Por esta razón, presentamos sólo unas pocas formulaciones equivalentes de la propiedad Radon-Nikodým de un espacio de Banach. En el tercer capítulo se define la propiedad Radon-Nikodým y se establece su equivalencia con el teorema de representación de Riesz.
Conceptos Preliminares
Para demostrar que F no es necesariamente contablemente aditivo, basta con considerar Ω = [0, 1], Σ el álgebra de Lebesgue σ-medible de Ω y µ la medida de Lebesgue. De lo anterior se deduce que si queremos convergencia en L∞[0, 1] de (1.1), entonces requerimos que Es sea un conjunto con medida de Lebesgue cero, lo que implica que cada Ej debe tener medida de Lebesgue cero.
Con la misma notación que en la definición anterior, defini-mos la semi- variación de F como la función
Integración con Respecto a una Medida Vectorial
Es fácil demostrar que TF define una aplicación lineal del espacio de funciones simples en X. En este capítulo nos interesaremos principalmente en el estudio de integrales de funciones con valores en un espacio de Banach X, respecto de medidas escalares.
Funciones Medibles
Por el Teorema de Hahn-Banach podemos encontrar una sucesión (x∗n) de miembros de X∗. 2.4) De hecho: sabemos por el teorema de Hahn-Banach que para todosw∈Ω. Una función f : Ω →
Integral de Bochner
Tenemos que kf − fnk ≤ 2g µ-ctp y kf − fnk → 0 µ-ctp, por lo que podemos aplicar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue a kf − fnk y get-. Elijamos E∈Σ, elijamos una particiónπ′ de E tal que X. Esto se consigue de la siguiente manera: asumimos que fn0. Sea π la siguiente división de E. Para esta división π también tenemos Z. ya que π es un refinamiento de π′.
Por el contrario, si F : Σ → El fallo del teorema de Radon-Nikodým para la integral de Bochner no debe interpretarse como un aspecto negativo de dicha integral. En este capítulo definiremos la propiedad Radón-Nikodým en un espacio X de Banach y estableceremos su equivalencia con el teorema de representación de Riesz.
(Ω,Σ,μ) ha eramo petet espacio medida finita rehegua, upéva oñegarantisa mokôi teorema básico teoría medida rehegua rupive, teorema representación Riesz rehegua ha teorema Radón-Nikodým rehegua.
Veremos que la conexión entre ambas afirmaciones es puramente formal y si se menciona anteriormente. Un ejemplo de un operador lineal y continuo T: L1[0, 1]→c0 para el cual no se cumple el teorema de representación de Riesz. Recordemos que un átomo de masa μ en la σ-álgebra Σ es un conjunto A ∈ Σ de masa positiva que no se puede dividir en dos partes de masa positiva menor, es decir: A es un átomo si μ(A) > 0 y si para todo B ∈ Σ tal que B ⊂ A tenemos que µ(B) = 0 o µ(B) = µ(A). Se dice que una medida es puramente atómica o puramente atómica si cada conjunto mensurable de medidas positivas contiene un átomo).
Además, como cada gn toma sólo un número finito de valores, se deduce que el operador Tn es un operador lineal continuo de rango acotado y, por tanto, del teorema A.30 se deduce que todo Tn es un operador compacto. Dado que {χE :E∈Σ} es un subconjunto acotado de L∞(μ), se deduce que {T(χE):E∈Σ} es un subconjunto relativamente compacto de L1(μ). El teorema de representación de Riesz no se cumple para el operador identidad en L1(μ).
Si el teorema de representación de Riesz se cumple para este operador, entonces existiría una función mensurable µ acotada en el núcleo g : Ω → L1(µ) tal que.
Diremos que un espacio de Banach
Diremos que un espacio de Banach X tiene la propiedad de Radon- Nikodým si X tiene la propiedad de Radon-Nikodým con res-pecto a todo espacio de
Aplicaciones
Veremos que el enunciado Lp(µ,X)∗ = Lq(µ,X∗)(donde 1p+1q =1) es en realidad una reformulación de la propiedad Radon-Nikodým paraX∗. Ya que también vimos que si µ es puramente atómico, entonces todo espacio de Banach X tiene la propiedad Radon-Nikodým con respecto a µ.
Aunque no lo haremos en esta tesis, se pueden demostrar varios resultados técnicos que nos permiten dar varios ejemplos de espacios de Banach con la propiedad Radon-Nikodým. Asimismo, se puede demostrar que los espacios reflectantes de Banach tienen la propiedad Radón-Nikodým (ver [A.3], Corolario 13, p. 76). Si µ no es puramente atómico, entonces un espacio de Banach tiene la propiedad Radon-Nikodým con respecto a (T,B,λ) si y sólo si tiene la propiedad Radon-Nikodým con respecto a (Ω,Σ,μ).
218-219, para obtener una lista completa de espacios de Banach con y sin propiedad Radon-Nikodým.
Funciones Armónicas y Representación de Poisson: el caso escalar
En este último capítulo demostraremos la equivalencia entre el teorema de Radón-Nikodým y el teorema de Fatou sobre la existencia de límites radiales en casi todos los puntos de funciones armónicas y acotadas definidas en el disco unitario y con valores en un espacio de Banach. Para el caso vectorial necesitamos la teoría escalar, que se estudiará en la siguiente sección. Entonces existe un subconjunto de (fn)∞n=1 (que denotaremos de la misma manera para simplificar la notación) y una función f ∈ Lp(T) tal que fn → f en la topología débil* de (Lp ′ ( T) )∗ =Lp(T).
Esta es la misma prueba que la proposición anterior, pero ahora consideramos que L∞(T) = L1(T)∗ y que L1(T ) es separable. Dado que M(T) es isométricamente isomorfa a (C(T))∗ y C(T) es separable, dicha esfera es débilmente* compacta y mensurable en esta topología. Sea u armónico en D y positivo, entonces existe una medida de Borel positiva µinT tal que u= P(µ), es decir,.
Comportamiento Frontera de Integrales de Poisson
Observemos que con los resultados anteriores podemos resolver el problema clásico de Dirichlet, que establece que dada una función f ∈ C(T) podemos encontrar una función u :D →Ctal colas que son armónicas en D,ues continuas en Dy u limitado hasta que el borde de D coincida con f. De manera más general, investigamos el comportamiento no tangencial, es decir, a medida que nos acercamos al límite sobre regiones del tipo 4.1, en las que ninguna curva que se aproxime a z0 puede tocar ∂D. Entonces F es una función variacional acotada en [−π,π] y por lo tanto existe F′(θ) para casi todos los θ en [−π,π].
Sea γ0 una curva cerrada simple que pasa por el punto z = 1 y cuyos puntos restantes se encuentran dentro del círculo unitario. Supongamos también que γ0 es tangente al círculo unitario en z=1 y que γθ es la curva obtenida al rotar γ0 alrededor del origen en un ángulo θ. Entonces, usando los productos de Blaschke, podemos construir una función analítica y acotada F definida en el disco unitario tal que, para casi todos θ, F(z) no tiende a algún límite ya que toeiθ termina dentro de γθ.
Sin embargo, u > 0 y no puede ser la integral de Poisson de 0, que es idénticamente cero.
Funciones Armónicas Vectoriales
Además, dado que la serie del núcleo de Poisson converge absolutamente en D(0,r1) y uniformemente en D(0,r1) y cn está acotada, se deduce que la serie. cnρ|n|einθ . converge absolutamente en la topología de X y uniformemente en compactos de D. 3)⇒1). Debido a que la serie (4.16) es absolutamente convergente y converge uniformemente en compactos de D, podemos intercambiar el laplaciano con la serie (ver [A.3] Teorema 1.26, p. 20) y obtener. Ahora aplicamos la forma polar de la ecuación de Laplace con v(reiθ) = r|n|einθ para obtener.
Equivalencia del Teorema de Radon-Nikodým y el Teo- rema de Fatou
Ahora tenemos el siguiente lema sobre la representación de la integral de Poisson en el disco en el caso vectorial. El siguiente lema se utilizará para demostrar el teorema central de este capítulo, sobre la equivalencia del teorema de Radón-Nikodým y el teorema de Fatou en un espacio de Banach. Luego formularemos el teorema principal de este capítulo, que establece la equivalencia entre la propiedad Radón-Nikodým y el teorema de Fatou para un espacio X de Banach.
Este supuesto nos permite utilizar el teorema de Banach Alaoglu, una herramienta muy útil en el análisis funcional. Para compensar esta limitación, presentamos también un esquema de dicha prueba en el caso general. Como también lo tenemos en (4.20). 4.22) Usando la linealidad de Ty (4.22) vemos que para cualquier polinomio trigonométrico Pse tenemos que T(P)∈X.
Definamos ahora la integral de Poisson del operador Tµ, es decir, u = P Tµ. Según el Lema 4.23, u es una función armónica con valores en X y también. para casi todos∈ [0, 1]y por teoría escalar tenemos entonces que D. está representado por g, es decir. y usando la unicidad de la solución al problema de Dirichlet obtenemos f = g ctp y así sucesivamente para todoE∈ B. Para resolver el caso general usaremos ahora el siguiente argumento:
Conclusiones
Operadores Lineales Compactos
Un operador T : Dado que la esfera unitaria U = {x ∈X:kxk=1} está acotada, y dado que T es compacto, se deduce que (T(U)) es compacto y, por tanto, acotado. Entonces T sólo es compacto si T envía cada secuencia acotada (xn)∞n=1in (xn)∞n=1in
Supongamos que cada serie acotada (xn)∞n=1 (xn)∞n=1 tiene una subsecuencia (xnk)∞k=1 tal que (T(xnk))∞k=1 converge a Y. De esta afirmación queda claro que la suma T1+T2 de dos operadores lineales compactos es compacto. Dado que dimX < ∞ sabemos que todo operador lineal en X está acotado, por lo que Tes está acotado y as.
Demostraremos que para cualquier secuencia acotada(xm)∞m=1inX, la imagen(T(xm))∞m=1 tiene una subsecuencia convergente, y por el Teorema A.29 tendremos que T es compacto.
El Lema de Agotamiento
Producto Tensorial
Llamaremos π-topología (o topología proyectiva) en E⊗F a la topología localmente convexa más fuerte para la cual el mapeo bilineal canónico (x,y)7−→x⊗y de E×F en E⊗F es continuo, y lo denotará por E⊗πF. Definimos C(Ω,X) como el espacio de funciones continuas de Ω en X, con topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de Ω. Denotaremos por C(Ω)⊗X el subespacio de C(Ω,X) que consta de las funciones cuya imagen está contenida en un subespacio de dimensión finita de X;.
Blasco,Boundary Values of Functions in Vector-Valued Hardy Spaces and Geometry on Banach Spaces, J. Danilevich, Boundary values of analitic and harmonic fun- tions with values in Banach spaces, (rusisht) Mat.
![Figura 2.3: f n ( t ) = sen 2 n πt obtenemos que en cada período de f n ( t ) en [ 0, 1 ]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/12449432.0/59.892.140.657.120.1126/figura-sen-πt-obtenemos-que-en-cada-período.webp)
