divulgación de trabajos de estudiantes de matemáticas - TEMat

Eva Primo Tárraga, Universidad Rey Juan Carlos Juan Miguel Ribera Puchades, Universidad de La Rioja. Ejemplo de ello son los volúmenes monográficos, el primero de los cuales, de la Escuela-Taller de Análisis Funcional, aparecerá este año.

Estudio de una familia de curvas formadas inductivamente a partir

Introducción

Demostró que cualquiera que sea el ángulo formado en el vértice de un cono doble, su intersección con cualquier plano da como resultado una sección cónica. Llamamos 𝑓(𝐶,𝐹) al lugar geométrico de los puntos obtenidos al hacer para cada 𝑃 ∈ 𝐶 la intersección de la mediatriz del segmento 𝐹𝑃 y la normal (o normales si hay más de una) a la curva en el punto 𝐹 .

La curva 𝛾

• Ecuación paramétrica de 𝛾
• Representación gráfica de 𝛾
• Propiedad de equidistancia de 𝛾
• Semejanza de 𝛾 con la cúbica de Tschirnhausen

Para empezar, encontraremos la ecuación de la bisectriz entre el foco y el punto 𝑃 ​​= (𝑡,𝑎(𝑡 − ℎ)2+ 𝑘) de la parábola. Por la construcción de 𝛾 sabemos que hay un punto 𝐵 de la parábola 𝛤 tal que la recta normal a 𝛤 en 𝐵 y la bisectriz del segmento 𝐵𝐹 se cortan en 𝐴.

Generalización de la curva 𝛾

• La curva 𝛾 k como espiral sinusoidal
• Representación gráfica de 𝛾 k
• Intersecciones de 𝛾 k con el círculo r(𝜃) = 2
• 𝛾 k cuando k tiende a infinito

Sabemos por la tercera propiedad de la hipótesis inductiva que la bisectriz entre 𝑃𝑘−1 y 𝐹 es tangente a la curva 𝛾𝑘 en el punto 𝑃𝑘. Ahora que hemos demostrado la ecuación polar de la curva 𝛾𝑘, podemos representarla en el plano cartesiano, como veremos en la Figura 6.

Estudio del origen del número e y de sus aplicaciones en diversos campos de las matemáticas

Historia del número e

• John Napier y la primera definición del logaritmo
• Elaboradores de tablas
• Leibniz y e en la integral de la función hiperbólica
• Jacob Bernoulli y el problema del interés compuesto
• Leonhard Euler y el desarrollo en serie de la función exponencial

Despejando 𝑛 en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, llegamos a una expresión para Nap log(ℎ) en términos de la definición actual de logaritmo, . A partir de la expresión del logaritmo de Napier (4), podemos obtener el valor del logaritmo de Speidell como Sp log(𝑥) =105ln( 𝑥 . 454).

Aplicaciones de e en ramas de la matemática

• Identidad de Euler
• Serie de Fourier
• Distribución normal

Ahora fuerza la simetría de la función con respecto a la variable 𝑦, por lo que los términos del seno deben desaparecer. Con esta notación, y sabiendo que el número total de ejemplos es 2𝑛, la función de probabilidad está dada en términos de la regla z de Laplace.

Conclusiones

Resumen: El problema verbal es uno de los problemas más importantes en la teoría combinatoria de grupos. El problema verbal es uno de los problemas básicos de la teoría combinatoria de grupos propuesto por Max Dehn [7].

Preliminares

• Monoides
• Presentaciones de grupos
• Transformaciones de Tietze
• Relación entre monoides y grupos
• Teoría de homotopía
• Caminos

Sin embargo, en 1955 Pyotr Novikov encontró ejemplos de grupos presentados finitamente donde el problema verbal era intratable [18], es decir, no se puede diseñar un algoritmo para resolverlo. A pesar de esto, hay una gran cantidad de grupos en los que el problema verbal se puede resolver.

Grupos de trenzas

• Trenzas como colección de cuerdas
• Estructura de grupo
• Presentación del grupo

En la Figura 4 se puede observar la forma de un dibujo tridimensional de una trenza geométrica. Los puntos donde coincide la proyección de dos hilos se representarán como en la Figura 5 para preservar la información que originalmente se cruzó. La Figura 7 ilustra la proyección de la trenza no pura de la Figura 4.

Una de las características más importantes del conjunto de clases de homotopía de fusión es que se le puede proporcionar una estructura de grupo para cada 𝑛. Es decir, el producto de dos trenzas en el mismo número de hebras es su concatenación, donde primero cruzamos 𝛼 y luego 𝛽. Finalmente, dada 𝛼 = [(𝑎1,…,𝑎𝑛)]con permutación inducida 𝜏, tenemos 𝛼−1= [(𝑎𝜏−1(1),...,𝑎𝜏−1(𝑛))), donde 𝑎𝑎 es opuesto a 𝑎𝑘 en la primera coordenada y que es idéntico a 𝑎𝑘 en la segunda coordenada.

Algoritmo de Garside

• Formas normales
• Solución al problema de la palabra

Garside dio una nueva solución al problema de la palabra en los grupos de trenzas de la siguiente manera. Esta forma normal nos permite resolver el problema verbal, ya que podemos enumerar todas las palabras positivas que representan la trenza positiva 𝐴 repitiendo las relaciones del monoide de la trenza positiva de todas las formas posibles. Por tanto, la forma normal izquierda de una trenza es una descomposición única como producto de una potencia de 𝛥 y una secuencia de elementos reales simples.

La forma normal de la izquierda se obtendrá eliminando los bloques irrelevantes (que necesariamente estarán en la parte inferior). Esto es sencillo, ya que basta con utilizar la técnica de demostrar la primera parte de la proposición36 para escribir. Ahora tenemos la situación opuesta: aparentemente, podríamos sumar 𝜎2 al primer bloque, pero usando la misma relación de presentación de grupo de trenzas que antes, obtendríamos 𝜎2 dos veces seguidas, por lo que hemos completado el proceso y 𝛼2= 𝛥0𝑏1𝑏2 con 𝑏1 = 𝑏1.1y𝑏2= 𝑏2.1.

Introducción histórica y motivación

También ha sido crucial en el desarrollo de la combinatoria y la teoría de grafos, aunque ciertamente no se puede decir que estos avances fueran esperados. Al menos no formaban parte de las preocupaciones reflejadas en el sexto de los 23 problemas que Hilbert planteó para la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, en el que hablaba de la necesidad de axiomatizar la teoría de la probabilidad. La razón de esto último es que la noción de independencia se reconoce fácilmente desde el punto de vista de la combinatoria, pero se explota adecuadamente con técnicas probabilísticas.

La sección concluye con un enunciado del teorema de Erdős-Kac, que describe completamente cómo se distribuye 𝜈, y luego analizamos en qué consiste el método de los momentos en el contexto de demostrar este resultado. Primero, discutiremos la motivación, el significado del lema y ofreceremos una presentación de la versión general de este lema. Finalmente, el Apéndice A aborda cualquier problema que surja en la presentación.

Fundamentos del método probabilístico

Subaditividad de la función de probabilidad) Dados los eventos 𝐴1,…,𝐴𝑛, tenemos que ℙ( .. con igualdad si los eventos son disjuntos de dos en dos. Usando la notación de la primera parte del teorema 8, los eventos 𝐴1,…, 𝐴𝑛 corresponden: en la práctica conducirían a eventos 'malos' que queremos evitar. El lema anterior mejora este punto del teorema 8 al agregar ciertas condiciones de independencia entre los eventos involucrados 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛.

Por otro lado, el segundo resultado nos permite derivar información sobre la distribución de una variable aleatoria a través de su expectativa, método que usaremos en la Sección 4 y complementaremos en la Sección 5 con el estudio de la varianza. Para comprobar si el segundo enunciado de la proposición8 implica el primero, basta con considerar el contador de variables aleatorias𝑋, que indica cuántos eventos 𝐴𝑖 se cumplen para cada uno de 𝜔 ∈ 𝛺, y utilizar la observación10. La diferencia entre estos dos objetos de la Proposición 8, la función de probabilidad y la variable aleatoria, también es interesante desde el punto de vista de la construcción del espacio de probabilidad.

Demostraciones de existencia directa

• Ejercicios

Sin embargo, es deseable distinguirlos en las aplicaciones, ya que el primero refleja un objetivo que reaparecerá cuando analicemos el lema local de Lovász en la Sección 6, que consiste en encontrar condiciones suficientes bajo las cuales múltiples eventos 𝐴1,𝐴2, … ,𝐴𝑛 no cubrir todo el espacio de probabilidad ambiental. Siempre que hablamos de elecciones, introducimos ese espacio, y cuando añadimos más información sobre nuestras elecciones (por ejemplo, exigimos que las elecciones se lleven a cabo de manera uniforme o independientes), lo que estamos haciendo es detallar más la información de la probabilidad. función. o diversas variables aleatorias de dicho espacio. No es necesario entender este párrafo por ahora, pero sí se debe tener en cuenta cuando veamos ejemplos más concretos, ya que los espacios de probabilidad involucrados no serán explícitos en el sentido de la definición2.

Vamos a comprobar que existe un torneo de 𝑛jugadores con la propiedad 𝑆𝑘 o, equivalentemente, que los eventos 𝐴𝑖 no cubren todo el espacio de probabilidad descrito. Presentamos algunos ejercicios, tomados del libro de Alon y Spencer [3], del artículo de Chen [11] y de las notas de Loh [25], para invitar al lector a familiarizarse con la técnica basada en proposiciones8 antes de analizar otras más avanzadas. Si en una cuadrícula rectangular de dimensiones 𝑛 × 𝑛 los números del 1 a 𝑛 están ordenados de manera que cada uno de ellos aparece 𝑛 veces en la cuadrícula, entonces existe una fila o una columna.

Combinatoria aditiva

Un conjunto de enteros se dice libre de sumas si no existen tres números en dicho conjunto,

• El método del segundo momento en teoría de números
• Lema local de Lovász
• Anexo: soluciones a los ejercicios planteados
• Espacios de Hilbert con núcleo reproductor
• Cajas de Carleson y operador maximal de Hörmander
• El espacio de Hardy H p
• El espacio de Bergman A p 𝛼

Tenga en cuenta que la condición anterior, que 𝐴𝑘 es independiente del conjunto {𝐴𝑖}{𝑘,𝑖}∉𝐸(𝐺), es mucho más débil que implicar que los eventos del conjunto ⋃{𝑘,𝑖}∉𝐸) {𝐺 𝐴𝑖 } ∪ {𝐴𝑘}es independiente. Como resultado de este teorema, tenemos que el espacio de color[𝑘]ℝ es compacto con la topología del producto si consideramos cada espacio[𝑘]equipado con la topología discreta. Probaremos que 𝔼[𝑋] = 𝑚/2 y la conclusión del ejercicio 1 se derivará directamente del segundo punto del teorema 8.

Presentamos un análisis de la caracterización clásica de este tipo de medidas para el espacio de Hardy𝐻𝑝 y el espacio de Bergman𝐴𝑝𝛼. Peláez por su invaluable ayuda en el análisis de este problema y en el perfeccionamiento de la presentación de nuestro trabajo. Presentamos un análisis de la caracterización clásica de este tipo de medidas, dada por Carleson, para el espacio de Hardy 𝐻𝑝 y el espacio de Bergman con peso 𝐴𝑝𝛼 en el disco unitario con 𝑝 ≤ 𝑞.

En el caso del espacio de Bergman 𝐴2𝛼, los elementos base son monomios normalizados. Dado que 𝐼𝑧1⊂ 𝐼𝑧2 implica que 𝑆(𝐼𝑧1) ⊂ 𝑆(𝐼𝑧2) para 𝑧1,𝑧2∈𝔻, tenemos que 𝑞

• Fractales
• Se dice que un objeto geométrico es fractal si su forma no varía independientemente de la
• Decimos que un cuerpo geométrico es autosimilar si se puede escribir como unión de copias redimensionadas de sí mismo, siendo el redimensionamiento uniforme en todas las direcciones
• Multifractales
• Series temporales
• Decimos que un proceso estocástico es un ruido blanco si cumple la siguientes condiciones
• Decimos que un proceso estocástico es un ruido blanco estricto si cumplen las siguientes condiciones
• Series temporales con propiedades fractales
• Técnicas de análisis de fluctuaciones
• Generación de series temporales con propiedades fractales
• Se define la densidad espectral (o espectro de potencias) de una señal como la función que representa la distribución de la potencia de la señal en el dominio de frecuencias de esta, calculada
• Generación de series temporales con crossover
• Resultados
• Se define el retorno (o incremento) de una serie temporal mediante la diferencia de las observaciones. Igualmente, se define la volatilidad de una serie temporal como el logaritmo del valor
• Variaciones de presión en el Océano Atlántico Norte
• Conclusiones

El método es una simple generalización del DFA, que cambia los momentos de las fluctuaciones de la serie. Asimismo, también se examinaron los rendimientos absolutos de las series y su volatilidad. En el análisis de cada una de las series temporales se realizó un análisis multifractal, revelando la posible existencia de un cruce y la multifractalidad de la serie en cada uno de los tramos determinados por los posibles cruces.

Procedemos ahora a describir los resultados de la serie temporal de la Oscilación del Atlántico Norte (NAO), con estos datos obtenidos de [7]. Primero, calculamos el DFA de la matriz y vemos su posible escalado en la Figura 5. El mismo resultado se puede ver en la Figura 7 en la segunda parte de la serie.

• Preliminares de grupos
• Preliminares de tamaños de clases de conjugación
• Prueba del teorema A
• Prueba del corolario B

Observa que 𝐂𝑀(𝑃1) es un subgrupo normal de 𝐺 = 𝑀𝐻 ya que 𝑀 es abeliano y 𝑃1 es central en 𝐻(lema11(4)). Supongamos que 𝑀 es un subgrupo normal mínimo abeliano de 𝐺 tal que 𝑝 ∉ 𝑉(𝐺 / 𝑀),|𝑀| es indivisible por 𝑝 y 𝑀 se complementa con 𝐺. Deducimos que 𝐂𝑀(𝑃) está centralizado por 𝑀 (porque es 𝑀abeliano) y normalizado por 𝐻 ya que 𝑃 ⩽ 𝐙(𝐻) y podemos aplicar el Lema 11(4).

Está claro que {𝑝,𝑞,𝑟} ⊆ 𝜋(𝐺 / 𝐙(𝐺)), porque de lo contrario tendríamos por orden que 𝐙(𝐺) contendría un subgrupo 𝑡-Sylow de 𝐺 con 𝑡 ∈ {𝑝, 𝑞 ,𝑟 }, lo que contradice el lema14. Entonces, si 𝑔∈ 𝐺 satisface que 𝑝 ∈ 𝜋(|𝑔𝐺|), entonces 𝑞 no comparte el tamaño de clase indicado, entonces obtenemos con el lema 11(5) que 𝑔∈ 𝐂𝐺(𝑄) ya que 𝑄 es normal en 𝐺. Si 𝑉(𝐺 / 𝑁1) y 𝑉(𝐺 / 𝑁2) no contienen el mismo número primo, digamos 𝑝, entonces, razonando como en el segundo párrafo, deducimos que 𝐺 (que es isomorfo a un subgrupo de 𝐺 / 𝑁1 × 𝐺 / 𝑁2 ) tiene un subgrupo 𝑝 de Central Sylow, lo cual es imposible.