1.2. Bases Teóricas que Fundamentan la investigación
1.2.3. Modelo de la teoría de la doble capa para la transferencia de oxigeno
muy importante durante el proceso de depuración de aguas residuales. El fenómeno de transferencia que se da en este caso, fue descrito de modo matemático por Lewis y Whitman, en base a los fenómenos de transferencia que se dan a través de dos películas imaginarias que ellos establecen para la fase liquida y la fase gaseosa. De allí que en la literatura también lo denominan teoría de la doble película (Lewis & Whitman, 1924). Realizaron pruebas de verificación de su modelo empleando diferentes gases y líquidos. En el caso especial del oxígeno y el agua, encontraron ciertas particularidades.
La teoría de la doble capa es la teoría más sencilla que se usa actualmente, a pesar de los años de antigüedad, pues sus resultados son bastante acertados comparados con teorías más complejas. la doble capa que se establece en el sistema liquido gas de esquematiza en la siguiente figura:
Figura 3. Teoría de la doble capa
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En el caso del oxígeno, este gas es ligeramente soluble en agua, por lo que, “la capa que ofrece una mayor resistencia al paso de moléculas de gas de la fase gaseosa a la liquida es la capa liquida, para el caso de gases muy solubles es la capa gaseosa la que presenta una mayor resistencia”. (Metcalf and Eddy, 1995)
La velocidad de transferencia del gas al liquido (𝑟𝑚) a través de las dos capas, es proporcional al déficit de concentración del gas en el líquido, para alcanzar su concentración de saturación (𝐶𝑠), de acuerdo a la siguiente formula:
𝑟𝑚 = 𝐾𝑔𝐴(𝐶𝑠− 𝐶) (1) En este caso:
𝐾𝑔: coeficiente de difusión del gas en la fase liquida.
𝐴: área de transferencia de masa.
𝐶: concentración del gas en el líquido (homogéneo).
Realizando el análisis de oxigenación de agua en un sistema batch de acuerdo a la siguiente figura:
Figura 4. Teoría de la doble capa
De acuerdo a esto, la 𝑟𝑚 también se puede expresar en función al incremento de concentración del oxígeno en el agua:
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𝑟𝑚 = 𝑉. 𝑑𝐶 𝑑𝑡⁄ (2)
Relacionado las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que:
𝑑𝐶
𝑑𝑡 = 𝐾𝐿𝑎(𝐶𝑠− 𝐶) (3)
La ecuación (3), es la famosa ecuación producto de la teoría de la doble capa que propusieron Lewis y Whitman. Esta una ecuación diferencial, expresa la variación de la concentración de oxígeno disuelto (C), con el tiempo (t). En esta ecuación, 𝐾𝐿𝑎, es la constante de proporcionalidad y lo denomina coeficiente de transferencia de oxígeno. Otros lo denominan coeficiente global de transferencia para el gas. Esta constante es equivalente a 𝐾𝑔(𝐴 𝑉)⁄ , de donde se puede notar que 𝑎 es (𝐴 𝑉)⁄ , al cual muchos autores lo denominan área de transferencia volumétrica.
Para el análisis, en este caso, el área de transferencia de masa de oxígeno, es el área total de la superficie de todas las burbujas de aire, que están en el líquido. Esta cantidad es complicada de calcularlo por la cantidad de las burbujas y el tamaño de los mismos que no es homogéneo. Para facilidad es que se utiliza solo el 𝐾𝐿𝑎
Las unidades de cada término de la ecuación son: 𝑟𝐶: mg/L.s. o mg/L.min, 𝐾𝐿𝑎:
s-1 o min-1, 𝐶𝑠: mg/l, y 𝐶: mg/L.
Desarrollando la ecuación (3); para las siguientes condiciones: cuando 𝑡 = 0 , la concentración de oxígeno en el líquido es 𝐶 = 𝐶0. Y, cuando 𝑡 = 𝑡, la concentración 𝐶 = 𝐶, se encuentra que:
𝐶𝑠−𝐶𝑡
𝐶𝑠−𝐶0= 𝑒−(𝐾𝐿𝑎)𝑡 (4)
Con la ecuación (4), es factible de predecir el comportamiento de evolución de la concentración C, en función al tiempo, para una operación de oxigenación de agua en un modo por lotes o batch. Pero se debe indicar que, en esta ecuación no se incluye el efecto de la influencia de la temperatura y la presión atmosférica, en 𝐾𝐿𝑎 y la 𝐶𝑠
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El coeficiente 𝐾𝐿𝑎, es uno de los indicadores de interés para establecer el desempeño de las unidades de aireación de aguas. Este coeficiente se puede determinar tanto para agua limpia y agua residual. En relación al rendimiento de transferencia de oxígeno de un aireador de agua, “dado un volumen de agua a airear, el rendimiento de un aireador se valora en función de la cantidad de oxígeno transferida por unidad de aire introducida en el agua en condiciones equivalentes (composición química y temperatura del agua residual, profundidad a la que se introduce el aire, etc.)”. (Metcalf and Eddy, 1995, p.
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Transferencia de Oxígeno en Agua Limpia.
Para estos casos, se aplica el método establecido en la norma de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles (ASCE). En esta norma (ASCE, 1852), el procedimeinto que indica, inicia con la eliminacion de oxígeno disuelto (OD) del volumen de agua que se va someter a prueba, mediante la reacción del sulfito de sodio con el oxígeno. Luego se re oxigena hasta lograr concentraciones de OD próximas a la saturación en una aireador batch. Durante la re oxigenación, se registra las mediciones de OD. Los datos que se obtienen permiten determinar el KLa mediante el modelo desarrollado y linealizado de la ecuación de la doble capa.
En muchas ocasiones, se corrigen los valores KLa a normalizadas. “Con ello, se calcula la velocidad de transferencia de oxígeno en condiciones normalizadas (masa de oxígeno disuelta por unidad de tiempo a una hipotética concentración nula de OD) como la media del producto del volumen del tanque por el producto de los valores corregidos de KLa y concentraciones correspondientes a cada punto de medición”. (Metcalf and Eddy, 1995)
Transferencia de Oxígeno en Aguas Residuales.
Cuando en el agua residual se tiene la presencia de microorganismos en actividad, es decir, en pleno proceso de metabolismo de contaminantes y consumo de oxígeno, el KLa se puede hallar tomando en cuenta el oxígeno consumido por los microorganismos. “Generalmente el nivel de oxígeno en
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estos sistemas se mantiene entre 1 y 3 mg/l y los organismos consumen el oxígeno al iniciar el proceso” (Metcalf and Eddy, 1995). De acuerdo a esto, mediante un balance masa del oxígeno la ecuación que describe el fenómeno de consumo es:
𝑑𝐶
𝑑𝑡 = 𝐾𝐿𝑎(𝐶𝑠− 𝐶) − 𝑟𝑀 (5) En este caso, 𝑟𝑀 es la masa de oxígeno consumida por los microorganismos por unidad de tiempo y volumen. Este valor normalmente se encuentra en el rango de 2 a 7 g/día por gramo de solidos suspendidos volátiles del líquido de la mezcla (SSVLM). Si el valor del oxígeno se mantiene constante en el tiempo entonces, 𝑑𝐶 𝑑𝑡⁄ = 0, por ello:
𝑟𝑀 = 𝐾𝐿𝑎 (𝐶𝑠− 𝐶) (6) Donde C, es constante. Los valores de 𝑟𝑀 se pueden determinar mediante el aparato Warburg. Finalmente, la determinación de 𝐾𝐿𝑎 queda expresado de la siguiente manera:
𝐾𝐿𝑎 = 𝑟𝑀
𝐶𝑠−𝐶 (7)