El espacio de Bergman A p 𝛼

En esta sección vamos a ver que podemos caracterizar las𝑞-medidas de Carleson para los espacios de Bergman𝐴^𝑝𝛼de forma geométrica vía las cajas de Carleson sobre intervalos o vía discos pseudohiperbólicos.

Para ello necesitaremos un lema de recubrimiento y otro de armonicidad.

Definición 14(Distancia pseudohiperbólica). Definimos la distancia pseudohiperbólica entre los puntos 𝑧,𝜔 ∈𝔻como

𝜌(𝑧,𝜔) =||| 𝑧− 𝜔 1−𝑧𝜔

||

| .

En particular, definimos el disco pseudohiperbólico de centro𝑧y radio𝑟como

𝛥(𝑧,𝑟) = {𝜔 ∈𝔻:𝜌(𝑧,𝜔) < 𝑟}. ◀

Una propiedad importante de esta distancia es la desigualdad triangular fuerte.

Proposición 15(Desigualdad triangular fuerte). Sean𝑧,𝜔 ∈𝔻. Entonces, tenemos que 𝜌(𝑧,𝜔) ≤ 𝜌(𝑧,𝛼) + 𝜌(𝛼,𝜔)

1+ 𝜌(𝑧,𝛼)𝜌(𝛼,𝜔) para todo𝛼 ∈𝔻.

Demostración. Sea𝛼 ∈𝔻y sea

𝜑𝛼(𝑧) = 𝛼 −𝑧

1− 𝛼𝑧, 𝑧∈𝔻, el automorfismo del disco que verifica que

|𝜑𝛼(𝑧)| = 𝜌(𝛼,𝑧) y 𝜑𝛼(𝑧) = 𝜑⁻_𝛼¹(𝑧).

Observemos que, entonces, para cualesquiera𝑧,𝜔 ∈𝔻,

(7) 𝜑_𝛼(𝛼) =0 y 𝜌(𝑧,𝜔) = 𝜌(𝜑_𝛼(𝑧),𝜑_𝛼(𝜔)).

Así pues, nos es suficiente ver que la desigualdad triangular anterior se satisface para𝑧,𝑤 ∈𝔻y𝛼 =0, ya que entonces, si𝛼 ≠0,

𝜌(𝑧,𝜔) = 𝜌(𝜑𝛼(𝑧),𝜑𝛼(𝜔)) ≤ 𝜌(𝜑𝛼(𝑧), 0) + 𝜌(0,𝜑𝛼(𝜔))

1+ 𝜌(𝜑𝛼(𝑧), 0)𝜌(0,𝜑𝛼(𝜔)) = 𝜌(𝑧,𝛼) + 𝜌(𝛼,𝜔) 1+ 𝜌(𝑧,𝛼)𝜌(𝛼,𝜔).

Así pues, consideremos|𝑧| = 𝑎,|𝑤| = 𝑏y sea𝜃 =arg(𝑧𝑤). Entonces, la desiguldad triangular fuerte para estos valores es equivalente a

𝑎²+ 𝑏²−2𝑎𝑏cos(𝜃)

1+ 𝑎²𝑏²−2𝑎𝑏cos(𝜃) ≤ (𝑎 + 𝑏)² (1+ 𝑎𝑏)². Reescribiendo la parte izquierda de la desigualdad anterior, tenemos que

𝑎²+ 𝑏²−2𝑎𝑏cos(𝜃)

1+ 𝑎²𝑏²−2𝑎𝑏cos(𝜃) =1− (1− 𝑎²)(1− 𝑏²)

1+ 𝑎²𝑏²−2𝑎𝑏cos(𝜃) ≤1−(1− 𝑎²)(1− 𝑏²)

1+ 𝑎²𝑏²+2𝑎𝑏 = (𝑎 + 𝑏)² (1+ 𝑎𝑏)²,

de lo que se sigue la desigualdad esperada. ▪

Observemos que de la desigualdad triangular fuerte se sigue que, para todo𝑧,𝜔,𝛼 ∈𝔻, 𝜌(𝑧,𝜔) ≤ 𝜌(𝑧,𝛼) + 𝜌(𝛼,𝜔),

por lo que tenemos que𝜌es una distancia. El siguiente lema será necesario para la prueba de la caracteri- zación y se trata de un lema de recubrimiento del disco unidad por discos pseudohiperbólicos.

Lema 16(Lema de recubrimiento 2). Dado𝑟 ∈ (0, 1), existe una secuencia de puntos(𝛼𝑛)𝑛∈ℕ⊂𝔻tales que𝔻= ⋃^∞_𝑛=1𝛥(𝛼𝑛,𝑟). Además, para todo𝑠 ∈ (0, 1)tenemos que cada punto𝑧∈𝔻pertenece a lo sumo a𝑁 = 𝑁(𝑠,𝑟)discos𝛥(𝛼𝑛,𝑠).

Demostración. Sea(𝐵_𝑗)_𝑗∈ℕuna sucesión de discos pseudohiperbólicos de radio𝑟/3tales que𝔻= ⋃^∞_𝑗=1𝐵_𝑗. Cogemos𝐷₁= 𝐵₁,𝐷₂= 𝐵𝑗₂, donde𝑗₂es el primer número natural tal que𝐷₁∩𝐵𝑗₂ = ∅, y vamos eligiendo los discos(𝐷𝑛)𝑛∈ℕde forma recursiva. Sea(𝛼𝑛)𝑛∈ℕel centro pseudohiperbólico de(𝐷𝑛)𝑛∈ℕ. Queremos ver que 𝔻= ⋃^∞_𝑛=1𝛥(𝛼𝑛,𝑟). Para probar esa igualdad, vamos a considerar que existe un punto𝛼 ∈𝔻⧵⋃^∞_𝑛=1𝛥(𝛼𝑛,𝑟) y llegaremos a una contradicción. Si existe este punto, entonces tenemos que

(a) 𝛥 (𝛼, 2𝑟/3) ∩ 𝛥 (𝛼𝑛,𝑟/3) = ∅para todo𝑛 ∈ℕ, y

(b) existe𝑗₀∈ℕtal que𝛼 ∈ 𝐵𝑗₀; por lo tanto,𝐵𝑗₀⊂ 𝛥(𝛼, 2𝑟/3).

En particular, tenemos que𝐵𝑗₀∉ (𝐷𝑛)𝑛∈ℕ, pero de(a)y(b)se sigue que𝐵𝑗₀∩ 𝐷𝑛= ∅para todo𝑛, lo cual nos da una contradicción y, por lo tanto,𝔻= ⋃^∞_𝑛=1𝛥(𝛼_𝑛,𝑟).

Ahora vamos a ver la segunda parte. Sean𝑠 ∈ (0, 1)y𝑧∈𝔻. Definimos el conjunto 𝐸(𝑧) = {𝛼_𝑘∈𝔻∶ 𝜑_𝑧(𝛼_𝑘) ∈ 𝛥(0,𝑠) = 𝐷(0,𝑠)},

donde

(8) 𝜑𝑧(𝜔) = 𝑧− 𝜔

1−𝑧𝜔 es el automorfismo del disco que verifica que

|𝜑𝑧(𝛼𝑘)| < 𝑠 ⟺ 𝜌(𝛼𝑘,𝑧) < 𝑠.

Sean𝛼𝑘,𝛼𝑗∈ 𝐸(𝑧)y denotemos𝑤𝑘= 𝜑𝑧(𝛼𝑘)y𝑤𝑗= 𝜑𝑧(𝛼𝑗). Observemos que, entonces, 𝜌(𝜔𝑘,𝜔𝑗) = 𝜌(𝛼𝑘,𝛼𝑗) ≥ 2𝑟

3 y, como|𝜔_𝑘| ≤ 𝑠, tenemos que

𝜌(𝜔_𝑘,𝜔_𝑗) = |𝜔_𝑘− 𝜔_𝑗|

|1− 𝜔𝑘𝜔𝑗|≤ |𝜔_𝑘− 𝜔_𝑗| 1− 𝑠² , de donde concluimos que|𝜔𝑘− 𝜔𝑗| ≥2𝑟(1− 𝑠²)/3y que los discos

𝐷_𝑘= 𝐷 (𝜔_𝑘,𝑟(1− 𝑠²)

3 ) = 𝐷 (𝜑𝑧(𝛼_𝑘),𝑟(1− 𝑠²)

3 )

son disjuntos. Así pues, para cada𝛼_𝑘∈ 𝐸(𝑧)existe un disco𝐷_𝑘tal que si cogemos otro centro pseudohi- perbólico𝛼_𝑗∈ 𝐸(𝑧), tenemos que𝐷_𝑘∩ 𝐷_𝑗= ∅. Ahora bien, sea𝜁 ∈ 𝐷_𝑘. Tenemos que

|𝜁| ≤ |𝜔𝑘| + |𝜁 − 𝜔𝑘| < 𝑠 +𝑟(1− 𝑠²) 3 ≤1. Usando esta cota obtenemos que

#(𝐸(𝑧)) [𝜋𝑟²(1− 𝑠²)²

9 ] = ∑

𝛼_𝑘∈𝐸(𝑧)

|𝐷_𝑘| ≤ |𝐷 (0, 1)| ≤ π,

por lo que

#(𝐸(𝑧)) ≤ 9 𝑟²(1− 𝑠²)²,

donde vemos que, efectivamente, la cota de#(𝐸(𝑧))depende únicamente de𝑟y𝑠y, por consiguiente,

#(𝐸(𝑧)) ≤ 𝑁(𝑠,𝑟). ▪

Para la caracterización necesitaremos también el siguiente lema. Recordemos que, si𝑓es una función holomorfa en𝔻, entonces, para0 < 𝑝 < ∞, tenemos que|𝑓|^𝑝es subarmónica en𝔻, luego para todo 0< 𝑠 <1tenemos que

|𝑓(0)|^𝑝≤ 1 𝑠² ∫

𝐷(0,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝d𝐴(𝜁).

Esta desigualdad puede reformularse en términos de los discos hiperbólicos como sigue.

Lema 17. Sean𝑓 ∈ 𝒪(𝔻),0< 𝑝 < ∞,𝛼 > −1,0< 𝑠 <1. Entonces, existe una constante𝑐(𝑠,𝛼)de manera que

|𝑓(𝑎)|^𝑝≤ 𝑐(𝑠,𝛼) (1− |𝑎|²)^(2+𝛼)∫

𝛥(𝑎,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼d𝐴(𝜁), 𝑎 ∈𝔻.

Demostración. Sea𝑎 ∈𝔻. Definimos𝜑𝑎∈Aut(𝔻)como en (8). Por la subarmonicidad de|𝑓|^𝑝, tenemos que

|𝑓(𝑎)|^𝑝= |𝑓 ∘ 𝜑_𝑎(0)|^𝑝≤ 1 𝑠²∫

𝛥(0,𝑠)

|𝑓 ∘ 𝜑_𝑎(𝜁)|^𝑝d𝐴(𝜁) = 𝑐(𝑠) 𝑠² ∫

𝛥(𝑎,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝|𝜑_𝑎^′(𝜁)|²d𝐴(𝜁)

= 𝑐(𝑠) 𝑠² ∫

𝛥(𝑎,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝑎|²)²

|1− 𝑎𝜁|⁴ d𝐴(𝜁),

donde hemos hecho el cambio de variable𝜁 = 𝜑𝑎(𝜁) = 𝜑⁻𝑎¹(𝜁). Como𝜉 ∈ 𝛥(𝑎,𝑠), se tiene que1− |𝑎|²≍

|1− 𝑎𝜁|, por lo que se sigue la desigualdad

|𝑓(𝑎)|^𝑝≤ 𝑐(𝑠) (1− |𝑎|²)² ∫

𝛥(𝑎,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝d𝐴(𝜁).

Finalmente, nótese que también tenemos que1− |𝑎|²≍1− |𝜁|², lo que implica que

|𝑓(𝑎)|^𝑝≤ 𝑐(𝑠,𝛼) (1− |𝑎|²)²∫

𝛥(𝑎,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼

(1− |𝑎|²)^𝛼d𝐴(𝜁). ▪

Pasemos a demostrar la caracterización de las𝑞-medidas de Carleson en los espacios𝐴^𝑝𝛼. El resto de casos se pueden encontrar en los libros que aparecen en las referencias.

Teorema 18. Sean0< 𝑝 ≤ 𝑞 < ∞,𝛼 > −1y 𝜇una medida de Borel positiva en𝔻. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

(I) 𝜇es una𝑞-medida de Carleson para𝐴^𝑝𝛼. (II) Para todo𝑟 ∈ (0, 1)tenemos que

sup

𝑎∈𝔻

𝜇(𝛥(𝑎,𝑟))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞.

(III) Existe𝑟 ∈ (0, 1)tal que

sup

𝑎∈𝔻

𝜇(𝛥(𝑎,𝑟))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞.

(IV) Si 𝑆(𝑎)es la caja de Carleson asociada a𝑎 ∈𝔻, entonces sup

𝑎∈𝔻

𝜇 (𝑆(𝑎))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞.

Observación19. La condición(IV)se puede reformular como sigue:

sup

𝐼⊂𝕋

𝜇(𝑆(𝐼))

|𝐼|^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞. ◀

Demostración. Empezamos por demostrar que(I)⇒(II). Nótese que el esquema es análogo al realizado en la prueba de la implicación(II)⇒(III)del teorema13, pero ahora tomando el núcleo reproductor normalizado de𝐴²_𝛼

𝑘_𝑎(𝑧) = (1− |𝑎|²)^(2+𝛼)/2

(1− 𝑎𝑧)^2+𝛼 , 𝑎,𝑧∈𝔻,

el cual tiene norma1en𝐴^𝛼₂y no tiene ceros. Podemos ver que la función𝑓_𝑎(𝑧) = (𝑘_𝑎(𝑧))^2/𝑝es holomorfa en el disco unidad y que también tiene norma𝐴^𝑝𝛼igual a1, así que podemos aplicar nuestra hipótesis de que𝜇es una𝑞-medida de Carleson y que, dado𝑟 ∈ (0, 1), entonces𝛥(𝑎,𝑟) ⊂𝔻, para así obtener que

1= ‖𝑓𝑎‖_𝐴^𝑝_𝛼 ≳ ‖𝑓𝑎‖𝐿^𝑞= (∫

𝔻

|𝑓𝑎(𝑧)|^𝑞d𝜇(𝑧))

1/𝑞

= (∫

𝔻

|𝑘𝑎(𝑧)|^2𝑞/𝑝d𝜇(𝑧))

1/𝑞

≳ (∫

𝛥(𝑎,𝑟)

|𝑘𝑎(𝑧)|^2𝑞/𝑝d𝜇(𝑧))

1/𝑞

≳ 1

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)/𝑝}(∫

𝛥(𝑎,𝑟)

d𝜇(𝑧))

1/𝑞

≍ 𝜇(𝛥(𝑎,𝑟))^1/𝑞 (1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)/𝑝}.

Esto nos da la cota

𝜇(𝛥(𝑎,𝑟))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < 𝐶,

donde𝐶no depende de𝑎. Tomando el supremo sobre𝑎 ∈𝔻, obtenemos para𝑟 ∈ (0, 1)que sup

𝑎∈𝔻

𝜇(𝛥(𝑎,𝑟))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞.

Para ver que(I)⇒(IV)podemos usar exactamente el mismo proceso que para ver que(I)⇒(II)cambiando 𝛥(𝑎,𝑟)por la caja de Carleson𝑆(𝑎), y llegamos a la desigualdad

𝜇(𝑆(𝑎))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < 𝐶;

como la constante no depende de𝑎, podemos poner supremos sobre𝑎 ∈𝔻, obteniendo así el resultado deseado.

La condición(II)⇒(III)es trivial. Veamos que(III)⇒(I), es decir, queremos ver que la condición sup

𝑎∈𝔻

𝜇 (𝛥(𝑎,𝑟))

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝} < ∞

para algún0< 𝑟 <1implica que𝜇es una𝑞-medida de Carleson para𝐴^𝑝𝛼. Sea(𝛼_𝑛)_𝑛∈ℕla sucesión generada en el lema16para𝑟. Entonces,

∫

𝔻

|𝑓(𝑧)|^𝑞d𝜇(𝑧) = ∫

⋃^∞_𝑛=1𝛥(𝛼_𝑛,𝑟)

|𝑓(𝑧)|^𝑞d𝜇(𝑧) ≤

∞

∑

𝑛=1

∫

𝛥(𝛼_𝑛,𝑟)

|𝑓(𝑧)|^𝑞d𝜇(𝑧) ≤

∞

∑

𝑛=1

|𝑓( ̃𝑧_𝑛)|^𝑞𝜇 (𝛥(𝛼𝑛,𝑟)),

donde𝑧̃_𝑘∈ 𝛥(𝛼_𝑘,𝑟)y

|𝑓( ̃𝑧_𝑛)| = máx

𝑧∈𝛥(𝛼_𝑛,𝑟)

|𝑓(𝑧)|.

Nótese que este máximo está bien definido ya que ningún disco cerrado toca la frontera del disco unidad.

Esto se debe a que, si algún punto se encuentra en la frontera, entonces𝜌(𝛼𝑛,𝑧) =1, lo cual es imposible porque suponemos que𝑟 <1. Tomemos𝑠 ∈ (0, 1)tal que𝑠 < (1− 𝑟)/2y, usando el lema17, obtenemos que, para𝛼 > −1,

∞

∑

𝑛=1

(|𝑓( ̃𝑧_𝑛)|^𝑝𝜇 (𝛥(𝛼𝑛,𝑟))^𝑝/𝑞)^𝑞/𝑝≲

∞

∑

𝑛=1

(𝜇 (𝛥(𝛼𝑛,𝑟))^𝑝/𝑞 (1− | ̃𝑧_𝑛|²)^𝛼+2 ∫

𝛥( ̃𝑧_𝑛,𝑠)

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼d𝐴(𝜁))

𝑞/𝑝

≲

∞

∑

𝑛=1

((1− |𝛼𝑛|²)^𝛼+2 (1− | ̃𝑧_𝑛|²)^𝛼+2 ∫

𝛥( ̃𝑧_𝑛,^1+𝑟₂ )

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼d𝐴(𝜁))

𝑞/𝑝

≲ (

∞

∑

𝑛=1

∫

𝛥(𝛼_𝑛,^1+𝑟₂ )

|𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼d𝐴(𝜁))

𝑞/𝑝

≃ (∫

𝔻

(

∞

∑

𝑛=1

𝜒_𝛥(𝛼

𝑛,^1+𝑟₂ )(𝜁)) |𝑓(𝜁)|^𝑝(1− |𝜁|²)^𝛼d𝐴(𝜁))

𝑞/𝑝

≲ 𝑁(𝑟,𝑠)^𝑞/𝑝‖𝑓‖^𝑞_𝐴𝑝 𝛼.

Para acabar, veamos que(IV)⇒(III). Sea𝑎 ∈ 𝔻tal que|𝑎| >1/3. Escogemos𝑟 < (1− |𝑎|)/4. Entonces, tenemos que

𝛥(𝑎,𝑟) ⊂ 𝐷 (𝑎, 12(1− |𝑎|)) ⊂S(𝑎^∗), 𝑎^∗= 3|𝑎| −1

2 e^{i arg(𝑎)}.

Finalmente, por hipótesis,

𝜇 (𝛥(𝑎,𝑟)) ≤ 𝜇(S(𝑎^∗)) ≤ 𝐶(1− |𝑎^∗|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝}≤ 𝐶 (9 2)

(2+𝛼)𝑞/𝑝

(1− |𝑎|²)^{(2+𝛼)𝑞/𝑝}. ▪

Referencias

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