Aplicaciones

En esta sección identificaremos el espacio dual de L^p(µ,X) para 1 ≤ ^p < ∞. Veremos que la afirmación L^p(µ,X)^∗ = L^q(µ,X^∗)(donde ¹_p+¹_q =1) es en realidad una reformulación de la propiedad de Radon-Nikodým paraX^∗.

Como siempre, X será un espacio de Banach y (^Ω,Σ,µ) un espacio de medida finita. Empezaremos haciendo las siguientes observaciones.

Observacion 3.12. Para1≤ ^p<∞, las funciones simples son densas en L^p(µ,X). En efecto: debido al Corolario 2.6, dada f ∈ ^Lp(µ,X) existe una sucesión de funcionesµ-medibles(fn)^∞_n=1 que toman solamente una cantidad a lo más numer- able de valores tal que

k^f− ^fnk ≤ ¹_n ^{para toda n}∈^{N µ-ctp.}

Entonces

k^fnk^p≤

k^fk+ ¹ n

p

≤^2p

k^fk^p+ ¹ n^p

,

y comoµ(^Ω)< ∞se sigue que Z

k^fnk^pdµ<∞.

Escribiendo fn=^P∞_m=1xnmEnm, donde Eni∩^Enj =^∅sii6= j, Enm ∈^{Σy x}nm ∈^X, tenemos que como

Z

Ωk^fnk^pdµ= Z

∪^∞_m=1^Enm

k^fnk^pdµ, entonces

Z

∪^∞_j=m+1E_njk^fnk^pdµ−→^0, cuandom→^∞, para cadan∈^N.

Así, dadon∈^NexistePnsuficientemente grande tal que Z

∪^∞_m=Pn+1Enm

k^fnk^p< ^µ(^Ω) n . Seaϕn =^PP_mⁿ₌₁xnmχEnm, cada ϕnes simple y

Z

Ωk^f−^ϕnk^p ≤^2p Z

Ωk^f− ^fnk^pdµ+ Z

Ωk^fn−^ϕnk^pdµ

≤^2p



µ(^Ω) n^p +

Z

Ω

X∞

m=1

xnmχEnm−

Pn

X

m=1

xnmχEnm

p

dµ





≤^2p



µ(^Ω) n^p +

Z

Ω

X∞

m=Pn+1

xnmχEnm

p

dµ





≤^2p

"

µ(^Ω) n^p +

Z

∪^∞_m=Pn+1k^fnk^pdµ

#

≤^2p

µ(^Ω)

n^p +^µ(^Ω) n

.

Así, hemos hallado una sucesión de funciones simples(ϕn)^∞_n=1 tal que ϕn→ ^{f en} L^p(µ,X)lo cual muestra la densidad.

Observacion 3.13. Para p = ^∞, las funciones de L^∞(µ,X) que toman una cantidad numerable de valores son densas en L^∞(µ,X).

Esto es una consecuencia directa del Corolario 2.6.

Lema 3.14. Para1≤ ^p <∞, ¹_q+ ¹_p =1, L^q(µ,X^∗)se puede incluir isométricamente en L^p(µ,X)^∗.

Demostración.

Sea g ∈ ^Lq(µ,X^∗) y sea (gn)^∞_n=1 una sucesión de funciones simples en L^q(µ,X^∗) que converge a gµ-ctp.

Supongamos que f ∈ ^Lp(µ,X)y definamosh^f,gi^:Ω→^{Ctal que} h^f,gi(w) =g(w) (f(w)).

Observemos que para cada n ∈ ^{N la función} h^f,gni es medible pues si gn = Pr

i=1α^∗_iχAi conα^∗_i ∈ ^{X∗ entonces} h^f,gmi(w) =

Xr

i=1

χAi(w) (α^∗_i(f(w)))

= Xr

i=1

(χA_i·^αi^∗f) (w),

la cual es una función medible con valores escalares (recordar que medibilidad fuerte implica medibilidad débil).

Ahora, notamos que

|h^f,gni(w)− h^f,gi(w)|=|^gn(w) (f(w))−^g(w) (f(w))|

=|(gn(w)−^g(w)) (f(w))|

≤ k^gn(w)−^g(w)kX^∗k^f(w)k^X −→^0, cuandon→^∞ctp, y así tenemos queh^f,gies medible.

Además, se tiene que Z

Ω|h^f,gi(w)|^dµ(w)≤ Z

Ωk^f(w)k^Xk^g(w)k^X∗dµ(w)

≤ k^fkpk^gkq

debido a la desigualdad de H¨older.

Lo anterior implica que el funcionall: L^p(µ,X)→^{Ctal que} l(f) =

Z

Ωh^f,gi^dµ es un elemento de L^p(µ,X)^∗ tal que

|^l(f)| ≤ k^fk^pk^gk^q.

Entonces

k^lk ≤ k^gkq.

Para probar la desigualdad opuestak^gk^q≤ k^lkharemos lo siguiente:

Seaε>0. Supongamos primero que

g= X∞

i=1

x^∗_iχEi, (3.6)

donde(x_i^∗)^∞_i=1 ⊂^{X∗ y}(Ei)^∞_i=1es una partición a lo más numerable deΩen miem- bros deΣconµ(Ei)>0 para todai∈^N.

Por el Teorema de Representación de Riesz para el caso escalar tenemos k^gkq=sup

Z

k^gkXhdµ

:h∈ ^Lp(µ), k^hkp≤¹

,

y así podemos elegirh ≥^{0 enLp}(µ)tal que 0<k^hk^p ≤1 y tal que k^gk^q− ₂^ε <

Z

Ωk^gk^{Xhdµ. (3.7)}

Por definición de

k^x∗ikX^∗ =sup{|^x∗i(z)|^:z∈ ^X, k^zk=1}^{, (3.8)} podemos elegir para cadai∈^{N, x}i ∈^{Xtal que}k^xik=1 y

k^x∗ik − ₂ ^ε

k^hk¹ <|^x∗i(xi)|^{. (3.9)} Ahora definamos f ∈ ^Lp(µ,X)por

f = X∞

i=1

[sgn(x^∗_i(xi))]xihχEi.

Así

k^fkp= k^hkp≤^1,

y tendremos que Z

Ωh^f,gi^dµ= Z

Ω

h X∞

i=1

sgn(x^∗_i(xi))x^∗_i(xi)χEidµ

= Z

Ω

h X∞

i=1

|^x∗i(xi)|^χEidµ

≥ Z

Ω

h X∞

i=1

k^x∗ik − ₂ ^ε k^hk¹

χE_idµ

= Z

Ω

hk^gk^dµ−₂ ^ε k^hk1

Z

Ω

hdµ

≥ k^gkq− ₂^ε −₂^ε

= k^gkq−^ε,

donde la primera desigualdad se sigue de (3.9) y la última desigualdad de (3.7).

Entonces

Z

Ωh^f,gi^dµ =

Z

Ωh^f,gi^dµ≥ k^gkq.

Por tanto |^l(f)| ≥ k^gkq, y de aquí quek^lk ≥ k^gkq puesk^fkp≤^1.

Asík^lk= k^gkqcuandog∈ ^Lq(µ,X^∗)y gtoma una cantidad a lo sumo numerable de valores.

Para el caso general, sea g ∈ ^Lq(µ,X^∗). Por el Corolario 2.6 podemos escoger una sucesión (gn)^∞_n=1 de funciones con una cantidad a lo sumo numerable de valores en L^q(µ,X^∗)tal que

nl´ım→^∞k^gn−^gkq =0.

Para cadan∈ ^Nsealn: L^p(µ,X)→^{Ctal que} ln(f) =

Z

Ωh^f,gni^dµ.

yl: L^p(µ,X)→^{Ctal que}

l(f) = Z

Ωh^f,gi^dµ.

Entonces, ya sabemos quek^lnk=k^gnkqy además k^ln−^lk ≤ k^gn−^gk^q−→^0, cuandon→^∞. Por lo tanto

k^lk= l´ım

n→^∞k^lnk= l´ım

n→^∞k^gnkq =k^gkq.

Sintetizando: Hemos demostrado que la función Λ : L^q(µ,X^∗) → ^Lp(µ,X)^∗ tal que

Λ(g) = Z

Ωh·^,gi^dµ

es un isomorfismo isométrico en su imagen, con lo cual L^q(µ,X^∗)queda identifi- cado con un subespacio deL^p(µ,X)^∗.

Es sencillo dar ejemplos de situaciones en las que L^q(µ,X^∗)es un subes-pacio propio deL^p(µ,X)^∗, como lo muestra el siguiente resultado.

Teorema 3.15. Sea (^Ω,Σ,µ)un espacio de medida finita, 1 ≤ ^p < ∞ y X un espacio de Banach. Entonces L^p(µ,X)^∗ = L^q(µ,X^∗)donde ¹_p + ¹_q = 1, si y sólo si X^∗ tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto aµ.

Demostración.

De acuerdo al Lema anterior, hemos probado queL^q(µ,X^∗)siempre está incluido isométricamente como subconjunto deL^p(µ,X)^∗ para 1≤ ^p<∞.

Supongamos queX^∗tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto aµ. Para ł∈ ^Lp(µ,X)^∗ definamosG:Σ→ ^{X∗ por}

G(E)(x) =l(xχE) para E∈ ^Σ. Nótese que efectivamenteG(E)∈^{X∗ puesto que}

|^G(E)(x)|=|^l(xχE)| ≤ k^lkk^xχEk^p= k^lkk^xkk^χEk^p.

Además,G es aditiva numerable pues si(Ej)^∞_j=1 ⊂ ^{Σtal que E}k∩^El = ^∅ sik 6= l yE=∪^∞j=1Ej entonces para todax ∈^X

G(∪^∞j=1E_j)(x) =l

xχ_∪^∞_j=1E_j

=l



 X∞

j=1

xχE_j





= X∞

j=1

l xχE_j

= X∞

j=1

G(E_j)(x). La segunda igualdad se verifica en virtud de que

xχ_∪^∞_j=1Ej = X∞

j=1

xχEj

en la norma de L^p(µ,X)puesto que

xχE−

Xn

j=1

xχEj

p

=xχE−^xχ∪ⁿ_j=1E_j

p

=xχ_∪^∞_j=n+1E_j

p

=

"Z

∪^∞_j=n+1^Ej

k^xk^pdµ

#1/p

=k^xk



 X∞

j=n+1

µ(Ej)





1/p

−→^0,

cuandon→^{∞pues µ}(E) =^P∞_n=1µ(En).

Para ver que |^G|(^Ω) < ∞, sea {^E1, ...,En} una partición finita de Ω y x1, ...,xn

elementos de la bola unitaria cerrada de X. Entonces

Xn

i=1

|^G(Ei)(xi)|= Xn

i=1

|^l(xiχE_i)|

= Xn

i=1

sgn(l(x_iχE_i))l(x_iχE_i)

= Xn

i=1

l(sgn(l(xiχE_i))xiχE_i)

= l Xn

i=1

sgn(l(xiχχ_Ei))xiχEi

!

≤ k^lk

Xn

i=1

sgn(l(x_iχE_i))x_iχE_i

p

≤ k^lk

Xn

i=1

χEi

p

(3.10)

= k^lk^µ(^Ω)^1/p.

La desigualdad (3.10) se obtiene así: si llamamos ai = sgn(l(xiχE_i))xi ∈ ^{X en-}

toncesk^aikX≤^{1 y así}

Xn

i=1

aiχEi

p

=

"Z Xn i=1

k^aik_X^pχEidµ

#1/p

=

" _n X

i=1

k^aik^pXµ(Ei)

#1/p

≤

" _n X

i=1

µ(Ei)

#1/p

=µ(^Ω)^1/p.

Por consiguiente, tenemos que para todax1, ...,xn ∈ ^{Xtal que} k^xjk ≤1 para toda j=1, ...,n

Xn

i=1

|^G(E_i)(x_i)| ≤ k^lk^µ(^Ω)^1/p

y tomando supremos sobre todas las posibles n-adas de elementos deXcon norma menor o igual a 1 obtenemos

Xn

i=1

k^G(Ei)kX^∗ ≤ k^lk^µ(^Ω)^1/p.

Como dicha desigualdad vale para toda partición finita{^E1, ...,En}^{deΩen med-} ibles deΣobtenemos

|^G|(^Ω)≤ k^lk^µ(^Ω)^1/p< ∞.

Observemos también queG es µ-continua porque siE ∈ ^{Σ y µ}(E) = 0 entonces χE =0µ-ctp, de aquí quek^χEkp =0, entoncesk^xχEkp =0 para todax∈ ^X.

Como |^l(xχE)| ≤ k^lk k^xχEkp = 0, entonces l(xχE) = 0, lo cual implica que G(E)(x) =0 para todax∈ ^XoG(E) =0.

Puesto queX^∗ tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto aµ, existe una función Bochner integrableg:Ω→^{X∗ tal que}

G(E) = Z

E

gdµ para toda E∈ ^{Σ. (3.11)}

Esto implica que si f ∈ ^Lp(µ,X)es una función simple entonces l(f) =

Z

Ωh^f,gi^{dµ. (3.12)}

En efecto, si f =^Pn_j=1xjχE_j,xj ∈^Xentonces

Z

Ωh^f,gi^dµ= Z

Ω

g



 Xn

j=1

xjχE_j



dµ= Z

Ω

Xn

j=1

g xjχE_j

dµ

= Xn

j=1

Z

Ω

g x_jχE_j

dµ= Xn

j=1

Z

Ω

gχE_j

(x_j)dµ

= Xn

j=1

Z

Ω

gχE_jdµ

(x_j) = Xn

j=1

G(E_j)(x_j)

= Xn

j=1

l xjχE_j

= l



 Xn

j=1

xjχE_j





=l(f),

la quinta igualdad se obtiene debido a que el operador Tj : X^∗ → ^{C tal que} Tj(ϕ) =ϕ(xj)es lineal y continuo y por tanto se puede intercambiar bajo el signo de integral (ver Teorema 2.19), y la sexta igualdad se obtiene de (3.11).

Ahora, deseamos extender (3.12) para todos los elementos de L^p(µ,X). Para ello, escojamos una sucesión creciente (En)^∞_n=1 ⊂ ^{Σ tal que} ∪^∞n=1En = ^Ω y tal que g es acotada en cada En. (Por ejemplo, Ω = ∪^∞n=1{^{w :} k^g(w)kX^∗ < _n}^{, E}n = {^{w :} k^g(w)k^X∗ <_n}^{, En}⊂^En+1,En∈ ^Σyges acotada enEn.)

Ahora, fijemosn0 ∈^Ny consideremos el funcional Z

En0

h·^,gi^dµ:Lp(µ,X)→^{C tal que} Z

En0

h·^,gi^dµ

! (f) =

Z

En0

h^f,gi^dµ.

Este es un funcional lineal acotado ya que

Z

En0

h^f,gi^dµ ≤

Z

En0

k^g(w)kX^∗k^f(w)kXdµ(w)

≤ⁿ⁰ Z

En0

k^f(w)kXdµ(w)

≤ⁿ⁰ Z

Ωk^fkXdµ

≤ⁿ0k^fkpµ(^Ω)^1/q, donde ¹_p+ ¹_q =1.

Además, este funcional coincide con l en la familia de funciones simples con so- porte enEn₀.

Así, si f ∈ ^Lp(µ,X), fχEn0 puede aproximarse en la norma de L^p(µ,X) por fun- ciones simples(ϕn)^∞_n=1 con soporte en En0 por lo que usando la continuidad del

funcional Z

En0

h·^,gi^dµ vemos que

l fχEn0

= l´ım

n→^∞l(ϕn)

= l´ım

n→^∞

Z

En0

h^ϕn,gi^dµ

= Z

En0

h^f,gi^dµ

=^{Z D}f,gχEn0

Edµ,

esto es,

l fχEn0

=^{Z D}f,gχEn0

Edµ para toda f ∈^Lp(µ,X). (3.13) Además, puesto quegχEn0 es acotada, se sigue que gχEn0 ∈ ^Lq(µ,X^∗).

Debido a la representación (3.13), igual que en el Lema anterior tenemos que k^gχEn0kq≤ k^lk^,

y esta última desigualdad es válida para todan0∈ ^N. Ahora bien, como k^gχEnk^q ≤ k^gχEn+1k^{q para toda n}∈^N

se sigue del Teorema de Convergencia Monótona que Z

k^gk^qdµ= Z

nl´ım→^∞k^gχEnk^qdµ

= l´ım

n→^∞

Z

k^gχEnk^qdµ

≤ k^lk^q <∞. Entoncesg∈ ^Lq(µ,X^∗).

Así para toda f ∈ ^Lp(µ,X)tenemos l(f) =l

nl´ım→^∞fχEn

= l´ım

n→^∞l(fχEn)

= l´ım

n→^∞

Z

h^f,gχEni^dµ= l´ım

n→^∞

Z

h^fχEn,gi^dµ

= Z

h^f,gi^dµ,

donde la primera igualdad se tiene en la norma de L^p(µ,X)y la última igualdad se obtiene así:

|h^fχEn,gi| ≤ k^fχEnkpk^gkq≤ k^fkpk^gkq<∞, para todan∈^Ny

h^fχEn,gi(w) = (g(w)) (fχEn(w))−→(g(w)) (f(w)) =h^f,gi(w), por lo que se puede aplicar el Teorema de convergencia dominada.

Igual que en el Lema anterior se tiene que k^lk=k^gkq.

Esto nos ha demostrado que L^p(µ,X)^∗ coincide con L^q(µ,X^∗)donde la igualdad debe entenderse como isomorfismo isométrico.

Demostraremos ahora la otra implicación.

Supongamos que L^p(µ,X)^∗ = L^q(µ,X^∗)y sea G : Σ → ^X∗ una medida vectorial aditiva numerable,µ-continua y de variación acotada.

1. Demostraremos que si E0 ∈ ^{Σ y tiene} µ-medida positiva, entonces G tiene una derivada de Radon-Nikodým en un conjuntoB∈ ^Σ,B⊂^E0conµ(B)>

0.

La condición 1 junto con Lema A.32 nos permitirán completar la demostración.

Demostremos 1. Sea E0 ∈ ^{Σ con} µ-medida positiva. Así existe k ∈ ^N suficiente- mente grande tal que

µ(E0)> |^G|(E0)

k (3.14)

Consideremos la medida escalar kµ− |^G|restringida a los subconjuntos de E0 en Σ. Por el Teorema de Descomposición de Hahn para el caso escalar (ver [A.3], pág.81) podemos encontrar conjuntos B_k,N_k ⊂^{Σtal que B}k,N_k ∈^E0,Bk∩^Nk =^∅ y E0 =Bk∪^Nk con

(kµ− |^G|) (E)≥0 para toda E∈^{Σ tal que E}⊂^Bk

(kµ− |^G|) (E)≤0 para toda E∈^{Σ tal que E}⊂ ^Nk

Notamos además queµ(Bk)>0, pues de no ser así tendríamosµ(Bk) =0 y como Gesµ-continua entonces|^G|(Bk) =0, así

|^G|(E0) =|^G|(N_k) µ(E0) =µ(N_k)

Por tantokµ(E0) =kµ(Nk)≤ |^G|(Nk) =|^G|(E0). Entonces kµ(E0)≤ |^G|(E0)

o

µ(E0)≤ |^G|(E0)

k ,

lo cual contradice (3.14).

LlamemosBa dicho conjuntoB_k. Hemos así encontrado un subconjunto BdeE0, B∈^{Σ, µ}(B)>_{0 tal que}

|^G|(E)≤^kµ(E) para toda E∈^{Σ con E}⊂^B.

Definamos para una función simple f =

Xn

i=1

xiχEi

dondexi ∈^X,Ei ∈^ΣyEi∩^Ej = ^∅sii6= j, l(f) =

Xn

i=1

G(Ei∩^B)(xi). Entonces

|^l(f)|=

Xn

i=1

G(Ei∩^B)

µ(Ei∩^B) (µ(Ei∩^B)xi)

≤ Xn

i=1

G(Ei∩^B)

µ(Ei∩^B) (µ(Ei∩^B)xi)

≤ Xn

i=1

k^G(Ei∩^B)k^X∗

µ(Ei∩^B) k^µ(Ei∩^B)xik^X

≤ Xn

i=1

|^G|(Ei∩^B)

µ(Ei∩^B) k^µ(E_i∩^B)x_ik

≤^k Xk

i=1

k^µ(Ei∩^B)xik

≤^kk^fk1

≤^kµ(^Ω)^1/qk^fkp.

Puesto queles lineal en la familia de funciones simples de L^p(µ,X)y es continua debido a la estimación anterior entonces tiene una extensión lineal acotada a todo el espacioL^p(µ,X)y con la misma norma.

Por hipótesis existeg ∈^Lq(µ,X^∗)tal que l(f) =

Z

Ωh^f,gi^{dµ para toda f} ∈^Lp(µ,X). Como

G(E∩^B)(x) =l(xχE) = Z

Eh^x,gi^dµ

para toda x ∈ ^{X y E} ∈ ^Σ, entonces dado que toda g ∈ ^Lq(µ,X^∗) es Bochner integrable, usando Teorema 2.19 aplicado al operadorTx :X^∗ →^{Ctal queTx}(ϕ) = ϕ(x)obtenemos

G(E∩^B)(x) = Z

E

gdµ

(x) para toda x∈ ^X y para todaE∈ ^{Σ. Entonces}

G(E∩^B) = Z

E

gdµ para toda E∈^Σ. Hemos así demostrado 1.

Para finalizar, por el Lema A.32 tenemos que existe(An)^∞_n=1 ⊂^{Σtal que A}i∩^Aj =

∅sii6= j,Ω= ∪^∞_n=1Any además existe gn ∈ ^Lq(µ,X^∗)tal que G(E∩^An) =

Z

E

gndµ para toda n∈^N y para todaE∈ ^Σ.

Así,

|^G|(An) =|^G|(^Ω∩^An) = Z

Ωk^gnk^dµ=k^gnk1. Entonces

X∞

n=1

k^gnk1 = X∞

n=1

|^G|(An) =|^G|(^Ω)<∞. Por consiguiente

g = X∞

n=1

gn converge en L¹(µ,X^∗), y para todaE∈ ^Σ

G(E) = X∞

n=1

G(E∩^An) = X∞

n=1

Z

E

gndµ

= Z

E

X∞

n=1

gn

! dµ=

Z

E

gdµ.

Queda así demostrada la implicación y todo el teorema.

Es posible dar una descripción de L^p(µ,X)^∗, 1 ≤ ^p < ∞, cuando X^∗ no tiene la propiedad de Radon-Nikodým. Se puede demostrar queL^p(µ,X)^∗ ∼=V^q(µ,X^∗), el espacio de todas las medidas vectoriales con valores enX^∗ que tienenq-variación acotada, donde ¹_q+ ¹_p =1 (ver [A.3], pág. 115).

Finalizaremos esta sección con los siguientes comentarios:

Hasta el momento, sólo hemos dado dos ejemplos de espacios que no tienen la propiedad de Radon-Nikodým, a saber, c0 y L¹(µ) cuando µ no tiene átomos.

También vimos que si µes puramente atómica entonces todo espacio de Banach Xtiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto aµ.

Es natural preguntarse qué espacios de Banach tienen la propiedad de Radon- Nikodým. El siguiente resultado nos proporciona una familia de ejemplos.

Proposición 3.16. Los espacios de Hilbert tienen la propiedad de Radon-Nikodým.

Demostración.

Sea H un espacio de Hilbert y (^Ω,Σ,µ) un espacio de medida finita. Entonces L²(µ,H) es él mismo un espacio de Hilbert y por el Teorema de Representación de Riesz para espacios de Hilbert existe una isometría sobre entre L²(µ,H) y L²(µ,H)^∗, la cual es lineal conjugada.

Así, podemos permitirnos la identificación

L²(µ,H) = L²(µ,H)^∗ De igual modo, podemos identificarH= H^∗. Luego

L²(µ,H)^∗ =L²(µ,H^∗)

y debido al Teorema anterior, se sigue queH = H^∗ tiene la propiedad de Radon- Nikodým.

Aunque no lo haremos en esta tesis, se pueden demostrar resultados más téc- nicos que nos permiten dar más ejemplos de espacios de Banach con la propiedad de Radon-Nikodým.

Por ejemplo puede demostrarse que(C[0, 1],k k^∞)no tiene la propiedad de Radon- Nikodým (ver [A.3], ejemplo 8, pág. 73).

Asimismo, puede demostrarse que los espacios de Banach reflexivos tienen la propiedad de Radon-Nikodým (ver [A.3], Corolario 13, pág. 76).

Recordemos que un espacio de BanachXes reflexivo si la inclusión canónica X−→^X∗∗

x7−→ bx,

donde xb(f) = f(x), es sobreyectiva (sabemos que este mapeo es siempre una isometría lineal).

Los espacios de Hilbert son ejemplos particulares de espacios reflexivos. Otros ejemplos conocidos son los espacios de Lebesgue L^p(m), 1 < _p< ∞, esto debido al Teorema de Representación de Riesz para estos espacios. Aquí mes la medida de Lebesgue enRⁿ, aunque el resultado es también cierto simes cualquier medida σ-finita.

Finalmente, puede demostrarse que la propiedad de Radon-Nikodým de un espa- cio de BanachXrespecto a(^Ω,Σ,µ)es “independiente” de este espacio de medida y sólo depende del espacio(T^,B^,λ)dondeT = ∂Dla frontera del disco unitario, B los borelianos de T ^{y λ} la medida de Lebesgue normalizada en T, es decir, dλ= _2π^dx.

La prueba de esta afirmación está sustentada en los siguientes resultados.

Teorema 3.17. Si(^Ω,Σ,µ)es un espacio de medida σ-finito entonces exis-ten medidasυ yρsobreΣ, tales queυes puramente atómica,ρno tiene átomos y

µ=υ+ρ.

Demostración.

(Referencia: ver [A.3], pág. 82)

Teorema 3.18. Sea(^Ω,Σ,µ)un espacio de medida finita.

1. Si(^Ω,Σ,µ)es puramente atómico, entonces todo espacio de Banach tiene la propiedad de Radon-Nikodým con respecto a(^Ω,Σ,µ).

2. Si µ no es puramente atómica, entonces un espacio de Banach tiene la propiedad de Radon-Nikodým respecto a (T^,B^,λ) si y sólo si tiene la propiedad de Radon- Nikodým respecto a(^Ω,Σ,µ).

Demostración.

La primera afirmación fue demostrada en las Observaciones 3.8, inciso 3. La se- gunda afirmación puede consultarse en [A.3], pág. 21-24.

Y para concluir esta sección referimos al lector a [A.3], pág. 218-219, para consultar una lista amplia de espacios de Banach con la propiedad de Radon-Nikodým y sin dicha propiedad.

4 La Propiedad de

Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou

En este último capítulo demostraremos la equivalencia entre el Teorema de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou sobre la existencia de límites radiales en casi todo punto de funciones armónicas y acotadas definidas en el disco unitario y con valores en un espacio de Banach X.

Para comprender el caso vectorial necesitamos la teoría escalar, la cual se estudiará en la siguiente sección.

4.1. Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el

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