Filtro de Kalman discreto

El objetivo del filtro de Kalman es calcular un estimador lineal, insesgado y óptimo del estado de un sistema en el tiempo k con base en la información disponible en el tiempo k1, y actualizar dicha estimación con los datos adicionales disponibles en el tiempo t, dichas estimaciones (Welch y Bishop, 2002). Según Solera (2003), lo que hace al filtro tan interesante es precisamente su habilidad para predecir el estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza precisa del sistema modelado no se conoce.

El filtro de Kalman discreto tiene como objetivo resolver el problema general de estimar el estado Xⁿ de un proceso en tiempo discreto, el cual es representado por una ecuación estocástica lineal en diferencias de la siguiente forma:

k k

k

X w

X

_1

 A 

Ec. 1

con una medición Z^m, que esta linealmente relacionada con el estado y esta dada por:

k k

k

X v

Z  H 

Ec. 2

En las ecuaciones anteriores el subíndice indica estimador del estado en el tiempo k _(actual) dadas las mediciones del tiempo k1 (anterior). En donde ^Xk1es el estado, A es la matriz es de dimensión n x n y relaciona al estado en el tiempo k con el estado en el tiempo k1. La matriz H de dimensión m x n relaciona el estado en el tiempo k con la mediciónZ_k , en el

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mismo tiempo. Las variables aleatorias w_k y v_k representan el error del proceso y de las mediciones (datos u observaciones) respectivamente. Se supone que son independientes entre ellas, que son ruido blanco, con distribución de probabilidad normal:

) , 0 ( )

(w_k N Q_k

p  Ec. 3

) , 0 ( )

(v_k N R_k

p  Ec. 4

Las matrices de covarianza del error del proceso Q_k y del error de las mediciones R_k, en la forma más general del filtro pueden cambiar en el tiempo, sin embargo, por simplicidad se pueden suponer como constantes.

2.2.1.1 El proceso de estimación

Como se menciono en la sección anterior, en su forma general el filtro se basa en dos ecuaciones, una ecuación dinámica y una ecuación de medición. La ecuación dinámica tiene un error aleatorio que no tiene correlación en el tiempo. Sin embargo, Herrera (1998) mostró que cuando se usa un campo aleatorio con correlación espacial para representar a la velocidad, y se deriva, con base en éste el modelo de transporte como una ecuación con coeficientes deterministas más un error aleatorio, el error puede tener una fuerte correlación en el tiempo. Por esta razón, el método que propuso Herrera (1998) emplea lo que llamamos el filtro de Kalman estático, que únicamente emplea la ecuación de medición, incorporando el tiempo a través de la utilización de vectores espacio-temporales.

El filtro de Kalman estima el estado del sistema utilizando un control de retroalimentación, esto es, estima el proceso en algún momento en el tiempo con base en la Ec.1 y entonces obtiene una corrección, a través de una retroalimentación por medio de los datos observados, apoyándose en la ecuación de flujo y/o transporte de aguas subterráneas.

Desde este punto de vista, las ecuaciones que se utilizan para derivar el filtro de Kalman se pueden dividir en dos grupos: las de predicción y las que actualizan esta predicción con los datos observados o ecuaciones de actualización. Las del primer grupo son responsables de

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la proyección del estado al tiempo k, tomando como referencia el estado en el tiempo k1, y de la actualización intermedia de la matriz de covarianza del estado. El segundo grupo de ecuaciones son responsables de la retroalimentación, es decir, incorporan nueva información dentro de la estimación anterior con lo cual se llega a una estimación mejorada del estado.

Las ecuaciones que actualizan el tiempo también se pueden considerar como ecuaciones de pronóstico, mientras que las ecuaciones que incorporan nueva información pueden considerarse como ecuaciones de corrección. Así, el algoritmo de estimación final puede definirse como un algoritmo de pronóstico-corrección para resolver numerosos problemas. El filtro de Kalman funciona por medio de un mecanismo de proyección y corrección, ya que pronostica el nuevo estado y su incertidumbre y corrige la proyección con nuevo datos o mediciones.

El primer paso en la aplicación del filtro consiste en generar un pronóstico del estado hacia adelante en el tiempo tomando en cuenta toda la información disponible en ese tiempo (Jazwinski, 1970) En un segundo paso, se genera un pronóstico mejorado del estado, de tal manera que la varianza del error se minimiza estadísticamente. Las ecuaciones para el pronóstico del filtro de Kalman discreto son:

k k k

k

X

X ˆ

_1

 A ˆ

Ec. 5

k T k k k

k

AP A Q

P

_1

 

Ec. 6

Y las ecuaciones de corrección del estado del filtro de Kalman discreto son:

1 1

1

1 _

(

_

)

^





_k^{k T} _k^{k T}



_k

K

k

P H HP H R

Ec. 7

ˆ ) ˆ (

ˆ

_k^k₁¹

X

_k^k₁

K

_{k 1}

Z

_{k 1}

X

_k^k₁

X

_^



_



_{ }

 H

_ Ec. 8

k k k

k

k_^₁¹

 ( I  K

_1

H ) P

_1

P

Ec. 9

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En donde el superíndice sigue el orden en que se procesan los vectores de las mediciones



Z1^,Z2^,...,Zk^,...



. Para la implementación recursiva de estas ecuaciones, se requiere de una estimación a priori del estado Xˆ⁰y una matriz de covarianza inicial del error P⁰. Se

determina a



k l



l

k E X Z Z

Xˆ ,...,

 1 y en donde P_k^l es la matriz de covarianza del error y se

determina por

   

l



l k k l k k l

k E X Xˆ X Xˆ Z ,...,Z

 1



P  donde ^E

 

^XZ es la esperanza de X

condicionada a Z.

Figura 2. 1 Operación del filtro de Kalman Adaptado de Solera (2003)

Después de aplicar las ecuaciones de pronóstico corrección, el proceso se repite tomando como nuevo punto de partida la nueva estimación del estado así como la matriz de covarianza del error. La figura 2.1 ofrece un cuadro completo de la operación del filtro.

La primera tarea durante la corrección de la proyección del estado es el cálculo de la ganancia de Kalman, K_k1 (Ec. 7). Este factor de ponderación o ganancia se selecciona de tal forma que minimiza la varianza del error de la nueva estimación del estado. El siguiente paso es medir el proceso para determinar Z_k1 y entonces genera una nueva estimación del

Actualización Tiempo (Predicción)

1. Predicción del estado k k k

k

X

X ˆ

_1

 A ˆ

2. Predicción de la covarianza del error

k T k k k

k

AP A Q

P

_1

 

Actualización Mediciones (Corrección) 1. Calculo de la ganancia de Kalman

1 1

1

1 _

(

_

)

^





_k^{k T} _k^{k T}



_k

K

k

P H HP H R

2. Actualización la estimación con media Z_k1

ˆ ) ˆ (

ˆ

_k^k₁¹

X

_k^k₁

K

_{k 1}

Z

_{k 1}

X

_k^k ₁

X

_^



_



_{ }

 H

_

3. Actualización la covarianza del error k k k

k

k_^₁¹

 ( I  K

_1

H ) P

_1

P

Estimaciones Iníciales para

ˆ

0

X

,

P

⁰

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estado que incorpora la nueva observación como en la ecuación (8). El paso final consiste en obtener una nueva estimación de la covarianza del error mediante la ecuación (9).

Después de cada actualización, tanto del tiempo como de la medida, el proceso es repetido tomando como punto de partida las nuevas estimaciones del estado y de la covarianza del error. Esta naturaleza recursiva es una de las características significativas del filtro de Kalman.

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