Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el caso escalar

4 La Propiedad de

Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou

En este último capítulo demostraremos la equivalencia entre el Teorema de Radon-Nikodým y el Teorema de Fatou sobre la existencia de límites radiales en casi todo punto de funciones armónicas y acotadas definidas en el disco unitario y con valores en un espacio de Banach X.

Para comprender el caso vectorial necesitamos la teoría escalar, la cual se estudiará en la siguiente sección.

4.1. Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el

Teorema 4.2. Sea u una función armónica con valores reales definida en el disco D(0,R). Entonces u tiene la siguiente representación

u re^iθ

= X∞

k=−^∞

a_kr^|k|e^ikθ (4.1) para0≤^r <_R,−^π≤^θ ≤^π y la convergencia es uniforme en compactos de D(0,R). Demostración.

ExisteF∈ ^H(D(0,R))tal queu =ReF, además F(z) =

X∞

k=0

ckz^k

enD(0,R), con convergencia uniforme en compactos de D(0,R). Así,

u(z) = ^F(z) +F(z)

2 ,

conz= re^iθ, 0≤^r= |^z|< _R,−^π ≤^θ ≤π. Entonces u(re^iθ) = ¹

2

" _∞ X

k=0

c_kr^ke^ikθ+ X∞

k=0

c_kr^ke^−ikθ

# .

Definiendoa0 = ¹₂(c0+c0) =Re(c0)

si k>_{0 ak} =ck. si k<_{0 ak} =ck. Obtenemos

u(re^iθ) = X∞

k=−^∞

akr^|k|e^ikθ, con convergencia uniforme en compactos deD(0,R).

Supongamos queR>1 y restrinjamos (4.1) al círculo unitario (r =1). Generamos la función

t→^u(e^it), cont ∈[−^π,π], tal que

u(e^it) = X∞

k=−^∞

ake^ikt,

la cual converge uniformemente parat∈ [−^π,π].

Calculemos el coeficiente de Fourier de esta función correspondiente a la frecuen- cia n

1 2π

Z π

−^π

u(e^it)e^−int= ¹ 2π

Z π

−^π

X∞

k=−^∞

a_ke^ikt

! e^−intdt

= X∞

k=−^∞

ak

1 2π

Z π

−π

e^i(k−n)tdt

= an. Substituyendo en (4.1) obtenemos

u re^iθ

= X∞

k=−^∞

1 2π

Z π

−π

u(e^it)e^−iktdt

r^|k|e^ikθ

= ¹ 2π

Z π

−^π

X∞

k=−^∞

r^|k|e^k(θ−t)

!

u(e^it)dt.

Definición 4.3. El núcleo de Poisson para el disco unitario D es la función Pr(t) =

X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikt t∈ [−^π,π]. (4.2) La serie (4.2) converge uniformemente si0≤^r <_1.

Además observemos que X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikt =1+ X∞

k=1

r^ke^ikt+ X∞

k=1

r^ke^−ikt

=1+2Re X∞

k=1

(re^it)^k

=1+2Re 1

1−^reit −¹

= ¹−^r2 1−^2rcost+r². Por tanto

Pr(t) = X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikt = ¹−^r2

1−^2rcost+r² t∈[−^π,π].

También observemos que

1−^r

1+r ≤^Pr(t)≤ ¹+r 1−^r parar∈ [0, 1)y para todat ∈[−^π,π].

Así, de todo lo anterior podemos concluir:

Teorema 4.4. Sea u armónica real definida en D(0,R)donde R>1. Entonces u(re^iθ) = ¹

2π Z π

−^π

Pr(θ−^t)u(e^it)dt

= (Pr∗^u1) (θ), para0≤^r <_{R y}−^π ≤^θ ≤^{π, donde u}1(t) =u(e^it).

Haciendo algunos cálculos podemos observar fácilmente que Pr(t) =

X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikt = ¹−^r2

1+r²−^2rcost = Re 1+z

1−^z

, (4.3)

cont ∈ [−^π,π], 0< _r < _1,z = re^it, de donde se observa claramente que P(z) = Pr(t)es armónica como función dez.

Propiedades 4.5. 1. Pr(t)es positivo, continuo y2π-periódico como función de t ∈ R.

2. Para toda r∈(0, 1)

1 2π

Z π

−^π

Pr(t)dt=1.

3. Para todaδ>₀

sup

δ<|t|≤π

Pr(t)−→^0, cuando r→^1.

Demostración.

1. Se obtiene directamente de (4.3) y dado que parat ∈^R 1−^r

1+r ≤^Pr(t)≤ ¹+r 1−^r. 2.

1 2π

Z π

−^π

Pr(t)dt= ¹ 2π

Z π

−^π

X∞

k=−^∞

r^|k|e^iktdt

= X∞

k=−^∞

r^|k| 1 2π

Z π

−^π

e^iktdt

=1.

3. Supongamos queδ <|^t| ≤π. Dado que cosδ≥^cos|^t|=cost, tenemos que Pr(t) = ¹−^r2

1+r²−^2rcost

≤ ¹−^r2 1+r²−^2rcosδ

≤ ¹−^r2 1−^cos2δ. Por tanto

0≤^Pr(t)≤ ¹−^r2

1−^cos2δ −→^0, cuandor→^{1. Así}

sup

δ<|^t|≤^π

Pr(t)−→^0, cuandor→^1.

El núcleo de Poisson es un caso particular de:

Definición 4.6. Una identidad aproximada (o una aproximación de la identidad) enT =

∂D, D el disco unitario, es una familia de funciones en L¹(T), (φα)_α∈I donde I es un conjunto dirigido que cumple:

1.

sup

α∈I

1 2π

Z π

−π|^φα(t)|^dt≡^K<∞. 2. Para todaα∈ ^I

1 2π

Z π

−^π

φα(t) =1.

3. Para todaδ>_{0 Z}

δ<|t|≤π|^φα(t)|^dt−→^0.

Proposición 4.7. Sea u:D→^C. Entonces u es armónica y sup

0≤r<₁

1 2π

Z π

−π|^u(re^it)|^pdt≡ ^M< ∞. (4.4) donde1< _p<∞, si y sólo si existe una función f ∈^Lp(T)tal que

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)f(t)dt

= (Pr∗^f)(θ),

para0≤^r <_1,−^π ≤^θ ≤^π.

Además si ur(θ) =u(re^iθ), conθ ∈[−^π,π], entonces para toda0<_r<₁ 1

2π Z π

−π

u(re^it)^pdt 1/p

≤ k^fk^{p si 1}< _p<∞. Demostración.

(=⇒)Sea(rn)^∞_n=1 una sucesión en(0, 1)tal quernր^{1. Sea} fn(t) =u(rne^it),

entonces para todan∈ ^N

k^fnk^pp= ¹ 2π

Z π

−π|^u(rne^it)|^pdt≤ ^M,

entonces(fn)^∞_n=1se encuentra en una bola cerrada del espacioL^p(T)∼=L^p′(T)^∗, con¹_p+ _p¹_′ =1, y por el Teorema de Banach Alaoglu dicha bola es débil-* compacta y siendoL^p′ separable, entonces dicha bola es metrizable en la topología débil-*.

Así, existe una subsucesión de (fn)^∞_n=1 (que denotaremos del mismo modo para simplificar notación) y una función f ∈ ^Lp(T) tal que fn → ^f en la topología débil-* de(L^p′(T))^∗ =L^p(T). Así para toda g∈ ^Lp′(T)tenemos

1 2π

Z π

−^π

fn(t)g(t)dt−→ _2π¹ Z π

−^π

f(t)g(t)dt, cuandon→^{∞, esto es}

1 2π

Z π

−^π

u(rne^it)g(t)dt−→ _2π¹ Z π

−^π

f(t)g(t)dt cuandon→^∞.

Parag(t) =Pr(θ−^t)∈ ^Lp′(t) 1

2π Z π

−π

Pr(θ−^t)u(rne^it)dt−→ _2π¹ Z π

−π

Pr(θ−^t)f(t)dt, (4.5) cuandon→^∞.

La función definida en D(0,r⁻_n¹), z 7→ ^u(rnz), es armónica en un disco de radio r>1. Así, por el Teorema 4.4 el lado izquierdo de (4.5) esu(rnre^iθ). Por tanto

u rnre^iθ

−→ _2π¹ Z π

−π

Pr(θ−^t)f(t)dt

cuandon→^{∞, y comou rnreiθ}→^u(re^iθ)cuandorn →1, se sigue que u(re^iθ) = ¹

2π Z π

−π

Pr(θ−^t)f(t)dt.

(⇐=)Veamos queues armónica y que sup

0≤r<₁

1 2π

Z π

−π|^u(re^it)|^pdt≡ ^M< ∞. En efecto:

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−^π

Pr(θ−^t)f(t)dt

= ¹ 2π

Z π

π

X∞

k=−^∞

r^|k|e^ik(θ−t)f(t)dt

= X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikθ 1

2π Z π

−π

f(t)e^−iktdt

.

Sea

a_k = ^bf(k) = ¹ 2π

Z π

−^π

f(t)e^−iktdt k ∈^Z. Entonces si f toma valores reales

u(re^iθ) = X∞

k=−^∞

a_kr^|k|e^ikθ

=1+ X∞

k=1

akr^ke^ikθ+ X∞

k=1

a₋kr^ke^−ikθ

=1+ X∞

k=1

akr^ke^ikθ+ X∞

k=1

akr^ke^−ikθ

=1+2Re X∞

k=1

akr^ke^ikθ

= Re

"

1+2 X∞

k=1

ak

re^iθk#

.

Es decir

u(z) =Re

"

1+2 X∞

k=1

a_kz^k

# , por tanto ues armónica.

Si f toma valores enC

u(re^iθ) =Pr∗(Re f +iIm f)(θ)

= (Pr∗^{Re f})(θ) +i(Pr∗^{Im f})(θ). Por tanto ues armónica.

Ahora si 1< _p<∞, f ∈ ^Lp(T)entonces k^u(re^i·)kp≤ _2π¹

Z _π

−π

Pr(t)k^f(· −^t)kpdt

= k^fkp

1 2π

Z π

−^π

Pr(t)dt

= k^fkp,

donde la desigualdad se debe a la desigualdad integral de Minkowski y la última igualdad a la Propiedad 4.5 inciso 2.

Proposición 4.8. Sea u:D→^C. Entonces u es armónica en el disco unitario D y u está uniformemente en L^∞(T)es decir:

supn

|^u(re^it)| ≡ ^M<∞: 0≤^r ≤^1,−^π≤^t ≤^{πo, (4.6)} si y sólo si existe f ∈ ^L∞(T)tal que

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)f(t)dt

= (Pr∗^f)(θ), con0≤^r <_1y−^π≤ ^θ≤^π.

Además si ur(θ) =u(re^iθ)conθ ∈[−^π,π] sup

0≤^r<₁

k^urk^∞ ≤ k^fk^∞. Demostración.

Es la misma prueba que la de la proposición anterior pero ahora observando que L^∞(T) = L¹(T)^∗ y que L¹(T ) es separable. Además, supongamos que

f ∈^L∞(T), entonces

|^u(re^iθ)| ≤ _2π¹ Z π

−π

Pr(t)|^f(θ−^t)|^dt

≤ k^fk^∞_2π¹ Z π

−^π

Pr(t)dt

=k^fk^∞.

En el siguiente teorema observaremos qué ocurre cuandop=1.

Teorema 4.9. Sea u : D → ^C. Entonces u es armónica en D y está uniformemente en L¹(T), es decir

sup

0≤r<₁

Z π

−π|^u(re^it)|^dt≡ ^M< ∞, (4.7) si y sólo si existe una medida de Borel compleja enT ^{tal que}

u(re^it) = ¹ 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)dµ(t) = (Pr∗^µ)(θ) En tal caso, si ur(θ) =u(re^iθ), conθ ∈[−^π,π]

sup

0<_r<₁

k^urk1 ≤ _2π¹ |^µ|(T). Demostración.

(=⇒)sea(rn)^∞_n=1 una sucesión tal quernր^{1 y f}n(t) =u(rne^it). Dado que k^fnk¹=

Z π

−^π

u

rne^it

dt≤ ^M

(fn)está en una bola cerrada de L¹(T)֒→ ^M(T) = (C(T))^∗, donde M(T) es el espacio de Banach formado por las medidas de Borel complejas enT con la norma k^µk=|^µ|(T), pues dada f ∈ ^L1(T)

L¹(T)֒→ ^M(T) f 7−→^µf, donde

µ_f(E) = ¹ 2π

Z

E

f(x)dx.

y además

k^µfk=|^µf|(T) = ¹ 2π

Z

T|^f|^dx=k^fk1,

donde la primera igualdad se tiene por definición y la segunda fue demostrada en el Teorema 2.17.

Como M(T) es isométricamente isomorfo a (C(T))^∗ y C(T) es separable dicha bola es débil-* compacta y es metrizable en esa topología. Así existe una subsuce- sión de (fn)^∞_n=1 que denotaremos de la misma forma yµ∈ ^M(T)tal que fn → ^µ en la topología débil-* de(C(T))^∗, esto es: para toda g∈^C(T)

1 2π

Z π

−π

fn(t)g(t)dt−→ _2π¹ Z π

−π

g(t)dµ(t).

Seag(t) =Pr(θ−^t)la cual es continua enT^{, entonces} u(rnre^it) = ¹

2π Z _π

−π

Pr(θ−^t)u(rne^it)dt−→ _2π¹ Z _π

−π

Pr(θ−^t)dµ(t), y como

u(rnre^it)−→^u(re^iθ) cuandon→^∞, se sigue que

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)dµ(t).

(⇐=)

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−π

X∞

k=−^∞

r^|k|e^ik(θ−t)dµ(t)

= X∞

k=−^∞

r^|k|e^ikθ 1

2π Z π

−π

e^−iktdµ(t)

= X∞

k=−^∞

akr^|k|e^ikθ, (4.8)

donde

ak =µ_b(k) = ¹ 2π

Z π

−π

e^−iktdµ(t), los coeficientes de Fourier deµ.

Supongamos queµtoma valores reales, de (4.8) tenemos que u(re^iθ) =a0+

X∞

k=1

akr^ke^ikθ+ X∞

k=1

a₋kr^ke^−ikθ

= a0+2Re X∞

k=1

akr^ke^ikθ,

y haciendoz =re^iθ tenemos que u(re^iθ) =Re

"

a0+2 X∞

k=1

akz^k

# , la cual es armónica enDpues a0+2P∞

k=1akz^k es holomorfa en D.

Ahora, siµtoma valores enCse escribeµ=µ1+iµ2, conµ1yµ2reales y se aplica el caso anterior.

Finalmente 1 2π

Z π

−π|^u(re^it)|^dt= ¹ 2π

Z π

−π

1 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)dµ(t) dt

≤ _2π¹ Z π

−π

1 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)d|^µ|(t)dt

= ¹ 2π

Z π

−^π

1 2π

Z π

−^πPr(θ−^t)dt

d|^µ|(t)

= ¹

2π|^µ|(T),

donde la penúltima igualdad se tiene por el Teorema de Fubini y la última igual- dad por la Propiedad 4.5 inciso 2.

Corolario 4.10. Sea u armónica en D y positiva, entonces existe una medida de Borel positivaµenT ^{tal que u}= P(µ), es decir,

u(re^iθ) = ¹ 2π

Z π

−π

Pr(θ−^t)dµ(t). Demostración.

Para cadar ∈(0, 1) 1 2π

Z π

−π|^u(re^it)|^dt= ¹ 2π

Z π

−π

u(re^it)dt=u(0),

donde la última igualdad se debe a la Propiedad del Valor Medio para funciones holomorfas.

Por tanto uestá uniformemente enL¹(T)y así existeµ∈ ^M(T)tal que u(re^iθ) = ¹

2π Z π

−^π

Pr(θ−^t)dµ(t).

Ademásµes positiva porque es el límite débil-* de medidas positivas.

In document PDF Universidad De Sonora (página 93-103)