Cambio en bi

El análisis de este caso nos revelará el significado de las variables del dual, que dan origen a dos conceptos de interpretación económica denominados el precio sombra y el costo reducido. En la práctica, es muy usado, ya que se trata de cambios efectuados sobre la disponibilidad de los recursos.

Un cambio en un bi afecta los valores de las variables básicas en la solución óptima, haciendo que esta siga factible o no, pudiendo afectar la factibilidad del problema. Si al efectuar el cambio, al menos un bi se hace < 0, entonces se hace necesario aplicar el método dual–simplex.

0 2

∞

C2

De la gráfica 4.2 se concluye que los valores de C2 deben estar en el intervalo:

2 ≤ C2 ≤ ∞ para que el tablero óptimo actual se mantenga.

El coeficiente de la variable de holgura de la ecuación donde ocurre el cambio, nos indica el número de veces que cada ecuación ha sido sumada ó restada de las demás ecuaciones o sea el número de veces que ocurre el cambio, siendo el cambio la diferencia entre el nuevo y el actual valor de bi

Para este caso se propone cambiar la segunda restricción de la siguiente forma:3X1

+ 2X2 ≤ 18 a 3X1 + 2X2 ≤ 14. Restricción donde ocurre el cambio es la segunda.

Variable que inicia con coeficiente uno (1) en la restricción dos: La variable artificial X4, entonces:

Los coeficientes de X4 en cada fila del tablero simplex óptimo actual, indican el nú- mero de veces que ocurrió el cambio en cada fila, sobre el término independiente.

Se define como el cambio, la diferencia entre el nuevo y el actual valor de bi en el tablero óptimo actual del simplex.

El cambio es: ∆ = bi(nuevo) - bi(actual)

para el ejemplo actual, el cambio es: ∆ = (14-18) b

(actual)

Coeficientes de X4

en el tablero simplex óptimo actual.

El cambio∆ Como los bi nuevos son ≥0 (4, 7), el tablero simplex óptimo actual se mantine factible. Si al menos un bi nuevo fuese < 0 (negativo, NO factible). Entonces, se modifi- ca el tablero simplex óptimo con los nuevos bi y se itera empleando el método Dual-Simplex.

b =

(

)

(

)

Número de veces que ocurre el cambio

en cada fila

X1* = 0 X2* = 7 X3* = 4

X4* = 0 Zx* = 35

Y1* = 0 Y2* = 5/2 Y3* = 9/2

Y4* = 0 Zy* = 35

Una manera de demostrar lo anterior, consiste en repetir el ejercicio, pero expresan- do el nuevo valor de b2 en función del valor presente de b2; esto es: 18 + (14 - 18) que es equivalente a: b2 = 14, lo anterior, para observar que cambios se producen sobre la solución óptima y que elementos los producen.

Maximizar Zx = 3X1 + 5X2

⇨

Maximizar Zx = 3X1 + 5X2

c.s.r. c.s.r.

X1 ≤ 4 X1 + X3 = 4

3X1+ 2X2≤ 18 +(14-18) 3X1+ 2X2 + X4 = 18 +(14-18) Xj ≥ 0; j = 1, 2 Xj ≥ 0; j = 1, 2

Cj → 3 5 0 0

↓ VB b X1 X2 X3 X4 b/a

0 X3 4 1 0 1 0 NR

0 X4 18+(14-18) 3 2 0 1 9 →(1/2)

Zj - Cj 0 -3 -5 0 0

↑

Cj → 3 5 0 0 Fíjese que los elementos de b son

exactamente identicos a los calculados anteriormente.

↓ VB b X1 X2 X3 X4

0 X3 4 1 0 1 0

5 X2 9+1/2(14-18) 3/2 1 0 1/2 Zj - Cj 45+5/2(14-18) 9/2 0 0 5/2

Cj → 3 5 0 0 Tablero simplex óptimo y factible, en donde X1*=0; X2*=7; X3*=4; X4*=0; Zx*=35 los valores de las variables duales (precio sombra y costo re- ducido), quedan iguales. Y1*=0; Y2*=5/2; Y3*=9/2;

Y4*=0; Zy*=35

↓ VB b X1 X2 X3 X4

0 X3 4 1 0 1 0

5 X2 7 3/2 1 0 1/2

Zj - Cj 35 9/2 0 0 5/2

Fíjese que si el incremento en b2 es de solo una unidad (de 18 a 19), entonces el ∆=19- 18=1 y el incremento en Z es de 45+1(5/2) y siendo 5/2 el valor de Y2*, luego el valor de Y2*=5/2 es lo que Z* se incrementa por una unidad adicional de recurso b2; lo anterior es la interpretación del PRECIO SOMBRA o VALOR MÁXIMO A PAGAR POR UNA UNIDAD ADICIONAL DE RECURSO b2

Análisis de sensibilidad para bi

Ahora la pregunta es: ¿Entre que valores pueden cambiar los bi (Recursos) , de tal forma que se mantenga el tablero óptimo actual factible?

Para contestar esta pregunta, basta con plantear las ecuaciones que calculan los valores de los bi nuevos, remplazando el nuevo bi, por un valor cualquiera que cumpla con la condición de que el nuevo valor de las variables básicas sea ≥ 0 que mantenga la respuesta actual factible.

Análisis de sensibilidad para b1

Cj → 3 5 0 0 Solución óptima actual: La variable de holgura de la fila uno, donde ocurre el cambio es X3, luego, los coeficientes de X3 en el tablero óptimo, indican el número de veces que ocurrió el cambio en cada fila, siendo el cambio: (b1 – 4), entonces, los nuevos bi son:

↓ VB b X1 X2 X3 X4

0 X3 4 1 0 1 0

5 X2 9 3/2 1 0 1/2

Zj - Cj 45 9/2 0 0 5/2

4 + 1 (b1 - 4) ≥ 0 b1 ≥ 0

9 + 0(b1 - 4) ≥ 0 9 ≥ 0

No informa nada sobre el comportamiento de b1

Luego b1 debe tomar valores entre 0

≤ b1 ≤ ∞ para que el tablero simplex óptimo actual se mantenga factible.

Gráfica 4.3 Intervalo para b1

Fuente: El autor.

Análisis de sensibilidad para b2

Cj → 3 5 0 0 Solución óptima actual: La variable de holgura de la fila dos, donde ocurre el cambio es X4, luego, los coeficientes de X4 en el tablero óptimo, indican el número de veces que ocurrió el cambio en cada fila, siendo el cambio: (b2 – 18), entonces, los nue- vos bi son:

↓ VB b X1 X2 X3 X4

0 X3 4 1 0 1 0

5 X2 9 3/2 1 0 1/2

Zj - Cj 45 9/2 0 0 5/2

4 + 0 (b2 - 18) ≥ 0 4 ≥ 0

No informa nada sobre el comportamiento de b2

9 + 1/2(b2 - 18) ≥ 0 9 + 1/2b2 - 9 ≥ 0

1/2b2 ≥ 0 b2 ≥ 0

Luego b2 debe tomar valores entre 0 ≤ b2 ≤ ∞ para que el tablero sim- plex óptimo actual se mantenga factible.

Gráfica 4.4 Intervalo para b2

0

∞

b2

Fuente: El autor.

Es interesante observar que le sucede al valor actual de Z* cuando se hace un cambio de una unidad en bi

Cambio en b1 de 4 a 5

(0) 45 + 0(5-4) = 45 + 0(1) = 45 Aquí, Z* = 45 no aumentó. Observe que la (1) 4 + 1(5-4) = 4 + 1(1) = 5 primera variable del dual Y1 vale cero (0) (2) 9 + 0(5-4) = 9 + 0(1) = 9

0

∞

b1

Cambio en b2 de 18 a 19

(0) 45 + 5/2(19-18) = 45 + 5/2(1) = 95/2 Aquí, Z* = 95/2 aumentó en 5/2 (1) 4 + 0(19-18) = 4 + 0(1) = 4 Observe que la segunda variable (2) 9 + 1/2(19-18) = 9 + 1/2(1) = 19/2 del dual Y2 vale 5/2

Lo anterior significa que las variables reales del dual (Y1* , Y2*) son el incremento de Z* por unidad de recurso aumentado, siempre y cuando este aumento de los recursos se mantenga dentro del rango de sensibilidad (0 ≤ b1 ≤ ∞) y (0 ≤ b2 ≤ ∞). Por ello, el valor de las variables reales del dual es llamado el precio sombra.

De manera similar, las variables de holgura del dual (Y3* , Y4*) indican lo que Z*

disminuye por cada unidad que se decida hacer crecer a una variable NO básica, esto se llama el costo reducido.