1.2. Bases teóricas
1.2.13. Modelo matemático en estado estacionario del colector solar plano
𝑇𝑏
En la siguiente figura se muestra una región elemental de ancho ∆𝑥y longitud unitaria en la dirección del flujo.
Figura 31. Elemento de aleta de un captador de placas - tubos.
Fuente: Elaboración propia.
Realizando el balance de energía en el elemento resulta:
−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
+ 𝐺𝑠∆𝑥 = −𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥+∆𝑥
+ 𝑈𝑃∆𝑥(𝑇𝑥− 𝑇∞)
−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
+ 𝐺𝑠∆𝑥 − 𝑈𝑃∆𝑥(𝑇𝑥− 𝑇∞) − (−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥+∆𝑥
) = 0 (13)
Si:
−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥+∆𝑥
= [(−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
) + 𝑑
𝑑𝑥(−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
) 𝑑𝑥] (14)
Reemplazando (14) en (13)
𝐺𝑠∆𝑥 − 𝑈𝑝∆𝑥(𝑇𝑥− 𝑇∞) + 𝑑
𝑑𝑥(𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
) 𝑑𝑥 = 0
Dividiendo entre ∆𝑥y tomando límites haciendo ∆𝑥 → 0, se obtiene:
Flujo de calor que ingresa por conducción.
𝑥 𝑥 + ∆𝑥
Flujo de calor que sale por conducción Flujo de calor que
sale debido a las pérdidas
Estrictamente sería 𝜏𝛼𝐺, con 𝜏 transmitancia del vidrio, 𝛼 absortancia de la aleta.
𝑈𝑃∆𝑥(𝑇𝑥− 𝑇∞) 𝐺𝑠∆𝑥
∆𝑥
−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥
−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥+∆𝑥
𝛿
𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 = 𝑈𝑝
𝑘𝛿(𝑇 − 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝) = 0 (15)
Las dos condiciones de frontera necesarias para esta ecuación diferencial de segundo orden son: la simetría en la línea central y la temperatura de base, conocida:
a) Temperatura máxima en la placa entre los tubos: 𝑑𝑇
𝑑𝑥|
𝑥=0 = 0 b) Temperatura en la base del tubo: 𝑇|
𝑥=𝑤−𝑑𝑒2 = 𝑇𝑏 Si definimos:
𝑚2 = 𝑈𝑝
𝑘𝛿; 𝜓 = 𝑇 − 𝑇∞− 𝐺𝑠 𝑈𝑝 Despejando T y derivando se obtiene:
𝑑𝑇 𝑑𝑥 = 𝑑
𝑑𝑥(𝜓 + 𝑇∞+ 𝐺𝑠
𝑈𝑝) =𝑑𝜓 𝑑𝑥
Reemplazando en la ecuación (15) se convierte en:
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2 − 𝑚2𝜓 = 0 (16) Las condiciones de frontera se convierten en:
𝑑𝜓 𝑑𝑥|
𝑥=0
= 0; 𝜓|𝑥=𝑤−𝑑𝑒
2
= 𝑇𝑏− 𝑇∞− 𝐺𝑠 𝑈𝑝 Hallando las raíces de la ec. (16)
𝜓 = 𝐶1𝑒𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑚𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝑥) + 𝐶2cosh (𝑚𝑥) (17)
Hallando la constante C1 y C2.
𝐶1 = 0 (18)
𝐶2 =
𝑇𝑏− 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝
cosh [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )] (19)
Reemplazando las ecuaciones (18) y (19) en (17):
𝜓 =
𝑇𝑏− 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝
cosh [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )]cosh (𝑚𝑥) Como se define 𝜓 = 𝑇 − 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝
𝑇 − 𝑇∞− 𝐺𝑠 𝑈𝑝 =
𝑇𝑏− 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝
cosh [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )]cosh (𝑚𝑥) Despejando 𝑇 de la ecuación:
𝑇 = cosh(𝑚𝑥) cosh [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )](𝑇 − 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑝) + 𝑇∞+ 𝐺𝑠
𝑈𝑝 (21)
Ahora se puede evaluar la energía conducida a la región del tubo por unidad de longitud en la dirección del flujo mediante la ley de Fourier en la base de la aleta:
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒 =−𝑘𝛿𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥=𝑤−𝑑𝑒
2
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒= −𝑘𝛿 𝑑
𝑑𝑥[ cosh(𝑚𝑥) cosh[𝑚(𝑤−𝑑𝑒
2 )](𝑇𝑏− 𝑇∞− 𝐺𝑠
𝑈𝑃)+ 𝑇∞+𝐺𝑠 𝑈𝑝]|
𝑥=𝑤−𝑑𝑒
2
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒= 𝑘𝛿𝑚
𝑈𝑝 [𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)]𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤 − 𝑑𝑒 2 )]
Pero está definido: 𝑚2 =𝑈𝑝
𝑘𝛿
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1
𝑚[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)]𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤 − 𝑑𝑒
2 )] (22) Pero la ecuación anterior toma en cuenta sólo la energía captada en un lado del tubo, para ambos lados la captación de energía es:
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2
𝑚[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)]𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤 − 𝑑𝑒 2 )]
Realizando el siguiente artificio:
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2 (𝑤−𝑑𝑒
2 ) 𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )[𝐺𝑠 − 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)]𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤 − 𝑑𝑒 2 )]
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒 = (𝑤 − 𝑑𝑒)[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)]𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )]
𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 ) (23) Usando el concepto de eficiencia de la aleta, F, para sección rectangular y recta:
𝐹 =𝑡𝑎𝑛ℎ [𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 )]
𝑚 (𝑤−𝑑𝑒
2 ) (24) La ecuación (23) se reduce a:
𝑞𝑏𝑎𝑠𝑒= (𝑤 − 𝑑𝑒)𝐹[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)] (25) La ganancia útil del captador también incluye la energía captada arriba de la región del tubo. La ganancia de energía para la región del tubo es:
𝑞𝑡𝑢𝑏𝑜 = 𝑑𝑒[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)] (26) Y la ganancia útil para el captador por unidad de longitud en la dirección del flujo es:
𝑞𝑢 = [(𝑤 − 𝑑𝑒)𝐹 + 𝑑𝑒][𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑏− 𝑇∞)] (27) Finalmente, esta ganancia útil debe transferirse al fluido. La resistencia al flujo de calor hacia el fluido resulta de la soldadura y del fluido-tubo. La ganancia útil puede expresarse en términos de estas dos resistencias:
𝑞𝑢 = 𝑇𝑏− 𝑇𝑓
1 𝜋ℎ𝑓𝑖𝑑𝑖+ 1
𝐶𝑠
(28)
Dónde:
𝑑𝑖: Diámetro interno del tubo. ℎ𝑓𝑖: Coeficiente de transferencia de calor entre el fluido y la pared del tubo. 𝐶𝑠: Conductancia de soldadura.
La conductancia de soldadura, 𝐶𝑠 puede estimarse conociendo la conductividad térmica de la soldadura 𝑘𝑠, su espesor promedio,𝛾, y considerando soldadura continua, resulta, por unidad de longitud en la dirección del flujo:
𝐶𝑠 = 𝑘𝑏
𝛾 (29) La conductancia de la soldadura puede ser muy importante en una descripción cuidadosa del comportamiento de un captador.
Whillier y Saluda (1965) han demostrado experimentalmente que amarres simples o fijaciones ligeras de los tubos a la placa captadora resulta en una pérdida significativa de transmisión de calor hacia el fluido dentro de los tubos. Ellos concluyen que se requiere un buen contacto metal con metal de tal manera que la resistencia de soldadura sea menor que 0.03 m°C/W.
Para obtener una expresión de la ganancia útil en términos de dimensiones conocidas, parámetros físicos y de la temperatura local del fluido, se debe eliminar 𝑇𝑏de las ecuaciones (27) y (28).
Despejando 𝑇𝑏de la ecuación (27), se obtiene:
𝑇𝑏 = 1
𝑈𝑝[𝐺𝑠− 𝑞𝑢
(𝑤 − 𝑑𝑒)𝐹 + 𝑑𝑒] + 𝑇∞ (30) Despejando 𝑇𝑏de la ecuación (28), se obtiene:
𝑇𝑏 = 𝑞𝑢( 1
𝜋ℎ𝑓𝑖𝑑𝑖 + 1
𝐶𝑠) + 𝑇𝑓 (31)
Igualando la ecuación (30), (31) y despejando 𝑞𝑢, se obtiene:
𝑞𝑢 =
1
𝑈𝑝𝑤[𝐺𝑠+ 𝑈𝑝(𝑇∞− 𝑇𝑓)]
𝑤 { 1
𝜋ℎ𝑓𝑖𝑑𝑖+ 1
𝐶𝑠+ 1
𝑈𝑝[(𝑤−𝑑𝑒)𝐹+𝑑𝑒]} Finalmente se obtiene:
𝑞𝑢 = 𝑤𝐹′[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞)] (32) Dónde:
𝐹′ Es el factor de eficiencia del captador:
𝐹′ =
1 𝑈𝑝
𝑤 { 1
𝜋ℎ𝑓𝑖𝑑𝑖+ 1
𝐶𝑠+ 1
𝑈𝑝[(𝑤−𝑑𝑒)𝐹+𝑑𝑒]}
(33)
Y representa la relación de la ganancia de energía útil a la ganancia de energía útil que se obtendrá si la superficie del captador estuviera a la temperatura local del fluido.
1.2.13.2. Distribución de temperatura en la dirección del flujo.
La ganancia útil del fluido por unidad de longitud en la dirección del flujo se calcula de la última ecuación presentada. El fluido entra al captador a una temperatura 𝑇𝑓𝑒 y se incrementa su temperatura hasta la salida a 𝑇𝑓𝑠.
De acuerdo con la siguiente figura, podemos expresar un balance de energía sobre el fluido fluyendo a través de un tramo de tubería de longitud 𝛥𝑦 como:
Figura 32. Esquema de un tramo de tubo del captador.
Fuente: Elaboración propia
𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓|
𝑦+ 𝑞𝑢∆𝑦 − 𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓|
𝑦+∆𝑦 = 0
̇ (34)
Sabemos que:
𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓|
𝑦+∆𝑦 = [(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦+ 𝑑
𝑑𝑦(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦𝑑𝑦] 35) Reemplazando la ecuación (35) en (34):
𝑞𝑢∆𝑦 − 𝑑
𝑑𝑦(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦𝑑𝑦 = 0
Dividiendo entre 𝛥𝑦, tomando límites y haciendo 𝛥𝑦 → 0, se obtiene que:
𝑞𝑢− 𝑑
𝑑𝑦(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦 = 0 (36) Reemplazando la ecuación (32) en la ecuación (36), se obtiene:
𝑑
𝑑𝑦(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦− 𝑤𝐹′[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞)] = 0 𝑑𝑇𝑓
[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞)]= 𝑤𝐹′
𝑚̇𝑐𝑝𝑑𝑦 (37)
𝑦 𝑦 + 𝛥𝑦
𝑦 𝛥𝑦
Flujo del fluido
𝑞𝑢𝛥𝑦
(𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓)|
𝑦 𝑚̇𝑐𝑝𝑇𝑓|
𝑦+∆𝑦
Hacemos que:
𝑢 = [𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞)]; 𝑑𝑢 = 𝑑[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞)]; 𝑑𝑢 = −𝑈𝑝𝑑𝑇𝑓
Reemplazando en la ecuación (37) e integrando
− 𝑑𝑢
𝑈𝑝𝑢= 𝑤𝐹′
𝑚̇𝑐𝑝𝑑𝑦
− 1 𝑈𝑝∫𝑑𝑢
𝑢 = 𝑤𝐹′
𝑚̇𝑐𝑝∫ 𝑑𝑦 → − 1
𝑈𝑝𝑙𝑛𝑢 =𝑤𝐹′𝑦 𝑚̇𝑐𝑝 + 𝐶1
𝑒−(
𝑈𝑝𝑤𝐹′𝑦 𝑚̇𝑐𝑝̇ )
𝐶1 = 𝐺𝑆− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞) (38)
Condición de frontera: Si suponemos que 𝐹′ y 𝑈𝑝son independientes de la posición, entonces la solución para la temperatura en cualquier posición 𝑦(sujeto a la condición de que la temperatura del fluido a la entrada es 𝑇𝑓𝑒) es:
𝑇𝑓|
𝑦=0 = 𝑇𝑓𝑒
Hallando C1 en la ecuación (38) y reemplazando 𝑦 = 0, se obtiene:
𝐶1 = 𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓𝑒 − 𝑇∞) (39) Reemplazando la ecuación (39) en (38):
𝑒−(
𝑈𝑝𝑤𝐹′𝑦 𝑚̇𝑐𝑝̇ )
= 𝐺𝑆− 𝑈𝑝(𝑇𝑓− 𝑇∞) [𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞)]
Realizando el artificio:
𝑇𝑓− 𝑇∞− 𝐺𝑠/𝑈𝑝
𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞− 𝐺𝑠/𝑈𝑝 = 𝑒−[
𝑈𝑝𝑤𝐹′𝑦 𝑚𝑐𝑝 ]
(40)
Si el captador tiene una longitud𝑙2en la dirección del flujo, entonces la temperatura del fluido a la salida, 𝑇𝑓𝑠se encuentra sustituyendo y por𝑙2:
𝑻𝒇𝒔− 𝑻∞− 𝑮𝒔/𝑼𝒑 𝑻𝒇𝒆− 𝑻∞− 𝑮𝒔/𝑼𝒑 = 𝒆−[
𝑼𝒑𝒘𝑭′𝒍𝟐 𝒎𝒄𝒑 ]
, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝑻𝒇𝒔 (𝟒𝟏)
1.2.13.3. Factores de remoción del calor del captador y de flujo.
Es conveniente definir una cantidad que relacione la ganancia real de energía útil de un captador con la ganancia útil que tendría un captador si toda su superficie estuviera a la temperatura de entrada del fluido. Matemáticamente, el factor de remoción del calor del captador, 𝐹𝑅, es:
𝐹𝑅 = 𝑚̇𝑐𝑝(𝑇𝑓𝑠− 𝑇𝑓𝑒)
𝐴𝑐[𝐺𝑠− 𝑈𝑝(𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞)] (42)
El factor de remoción de calor del captador puede expresarse como:
𝐹𝑅 = 𝑚̇𝑐𝑝
𝐴𝑐𝑈𝑝[ 𝑇𝑓𝑠− 𝑇𝑓𝑒
𝐺𝑠
𝑈𝑝− (𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞)]
𝐹𝑅 = 𝑚̇𝑐𝑝 𝐴𝑐𝑈𝑝[1 −
𝐺𝑠
𝑈𝑝− (𝑇𝑓𝑠− 𝑇∞)
𝐺𝑠
𝑈𝑝− (𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞)] Donde reemplazando 𝑇𝑓𝑠por su ecuación equivalente, se obtiene:
𝐹𝑅 = 𝑚̇𝑐𝑝
𝐴𝑐𝑈𝑝(1 − 𝑒
𝐴𝑐𝑈𝑝𝐹′
𝑚𝑐𝑝̇ ) (43)
Es conveniente reexaminar la definición de FR pero una forma ligeramente diferente:
𝑞𝑢 = 𝐴𝑐𝐹𝑅[𝐺𝑠 − 𝑈𝑝(𝑇𝑓𝑒− 𝑇∞)] (44) Donde 𝑞𝑢 es la ganancia total de energía útil del captador. Con esta ecuación, la ganancia de energía útil se calcula como una función de la temperatura de entrada del fluido. Esta es una representación conveniente cuando se analizan sistemas solares puesto que usualmente se conoce la temperatura de entrada. Sin embargo, debe
Flujo de calor que sale debido a las pérdidas.
Flujo de calor que ingresa por radiación.
𝐴𝑐𝐺𝑠 𝐺𝑠 = 𝜏𝛼𝐺 𝑈𝑝𝐴𝑐(𝑇𝑝− 𝑇𝑎)
Flujo de calor que sale por convección entre la tubería y el fluido pérdidas.
𝜋𝑑𝑖ℎ(𝑇𝑝− 𝑇𝑓)
recordarse que las pérdidas basadas en la temperatura de entrada también son pequeñas ya que éstas ocurren a lo largo del captador y el fluido tiene un incremento de temperatura en la dirección del flujo. El efecto del multiplicador, 𝐹𝑅, es reducir la ganancia de energía útil calculada como si todo el captador estuviera a Tfe a aquella real usando un fluido que incrementa en temperatura según fluya por el captador.
Según aumente el flujo másico por el captador, decrece la elevación de temperatura a través del captador. Esto causa menores pérdidas y un incremento correspondiente en la ganancia de energía útil puesto que la temperatura promedio de captador es menor. Este incremento en la ganancia de energía útil se refleja en un incremento en el factor de remoción del calor FR según aumente la tasa del flujo másico.
Notemos que el factor de remoción 𝐹𝑅no puede exceder al factor de eficiencia del captador 𝐹’. Conforme la tasa del flujo másico aumente, el aumento de temperatura desde la entrada hasta la salida decrece hacia cero pero la temperatura de la superficie absorbedora todavía será más alta que la temperatura del fluido. Esta diferencia de temperatura está tomado en cuenta en el factor de eficiencia del captador, 𝐹’.