7. Vericación y validación 89
7.4. Modelos idealizados de trabéculas óseas en 2D
96 Capítulo 7. Vericación y validación
7.4. Modelos idealizados de trabéculas óseas en 2D 97 la celda elemental que los compone.
En todos los casos, a efectos de emplear un programa de cálculo estándar y veri- car que la condición de Hill (Ec.5.27), el espacio entre las trabéculas, en adelante fase hueco, también fue mallado. Éste espacio se modeló como un material lineal, elástico, isótropo y compresible de módulo de Young despreciable frente al del tejido trabecular. Las propiedades mecánicas de ambas fases se reportan en la Tabla 7.2.
Propiedad Tejido o hueso Espacio hueco
Módulo de Young 1000 Mpa 10−5 Mpa
Coeciente de Poisson 0,3 0
Tabla 7.2: Propiedades de los materiales empleados
7.4.2. Resultados
En la Tabla 7.3 se resumen los resultados hallados para el modelo poroso en deformación plana, donde Eij representa el valor de las componentes de la matriz constitutiva aparente. En la Tabla7.4se muestran los resultados para el modelo de trabécula en rombo. Dada la simetría de las matrices sólo se reportan los valores de la diagonal principal y por encima de esta.
Componente Número de celdas por lado
[MPa] 1 2 3 4 5
E11 120,433 115,325 113,658 112,828 112,336 E12 96,165 99,951 101,172 101,774 102,135
E13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E22 120,448 115,333 113,664 112,834 112,340
E23 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E33 90,266 90,072 90,007 89,973 89,956
Tabla 7.3: Componentes de la matriz constitutiva halladas mediante el método de homogenización directo, desplazamientos lineales en el contorno. Modelo poroso.
Componente Número de celdas por lado
[MPa] 1 2 3 4 5
E11 194,491 166,108 157,622 153,574 151,208
E12 43,108 24,484 19,591 17,397 16,163
E13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E22 194,445 166,049 157,559 153,508 151,141
E23 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E33 68,870 22,414 13,126 9,694 8,036
Tabla 7.4: Componentes de la matriz constitutiva halladas mediante el método de homogenización directo, desplazamientos lineales en el contorno. Modelo en rombo.
98 Capítulo 7. Vericación y validación La Figura 7.3 ilustra la variación de las componentes del tensor de elasticidad como función del número de celdas por lado para las componentes E11,E22 yE33 de ambos modelos.
Figura 7.3: Componentes de la matriz constitutiva en función del número de celdas por lado, desplazamientos lineales en el contorno: modelo poroso (izq.), modelo en rombo (der.).
En las Tablas7.5y7.6se presentan los resultados hallados para ambos modelos considerando un estado de tensión plana, mientras que en la Figura 7.4 se gracan los resultados para las componentes E11,E22 yE33.
Componente Número de celdas por lado
[MPa] 1 2 3 4 5
E11 49,921 64,502 70,753 79,931 85,341 E12 49,491 49,381 49,872 44,606 41,745
E13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E22 49,926 64,503 70,753 79,931 85,341
E23 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E33 1,377 2,089 2,505 2,781 2,977
Tabla 7.5: Componentes de la matriz constitutiva halladas mediante el método de homogenización directo, tracciones uniformes en el contorno. Modelo poroso.
7.4.3. Discusión
Las componentes E13 y E23 son nulas en ambos casos, deformación y tensión plana, en ambos modelos. Estos resultados permiten inferir la existencia de simetrías que, a priori, se pueden intuir a partir de la geometría de los modelos idealizados evaluados. La simetría reportada en los tensores elásticos se debe al empleo de celdas repetitivas y a las direcciones empleadas para el cálculo de los casos de carga.
La condición de Hill fue satisfecha con diferencias inferiores al 5 %. Además, se vericó que tanto los valores de las componentes simétricas como los de las compo- nentesE11yE22fueran idénticos. Las mayores diferencias, quinta cifra signicativa, se encontraron en el modelo poroso. Las discrepancias sólo desaparecieron cuando
7.4. Modelos idealizados de trabéculas óseas en 2D 99
Componente Número de celdas por lado
[MPa] 1 2 3 4 5
E11 1,1910−4 1,3710−4 1,6210−4 1,8810−4 2,1610−4 E12 6,0310−7 7,5310−7 9,2910−7 1,1210−6 1,3410−6 E13 -4,8810−9 -2,3010−9 -9,7410−10 -5,7310−10 -4,5910−10 E22 1,1910−4 1,3710−4 1,6210−4 1,8810−4 2,1610−4 E23 4,8810−9 2,3010−9 9,7210−10 5,7110−10 4,6810−10 E33 4,7010−5 5,1910−5 6,0310−5 6,9710−5 7,9810−5 Tabla 7.6: Componentes de la matriz constitutiva halladas mediante el método de homogenización directo, tracciones uniformes en el contorno. Modelo en rombo.
Figura 7.4: Componentes de la matriz constitutiva en función del número de celdas por lado, tracciones uniformes en el contorno: modelo poroso (izq.), modelo en rombo (der.).
se usaron mallas simétricas respecto de los dos ejes de simetría geométrica de la celda. Se concluyó que la asimetría inducida en la discretización durante el proceso de mallado adaptivo es la responsable principal de las diferencias observadas.
En deformación plana, las componentes de la matriz constitutiva de ambos mo- delos presentan una evolución suave conforme aumenta el número de celdas de las muestras analizadas. En el modelo poroso todas las componentes convergen hacia un valor menor desde arriba. En el modelo en rombo, en cambio, la componenteE11 converge desde arriba mientras que la componente E12lo hace desde abajo. Por su parte, la componenteE33 permanece prácticamente constante. Resulta evidente que la tasa de convergencia es muy rápida y que se alcanza un plateau con muestras de 4 o 5 celdas por lado.
Hollister y Kikuchi (1992) analizaron el caso del modelo poroso con idéntica fracción volumétrica. Los autores obtuvieron tendencias similares a las reportadas en este trabajo salvo en el caso de la componente E12.
En tensión plana, no se alcanza un plateau en ninguna de las muestras. Por otro lado, si bien las tendencias de cada componente son evidentes, los valores predichos para el modelo en rombo carecen de sentido. Esto se debe a que la celda elemental,
100 Capítulo 7. Vericación y validación y por lo tanto todas las muestras evaluadas, presentan fase hueco sobre el contorno, como consecuencia el trabajo de deformación de los elementos de la fase hueco no resulta despreciable frente al de los elementos de la fase hueso. Detalles de este efecto fueron discutidos en la Sec. 5.4.
A modo de resumen se puede indicar que las condiciones de contorno, tanto en tensión o deformación plana como empleando tracciones o desplazamientos sobre el contorno de la muestra, se obtienen respuestas aparentes diferentes. El tipo de con- dición de contorno impuesta por la formulación, esto es el tipo de elemento, fuerzan la utilización de tracciones (tensión plana) o desplazamientos (deformación plana) en el contorno para ser consistentes con la teoría del método de homogenización directo. En los casos analizados se observaron tendencias claras en la evolución de las componentes de las matrices constitutivas computadas y, para algunos modelos y condiciones de contorno, resulta al menos plausible determinar el valor al que convergen. Resulta evidente que con el método directo no se puede determinar a priori el tamaño de la muestra necesaria para alcanzar el plateau aún cuando se emplean celdas repetitivas (microestructuras periódicas). Probablemente el resulta- do más signicativo es que, cuando los modelos poseen fase hueco sobre su contorno, las propiedades aparentes resultan fuertemente subestimadas. Por este motivo, en modelos de trabéculas óseas reales, que se estudian en la próxima sección, se de- ben usar desplazamientos lineales como condiciones de contorno para estimar el comportamiento elástico aparente.
7.5. Modelos de trabéculas 2D construidos a partir de imágenes de microTC
Se aplica el procedimiento de homogenización directa, considerando desplaza- mientos lineales en el contorno, a modelos bidimensionales (2D) de hueso trabecular construidos a partir de imágenes microtomográcas (microTC) con el objeto de ob- servar la inuencia del tamaño de la muestra sobre las propiedades mecánicas del material equivalente.
7.5.1. Métodos
Los modelos bidimensionales de trabéculas reales se obtuvieron a partir del pro- cesamiento de imágenes obtenidas mediante microTC. La muestra, de aproximada- mente 10 × 9 × 3 mm, se tomó de una cabeza femoral de un adulto de 61 años (Perilli y Barualdi,2003). La técnica de construcción de los modelos fue similar a la presentada en el Capítulo 4 pero, en este caso sólo se utilizó una malla de puntos en el plano de la imagen con el objeto de construir un modelo bidimensional.
A efectos de eliminar defectos provocados durante la preparación de la muestra sólo se aplicó el método de homogenización a la porción central de las imágenes. El tamaño de los píxeles y el espaciado tomográco fue de 19,48 µm. Se construyeron modelos cuadrados de 0,994 mm, 1,987 mm y 2,980 mm de lado por cada imagen,
7.5. Modelos 2D reconstruidos a partir de imágenes de MicroTC 101