problema de mezcla de productos de programación lineal convexa:
Maximizar Zx = 2X1 + 5X2 + 8X3
c.s.r.
6X1 + 8X2 + 4X3 ≤ 96 Departamento 1 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 40 Departamento 2 5X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 60 Departamento 3
Xj ≥ 0; j=1, 2, 3
Cj → 2 5 8 0 0 0
↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6
5 X2 8/3 1/3 1 0 1/6 -1/3 0
8 X3 56/3 5/6 0 1 -1/12 2/3 0
0 X6 44/3 7/3 0 0 -1/3 -1/3 1
Zj - Cj 488/3 19/3 0 0 1/6 11/3 0
a. Comente sobre el beneficio adicional para la compañía al añadir capacidad adicional en cada uno de los tres departamentos.
b. Determine el rango para los recursos de cada departamento, sobre el cual los precios marginales (precio sombra) son válidos.
c. Determine el rango sobre el cual los coeficientes de X2 y X3 pueden variar sin afectar la solución óptima.
d. ¿Cuál tendría que ser la contribución por unidad (C1) de X1 para que fuera variable básica en el tablero de la solución óptima?
Solución:
a. Y1* = 1/6; Y2* = 11/3; Y3* = 0
b. 80 ≤ b1 ≤ 140; 12 ≤ b2 ≤ 48; 45,3 ≤ b3 ≤ ∞ c. 4 ≤ C2≤ 16; 2,5 ≤ C3≤ 10
d. 8,3 < C1 ≤ ∞
4.7 Del problema principal sabemos que una unidad del producto uno contribuye a la utilidad con $7 y que requiere 3 unidades de entrada 1 (1 ingrediente) y 2 horas de mano de obra. Una unidad del producto 2 contribuye a la utilidad con $5 y requiere 1 unidad de entrada 1 y 1 hora de mano de obra. La capacidad de las entradas es actualmente de 48 unidades y hay 40 horas de mano de obra. Formule el dual de este problema e indique el valor para la firma de otra unidad de entrada 1 y otra hora de mano de obra.
Solución: Y1* = $0; Y2* = $5
4.8 He aquí la función objetivo, las restricciones, y la tabla simplex óptima de un pro- blema de programación lineal convexa de mezclas que involucra 4 productos y 3 departamentos.
Maximizar Zx = 2X1 + 4X2 + X3 + X4
c.s.r.
X1 + 3X2 + X4 ≤ 4 Departamento 1
2X1 + X2 ≤ 3 Departamento 2
X2 + 4X3 + X4 ≤ 3 Departamento 3 Xj ≥ 0; j=1, 2, 3, 4
Cj → 2 4 1 1 0 0 0
↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
4 X2 1 0 1 0 2/5 2/5 -1/5 0
2 X1 1 1 0 0 -1/5 -1/5 3/5 0
1 X3 1/2 0 0 1 3/20 -1/10 1/20 1/4
Zj - Cj 13/2 0 0 0 7/20 11/10 9/20 1/4
a. Comente sobre el valor que tiene para esta compañía el añadir capacidad adi- cional en cada uno de los tres departamentos.
b. Determine el rango para los recursos de cada departamento, sobre el cual los precios marginales (precio sombra) son válidos.
c. Determine el rango sobre el cual cada uno de los coeficientes de X1, X2, X3 y X4 puede variar sin afectar la solución óptima.
d. ¿Cuál tendría que ser la contribución (C4) de X4 para que fuera variable básica en el tablero de la solución óptima?
Solución:
a. Y1* = 11/10; Y2 *= 9/20; Y3* = 1/4
b. 1,5 ≤ b1 ≤ 9; 1,3 ≤ b2 ≤ 8; 1 ≤ b3 ≤ ∞
c. 1,25 ≤ C1 ≤ 3,75; 3,125 ≤ C2 ≤ 6,25; 0 ≤ C3 ≤ 12; -∞ ≤ C4 ≤ 1,35 d. 1,35 < C4 ≤ ∞
4.9 Considere el siguiente problema de programación lineal convexa:
Maximizar Zx = C1X1 + C2X2
c.s.r.
2X1 - X2 ≤ b1 Recurso A X1 - X2 ≤ b2 Recurso B Xj ≥ 0; j = 1, 2
Sean X3 y X4 las variables de holgura para las restricciones correspondientes a los recursos A y B, respectivamente. Cuando C1=3, C2=-2, b1=30 y b2=10, el método simplex llevó a la siguiente tabla óptima:
Cj → 3 -2 0 0
↓ V.B. b X1 X2 X3 X4
-2 X2 10 0 1 1 -2
3 X1 20 1 0 1 -1
Zj - Cj 40 0 0 1 1
a. Formule el problema dual.
b. Escriba la solución al problema principal.
c. Escriba la solución al problema dual.
d. ¿En cuánto se incrementa Z por unidad adicional de recurso A? ¿En cuánto se incrementa Z por unidad adicional de recurso B?
e. ¿En cuánto se reduce Z por unidad adicional del producto X1? ¿En cuánto se reduce Z por unidad adicional del producto X2?
f. Haga un análisis de sensibilidad para la disponibilidad del recurso A (b1). Haga un análisis de sensibilidad para la disponibilidad del recurso B (b2).
g. Haga un análisis de sensibilidad para C1 y C2
h. Si se ofrecen 5 unidades adicionales del recurso A por un valor total de 25 unida- des monetarias. ¿Usted las compraría? Explique la respuesta claramente.
i. ¿Hasta cuánto pagaría Usted como máximo por una unidad adicional de recurso b?
j. Si el recurso B se incrementa en 10 unidades, ¿El tablero óptimo actual se man- tiene? Si no, encuentre la nueva solución óptima.
Solución:
a.
Minimizar Zy = 30Y1 + 10Y2
c.s.r.
2Y1 + Y2 ≥ 3
-Y1 - Y2 ≥ -2 Yi ≥ 0; i = 1, 2
b. X1* = 20; X2* = 10; X3* = X4* = 0; Zx* = 40 c. Y1* = 1; Y2* = 1; Y3* = Y4* = 0; Zy* = 40 d. Y1* = 1; Y2* = 1
e. Y3* = Y4* = 0
f. 20≤b1≤∞; -∞≤b2≤15 g. 2 ≤ C1 ≤ 4; -3 ≤ C2 ≤ -1,5
h. No, porque se pierden 20 unidades monetarias.
i. Hasta 1 unidad monetaria.
j. X1* = 15; X2* = 0; X3* = 0; X4* = 5; Zx* = 45; Y1* = 1,5; Y2* = 0; Y3* = 0; Y4* = 0,5;
Zy* = 45