El caso de estudio se basó en una representación simplificada de un caso real. En el experimento se consideró un solo pozo de bombeo, ubicado en la parte central de la zona de estudio y una zona de emanación de contaminante al oeste de la zona de estudio. El trabajo se inició generando campos aleatorios no condicionados de K y del Ln K por medio de SGSIM y LHS. Posteriormente, con un modelo estocástico de flujo y con el campo aleatorio de K, se simularon las distribuciones de la h. Con el modelo de transporte se obtuvieron
122
distribuciones de la velocidad así como de concentración. Finalmente se aplicó el ESH para obtener estimaciones de los parámetros de h, Ln K y de c.
7.2.1 Realizaciones del Ln K empleando Latin Hypercube
El método de muestreo por hipercubo latino conocido como técnica de muestreo de enrejado (lattice) se emplea para generar realizaciones Monte Carlo y permite la reducción del esfuerzo computacional para realizar simulaciones estocásticas de flujo y de transporte del agua subterránea. La técnica LHS consiste en la selección de los parámetros y variables a muestrear, la asignación de distribuciones de probabilidad a cada uno de ellos, la división de cada distribución en un número determinado a priori de intervalos equiprobables, la generación de una muestra aleatoria dentro de cada intervalo y para cada variable, y el apareamiento aleatorio de muestras entre variables, de modo de obtener vectores de valores de entrada, uno por cada intervalo (Nuñes & Barón, 1999). Para una explicación más detallada del método LHS consúltese a Simuta-Champo y Herrera.(2010).
Para verificar que el número de las realizaciones del modelo estocástico garantizaran la convergencia de la solución, se establecieron los criterios de convergencia para la comparación de medias RECMMedia y para la comparación de la covarianza del error
RECMCov. Estos criterios se basan en las siguientes ecuaciones:
2
1
1
j N
i
Media e
RECM N
Ec. 44
en donde ej es la diferencia entre la media de las realizaciones y el valor real en el punto j, de la malla de estimación correspondiente a una realización de Ln K, h y c, y N es el número total de puntos que conforman la malla de estimación.
N
j ij N
i
Cov e
RECM N
1 2 1 2
1
Ec. 45
123
donde eij es la diferencia entre la covarianza calculada de las realizaciones y la covarianza real correspondiente a la entrada i, j de las matrices.
El cuadro 7.1 muestra laRECMMedia y la RECMCov de las realizaciones de Ln K calculadas con el método LHS. Con base en estos criterios se consideró que 1000 realizaciones fueron suficientes (ver figura 7.1) y se tomó como matriz de covarianza a priori para continuar con la estimación de parámetros a la realización número 1000.
Figura 7. 1 Gráfica de convergencia de las realizaciones de Ln K calculadas con el método LHS.
-8 -6 -4 -2 0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
Ln (RECM)
Número de realizaciones 0.00000
0.02000 0.04000 0.06000 0.08000 0.10000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
RECM
Número de realizaciones
124
Cuadro 7. 1 Convergencia de las realizaciones de Ln K calculadas con LHS No. de
realización RECMMedia RECMCov No. de
realización RECMMedia RECMCov
100 0 0.09316 1100 0 0.00161
200 0 0.05981 1200 0 0.00149
300 0 0.04387 1300 0 0.00139
400 0 0.03283 1400 0 0.00126
500 0 0.02424 1500 0 0.00119
600 0 0.01579 1600 0 0.00113
700 0 0.00349 1700 0 0.00106
800 0 0.00219 1800 0 0.00101
900 0 0.00196 1900 0 0.00094
1000 0 0.00176 2000 0 0.0009
7.2.2 Realizaciones del Ln K empleando SGSIM
Con el método conocido como SGSIM (Deutsch & Journel, 1998) se generaron 3000 realizaciones no condicionadas de Ln K. Una descripción más detallada del método SGSim se presenta en el anexo A. La malla para generar las realizaciones de Ln K, cubre en su totalidad el área del modelo determinista realizado en PTC (Babu D. , Pinder, Niemi, Ahlfeld,
& Stothooff, 1993).
7.2.3 Modelo determinista de flujo y transporte de aguas subterráneas
El caso de estudio sintético tiene un área de modelación de 700 x 700 metros. La malla del modelo de elemento finito es triangular (densidad de 30 metros). Se encuentra ubicada dentro de las coordenadas X1=500.00, Y1=200.00 y X2=1200.00, Y2=900.00. Tiene 702 nodos y 1306 elementos. En el estudio se considera un solo pozo de bombeo, ubicado en la parte central de la zona de estudio (985.6,539.4). El gasto de extracción es variable en los seis tiempos considerados (5600, 5800, 6000, 6200, 6400 y 6600 m3/día).
125
El modelo de transporte de contaminante considera una zona de emanación de contaminante al oeste de la zona de estudio (ver figura 7.2). El contaminante tiene un flujo de emanación de 100 m3/día. El tiempo de modelación para flujo y transporte es de 12 años (4380 días). El flujo y el transporte se reportan cada dos años (730 días).
7.2.4 Modelo estocástico de flujo y transporte de aguas subterráneas
Con el modelo estocástico de flujo y con las realizaciones del Ln K (determinadas con SGSIM o LHS) se simularon las distribuciones de h y con el modelo de transporte se obtuvieron distribuciones de la velocidad así como de la concentración. Mediante la simulación estocástica se generó la matriz de covarianza cruzada de Ln K-h-c con un tamaño de 1040 nodos. Los nodos de la matriz de covarianza corresponden para cada tiempo (6 tiempos) a los nodos de la malla de estimación más los puntos con datos de Ln K, h y c empleados para generar la estimación de parámetros empelando el ESH. La malla de estimación es una malla uniforme compuesta por 56 nodos dispersos en toda la zona de estudio y con una separación aproximada de 90 metros entre los nodos. Es en esta malla en donde se realiza la estimación de parámetros. En las fronteras del modelo, ubicadas en la zonas este y oeste se consideró carga asignada con valores de 985 y 984 metros, respectivamente.
La matriz de la covarianza cruzada Ln K - h - C está asociada con (figura 7.2):
25 datos de Ln K, 48 puntos de estimación y solo un tiempo de salida (73 datos de Ln K).
25 datos de h, 48 puntos de estimación y seis tiempos de salida (438 datos de h).
25 datos de c, 48 puntos de estimación y seis tiempos de salida (438 datos de c).
En la Figura 7.2 se muestra la distribución de los 25 datos de Ln K (triangulo), 25 datos de h (círculo), 25 datos de c (cuadrado) y de los 48 puntos de estimación (cruces).
126
A continuación se describen los resultados de los diversos casos de estudio para la estimación de Ln K, h y c, en los que se emplea como matrices de covarianza a priori a las calculadas con realizaciones de Ln K (SGSIM y LHS). Los resultados que se muestran a continuación para cada caso de estudio son los mapas de estimación inicial, y final de Ln K, h y c, así como el cálculo del Error medio (EM) y el error cuadrático medio (ECM).
Figura 7. 2 Puntos de estimación y de los datos de h, K y c
Pozo de bombeo
Almacenamiento específico Ss=0.001 No se consideró recarga vertical.
Conductividad hidráulica K=1.63 m/día.
Condiciones de frontera con carga específica 1 capa Malla triangular con 702 nodos y 1306 elementos.
Área de modelación 700x700 metros.
56 nodos de estimación
25 posibles puntos con datos de Ln K 25 posibles puntos con datos de h 25 posibles puntos con datos de c
Fuente de contaminante
Almacenamiento específico Ss=0.001 No se consideró recarga vertical.
Conductividad hidráulica K=1.63 m/día.
Condiciones de frontera con carga específica.
1 capa, malla triangular (702 nodos y 1306 elementos) Área de modelación 700 x700 metros.
127
7.2.5 Calculo del error medio (EM) y del Error cuadrático medio (ECM)
El análisis de los resultados de la estimación de Ln K, h y c empleando el ESH en los diversos casos de estudio se realizó mediante el cálculo del Error Medio, del Error Cuadrático Medio , así como del porcentaje de reducción (%Red) del EM y del ECM para el Ln K, h y c, así como sus respectivas gráficas.
El porcentaje de reducción del error (%Red) se obtuvo mediante la siguiente fórmula:
Ec. 46
en donde = Porcentaje de reducción del error; = error medio de la estimación en el tiempo i; = Error medio inicial de la estimación en el tiempo i=0. El signo negativo en el %Red del error indica una disminución del error y el signo positivo indica un aumento.
Los resultados de todos los casos de estudio de este capítulo así como los resultados del capítulo 8 se presentan en los cuadros B1 al B30 del anexo B. En cada cuadro del anexo B se muestra en la parte superior el EM y su %Red así como el ECM y su %Red para el Ln K en función del número de datos y tiempo. Los resultados de la estimación de h y c también se muestran en el cuadro en función del número y tipo de datos (h y/o c), y de la estimación en el presente, pasado y futuro (filtrado, suavizado y predicción).
7.3 Estimación de parámetros empleando simulación secuencial gaussiana