El problema general es:
Al haber calculado una solución básica factible (con cualquiera de los tres (3) méto- dos estudiados: Esquina noroeste, costo mínimo o Vogel), aparecen en la función objetivo todas las variables básicas, y cualquier múltiplo de las restricciones puede sumarse de la función objetiva para eliminarlas, llamamos estos múltiplos ui y vj ; matemáticamente:
Aquí, fácilmente se deduce que:
1. Para las variables básicas, se debe cumplir que: Cij – ui – vj = 0 2. Los nuevos coeficientes de las variables no básicas son: Cij – ui – v
Partiendo de la solución básica factible encontrada por el método de vogel, se aplica el método de modi, para averiguar cual es la variable no básica que debe entrar y cual la variable básica que debe salir. Para ello, se deben seguir los siguientes pasos:
i=1 j=1
Minimice Z = ∑ ∑ Cm n ijXij
∑ Xij = ai ; i = 1, . . . , m
j=1 n
∑ Xij = bj ; j = 1, . . . , n
i=1 m
Con las siguientes restricciones
Xij ≥ 0; i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
i=1 j=1
Minimice Z = ∑ ∑ Cm n ijXij
Con las siguientes restricciones ai - ∑ Xij = 0 ; i = 1, . . . , m
j=1 n
bj - ∑ Xij = 0 ; j = 1, . . . , n
i=1 m
Xij ≥ 0; i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
⇨
i=1 j=1
Z = ∑ ∑ Cm n ijXij
Con las siguientes restricciones
[
ai - ∑ Xij = 0]
ui ; i = 1, . . . , mj=1 n
[
bj - ∑ Xij = 0]
vj ; j = 1, . . . , ni=1 m
Xij ≥ 0; i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
El objetivo es: Encontrar los valores para las constantes ui y vj, de tal manera que al sumar los múltiplos de las restricciones a la función objetivo, se eliminen las variables básicas.
i=1 j=1
Z = ∑ ∑ Cm n ijXij + ui
[
ai - ∑ Xj=1n ij]
+ vj[
bj - ∑ Xi=1m ij]
i=1 j=1
Z = ∑ ∑ Cm n ijXij + ∑uiai - ∑ ∑ uiXij + ∑vjbj - ∑ ∑vjXij
j=1
n m
i=1 j=1 n i=1
m i=1 m
j=1 n
i=1 j=1
Z = ∑ ∑ (Cm n ij-ui-vj)Xij + ∑uiai + ∑vjbj
i=1 m
j=1 n
1. Construimos una tabla resumen con las asignaciones básicas factibles encon- trada, con cualquiera de los tres métodos estudiados (esquina noroeste, costo mínimo, vogel).
2. Construimos una tabla de costos para las variables básicas y en ella calculamos los ui y los vj que cumplan Cij – ui – vj = 0
3. Construimos una tabla de costos, coeficientes en la función objetiva para las variables no básicas cuyo valor es Cij – ui – vj
40 40 Tabla de asignaciones Z = 2.650
Solución básica factible no degenerada lograda me- diante el método de vogel, con m+n-1=8 variables básicas.
30 20 10 60
40 30 70
40 10 50
30 40 50 40 60 220
1 2 3 4 5 ui Tabla de costos para las variables básicas.
Se asigna el primer valor de ui o de vj arbitrariamente, Preferentemente 0 (Puede ser cualquier valor) en la fila o columna, que tenga la mayor cantidad de asignacio- nes (Variables Básicas), para este caso, fila 2 o columna 5, ambos con 3 asignaciones. Aquí, se escogió la fila 2.
Con base en este primer valor, calculamos todos los ui y vj , aplicando Cij – ui – vj = 0, para ui = Cij – vj o para vj
= Cij – ui , así:
1 16
2 15 13 16 0
3 15 18
4 0 0
vj
C21 – u2 – v1 = 0 v1 = C21 – u2
v1 = 15 – 0 v1 = 15
C23 – u2 – v3 = 0 v3 = C23 – u2
v3 = 13 – 0 v3 = 13
C25 – u2 – v5 = 0 v5 = C25 – u2
v5 = 16 – 0 v5 = 16
La tabla, queda de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 ui Con los valores de v1=15, v3=13 y v5=16, se calculan los valores para u1, u3 y u4, de la siguiente forma:
1 16
2 15 13 16 0
3 15 18
4 0 0
vj 15 13 16
C15 – u1 – v5 = 0 u1 = C15 – v5
u1 = 16 – 16 u1 = 0
C33 – u3 – v3 = 0 u3 = C33 – v3
u3 = 18 – 13 u3 = 5
C45 – u4 – v5 = 0 u4 = C45 – v5
u4 = 0 – 16 u4 = -16
La tabla, queda de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 ui Con los valores de u3=5 y de u4=-16 se calculan los valores para v2 y v4 de la siguiente manera:
1 16 0
2 15 13 16 0
3 15 18 5
4 0 0 -16
vj 15 13 16
C32 – u3 – v2 = 0 v2 = C32 – u3
v2 = 15 – 5 v2 = 10
C44 – u4 – v4 = 0 v4 = C44 – u4
v4 = 0 – (-16) v4 = 16
La tabla, queda de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 ui Observe que los valores encontrados para los ui y los vj, son las constantes por las cuales se multiplica cada una de las restricciones, para que al ser sumadas en la función objetivo, se eliminen todas las variablea básicas a excepción de Z.
1 16 0
2 15 13 16 0
3 15 18 5
4 0 0 -16
vj 15 10 13 16 16
El cálculo para cualquier ui ,es el costo menos su respectivo vj y para cualquier vj , es el costo menos el respectivo ui
Ahora, se construye la tabla de costos para las variables no básicas, empleando la condición de que su valor es: Cij – ui - vj
1 2 3 4 5 ui En la parte superior derecha de cada celda correspon- diente a las variables básicas, se ha colocado su respec- tivo Cij para proceder al cálculo de la tabla de costos de las variables no básicas. Los cálculos son los siguientes:
1 20 19 14 21 0
2 20 19 0
3 18 20 M 5
4 0 0 0 -16
vj 15 10 13 16 16 C11 – u1 – v1
20 – 0 – 15 5
C12 – u1 – v2
19 – 0 – 10 9
C13 – u1 – v3
14 – 0 – 13 1
C14 – u1 – v4
21 – 0 - 16 5
C22 – u2 – v2
20 – 0 – 10 10
Z = 5X11+9X12+X13+5X14+10X22+3X24-2X31-X34+(M-21)X35+X41+6X42+3X43+2.650 C24 – u2 – v4
19 – 0 – 16 3
C31 – u3 – v1
18 – 5 – 15 -2
C34 – u3 – v4
20 – 5 – 16 -1
C41 – u4 – v1
0 – (-16) – 15 1
C42 – u4 – v2
0 – (-16) – 10 6
C43 – u4 – v3
0 – (-16) – 13 3
Los valores encontrados son los coeficientes de las variables no bá- sicas en función objetivo, después de haberle sumado múltiplos de las restricciones. La tabla queda así:
1 2 3 4 5 Esta es la tabla de costos de las variables no básicas, dicho de otra forma, son los coeficientes de las va- riables no básicas en la función objetivo, después de haberle sumado múltiplos de las restricciones para eliminar las variables básicas, a excepción de Z.
1 5 9 1 5
2 10 3
3 -2 -1 M-21
4 1 6 3
Observe que en la tabla de costos para las variables no básicas se encuentran los valores en que aumenta ó disminuye Z por cada unidad de crecimiento de las variables no básicas.
La variable que al crecer hace que Z disminuya más es X31 , luego escogemos esta variable para entrar a la base.
En el caso de un problema de maximización, la variable que entra es aquella que al crecer haga que Z crezca más; dicho de otra manera, aquella variable no básica que tenga el coeficiente más positivo.
Identificada la variable para entrar (X31), debemos determinar la variable para salir, que debe ser aquella que primero se vuelva cero (0) a medida que la variable que entra crezca, para ello, en la tabla de asignaciones, construimos un circuito cerrado de (+) y (-) con trayectorias horizontales y verticales, empezando, sumando en la casilla de la variable que entra X31. Observe que el circuito de (+) y (-) tiene como objetivo preservar la suma de las filas y de las columnas, esto es, seguir satisfaciendo la oferta y la demanda, conservando la factibilidad del problema.
Se observa que a medida que X31 crece, X21 y X33 decrecen en la misma cantidad.
Aquí X21 y X33 llegan a cero al mismo tiempo. Escogemos arbitrariamente a X33 como variable que sale y a X21 al restarle 30 quedará con un valor de ε = 0.
Lo máximo que puede crecer la variable que entra (X31) es 30 unidades, crecer por encima de esta cifra vuelve negativas las variables que decrecen X21 y X33 volviendo la solución infactible al no cumplir con la condición de no negatividad.
Al efectuar las operaciones de suma y resta en cada casilla, los nuevos valores, para las variables involucradas son:
X31(nueva) = 0 + 30 = 30 X21(nueva) = 30 - 30 = ε
40 40 La variable que sale, es aquella que primero llegue a cero (0) a medida que la variable que entra (X31) crece.
30- 20+ 10 60
+ 40 30- 70
40 10 50
30 40 50 40 60 220